13.4 课题学习 最短路径问题课件（43张PPT）

第十三章 轴对称
13.4 课题学习 最短路径问题
2020年秋人教版数学八年级上册精品课件
学习目标
1
2
利用轴对称、平移等变化解决简单的最短路径问题.（重点）
体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感受由实际问题转化为数学问题的思想.（难点）
新课导入
情境导入
相传古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦.有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：
从图1中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地.到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？
精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题.这个问题后来被称为“将军饮马问题”.
B
A
新课导入
思 考
这是个实际问题，你能用自己理解的语言描述一下吗？
如图所示：将A，B 两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线.
?
?
B
l
那你能用数学语言说明这个问题所表达的意思吗？
A
新课导入
如图： 点A，B分别在直线l的同侧，点C是直线l上的一个动点，当点C在什么位置的时候，AC+BC的值最小？
如果点A，B在直线l的两侧，这时该如何求解？
?
?
A
B
l
新课导入
?
?
A
B
l
解析：连接A，B两点，交直线l于点C，则点C 即为所求的位置，可以使得AC+BC的值最小.
依据：两点之间，线段最短.
如图： 点A，B分别在直线l的两侧，点C是直线l上的一个动点，当点C在什么位置的时候，AC+BC的值最小？
新课导入
你能利用两点分别在直线两侧的解题思路，来解决两点在直线同一侧的问题吗？
分析：如果我们能够把点B转移到直线l的另外一侧B′，同时使得对直线上任意一点C，满足BC=B′C，就可以将问题转化为“两点分别在直线两侧的情况”.那么在直线l上使得满足BC=B′C的点应该怎么找呢？
?
?
A
B
l
新课导入
如图，作出点B关于直线l的对称点B′，利用轴对称的性质可知：对于直线l上的任意一点C均满足BC=B′C.此时，问题转化为：当点C在直线l的什么位置时，AB+B′C的值最小？
?
B′
容易得出：连接AB′交直线l于点C，则点C即为所求.
?
?
A
B
l
C
你能证明这个结论吗
?
新课导入
证明：在直线l上任意取一点C′（不与点C重合），连接AC′，BC′，B′C′.
由轴对称的性质可得：BC=B′C，BC′=B′C′，
则AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′.
在△AB′C′中，AB′所以AC+BC由点C′的任意性可知，AC+BC的值是
最小的，故点C的位置符合要求.
l
?
?
A
B
?
B′
C
C′
新课讲解
知识点1
1、直线异侧的两点到直线上一点距离和最短的问题.
如图，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在直线l上找一点C使得AC+BC的值最小，此时点C就是线段AB与直线l的交点.
?
?
B
l
A
C
新课讲解
知识点1
2、直线同侧的两点到直线上一点距离和最短的问题.
如图，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在直线l上找一点C使得AC+BC的值最小，这时先作点B关于直线l的对称点的B′，连接AB′交直线l于点C（也可以作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点C），此时点C就是所求作的点.
?
?
A
B
l
C
B′
新课讲解
练一练
如图，A，B两个小镇在河的同侧，现要在笔直的河边a上修建一个自来水厂分别向两个镇供水，如何选择自来水厂的位置，可使用的水管最短？
解：如图，作点B关于河边a的对称点B′，连接AB′交河边a于点P，则点P所在的位置为所求的自来水厂的位置.
?
?
A
B
a
?
?
B′
P
新课讲解
练一练
如图，点A，B是直线l同侧不重合的两点，在直线l上求作一点C，使得AC+BC的长度最短.作法：①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′，与直线l相交于点C，则点C为所求作的点.在解决这个问题时没有用到的知识或方法是（ ）
A.转化思想
B.三角形两边之和大于第三边
C.两点之间，线段最短
D.三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角
?
?
A
B
l
C
B′
新课讲解
如图，点A，B是直线l同侧不重合的两点，在直线l上求作一点C，使得AC+BC的长度最短.作法：①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′，与直线l相交于点C，则点C为所求作的点.在解决这个问题时没有用到的知识或方法是（ ）
D
分析：上述题目中应用了轴对称把最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”来解决，该过程用到了“转化思想”，“两点之间，线段最短”，验证是否为最短距离时利用了三角形两边之和大于第三边.
?
?
A
B
l
C
B′
新课讲解
练一练
两棵树的位置如图所示，树的底部分别为点A，B，有一只昆虫沿着A至B的路径在地面爬行，小树的树顶D处有一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C处，问小虫在AB之间何处被小鸟抓住时，小鸟飞行路程最短，在图中画出该点的位置.
解：如图，作点C关于AB的对称点C′，连接DC′交AB于点E，则点E即为所求.
也可作点D关于AB的对称点D′，连接CD′同样交AB于点E的位置，则点E即为所求.
新课讲解
练一练
如图，在等腰Rt△ABC中，D是BC边的中点，E是AB边上的一动点，要使EC+ED最小，请找点E的位置.
分析：上述题目可以描述为，点C，D为线段AB同侧的两点，在线段AB上找到一点E使得CE+DE的值最小.
A
C
D
B
E
新课讲解
练一练
如图，在等腰Rt△ABC中，D是BC边的中点，E是AB边上的一动点，要使EC+ED最小，请找点E的位置.
解：如图所示，作点D关于线段AB的对称点D′，连接CD′交线段AB于点E，则点E即为所求，也就是使得EC+ED最小的位置.
A
C
D
D′
B
E
新课导入
思 考
（造桥选址问题）如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可以使得从A到B的路径AMNB最短？（假定河是平行的直线，桥要与河垂直）
新课讲解
知识点 造桥选址问题
这是个实际问题，你能用自己理解的语言描述一下吗？
如图所示：将河的两岸看成两条平行线a和b，N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M.当点N在什么位置的时候，AM+MN+NB的值最小？
A
B
a
b
?
?
M
N
新课讲解
分析： 由于河宽是固定的，则MN的大小是固定的.当AM+MN+BN的值最小时，也即AM+BN的值最小.
你能用几何语言将上述的问题重新表达吗？
A
B
a
b
?
?
M
N
新课讲解
如图： 直线a，b满足a//b，点A，点B分别在直线a，b的两侧，MN为直线a，b之间的距离，则点M，N在什么位置的时候，满足AM+MN+NB的值最小.
A
B
a
b
?
?
M
N
新课讲解
分析： 将AM沿着与直线a垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A′，则AA′=MN，AM+NB=A′N+NB.此时问题转化为，当点N在直线b的什么位置时，A′N+NB的值最小.
A
B
a
b
?
?
M
N
A′
新课讲解
如图，连接A′，B两点的线段中，线段A′B最短.因此，线段A′B与直线b的交点位置即为所求的位置，即在点N处造桥MN，所得路径AMNB是最短的.
A
B
a
b
?
?
M
N
A′
新课讲解
证明：在直线b上另外任意取一点N′，过点N′作N′M′⊥a，垂足为M′，连接AM′，A′N′，N′B.
∵在△A′N′B中，A′B∴A′N+NB即A′N+NB+MN∴AM+NB+MN即AM+NB+MN的值最小.
A
B
a
b
?
?
M
N
A′
M′
N′
新课讲解
知识点 两点一线型问题
?
P
l2
l1
如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得△PMN的周长最小.
新课讲解
知识点 两点一线型问题
作法：过点P分别作关于直线l1，l2的对称点P1，P2，连接P1P2分别交直线l1，l2于点M，N，则点M，N即为所求.
?
P
l2
l1
P1
P2
N
M
如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得△PMN的周长最小.
新课讲解
知识点 两点一线型问题
解析：通过轴对称的原理，把周长最小值转化为两点间距离最短的问题.△PMN周长的最小值为PM+MN+PN=P1P2.
?
P
l2
l1
P1
P2
N
M
如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得△PMN的周长最小.
新课讲解
知识点 两点两线型问题
如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得四边形PQMN的周长最小.
?
P
l2
l1
Q
?
新课讲解
知识点 两点两线型问题
作法：分别作点P，Q关于直线l1，l2的对称点P1，Q1，连接P1Q1分别交直线l1，l2于点M，N，则点M，N即为所求.
?
P
l2
l1
Q
?
P1
Q1
N
M
如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得四边形PQMN的周长最小.
解析：通过轴对称把周长最小问题转化为两点间距离最短问题，四边形PMNQ的周长的最小值为PM+MN+NQ+QP=P1Q1+PQ，依据的是两点之间，线段最短.
新课讲解
练一练
某中学八（2）班举行文艺晚会，如图所示，OA，OB分别表示桌面，其中OA桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后回到C处，请你帮他设计一条行走路线，使其所走的路程最短.
?
C
A
B
O
新课讲解
练一练
a
解析：
（1）如图所示，作点C关于OA的对称点C1；
（2）作点C关于OB的对称点C2；
（3）连接C1C2，分别交OA，OB于点D，E，连接CD，CE.
所以先到点D处拿橘子，再到点E处拿糖果，最后回到点C处，按照这样的路线所走的路程最短.
?
C
A
B
O
C1
E
C2
D
新课讲解
练一练
如图，为了做好交通安全工作，某交警执勤小队从点A处出发，先到公路l1上设卡检查，再到公路l2上设卡检查，最后到点B处执行任务，他们应如何走才能使总路程最短？
?
A
l1
l2
B
?
新课讲解
解析：
（1）如图，作点A关于直线l1的对称点A′；
（2）作点B关于直线l2的对称点B′；
（3）连接A′B′，分别交直线l1，l2于点C，D，连接AC，BD.
所以先到点C设卡检查，再到点D设卡检查，最后到点B处执行任务，按照这样的路线所走的路程最短.
?
A
l1
l2
B
?
B′
A′
C
D
课堂小结
最短路径问题
直线异侧的两点到直线上一点距离和最短的问题
直线同侧的两点到直线上一点距离和最短的问题
当堂小练
如图，牧童在A处放牛，家在B处，A，B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD，若点A到河岸CD中点距离为600，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是（ ）
A.900 B.1200 C.1500 D.1800
A
C
D
B
当堂小练
解：∵AC⊥CD，BD⊥CD，
∴∠ACD=∠BDC=∠A′CD=90°.
∵A′C=AC=BD，
在△A′CE和△BDE中， ∠A′CE=∠BDE，
∠A′EC=∠BED，
A′C=BD，
则△A′CE≌△BDE（AAS），CE=DE，A′E=BE.
∴点E是CD的中点.
∴AE=600，则AE+BE=A′E+BE=1200.
A
C
D
B
E
A′
当堂小练
如图，从A地到B地要经过一条小河（河的两岸平行），现要在河上建一座桥（桥垂直于河的两岸），应如何选择桥的位置才能使从A地到B地的路程最短？
A
B
当堂小练
F
H
E
G
A
B
M
N
C
解析：（1）如图，作点A作AC垂直于河岸，且使得AC的长等于河宽；
（2）连接BC，与河岸GH相交于点N，且过点N作MN⊥EF于点M，则MN为所建桥的位置.
拓展与延伸
分析：本题考查了含有30°角的直角三角形的性质和应用，同时考查了角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定和三角形内角和定理，要熟练掌握学过的知识才能综合应用解题.
A
B
C
M
N
└
如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN//BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN=1，则BC的长为（ ）
A.4 B.6 C. D.8
拓展与延伸
B
解析：如图，连接PC.
∵AB=AC，BD=CD， ∴AD⊥BC. ∴PB=PC.
∴PB+PE=PC+PE.
∵PE+PC≥CE，
∴当P，C，E三点共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度.
A
D
B
E
P
C
如图，在△ABC中，AB=AC，AD、CE是△ABC的两条中线，P是AD上的一个动点，则下列线段的长等于BP+EP最小值的是（ ）
A.BC B.CE C.AD D.AC
谢谢
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