13.3.1.1 等腰三角形的性质课件（29张PPT）

第十三章 轴对称
13.3 等腰三角形
13.3.1 等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质
2020年秋人教版数学八年级上册精品课件
学习目标
1
2
经历等腰三角形的性质的探究过程，能初步运用等腰三角形的性质解决有关问题.(难点)
理解并掌握等腰三角形的性质.(重点)
新课导入
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.
A
C
B
腰
腰
底边
顶角
底角
底角
知识讲解
等腰三角形的性质
剪一剪：把一张长方形的纸按图中的红线对折，并剪去阴影部分（一个直角三角形），再把得到的直角三角形展开，得到的三角形ABC有什么特点？
A
B
C
AB = AC
等腰三角形
折一折：△ABC 是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
A
C
D
B
折痕所在的直线是它的对称轴.
等腰三角形是轴对称图形.
找一找：把剪出的等腰三角形ABC 沿折痕对折，找出其中重合的线段和角.
重合的线段
重合的角

　
A
C
B
D
AB与AC
BD与CD
AD与AD
∠B 与∠C
∠BAD 与∠CAD
∠ADB 与∠ADC
猜一猜： 由这些重合的角，你能发现等腰三角形的性质吗？说一说你的
猜想.
A
B
C
已知：△ABC中，AB=AC,
求证：∠B=?C.
思考：如何构造两个全等的三角形？
猜想：等腰三角形的两个底角相等.
如何证明两个角相等呢？
可以运用全等三角形的性质“对应角相等”来证
已知： 如图，在△ABC 中，AB=AC.
求证：∠B= ∠C.
A
B
C
D
证明：
作底边的中线AD， 则BD=CD.
AB=AC ( 已知），
BD=CD ( 已作），
AD=AD（公共边），
∴ △BAD≌△CAD (SSS).
∴ ∠B=∠C (全等三角形的对应角相等).
在△BAD和△CAD中，
方法一：作底边上的中线
还有其他的证法吗？
已知：如图，在△ABC中，AB=AC.
求证：∠B=∠C.
证明：
作顶角的平分线AD，
则∠BAD=∠CAD.
AB=AC ( 已知 ),
∠BAD=∠CAD ( 已作 ),
AD=AD (公共边),
∴ △BAD ≌ △CAD (SAS).
∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
方法二：作顶角的平分线
在△BAD和△CAD中，
A
B
C
D
想一想：由△BAD≌ △CAD，除了可以得到∠B= ∠C之外，你还可以得到那些相等的线段和相等的角？和你的同伴交流一下，看看你有什么新的发现？
解：∵△BAD≌ △CAD，由全等三角形的性质易得BD=CD,∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD.
又∵ ∠ADB+∠ADC=180°，
∴ ∠ADB=∠ADC= 90° ，
即AD是等腰△ABC底边BC上的中线、顶角∠BAC的
角平分线、底边BC上的高线 .
A
B
C
D
归纳：
性质1：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）.
A
C
B
如图,在△ABC中,
∵AB=AC(已知),
∴∠B=∠C(等边对等角).
性质2：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合（三线合一）.
A
C
B
D
1
2
∵AB=AC, ∠1=∠2（已知），
∴BD=CD,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）.
∵AB=AC, BD=CD （已知），
∴∠1=∠2,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）.
∵AB=AC, AD⊥BC（已知），
∴BD=CD, ∠1=∠2（等腰三角形三线合一）.
综上可得：如图,在△ABC中,
A
B
C
D
例1 如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，
求△ABC各角的度数.
分析：（1）找出图中所有相等的角；
（2）指出图中有几个等腰三角形？
∠A=∠ABD,
∠C=∠BDC=∠ABC；
△ABC,
△ABD,
△BCD.
A
B
C
D
x
⌒
2x
⌒
2x
⌒
⌒
2x
（3）观察∠BDC 与∠A、∠ABD的关系，∠ABC、∠C 呢？
∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2 ∠A=2 ∠ABD,
∠ABC= ∠BDC=2 ∠A,
∠C= ∠BDC=2 ∠A.
（4）设∠A=x°,请把△ ABC的内角和用含x的式子表示出来.
∵ ∠A+ ∠ABC+ ∠C=180 °，∴ x+2x+2x=180 °.
A
B
C
D
解：∵AB=AC，BD=BC=AD，
∴∠ABC=∠C=∠BDC， ∠A=∠ABD.
设∠A=x,则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x,
从而∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x,
于是在△ABC中，有
∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180 ° ，
解得x=36 ° ，在△ABC中， ∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.
x
⌒
2x
⌒
2x
⌒
⌒
2x
例2 已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC.
(1)如图①，若AD＝AE，求证：BD＝CE；
(2)如图②，若BD＝CE，F为DE的中点，求证：AF⊥BC.
图②
图①
证明：
（1）如图①，过A作AG⊥BC于G.
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴BG＝CG，DG＝EG，
∴BG－DG＝CG－EG，
∴BD＝CE；
（2）∵BD＝CE，F为DE的中点，
∴BD＋DF＝CE＋EF，
∴BF＝CF.
∵AB＝AC，∴AF⊥BC.
图②
图①
G
总结：在等腰三角形有关计算或证明中，有时需要添加辅助线，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线．
随堂训练
1、等腰三角形的一个内角是50°，则这个三角形的底角的大小是(　 )
A．65°或50° B．80°或40°
C．65°或80° D．50°或80°
A
2、如图，在△ABC中，AB=AC，过点A作AD∥BC，
若∠1=70°，则∠BAC的大小为（ ）
A．40° B．30° C．70° D．50°
A
3、（1）等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为 ；
（2）等腰三角形一个角为36°,它的另外两个角为 ；
（3）等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为 .
75°, 30°
72°,72°或36°,108°
30°，30°
4、在△ABC中， AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交得的锐角
为50°，则底角的大小为_________．
A
B
C
A
B
C
70°或20°
注意：当题目未给定三角形的形状时，一般需分锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论.
5、如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数.
解： ∵AB=AD=DC，
∴ ∠B= ∠ADB，∠C= ∠DAC.
设 ∠C=x，则 ∠DAC=x，
∠B= ∠ADB= ∠C+ ∠DAC=2x，
在△ABC中， 根据三角形内角和定理，
得2x+x+26°+ x=180°，
解得x=38.5°.
∴ ∠C= x=38.5°， ∠B=2x=77°.
6、如图，已知△ABC为等腰三角形，BD、CE为底角的平分线，且∠DBC＝∠F，求证：EC∥DF.
∴∠DBC＝∠ECB.
∵∠DBC＝∠F，∴∠ECB＝∠F，
∴EC∥DF.
证明：∵△ABC为等腰三角形，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB.
又∵BD、CE为底角的平分线，
∴
课堂小结
等腰三角形的性质
等边对等角
三线合一
注意是指同一个三角形中
注意是指顶角的平分线,底边上的高和中线才有这一性质.而腰上高和中线与底角的平分线不具有这一性质.
谢谢
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