2020年秋苏科版九年级数学上册第一章《一元二次方程》单元培优测试卷（Word版，含解析）

2020年秋苏科版九年级数学上册第一章一元二次方程单元培优测试卷
一、选择题（共10题；共30分）
1.下列方程中是关于x的一元二次方程的是（???
）
A.?B.ax2＋bx＋c＝0?C.（x－1）（x＋
2）＝1???D.3x2－2xy－5y2＝0
2.用配方法解一元二次方程x2-8x+11=0，此方程可化为(???
)
A.(x-4)2=5????B.(x+4)?=5?????C.(x-4)?=27?????D.(x+4)?=27
3.一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的根的情况为（??
）
A.有两个相等的实数根?B.有两个不相等的实数根?C.只有一个实数根???D.没有实数根
4.已知一元二次方程x2﹣4x+m＝0有一个根为2，则另一根为（??
）
A.﹣4?
B.﹣2???C.4????D.2
5.从正方形铁片，截去2cm宽的一条长方形，余下的矩形的面积是
，则原来的正方形铁片的面积是（
）
A.?????B.?????C.????D.
6.三角形的两边长分别为3米和6米，第三边的长是方程x2﹣6x+8=0的一个根，则这个三角形的周长为（
??）
A.11????B.12????C.11或
13????D.13
7.如果关于x的一元二次方程
有两个实数根，那么
的取值范围是（???
）
A.????B.
且
??C.
且
??D.
8.菱形ABCD的一条对角线长为6，另一条对角线的长为方程y2﹣2y﹣8＝0的一个根，则菱形ABCD的面积为（?
）
A.10?????B.12????C.10或12????D.24
9.某公司今年1月的营业额为250万元，按计划第1季度的营业额要达到900万元，设该公司2、3月的营业额的月平均增长率为
．根据题意列方程正确的是（???
）
A.?
?B.
C.??D.
10.若m是一元二次方程x2-4x-1=0的一个根，则代数式4m-m?的值为(????
)
A.1??????B.-1????C.2????D.-22
二、填空题（共6题；共24分）
11.若
，则
________．
12.一元二次方程
的解为________．
13.设
，
是方程
的两个实数根，则
的值为________．
14.已知关于x的一元二次方程
有一个根为
，则a的值为________．
15.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是21，则每个支干长出________．
16.如图，我国古代数学家得出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若小正方形与大正方形的面积之比为1：13，则直角三角形较短的直角边a与较长的直角边b的比值为________．
三、解答题（共7题；共66分）
17.解方程
（1）
（2）
18.一个两位数的个位数字与十位数字的和为9，并且个位数字与十位数字的平方和为45，求这个两位数。
19.已知方程2x2+3x-4=0的两实数根为x1、x2
，
不解方程求:
（1）x12+x22的值;
（2）(x1-2)(x2-2)
的值
20.已知关于x的方程x2+5x-p2=0，
（1）求证:无论p取何值方程，总有两个不相等的实数根，;
（2）设方程两个实数根为x1、x2
，
当x1+x2=
x1x2时，求p的值
21.如图是一个五边形的空地ABCDE，∠B=∠C=∠D=90°，∠A=135°，已知AB=4m，BC=8m，CD=10m，DE=2m，准备在五边形ABCDE内按如图方式设计一个长方形FGCH铺设木地板，剩下部分铺设地砖．点F、G、H分别在边AE、BC、CD上。
（1）求五边形ABCDE的面积；
（2）若长方形FGCH的面积为35m?，求BG的长。
（3）若铺设木地板的成本为每平方米200元，铺设地砖的成本为每平方米100元，投资7300元能否完成地面铺设？通过计算说明。
22.宾馆有50间房供游客居住，原定价每间房每天190元，当每间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房（物价部门规定，此类宾馆的入住费用不得超过原定价的1．5倍）。如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用。
（1）如果每间房当天的定价比房间住满时的房价增加x元时，宾馆________间房有游客居住（用含x的代数式表示）；
（2）当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为9450元？
23.如图，已知直线
与x轴交于点A，与y轴交于点B，线段
的长是方程
的一个根，
．请解答下列问题：
（1）求点A，B的坐标；
（2）直线
交x轴负半轴于点E，交y轴正半轴于点F，交直线
于点C．若C是
的中点，
，反比例函数
图象的一支经过点C，求k的值；
（3）在（2）的条件下，过点C作
，垂足为D，点M在直线
上，点N在直线
上．坐标平面内是否存在点P，使以D，M，N，P为顶点的四边形是正方形？若存在，请写出点P的个数，并直接写出其中两个点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
一、选择题
1.解：A.含有分式，故不是；
B.没有说明a≠0，则不是；
C.是一元二次方程；
D.含有两个未知数，故不是；
故答案为：C．
2.解：用配方法解一元二次方程x2-8x+11=0
移项：x2-8x=-11
方程两边同时加上x系数绝对值一半的平方：x2-8x+42=-11+42
即：
(x-4)?=5
故答案为：A
3.解：根据题意△＝（﹣2）2﹣4×（﹣1）＝8＞0，
所以方程有两个不相等的实数根.
故答案为：B.
4.解：设方程的另一个根为x1
，
根据题意得：2+x1＝4，
解得：x1＝2.
故答案为：D.
5.解：设正方形的边长是xcm,根据题意得x(x-2)=48,
解得
(舍去),
,
那么原正方形铁片的面积是8×8=64cm?.
故答案为：D.
6.解：∵x2﹣6x+8=0，即（x﹣2）（x﹣4）=0，
∴x﹣2=0或x﹣4=0，
解得：x=2或x=4，
若x=2，则三角形的三边2+3＜6，构不成三角形，舍去；
当x=4时，这个三角形的周长为3+4+6=13，
故答案为：D.
7.解：∵关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有两个实数根，
∴△=（-3）2-4×k×1≥0且k≠0，
解得k≤
且k≠0，
故答案为：C．
8.∵y2﹣2y﹣8＝0，
∴（y+2）（y﹣4）＝0，
∴y+2＝0或y﹣4＝0，
解得：y＝﹣2（舍）或y＝4，
∴菱形ABCD的面积=
×6×4＝12，
故答案为：B．
9.解：根据题意列方程得：
．
故答案为：D．
10.解：由意义得：
m2-4m-1=0,
∴m2-4m=1，
∴
4m-m?
=-1.
故答案为：B.
二、填空题
11.解：
∴
或
又∵
，
∴
12.
当x－2=0时,x=2,
当x－2≠0时,4x=1,x=
,
故答案为:x=
或x=2．
13.解：由方程
可知
，
．
故答案为：
14.
代入方程得：
解得：
∵
是关于
的一元二次方程
∴
∴
故答案为-1
15.解：设每个支干长出x个小支干，
根据题意得：1+x+x2＝21，
解得：x1＝﹣5（舍去），x2＝4．
故答案为：4个小支干．
16.∵小正方形与大正方形的面积之比为1：13，
∴设大正方形的面积是13，
∴c2=13，
∴a2+b2=c2=13，
∵直角三角形的面积是
=3，
又∵直角三角形的面积是
ab=3，
∴ab=6，
∴（a+b）2=a2+b2+2ab=c2+2ab=13+2×6=13+12=25，
∴a+b=5．
则a、b是方程x2﹣5x+6=0的两个根，
故b=3，a=2，
∴
．
故答案是：2:3．
三、解答题
17.
（1）解：移项得
两边直接开平方得
，
（2）解：移项得
提取公因式得
即
∴
或
解得
，
18.
解：设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为（9-x）,根据题意得
x2+（9-x）2=45
解之：x1=3，x2=6.
当x=3时9-x=6；
当x=6时9-x=3.
∴这个两位数为63或36.
19.
（1）解：根据题意得
（2）解：由（1）可知
所以：
20.
（1）证明:
因为无论p取何值时,总有p2≥0，
所以，25+
p2>0,
所以无论p取何值方程，总有两个不相等的实数根，
（2）解：由题意得，x1+x2＝-5
，
x1x2＝-
p2
因为，x1+x2=
x1x2
，
所以，-5＝-
p2
所以，
.
21.
（1）解：如图，过E、A分别作EM⊥BC于M，作AN⊥EM于N，
则∠EAN=∠AEN=45°，
∴AN=EN，
∵MN=AB，EM=CD，
∴EN=EM-MN=DC-AB=10-4=6(m)，
∴AN=6(m)，
∴S五边形ABCDE=S梯形ABME+S长方形EMCD=
?(4+10)×6+2×10=62(m2)
（2）解：设BG=xm，则FG=(4+x)m，CG=(8-x)m，
根据题意，得(4+x)(8-x)=35，
解得：x1=1，x2=3
∴BG的长为1m或3m
（3）解：设BG=ym，
由题意，得200×(4+y)(8-y)+100×[62-(4+y)(8-y)]=7300，
化简，得y2-4y-21=0，
解得：y1=7，y2=-3均不合题意，
∴投资7300元不能完成地面铺设
22.
（1）50-
（2）解：根据题意，得：（180+x-20）（50-
）=9450
整理得x?-340x+14500=0，解得x1=50，x2=290（2分）（x2不符合题意，舍去），
∴房价定为230元
答：当房价定为230元时，宾馆当天的利润为9450元。
（1）根据题意，
当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房
，即为空闲的房间，总的房间为50，则为旅客居住房间。
故答案为：.
23.
（1）解：∵线段
的长是方程
的一个根，
解得：x=9或-2（舍），而点A在x轴正半轴，
∴A（9，0），
∵
，
∴B（0，
）；
（2）解：∵
，
∴E（-6，0），
设直线AB的表达式为y=kx+b，将A和B代入，
得：
，解得：
，
∴AB的表达式为：
，
∵点C是EF的中点，
∴点C的横坐标为-3，代入AB中，y=6，
则C（-3，6），
∵反比例函数
经过点C，
则k=-3×6=-18；
（3）解：存在点P，使以D，M，N，P为顶点的四边形是正方形，
如图，共有5种情况，
在四边形DM1P1N1中，
M1和点A重合，
∴M1（9，0），
此时P1（9，12）；
在四边形DP3BN3中，点B和M重合，
可知M在直线y=x+3上，
联立：
，
解得：
，
∴M（1，4），
∴P3（1，0），
同理可得：P2（9，-12），P4（-7，4），P5（-15，0）.
故存在点P使以D，M，N，P为顶点的四边形是正方形，
点P的坐标为P1（9，12），P2（9，-12），P3（1，0），P4（-7，4），P5（-15，0）.