用待定系数法求圆锥曲线的方程
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用待定系数法求圆锥曲线的方程
当已经知道要求的是某种圆锥曲线的方程时，常根据此种方程的标准形式，用待定系数法求出该方程．
一、待定系数法的基本步骤
1．明确所求方程的形式；
2．把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；
3．解所得的方程或方程组求出未知系数；
4．把求出的系数代入已明确的方程形式，得到所求圆锥曲线的方程．
得 2x2－2x－(3a2＋1)＝0，
解得 a2＝1，可知b2＝3．
＝0上的圆M在此双曲线的一条准线上截得的线段长是在另一条准线上截得线段长的2倍，求圆M的方程．
解 先求得已知双曲线的准线方程为x＝0和x＝－6，设圆心M(m，n)，由已知及圆半径、弦心距与半弦长的关系得
∴ 所求圆方程为(x＋2)2＋(y－5)2＝20，或(x＋4)2＋(y－1)2＝20．
说明 (1)所设出的含未知系数的圆锥曲线方程可以参与变形及运算，以便得到含未知系数的方程或方程组(如例1)；也可以先求出未知系数再代入圆锥曲线标准形式方程(如例2)．(2)圆是特殊的圆锥曲线，关于圆的问题要注意应用圆特有的几何性质，如上面两例中写出截得线段长的方法是不同的．
二、应用待定系数法要注意的几个问题
1．只要能予先确定所求曲线方程的形式，非标准方程也可以用于待定系数．在例3的两种解法中，分别用中心不在原点、对称轴平行坐标轴的椭圆方程和用焦点准线定义求得的椭圆方程两种不同形式来待定系数．
解法一 如图1，由已知条件得F应在线段OC上，而不会有C在OF上，因此A点只
∴ 可得方程组
解法二
∵ 椭圆C上任一点到F距离与到y轴距离之比等于其离心率e，
说明 “数形结合”的思想方法贯穿于解析几何的整个学习过程之中，象本例这样认真研究图形的几何特征是分析问题的重要手段之一．
2．力求简化待定系数的过程．为此，我们常采取如下措施：(1)恰当建立坐标系，合理选定待定的未知系数(选元)；(2)尽量用待定的未知系数表示其他相关的未知量；(3)用解析几何的知识去认识和描述问题的几何条件或图形的几何特征，使其易于向代数形式转化．
解 由已知，C为以N为焦点、l2为准线的抛物线的一部分，因此，以MN的中点O为原点、l1为x轴建立坐标系如图2，设N(a，0)(a＞0)则C所在抛物线方程可设为y2＝4ax．(这里以N点横坐标为待定的未知量是为了简化运算)．
作AD⊥l2于D，AE⊥l1于E，由抛物线定义知｜AD｜＝｜AN｜＝3，可
∵ A在抛物线y2＝4ax上，
∴ xA＝3－a＝2，同理xB＝6－a＝4．
∴ 曲线段C的方程为y2＝8x(y＞0，1≤x≤4)．
说明 (1)解题中若感到用待定的未知系数表示相关量有困难，也可以允许相关量以未知数形式参与列式.此时常需列出方程组，同时解出待定的未知系数及相关量.如本例中点A的坐标可以不用未知系数表示而直接参与列式，略解如下：
设所求抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，A点坐标为(xA，yA)，其中yA＞0，故
由已知得方程组
∴ 曲线段C所在抛物线方程为y2＝8x(对x范围的确定同前一种解法．)
(3)同时待定两个相关方程中未知系数的问题．这类问题增加了待定系数法的难度，提高了对学生分析、解决问题能力的要求．但是解题的基本思路仍是深入研究两曲线间位置关系的几何特征，并把它转化为含两曲线方程未知系数的方程组．
∵ C，D是AB的三等分点，
∴ B(2m，－n)，A(－m，2n)．
依题意得
解得 n2＝1，m2＝2，a2＝10，b2＝5．
∴ 所求直线l的方程为
当已经知道要求的是某种圆锥曲线的方程时，常根据此种方程的标准形式，用待定系数法求出该方程．
一、待定系数法的基本步骤
1．明确所求方程的形式；
2．把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；
3．解所得的方程或方程组求出未知系数；
4．把求出的系数代入已明确的方程形式，得到所求圆锥曲线的方程．
得 2x2－2x－(3a2＋1)＝0，
解得 a2＝1，可知b2＝3．
＝0上的圆M在此双曲线的一条准线上截得的线段长是在另一条准线上截得线段长的2倍，求圆M的方程．
解 先求得已知双曲线的准线方程为x＝0和x＝－6，设圆心M(m，n)，由已知及圆半径、弦心距与半弦长的关系得
∴ 所求圆方程为(x＋2)2＋(y－5)2＝20，或(x＋4)2＋(y－1)2＝20．
说明 (1)所设出的含未知系数的圆锥曲线方程可以参与变形及运算，以便得到含未知系数的方程或方程组(如例1)；也可以先求出未知系数再代入圆锥曲线标准形式方程(如例2)．(2)圆是特殊的圆锥曲线，关于圆的问题要注意应用圆特有的几何性质，如上面两例中写出截得线段长的方法是不同的．
二、应用待定系数法要注意的几个问题
1．只要能予先确定所求曲线方程的形式，非标准方程也可以用于待定系数．在例3的两种解法中，分别用中心不在原点、对称轴平行坐标轴的椭圆方程和用焦点准线定义求得的椭圆方程两种不同形式来待定系数．
解法一 如图1，由已知条件得F应在线段OC上，而不会有C在OF上，因此A点只
∴ 可得方程组
解法二
∵ 椭圆C上任一点到F距离与到y轴距离之比等于其离心率e，
说明 “数形结合”的思想方法贯穿于解析几何的整个学习过程之中，象本例这样认真研究图形的几何特征是分析问题的重要手段之一．
2．力求简化待定系数的过程．为此，我们常采取如下措施：(1)恰当建立坐标系，合理选定待定的未知系数(选元)；(2)尽量用待定的未知系数表示其他相关的未知量；(3)用解析几何的知识去认识和描述问题的几何条件或图形的几何特征，使其易于向代数形式转化．
解 由已知，C为以N为焦点、l2为准线的抛物线的一部分，因此，以MN的中点O为原点、l1为x轴建立坐标系如图2，设N(a，0)(a＞0)则C所在抛物线方程可设为y2＝4ax．(这里以N点横坐标为待定的未知量是为了简化运算)．
作AD⊥l2于D，AE⊥l1于E，由抛物线定义知｜AD｜＝｜AN｜＝3，可
∵ A在抛物线y2＝4ax上，
∴ xA＝3－a＝2，同理xB＝6－a＝4．
∴ 曲线段C的方程为y2＝8x(y＞0，1≤x≤4)．
说明 (1)解题中若感到用待定的未知系数表示相关量有困难，也可以允许相关量以未知数形式参与列式.此时常需列出方程组，同时解出待定的未知系数及相关量.如本例中点A的坐标可以不用未知系数表示而直接参与列式，略解如下：
设所求抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，A点坐标为(xA，yA)，其中yA＞0，故
由已知得方程组
∴ 曲线段C所在抛物线方程为y2＝8x(对x范围的确定同前一种解法．)
(3)同时待定两个相关方程中未知系数的问题．这类问题增加了待定系数法的难度，提高了对学生分析、解决问题能力的要求．但是解题的基本思路仍是深入研究两曲线间位置关系的几何特征，并把它转化为含两曲线方程未知系数的方程组．
∵ C，D是AB的三等分点，
∴ B(2m，－n)，A(－m，2n)．
依题意得
解得 n2＝1，m2＝2，a2＝10，b2＝5．
∴ 所求直线l的方程为