递推数列求通项公式的常用类型

递推数列求通项公式的常用类型
递推数列求通项公式是高考的常见题型，现将递推数列通项公式的一些常用类型进行归类并给出解题的基本思路，以供参考。
类型1 形如的递推式
基本思路：利用迭代累加法，将，
，
…
，逐次迭代累加，得：。
例1、已知数列满足，求数列的通项公式。
解:把两边同除以得,
令,则,且.
从而,所以.
类型2 形如的递推式
基本思路：利用迭代累加法，将，
，
…
，逐次迭代累加，得：。
例2、已知数列前项和为,且，求数列的通项公式。
分析:利用公式,把已知条件中的消去.
解:因为.
从而.故,所以.
类型3 形如的递推式
基本思路：可用待定系数法,设,与已知式子相比较得,从而数列成等比数列,易得.
例3、已知数列满足，求数列的通项公式。
解:因为,得且.
所以.从而得.
例4、数列中,设，求数列的通项公式。
分析:看见这种等式,一般采用把等式两边同时取对数的方法进行转化.
解:因为,所以,
令,有,则,所以.
从而.故.
类型4 形如的递推式
基本思路：将两边同除以,得,令,则,由此仿照类型1可求出,从而求出.
例5、数列前项和为,且，求数列的通项公式。
解:求时,由,①,有,②.
－②，得，即．
两边同除以得,令,则,,
从而.
故也适合.
类型5 形如的递推式
基本思路：设辅助数列将使,则,
即.令,则转化为类型1的递推式,可求出,从而求出.
例6、已知数列满足，求数列的通项公式。
解:由得,①.
令,则有,
取,得.
由①式有,即.
令,则.
从而.故.
类型6 形如的递推式
基本思路：(1)当时,则,即,则成等比数列,从而,仿照类型1可求出.
(2)当时,存在实数满足,与已知等式比较,得,
把看作一元二次方程的两根,容易求出.故则成等比数列,可得,仿照类型4可求出.把方程称为递推式的特征方程,其中是特征方程的两个根,则有下列结论:①当时,;②当时,;③当时,,其中是由初始值确定的常数.
例7、(2008广东高考理科)设为实数，是方程的两个实根，数列满足，，（…）．（1）证明：，；（2）求数列的通项公式；（3）若，，求的前项和．
解:(1)略.
(2)解法1:因为.故.
从而.
令，则.
于是,.
故当时,
.
又因为.
故当时, .
故当时,; 当时,.
解法2:由已知可知,该数列是二阶齐次线性递归数列,其特征方程为.是方程的两个实根.则.
当时,则.
由解得:, 所以.
当时,则.
由解得:, 所以.
解法 3: 设，则，由得，
消去，得，是方程的根，由题意可知，
①当时，此时方程组的解记为
即、分别是公比为、的等比数列，
由等比数列性质可得,,
两式相减，得
，，
，
，即，
②当时，即方程有重根，，
即，得，不妨设，由①可知
，，
即，等式两边同时除以，得，即
数列是以1为公差的等差数列，,
综上所述，
（3）把，代入，得，解得
类型7 形如的递推式
基本思路：一般的,设是递推关系的特征方程的两个根.
(1)当时,可令,则为等比数列;
(2) 当时,可令,则为等差数列.
例8、在数列中,, 求数列的通项公式。
解:由于的特征方程的两根为,
所以,两式相除得,.则数列为等比数列.
因为,所以,所以,所以.
例9、在数列中,, 求数列的通项公式。
解:由于的特征方程的两根为,
显然,得,所以.
所以数列是首项为,公差为的等差数列,所以,所以.
类型8 形如的递推式
基本思路：一般的,通过构造新数列,令, 转化为求的一阶递推数列的通项公式, 再用方程求解出的通项公式;或者通过平方,把已知递推式的根号去掉,便于化简变形.
例10、在数列中,, 求数列的通项公式。
解:令,则.
由,可得.
所以,所以,所以.