1.3 三角函数的概念与诱导公式 同步学案

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三角函数的概念与诱导公式学案
一．学习目标
三角函数总体分为三部分的内容，诱导公式（初中部分内容）及和差倍角三角函数公式、三角函数图像的平移、三角函数的应用（解三角形、三角函数的综合题目）。
本专题的难度综合来说难度不高，公式较多，主要针对三角函数公式运用的灵活性进行考察，高考中通常考查对三角的计算和结合图象的考查性质，主要以三角形的方式来呈现，解决三角形中相关边与角的问题。
三角函数与三角恒等变换的考查，涉及选择题与填空题主要考查三角函数的基本概念，三角恒等变换及相关计算，同时也考查三角函数的图象与性质的应用，解答题的主要重点在于性质的应用以及与其他知识点的结合。
二．基础知识梳理
1.任意角：
与终边相同的角的集合：——（终边相同的角不一定相等，但是相等的角其终边一定相同；与已知角终边相同的角有无数个，他们相差360°的整数倍）
为了便于引出三角函数诱导公式的基本结论，对于角的象限先进行说明，具体内容如下所示：
第一象限角：
第二象限角：
第三象限角：
第四象限角：
终边在坐标轴上的角不属于任何一个象限，象限角的主要用途在于确定三角函数的符号，进而引出诱导公式的应用结论。
2.象限角三角函数的符号
三角函数的象限符号如下表所示：（“一全正、二正弦、三两切、四余弦”）
第一象限的角的所有的三角函数值都是正的，第二象限的角正弦是正的，第三象限的正切是正的，第四象限的余弦是正的。
三角函数
正弦
余弦
正切
各象限符号
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
3.特殊角的三角函数值
角α的弧度数
0
sin
α
0
1
0
cos
α
1
0
tan
α
0
1
0
4.三角函数角的转换
高中阶段三角函数的重点在于角的变化，在学习复习的过程中应该注意对于角相关变化的过程注意总结。
同角三角函数的关系：
诱导公式：把的三角函数化为的三角函数，其中可以称之为“诱导角”
组数
一
二
三
四
五
六
角
正弦
余弦
正切
—
—
口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变，符号看象限
规律汇编
奇变偶不变，符号看象限
概括为：“奇变偶不变，符号看象限”，故而该公式称为诱导公式。
“奇”“偶”指的是诱导公式中诱导角的整数是奇数还是偶数。“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k为奇数，则正、余弦互变；若为偶数，则函数名称不变。
③“符号看象限”指的是在诱导角中，将看成锐角时该诱导角所在的象限；进而通过判断该诱导角所在象限的三角函数的符号确定化简之后的符号特征。
5.三角函数和、差、倍角公式：
二倍角公式：；变形：
变形：；
三．典例分析与性质总结
题型1：齐次式子的计算（熟悉整体代换的思想）
三角函数其次式的计算思想的主要原理在于整体思想的应用。在三角函数章节中，整体思想的应用主要体现在如下几个方面：弦切互化、“1”的代换、和积转换。具体如下表所示：
技巧
解读
适合题型
切弦互化
主要利用公式化成正弦、余弦，或者利用公式化成正切
表达式中含有，与
“1”的变换
1====
表达式中需要利用“1”转化
和积转换
利用关系式进行变形、转化
表达式中含有或
例1：已知，求的值。
已知，求的值。
思路引导：
对于正弦、余弦的齐次多项式一定可以化成切函数，分式可以分子分母同除“”的最高次幂，整式可以看成分母为“1”，然后用代换“1”，变成分式后再化简。
题型2：已知一个角的三角函数值，求其它的三角函数值
本类题目的解题思路在于同角三角函数公式体系的熟练引用；比如已知，如何求得或；
在具体额解题过程中，如果存在开方的运算，应首先确定符号；而确定符号的前提在于角的象限的确定。
例2：若角的终边落在射线（）上，则的值为？
思路导引：
本题解题的关键在于确定角的象限，进而通过明确三角函数值的符号去掉绝对值。
题型3：三角“三剑客”
由于，，我们称
、、为三角“三剑客”。
同角三角函数关系式的方程思想
对于、、这三个式子，知一可求二，转化公式为，体现了方程思想的应用。
例3：如果，并且，求的值。
题型4：诱导公式的应用
在利用诱导公式进行三角函数的化简求值时，通常采用下述原则标准顺序进行分析求解：
“负化正、大化小、化到锐角为最好！”
负化正——对于题目中出现的负角，可以先将其应用诱导公式转化为正角的状态、、；
大化小——对于题目中出现的较大的角，可以先将其通过的倍数进行角度的放缩
、、；（原理：终边相同角的三角函数值相等）
化成锐角为最好——当通过上述两个步骤原则将题目中的角度转化为之内的角后，在应用诱导公式转化为锐角的状态；
例4：①设，其中，求
②化简：
题型4：和差公式的应用
三角函数和差公式的应用常见于公式的逆用，考虑到其模型与平面向量的数量积公式模式很相像，因此，三角函数的和差公式常常与平面向量的数量积结合。
例5：
四．变式演练与提高
1.已知，求的值。
2．若、是方程的两根，则的值为(　　)
A．
B．
C．
D．
3.已知，求的值．
4.化简
五．反思总结
(1)同角并不拘泥于角的形式，如、都成立，但是
就不一定成立。
（2）对于含有、的齐次式，可根据同角三角函数商的关系，通过除以某一齐次项，转化为只含有正切的式子，即化弦为切，整体代入。
(3)已知角求值问题，关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解．转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用；
(4)对给定的式子进行化简或求值时，要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化．特别要注意每一个角所在的象限，防止符号及三角函数名出错。
[课程内容总结]
同角三角函数专题总结
①利用求解三角函数的思路：
已知或者，可通过，求解或者，然后利用
求解。
已知时，可以通过构造直角三角形，利用三角函数的定义求解或者的绝对值，然后根据角的范围求解最终结果。
②的模型求解
i联立方程组
联立方程组
代入消元可避免分数运算。
ii构造对偶式
构造关于的对偶式，。两个式子平方后求和，求得；
，即可构造出二元一次方程组。
iii弦化切：
，两边平方，得
，解方程求解
六．课后作业
1.在中，若，，则(　　)
A.
B.
C.
D.
2.已知，则（）
A.
B.
C.
D.
3.已知关于的方程的两根分别是、，，求：
(1)的值；
(2)的值；
(3)方程的两根及此时的值．
4.已知，，那么的值为________．
七．参考答案
例1：解析：
例2：解析：
注意到角的终边在第四象限。所以、
例3：解析：
由，两边平方得，，由于，因此，，与方程联立可得，所以。
例4：解析：
①经化简得，
所以
②
点评　熟练运用诱导公式和基本关系式，并确定相应三角函数值的符号是解题的关键；
例5：解析：
原式=
四．变式演练与提高
1.解析：
由于，
2.解析：
由题意知，，；故而；解得，
又，∴或，∴。
在应用韦达定理解题过程中，应注意判别式的限定作用。
3.解析：
由于，题目所求是的值，也就是的值；此即是与
的相互转化。
4.解析：
六．课后作业
1.解析：
在中，，，从而，，
所以
2.解析：
3.解析：
(1)原式＝
==
(2)由已知，得，，
又，可得.
(3)由（2）知，或
又，故或。
4.解析：
因为，，将两等式的两边分别平方，得到、
两式相加，得，所以
解析总结：通过观察本题中已知条件的两个式子，对应角正余弦的系数相等，故而可以通过平方的形式将达到减少角度或三角函数的目的。
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精品试卷·第
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