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第三单元
概率的进一步认识
（基础卷）北师大版
考试时间：120分钟
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．（2020·全国初三单元测试）如图，在3×3的方格中，A，B，C，D，E，F分别位于格点上，从C，D，E，F四点中任意取一点，与点A，B为顶点作三角形，则所作三角形为等腰三角形的概率是（?
）
A．1
B．?
C．?
D．
【答案】D
【分析】根据从C、D、E、F四个点中任意取一点，一共有4种可能，选取D、C、F时，所作三角形是等腰三角形，即可得出答案．
【解析】解：根据从C、D、E、F四个点中任意取一点，一共有4种可能，选取D、C、F时，所作三角形是等腰三角形，
故P（所作三角形是等腰三角形）=．故选：D．
【点睛】本题考查概率公式和等腰三角形的判定，解题关键是熟记随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数的商．
2、已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为，下列说法错误的是
A．连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上
B．连续抛一枚均匀硬币10次都可能正面朝上
C．大量反复抛一枚均匀硬币，平均每100次出现正面朝上50次
D．通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的
【答案】A
【分析】根据概率的意义，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生．
【解析】A.连续抛一均匀硬币2次必有1次正面朝上，不正确，有可能两次都正面朝上，也可能都反面朝上，故此选项错误；
B.连续抛一均匀硬币10次都可能正面朝上，是一个有机事件，有可能发生，故此选项正确；
C.大量反复抛一均匀硬币，平均100次出现正面朝上50次，也有可能发生，故此选项正确；
D.通过抛一均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的，概率均为，故此选项正确．故选A．
【点睛】本题考查了概率的意义，解题的关键是弄清随机事件和必然事件的概念的区别．
3．（2020·巢湖市巢扬学校初三单元测试）在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为①，②，③，④，随机地摸出一个小球，记录后放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号相同的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
画树状图得：
∵共有16种等可能的结果，两次摸出的小球的标号相同的有4种情况，
∴两次摸出的小球的标号相同的概率是：．
【考点】两步事件放回；用树状图或列举法求概率.
4、小明和同学做“抛掷质地均匀的硬币试验”获得的数据如下表
抛掷次数
100
200
300
400
500
正面朝上的频数
53
98
156
202
249
若抛掷硬币的次数为1000，则“正面朝上”的频数最接近（
）
A．200
B．300
C．400
D．500
【答案】D
【分析】随着实验次数的增加，正面向上的频率逐渐稳定到某个常数附近，据此求解即可．
【解析】观察表格发现：随着实验次数的增加，正面朝上的频率逐渐稳定到0.5附近，
所以抛掷硬币的次数为1000，则“正面朝上”的频数最接近1000×0.5=500次，故选：D．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中频率可以估计概率，难度不大．
5、某路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率是
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】∵每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，
∴当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率P==，故选D．
【点睛】本题考查了概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．
6、如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF、GH过点O，且点E、H在边AB上，点G、F在边CD上，向平行四边形ABCD内部投掷飞镖（每次均落在平行四边形ABCD内，且落在平行四边形ABCD内任何一点的机会均等）恰好落在阴影区域的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C．
【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∴△OEH和△OFG关于点O中心对称，
∴S△OEH=S△OFG，∴S阴影部分=S△AOB=S平行四边形ABCD，
∴飞镖（每次均落在?ABCD内，且落在?ABCD内任何一点的机会均等）恰好落在阴影区域的概率==．故选C．
【考点】1．几何概率；2．平行四边形的性质．
7．（2018·全国初三单元测试）某中学初三年级四个班，四个数学老师分别任教不同的班．期末考试时，学校安排统一监考，要求同年级数学老师交换监考，那么安排初三年级数学考试时可选择的监考方案有（ ）种．
A．8
B．9
C．10
D．12
【答案】B
【分析】可分4个位置，对于每个位置做出可能的判断，列出树状图即可．
【解析】设4个班级分别为A、B、C、D，相对应的4个老师分别为a，b，c，d，画树状图为：
由图中可以看出，共有9种情况．故选B．
【点睛】本题考查了用列树状图的方法解决问题，注意应去掉本班教师监考本班学生的排法.
8、下列说法正确的是(
)
A．“购买张彩票就中奖”是不可能事件
B．“概率为的事件”是不可能事件
C．“任意画一个六边形,它的内角和等于”是必然事件
D．从中任取个不同的数,分别记为和,那么的概率是
【答案】D
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件以及画出树状图求概率即可解答．
【解析】A.
“购买张彩票就中奖”是随机事件，故选项A不满足题意；
B.
“概率为的事件”是随机事件，故选项B不满足题意；
C.
任意画一个六边形,它的内角和等于720°，则任意画一个六边形的内角和等于是不可能事件，故选项C不满足题意；
D.根据题意画出树状图如下：
∴共有12种等可能的结果，任取两个不同的数，a2+b2>19的有4种结果
∴a2+b2
>
19的概率是，故选项D满足题意．
【点睛】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件以及画出树状图求概率，画出树状图求概率既是解答本题的关键，也是解答本题的难点．
9、将一枚质地均匀的骰子连续投掷两次，记投掷两次的正面数字之和为，则下面关于事件发生的概率说法错误的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】用列表法或树状图法求出相应事件发生的概率，再进行判断即可．
【解析】投掷质地均匀的骰子两次，正面数字之和所有可能出现的结果如下：
共有36种结果，其中和为5的有4种，和为9的有4种，和为6的有5种，和为8的有5种，和小于7的有15种，
∴，因此选项A不符合题意；
，因此选项B符合题意；，因此选项C不符合题意；
，因此选项D不符合题意；故选：B．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，使用此方法一定要注意每一种结果出现的可能性是均等的，即为等可能事件．
10．（2020·河南全国初三单元测试）从－3，1，－2这三个数中，任选两个数的积作为k的值，则使正比例函数y＝kx的图象经过第二、四象限的概率是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据题意画树状图为：
共有6种可能的情况，而正比例函数的图像经过二、四象限的条件是k＜0，因此符合的有4种可能，因此符合条件的概率为：.故选D.
点睛：此题主要考查了树状图或列表法求概率，解题时根据抽取两数求积k的值，然后根据正比例函数图像经过的象限判断出k的范围，然后求符合条件的概率即可.
11、某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下的表格，则符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
实验次数
100
200
300
500
800
1000
2000
频率
0.365
0.328
0.330
0.334
0.336
0.332
0.333
A．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
B．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
C．抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5
D．抛一枚硬币，出现反面的概率
【答案】B
【分析】根据利用频率估计概率得到实验的概率在0.33左右，再分别计算出四个选项中的概率，然后进行判断．
【解析】A、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为,不符合题意；
B、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率是，符合题意；
C、抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5的概率为，不符合题意；
D、抛一枚硬币，出现反面的概率为，不符合题意，故选B．
【考点】利用频率估计概率
【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
12、我国魏晋时期的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图，若，，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域内的概率（
）.
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设小正方形的边长为x，根据已知条件得到AB＝2+3＝5，
根据勾股定理列方程求得x＝1，x＝﹣6（不合题意舍去），根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解析】设小正方形的边长为x，∵a＝2，b＝3，∴AB＝2+3＝5，
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，即（2+x）2+（x+3）2＝52，解得：x＝1，x＝﹣6（不合题意舍去），
∴S△ABC＝×3×4＝6，S阴影＝×3×1×2＝3，
∴针尖落在阴影域内的概率＝，故答案为：B
【考点】1．几何概率；2．勾股定理．
二、填空题（每小题4分，共24分）
13、汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝.如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，它们的两直角边之比均为，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为
.
【答案】
【分析】针尖落在阴影区域的概率就是四个直角三角形的面积之和与大正方形面积的比．
【解析】设两直角边分别是2x，3x，则斜边即大正方形的边长为x，小正方形边长为x，
所以S大正方形=13x2，S小正方形=x2，S阴影=12x2，
则针尖落在阴影区域的概率为=．故答案为：．
【点评】此题主要考查了几何概率问题，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．
14、某校在甲、乙两名同学中选拔一人参加襄阳广播电台举办“国学风，少年颂”襄阳首届少年儿童经典诵读大赛.在相同的测试条件下，两人3次测试成绩（单位：分）如下：
甲：79，86，82；乙：88，79，90．
从甲、乙两人3次的成绩中各随机抽取一次成绩进行分析，求抽到的两个人的成绩都大于80分的概率是_______.
【答案】
【解析】根据题意可知可抽到的结果为：79,88；79，79；79,90；86,88；86,79；86,90；82,88；82,79；82,90；共9种可能，
符合都大于80的可能为4中，所以抽到两个人的成绩都大于80的概率为.
【点睛】此题主要考查了概率的求法，解题关键是根据列举或列树状图的方法得到所有出现的可能，从中确定符合条件的可能，然后根据概率的求法求解即可.
15．（2019·深圳市光明区实验学校初三月考）一个口袋中有黑球10个，白球若干个．小明从袋中随机摸出一球，记下颜色，再把它放回，搅均匀后重复上述过程，一共摸了200次，发现共有黑球5个，由此能估计出袋中的白球数目是_________．
【答案】390
【分析】先求出从袋中随机摸出一球是黑球的概率，再设袋中的白球数目是x，然后利用概率公式建立方程，求解即可得．
【解析】由题意得：从袋中随机摸出一球是黑球的概率为
设袋中的白球数目是x;
则
解得
经检验，是所列分式方程的解;
即袋中的白球数目是390;
故答案为：390．
【点睛】本题考查了简单事件的概率公式、分式方程的应用等知识点，依据题意，正确得出从袋中随机摸出一球是黑球的概率是解题关键．
16．（2020·宁夏中考真题）有三张大小、形状完全相同的卡片．卡片上分别写有数字4、5、6，从这三张卡片中随机先后不放回地抽取两张，则两次抽出数字之和为奇数的概率是_____．
【答案】
【分析】列表得出所有情况，看取出的两张卡片上的数字之和为奇数的情况数占所有情况数的多少即可．
【解析】列表得：
4
5
6
4
9
10
5
9
11
6
10
11
共有6种情况，取出的两张卡片上的数字之和为奇数的情况数为4种，
所以概率为．故答案为：．
【点睛】考查用列树状图的方法解决概率问题；得到取出的两张卡片上的数字之和为奇数的情况数是解决本题的关键；用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
17．（2020·内蒙古中考真题）一个不透明的盒子里放置三张完全相同的卡片，分别标有数字1，2，3．随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第二张卡片上的数字大于第一张卡片上的数字的概率为_____．
【答案】
【分析】根据题意可得基本事件总3×3=9，然后再确定抽得的第二张卡片上的数字大于第一张卡片上的数字的事件数，最后由概率公式计算即可．
【解析】解：分别从标有数字1、2、3的3张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件总数3×3=9，抽得的第二张卡片上的数字大于第一张卡片上的数字的情况有（1，2）、（1，3）和（2，3）3种情况
则抽得的第二张卡片上的数字大于第一张卡片上的数字的概率为：
．故答案为．
【点睛】本题考查运用列举法求概率，运用列举法确定所有情况数和所需情况数是解本题的关键．
18、经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，则三辆汽车经过这个十字路口时，至少有两辆车向左转的概率为_______．
【答案】
【分析】运用树状图法确定所有情况数和符合题意情况数，然后用概率公式解答即可．.
【解析】如图：三辆车经过十字路口的情况有27种，至少有两辆车向左转的情况数为7种，
所以概率为：．故答案为．
【点睛】本题考查的是运用树状图求概率的公式，运用树状图法确定所有情况数和符合题意情况数是解答本题的关键．
三、解答题（共40分）
19．（20207·杭州市第十五中学初三一模）我校对全部900名学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式进行调查，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
(1)接受问卷调查的学生共有____人，条形统计图中“了解”部分所对应的人数是____人；
(2)
扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为_______°；
(3)若没有达到“了解”或“基本了解”的同学必须重新接受安全教育．请根据上述调查结果估计我校学生中必须重新接受安全教育的总人数大约为________人；
(4)若从对校园安全知识达到“了解”程度的3个女生和2个男生中随机抽取2人参加校安全知识竞赛，请直接写出恰好抽到1个男生和1个女生的概率．
【答案】)60，
5
90
600
P＝
【解析】（1）由统计图可知，了解很少的人数共有30人，占总人数的50%，
∴接受问卷调查的学生
（名）；
基本了解和不了解共有25人，∴了解的人数为：60-30-25=5人；
（2）∵，
∴“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为90°；
（3）由统计图可知不了解和了解很少的人数占接受调查问卷学生数
的比例为：，
∴必须重新接受安全教育的总人数
大约为：人；
如图：
∵共有20种可能的结果，恰好抽到1个男生和1个女生的有12种情况，
∴恰好抽到1个男生和1个女生的概率为：．
【点睛】本题考查了用树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图的知识．
20．（2020·内蒙古包头初三二模）2019年6月5日是“世界环境日”，南宁市某校举行了“绿色家园”演讲比赛，赛后整理参赛同学的成绩，制作成直方图（如图）．
（1）分数段在-----范围的人数最多；
（2）全校共有多少人参加比赛？
（3）学校决定选派本次比赛成绩最好的3人参加南宁市中学生环保演讲决赛，并为参赛选手准备了红、蓝、白颜色的上衣各1件和2条白色、1条蓝色的裤子．请用“列表法”或“树形图法”表示上衣和裤子搭配的所有可能出现的结果，并求出上衣和能搭配成同一种颜色的概率．
【答案】（1）85～90（2）24人（3）1/3
分析:（1）由条形图可直接得出人数最多的分数段；
（2）把各小组人数相加，得出全校参加比赛的人数；
（3）利用“树形图法”，画出搭配方案，由此可求上衣和裤子能搭配成同一种颜色的概率
【解析】解：（1）由条形图可知，分数段在85～90范围的人数最多为10人，
故答案为85～90；
（2）全校参加比赛的人数=5+10+6+3=24人；
（3）上衣和裤子搭配的所有可能出现的结果如图所示，
共有9总搭配方案，其中，上衣和裤子能搭配成同一种颜色的有3种，
上衣和裤子能搭配成同一种颜色的概率为：
21．（2020·湖南岳阳中考真题）我市某学校落实立德树人根本任务，构建“五育并举”教育体系，开设了“厨艺、园艺、电工、木工、编织”五大类劳动课程．为了解七年级学生对每类课程的选择情况，随机抽取了七年级若干名学生进行调查（每人只选一类最喜欢的课程），将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
（1）本次随机调查的学生人数为
人；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校七年级共有800名学生，请估计该校七年级学生选择“厨艺”劳动课程的人数；
（4）七（1）班计划在“园艺、电工、木工、编织”四大类劳动课程中任选两类参加学校期末展示活动，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“园艺、编织”这两类劳动课程的概率．
【答案】（1）50；（2）见详解；（3）288人；（4）．
【分析】（1）利用园艺的人数除以百分比，即可得到答案；
（2）先求出编织的人数，再补全条形图即可；
（3）利用总人数乘以厨艺所占的百分比，即可得到答案；
（4）列表或树状图将所有等可能的结果列举出来后利用概率公式求解即可．
【解析】解：（1）根据题意，本次随机调查的学生人数为：
（人）；故答案为：50；
（2）选择编织的人数为：（人），
补全条形图如下：
（3）该校七年级学生选择“厨艺”劳动课程的人数为：（人）；
（4）根据题意，“园艺、电工、木工、编织”可分别用字母A，B，C，D表示，则列表如下：
∵共有12种等可能的结果，其中恰好抽到“园艺、编织”类的有2种结果，
∴恰好抽到“园艺、编织”类的概率为：；
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率的知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
22、（8分）钟南山院士在谈到防护新型冠状病毒肺炎时说：“我们需要重视防护，但也不必恐慌，尽量少去人员密集的场所，出门戴口罩，在室内注意通风，勤洗手，多运动，少熬夜．”某社区为了加强社区居民对新型冠状病毒肺炎防护知识的了解，通过微信群宣传新型冠状病毒肺炎的防护知识，并鼓励社区居民在线参与作答《2020年新型冠状病毒防治全国统一考试（全国卷）》试卷（满分100分），社区管理员随机从甲、乙两个小区各抽取20名人员的答卷成绩，并对他们的成绩（单位：分）进行统计、分析，过程如下：
收集数据
甲小区：80
85
90
95
90
95
90
65
75
100
90
70
95
90
80
80
90
95
60
100
乙小区：60
80
95
80
90
65
80
85
85
100
80
95
90
80
90
70
80
90
75
100
整理数据
成绩（分）小区
甲小区
乙小区
分析数据
数据名称计量小区
平均数
中位数[]
众数
甲小区
乙小区
应用数据
（1）填空：=
，
=
；
（2）若乙小区共有1200人参与答卷，请估计乙小区成绩大于90分的人数；
（3）社区管理人员看完统计数据，认为甲小区对新型冠状病毒肺炎防护知识掌握更好，请你写出社区管理人员的理由；为了更好地宣传新型冠状病毒肺炎防护知识，社区管理人员决定从甲、乙小区的4个满分试卷中随机抽取两份试卷对小区居民进行网络宣传讲解培训，请用列表格或画树状图的方法求出甲、乙小区各抽到一份满分试卷的概率．
解：（1）填空：=
82.5
，
=
90
；
（2）（人），乙小区成绩大于90分的人数为240人
（3）因为从试卷得分的平均数，中位数，众数来看都是甲小区的试卷分数大于乙小区的试卷分数
所以甲小区的居民对新型冠状病毒肺炎防护知识掌握更好些。
甲1
甲2
乙1
乙2
甲1
（甲2，甲1）
（乙1，甲1）
（乙2，甲1）
甲2
（甲1，甲2）
（乙1，甲2）
（乙2，甲2）
乙1
（甲1，乙1）
（甲2，乙1）
（乙2，乙1）
乙2
（甲1，乙2）
（甲2，乙2）
（乙1，乙2）
由表可知共有12种等可能情况，其中满足条件的有8种，
所以P（甲、乙小区各抽到一份满分试卷)=或；（用树状图参照给分）
【考点】两步事件放回；用树状图或列表法求概率.
23、（8分）如图所给的A、B、C三个几何体中，按箭头所示的方向为它们的正面，设A、B、C三个几何体的主视图分别是A、B、C；左视图分别是A、B、C；俯视图分别是A3、B3、C3．（1）请你分别写出A、A、A、B、B、B、C、C、C图形的名称；
（2）小刚先将这9个视图分别画在大小、形状完全相同的9张卡片上，并将画有A、A、A的三张卡片放在甲口袋中，画有B、B、B的三张卡片放在乙口袋中，画有C、C、C的三张卡片放在丙口袋中，然后由小亮随机从这三个口袋中分别抽取一张卡片．
①画出树状图，求出小亮随机抽取的三张卡片上的图形名称都相同的概率；
②小亮和小刚做游戏，游戏规则规定：在小亮随机抽取的三张卡片中只有两张卡片上的图形名称相同时，小刚获胜；三张卡片上的图形名称完全不同时，小亮获胜．这个游戏对双方公平吗？为什么？
【答案】(1)见解析；（2）①;②不公平，详见解析.
【分析】（1）通过观察几何体，直接写出它们三种视图的名称则可；
（2）按照题意画出树状图，获胜的概率相同游戏就公平．
【解析】
（1）由已知可得A1、A2是矩形，A3是圆；B1、B2、B3都是矩形；C1是三角形，C2、C3是矩形；
（2）①补全树状图如下：
由树状图可知，共有27种等可能结果，其中三张卡片上的图形名称都相同的结果有12种，
∴三张卡片上的图形名称都相同的概率是；
②游戏对双方不公平．由①可知，三张卡片中只有两张卡片上的图形名称相同的概率是，即P（小刚获胜）=，三张卡片上的图形名称完全不同的概率是，即P（小亮获胜）=，
∵＞，
∴这个游戏对双方不公平．
【点睛】本题比较容易，考查三视图和考查立体图形的三视图和学生的空间想象能力．还考查了通过画树状图求随机事件的概率．用到的知识点为：三视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形；概率=所求情况数与总情况数之比．
24、（8分）体育课上，小明、小强、小华三人在学习训练足球，足球从一人传到另一人就记为踢一次.（1）如果从小强开始踢，经过两次踢后，足球踢到小华处的概率是多少？（用树状图或列表）
（2）如果踢三次后，球踢到了小明处的可能性最小，应从谁开始踢？请说明理由。
【分析】（1）列举出所有情况，看足球踢到了小华处的情况数占所有情况数的多少即可；
（2）可设球从小明处先开始踢，得到3次踢球回到小明处的概率，进而根据树状图可得球从其他2位同学处开始，3次踢球回到小明处的概率，比较可得可能性最小的方案．
【解析】（1）如图：
∴P（足球踢到小华处）=
（2）应从小明开始踢如图：
若从小明开始踢，P（踢到小明处）=
同理，若从小强开始踢，P（踢到小明处）=
若从小华开始踢，P（踢到小明处）=
【点评】考查用列树状图的方法解决概率问题；分类得到3次踢球踢到小明处的情况数是解决本题的难点；用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
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第三单元
概率的进一步认识
（基础卷）北师大版
考试时间：120分钟
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．（2020·全国初三单元测试）如图，在3×3的方格中，A，B，C，D，E，F分别位于格点上，从C，D，E，F四点中任意取一点，与点A，B为顶点作三角形，则所作三角形为等腰三角形的概率是（?
）
A．1
B．?
C．?
D．
2、已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为，下列说法错误的是
A．连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上
B．连续抛一枚均匀硬币10次都可能正面朝上
C．大量反复抛一枚均匀硬币，平均每100次出现正面朝上50次
D．通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的
3、小明和同学做“抛掷质地均匀的硬币试验”获得的数据如下表
抛掷次数
100
200
300
400
500
正面朝上的频数
53
98
156
202
249
若抛掷硬币的次数为1000，则“正面朝上”的频数最接近（
）
A．200
B．300
C．400
D．500
4．（2020·巢湖市巢扬学校初三单元测试）在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为①，②，③，④，随机地摸出一个小球，记录后放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号相同的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
5、某路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率是
A．
B．
C．
D．
6、如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF、GH过点O，且点E、H在边AB上，点G、F在边CD上，向平行四边形ABCD内部投掷飞镖（每次均落在平行四边形ABCD内，且落在平行四边形ABCD内任何一点的机会均等）恰好落在阴影区域的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2018·全国初三单元测试）某中学初三年级四个班，四个数学老师分别任教不同的班．期末考试时，学校安排统一监考，要求同年级数学老师交换监考，那么安排初三年级数学考试时可选择的监考方案有（ ）种．
A．8
B．9
C．10
D．12
8、下列说法正确的是(
)
A．“购买张彩票就中奖”是不可能事件
B．“概率为的事件”是不可能事件
C．“任意画一个六边形,它的内角和等于”是必然事件
D．从中任取个不同的数,分别记为和,那么的概率是
9、将一枚质地均匀的骰子连续投掷两次，记投掷两次的正面数字之和为，则下面关于事件发生的概率说法错误的是（
）
A．
B．
C．
D．
10．（2020·河南全国初三单元测试）从－3，1，－2这三个数中，任选两个数的积作为k的值，则使正比例函数y＝kx的图象经过第二、四象限的概率是(
)
A．
B．
C．
D．
11、某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下的表格，则符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
实验次数
100
200
300
500
800
1000
2000
频率
0.365
0.328
0.330
0.334
0.336
0.332
0.333
A．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
B．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
C．抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5
D．抛一枚硬币，出现反面的概率
12、我国魏晋时期的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图，若，，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域内的概率（
）.
A．
B．
C．
D．
二、填空题（每小题4分，共24分）
13、汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝.如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，它们的两直角边之比均为，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为
.
14、某校在甲、乙两名同学中选拔一人参加襄阳广播电台举办“国学风，少年颂”襄阳首届少年儿童经典诵读大赛.在相同的测试条件下，两人3次测试成绩（单位：分）如下：
甲：79，86，82；乙：88，79，90．
从甲、乙两人3次的成绩中各随机抽取一次成绩进行分析，求抽到的两个人的成绩都大于80分的概率是_______.
15．（2019·深圳市光明区实验学校初三月考）一个口袋中有黑球10个，白球若干个．小明从袋中随机摸出一球，记下颜色，再把它放回，搅均匀后重复上述过程，一共摸了200次，发现共有黑球5个，由此能估计出袋中的白球数目是_________．
16．（2020·宁夏中考真题）有三张大小、形状完全相同的卡片．卡片上分别写有数字4、5、6，从这三张卡片中随机先后不放回地抽取两张，则两次抽出数字之和为奇数的概率是_____．
17．（2020·内蒙古中考真题）一个不透明的盒子里放置三张完全相同的卡片，分别标有数字1，2，3．随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第二张卡片上的数字大于第一张卡片上的数字的概率为_____．
18、经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，则三辆汽车经过这个十字路口时，至少有两辆车向左转的概率为_______．
三、解答题（共40分）
19．（20207·杭州市第十五中学初三一模）我校对全部900名学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式进行调查，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
(1)接受问卷调查的学生共有____人，条形统计图中“了解”部分所对应的人数是____人；
(2)
扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为_______°；
(3)若没有达到“了解”或“基本了解”的同学必须重新接受安全教育．请根据上述调查结果估计我校学生中必须重新接受安全教育的总人数大约为________人；
(4)若从对校园安全知识达到“了解”程度的3个女生和2个男生中随机抽取2人参加校安全知识竞赛，请直接写出恰好抽到1个男生和1个女生的概率．
20．（2020·内蒙古包头初三二模）2019年6月5日是“世界环境日”，南宁市某校举行了“绿色家园”演讲比赛，赛后整理参赛同学的成绩，制作成直方图（如图）．
（1）分数段在-----范围的人数最多；
（2）全校共有多少人参加比赛？
（3）学校决定选派本次比赛成绩最好的3人参加南宁市中学生环保演讲决赛，并为参赛选手准备了红、蓝、白颜色的上衣各1件和2条白色、1条蓝色的裤子．请用“列表法”或“树形图法”表示上衣和裤子搭配的所有可能出现的结果，并求出上衣和能搭配成同一种颜色的概率．
21．（2020·湖南岳阳中考真题）我市某学校落实立德树人根本任务，构建“五育并举”教育体系，开设了“厨艺、园艺、电工、木工、编织”五大类劳动课程．为了解七年级学生对每类课程的选择情况，随机抽取了七年级若干名学生进行调查（每人只选一类最喜欢的课程），将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
（1）本次随机调查的学生人数为
人；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校七年级共有800名学生，请估计该校七年级学生选择“厨艺”劳动课程的人数；
（4）七（1）班计划在“园艺、电工、木工、编织”四大类劳动课程中任选两类参加学校期末展示活动，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“园艺、编织”这两类劳动课程的概率．
22、（8分）钟南山院士在谈到防护新型冠状病毒肺炎时说：“我们需要重视防护，但也不必恐慌，尽量少去人员密集的场所，出门戴口罩，在室内注意通风，勤洗手，多运动，少熬夜．”某社区为了加强社区居民对新型冠状病毒肺炎防护知识的了解，通过微信群宣传新型冠状病毒肺炎的防护知识，并鼓励社区居民在线参与作答《2020年新型冠状病毒防治全国统一考试（全国卷）》试卷（满分100分），社区管理员随机从甲、乙两个小区各抽取20名人员的答卷成绩，并对他们的成绩（单位：分）进行统计、分析，过程如下：
收集数据
甲小区：80
85
90
95
90
95
90
65
75
100
90
70
95
90
80
80
90
95
60
100
乙小区：60
80
95
80
90
65
80
85
85
100
80
95
90
80
90
70
80
90
75
100
整理数据
成绩（分）小区
甲小区
乙小区
分析数据
数据名称计量小区
平均数
中位数[]
众数
甲小区
乙小区
应用数据
（1）填空：=
，
=
；
（2）若乙小区共有1200人参与答卷，请估计乙小区成绩大于90分的人数；
（3）社区管理人员看完统计数据，认为甲小区对新型冠状病毒肺炎防护知识掌握更好，请你写出社区管理人员的理由；为了更好地宣传新型冠状病毒肺炎防护知识，社区管理人员决定从甲、乙小区的4个满分试卷中随机抽取两份试卷对小区居民进行网络宣传讲解培训，请用列表格或画树状图的方法求出甲、乙小区各抽到一份满分试卷的概率．
23、（8分）如图所给的A、B、C三个几何体中，按箭头所示的方向为它们的正面，设A、B、C三个几何体的主视图分别是A、B、C；左视图分别是A、B、C；俯视图分别是A3、B3、C3．（1）请你分别写出A、A、A、B、B、B、C、C、C图形的名称；
（2）小刚先将这9个视图分别画在大小、形状完全相同的9张卡片上，并将画有A、A、A的三张卡片放在甲口袋中，画有B、B、B的三张卡片放在乙口袋中，画有C、C、C的三张卡片放在丙口袋中，然后由小亮随机从这三个口袋中分别抽取一张卡片．
①画出树状图，求出小亮随机抽取的三张卡片上的图形名称都相同的概率；
②小亮和小刚做游戏，游戏规则规定：在小亮随机抽取的三张卡片中只有两张卡片上的图形名称相同时，小刚获胜；三张卡片上的图形名称完全不同时，小亮获胜．这个游戏对双方公平吗？为什么？
24、（8分）体育课上，小明、小强、小华三人在学习训练足球，足球从一人传到另一人就记为踢一次.（1）如果从小强开始踢，经过两次踢后，足球踢到小华处的概率是多少？（用树状图或列表）
（2）如果踢三次后，球踢到了小明处的可能性最小，应从谁开始踢？请说明理由。
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