(共28张PPT)
1.1 回归分析的基本思想及其初步应用
（第二课时）
1．通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及其初步应用．
2．让学生经历数据处理的过程，培养他们对数据的直观感觉，体会统计方法的特点，认识统计方法的应用，通过使用转化后的数据，求相关指数，运用相关指数进行数据分析、处理的方法．
3．从实际问题中发现已有知识的不足，激发好奇心，求知欲，通过寻求有效的数据处理方法，开拓学生的思路，培养学生的探索精神和转化能力，通过案例的分析使学生了解回归分析在实际生活中的应用，增强数学取之生活，用于生活的意识，提高学习兴趣．
本节课通过例题线性相关关系知识，通过实际问题中发现已有知识的不足，引导学生寻找解决非线性回归问题思想与方法，培养学生化归数学思想。通过知识的整理，通过例题讲解掌握解决非线性回归问题。
本节内容学生内容不易掌握，通过知识整理与比较引导学生进行区分、理解。通过对典型案例的探究，练习进行巩固解决非线性回归基本思想方法及初步应用．
建立回归模型的基本步骤
(1)确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量．
(2)画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系(如是否存在线性关系等)．
(3)由经验确定回归方程的类型(如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程)．
(4)按一定规则(如最小二乘法)估计回归方程中的参数．
(5)得出结果后分析残差图是否有异常(如个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性等)．若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等．
(6)参数R2与相关系数r
提示:它们都是刻画两个变量之间的的相关关系的,区别是R2表示解释变量对预报变量变化的贡献率,其表达式为R2=1-
;
相关系数r是检验两个变量相关性的强弱程度,
其表达式为
（7）相关系数r与R2
(1)R2是相关系数的平方,其变化范围为[0,1],而相关系数的变化范围为[-1,1].
(2)相关系数可较好地反映变量的相关性及正相关或负相关,而R2反映了回归模型拟合数据的效果.
(3)当|r|接近于1时说明两变量的相关性较强,当|r|接近于0时说明两变量的相关性较弱,而当R2接近于1时,说明线性回归方程的拟合效果较好.
例：一只红铃虫产卵数y和温度x有关，现收集到的一组数据如下表1-3表，试建立y与x之间的回归方程。
画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系．
（1）是否存在线性关系？
（2）散点图具有哪种函数特征？
（3）以指数函数模型为例，如何设模型函数？
非线性关系
指数函数、二次函数、三次函数
c
c
2
1
设指数函数曲线
其中
和
是待定参数。
e
c
y
x
c
1
2
=
我们可以通过对数变换把指数关系变为线性关系
(
)
这样就可以利用线性回归模型来建立z
与x回归模型，进而找到y与x的非线性回归方程
。
则变换后样本点分布在直线的周围。
令
)
c
b
,
c
ln
a
(
a
bx
z
2
1
=
=
+
=
y
ln
z
=
现在问题变为如何估计待定参数
和
？
c
c
2
1
非线性回归模型
(6)
e
y
?
0.272x-3.843
(1)
=
另一方面,可以认为图11-4中样本点集中在某二次曲线
因此可以对温度变量做变换,即令
然后建立y与t之间的线性回归方程，从而得到y与x之间的排线性回归方程。
,
2
x
t
=
的附近,其中
和
为待定参数.
4
3
c
c
4
2
3
c
x
c
y
+
=
表1-5是红铃虫的产卵数和对应的温度的平方，图1.1-6是相应的散点图.
(
)
(
)
(
)
(
)
,
b
,
x
g
y
~
a
,
x
f
y
~
2
1
=
=
和
对于给定的样本点
,两个含有未知数的模型
其中a和b都是未知参数,可以按如下的步骤来比较它们的拟合效果.
b
?
a
?
其中
和
分别是参数a、b的估计值
（1）分别建立对应于两个模型的回归方程
(
)
(
)
,
b
?
,
x
g
y
?
2
=
(
)
(
)
a
?
,
x
f
y
?
1
=
(
)
(
)
(
)
;
y
?
y
Q
?
n
1
i
2
2
i
i
2
?
=
-
=
(
)
Q
?
1
(
)
(
)
y
?
y
n
1
i
2
1
i
i
?
=
-
=
与
（2）分别计算两个回归方程的残差平方和
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
.
b
?
,
x
g
y
?
a
?
,
x
f
y
?
,
;
b
?
,
x
g
y
?
a
?
,
x
f
y
?
,
Q
?
Q
?
2
1
2
1
2
1
的好
的效果不如
反之
的好
的效果比
则
（3）若
=
=
=
=
<
非线性回归问题的处理方法
(1)两个变量不呈线性关系,不能直接利用线性回归方程建立两个变量的关系,可以通过变换的方法转化为线性回归模型,如y=
,我们可以通过对数变换把指数关系变为线性关系.令z=lny,则变换后样本点应该分布在直线z=bx+a(a=lnc1,b=c2)的周围.
(2)非线性回归方程的求法
①根据原始数据(x,y)作出散点图;
②根据散点图,选择恰当的拟合函数;
③作恰当的变换,将其转化成线性函数,求线性回归方程;
④在③的基础上通过相应的变换,即可得非线性回归方程.
(3)非线性相关问题中常见的几种线性变换
在实际问题中,常常要根据一批实验数据绘出曲线,当曲线类型不具备线性相关关系时,可以根据散点分布的形状与已知函数的图象进行比较,确定曲线的类型,再作变量替换,将曲线改为直线.下面是几种容易通过变量替换转化为直线的函数模型:
①y=a+
,令t=
，则有y=a+bt；
②y=axb，令z=ln
y，t=ln
x，m=ln
a，则有z=m+bt；
③y=aebx，令z=ln
y，m=ln
a,则有z=m+bt；
④y=
,令z=ln
y,t=
，m=ln
a，则有z=m+bt；
⑤y=a+bln
x，令t=ln
x，则有z=a+bt；
⑥y=bx2+a,令t=x2，则有y=bt+a.
例
某种食品每公斤的生产成本y(元)与该食品生产的重量x(公斤)有关，经生产统计得到以下数据：
x
1
2
3
5
10
20
30
50
100
200
y
10.15
5.52
4.08
2.85
2.11
1.62
1.41
1.30
1.21
1.15
通过以上数据判断该食品的成本y(元)与生产的重量x(公斤)的倒数1/x之间是否具有线性相关关系？若有，求出y关于1/x的回归直线方程，并借此估计一下生产该食品500公斤时每公斤的生产成本是多少？(精确到0.01)
于是
y
与
1
x
的回归方程为
y
^
＝
8.973
x
＋
1.125.
当
x
＝
500(
公斤
)
时，
y
^
＝
8.973
500
＋
1.125
≈
1.14.
即估计生产该
食品
500
公斤时每公斤的生产成本是
1.14
元．
X
x
2.为了解儿子身高与其父亲身高的关系,随机抽取5对父子的身高数据如下:
则y关于x的线性回归方程为( ).
A.y=x-1
B.y=x+1
C.y=88+12x
D.y=176
父亲身高x(cm)
174
176
176
176
178
儿子身高y(cm)
175
175
176
177
177
答案:C
解析:方法一:由线性回归直线方程过样本中心(176,176),排除A,B答案,结合选项可得C为正确答案.
方法二:将表中的五组数值分别代入选项验证,可知y=88+12x最适合.
x
x
x
x
非线性回归问题有时并不给出经验公式,这时我们可以画出已知数据的散点图,把它与学过的各种函数(幂函数、指数函数、对数函数)等图象作比较,挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数,然后采用适当的变量置换,把问题化为线性回归分析问题,使之得到解决.
敬请指导
.(共30张PPT)
1.1 回归分析的基本思想
及其初步应用
（第一课时）
1．通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及其初步应用．
2．让学生经历数据处理的过程，培养他们对数据的直观感觉，体会统计方法的特点，认识统计方法的应用，通过使用转化后的数据，求相关指数，运用相关指数进行数据分析、处理的方法．
3．从实际问题中发现已有知识的不足，激发好奇心，求知欲，通过寻求有效的数据处理方法，开拓学生的思路，培养学生的探索精神和转化能力，通过案例的分析使学生了解回归分析在实际生活中的应用，增强数学取之生活，用于生活的意识，提高学习兴趣．
本节课通过必修3熟悉有例题回顾线性相关关系知识，通过实际问题中发现已有知识的不足，引出随机误差、残差、残差分析的概念，进而运用残差来进行数据分析，通过例题讲解掌握用残差分析判断线性回归模型的拟合效果。掌握建立回归模型的步骤。
本节内容学生内容不易掌握，通过知识整理与比较引导学生进行区分、理解。通过对典型案例的探究，练习进行巩固了解回归分析的基本思想方法和初步应用．
从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如下表所示：
怎样根据一名女大学生的身高预报她的体重，并预报一名身高为172
cm的女大学生的体重？
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
身高/cm
165
165
157
170
175
165
155
170
体重/kg
48
57
50
54
64
61
43
59
根据必修3
2.3变量相关关系解决这个问题的方法：
1.先判断是两个变量是否具有线性相关关系
(1)作散点图，如图所示(见课本P82：图3.1-1)
2.根据线性回归的系数公式，求回归直线方程
＝0.849x-85.712
3.由线性回归方程可以估计其位置值为
＝60.316(千克)左右。
具有较好的线性相关关系
性质：回归直线一定过样本中心点
(2)计算相关系数
这些点并不都在同一条直线上，上述直线并不能精确地反映x与y之间的关系，y
的值不能完全由x
确定，它们之间是统计相关关系，y
的实际值与估计值之间存在着误差．
因此,在统计学中设它们的线性回归模型为:
其中a,b为模型的未知参数,e为y与bx+a之间的误差，称它为随机误差，它是随机变量。且
线性回归模型完整表达式为
x称为_____变量,y称为_____变量.
解释
预报
线性回归模型中随机误差的主要来源
①线性回归模型中的预报值
与真实情况y引起的误差；
②观测与计算(用
代替b
a)产生的误差；
③省略了一些因素的影响(如生活习惯等）产生的误差.
在线性回归模型中，e为用bx+a的预报真实值y的随机误差，它是一个不可观测的量，那么应该怎样研究随机误差？
在实际应用中，我们用
估计
bx+a
所以
的估计量为
对于样本点
它们的随机误差为
估计值为
称相应于点
的残差
坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择；
若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为中心的带形区域；
对于远离横轴的点，要特别注意。
错误数据
模型问题
身高与体重残差图
异常点
残差的作用
1.通过残差表或残差图发现原始数据中的可疑数据
通过残差
来判断模型拟合的效果这种分析工作称为残差分析
通过残差表或残差图判断模型拟合的效果是直观判断，如何精确判断模型拟合的效果？
引入参数R2
来精确该画模型拟合效果
对于己获取的样本数据，在上式子中
是定值，
越小，即残差平方和越小，R2越大，说明模型拟合效果越好。
引入例中参数R2计算得约为0.64说明女大学生体重差异有百分之六十四是由身高引起的.
知识点
线性回归分析
1.对线性回归模型的三点说明
(1)非确定性关系：线性回归模型y=bx+a+e与确定性函数y=bx+a相比，它表示y与x之间是统计相关关系(非确定性关系),其中的随机误差e提供了选择模型的准则以及在模型合理的情况下探求最佳估计值a，b的工具.
(2)线性回归方程
中
，
的意义是：以
为基数，x每增加1个单位，y相应地平均增加
个单位.
(3)线性回归模型中随机误差的主要来源
①线性回归模型与真实情况引起的误差；
②观测与计算产生的误差；
③省略了一些因素的影响产生的误差.
2.线性回归模型的模拟效果
(1)残差图法:观察残差图,如果残差点比较均匀地落在水平的带状区域中,说明选用的模型比较合适,这样的带状区域的宽度越窄,说明模型拟合精度越高,回归方程的预报精度越高.
(2)残差的平方和法:一般情况下,比较两个模型的残差比较困难(某些样本点上一个模型的残差的绝对值比另一个模型的小,而另一些样本点的情况则相反),故通过比较两个模型的残差的平方和的大小来判断模型的拟合效果.残差平方和越小的模型,拟合的效果越好.
(3)R2法:R2的值越大,说明残差平方和越小,也就是说模型拟合的效果越好.
3.相关系数与R2
(1)R2是相关系数的平方,其变化范围为[0,1],而相关系数的变化范围为[-1,1].
(2)相关系数可较好地反映变量的相关性及正相关或负相关,而R2反映了回归模型拟合数据的效果.
(3)当|r|接近于1时说明两变量的相关性较强,当|r|接近于0时说明两变量的相关性较弱,而当R2接近于1时,说明线性回归方程的拟合效果较好.
【微思考】
(1)残差与我们平时说的误差是一回事儿吗?
提示:这两个概念在某程度上具有很大的相似性,都是衡量不确定性的指标,二者的区别是:误差与测量有关,误差可以衡量测量的准确性,误差越大表示测量越不准确;残差与预测有关,残差大小可以衡量预测的准确性,残差越大表示预测越不准确.
(2)R2与原来学过的相关系数r有区别吗?
提示:它们都是刻画两个变量之间的的相关关系的,区别是R2表示解释变量对预报变量变化的贡献率,其表达式为R2=1-
;
相关系数r是检验两个变量相关性的强弱程度,
其表达式为
建立回归模型的基本步骤
(1)确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量．
(2)画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系(如是否存在线性关系等)．
(3)由经验确定回归方程的类型(如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程)．
(4)按一定规则(如最小二乘法)估计回归方程中的参数．
(5)得出结果后分析残差图是否有异常(如个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性等)．若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等．
为研究重量x(单位：克)对弹簧长度y(单位：厘米)的影响，对不同重量的6个物体进行测量，数据如下表所示：
x
5
10
15
20
25
30
y
7.25
8.12
8.95
9.90
10.9
11.8
(1)作出散点图并求线性回归方程；
(2)求出R2；
(3)进行残差分析．
作残差分析时，一般从以下几个方面予以说明：(1)散点图；(2)相关指数；(3)残差图中的异常点和样本点的带状分布区域的宽窄．
解答
(1)散点图如图
0.05
0.005
－0.08
－0.045
0.04
0.025
－2.24
－1.37
－0.54
0.41
1.41
2.31
(3)由残差表中的数值可以看出第3个样本点的残差比较大，需要确认在采集这个数据的时候是否有人为的错误，如果有的话，需要纠正数据，重新建立回归模型；由表中数据可以看出残差点比较均匀地落在不超过0.15的狭窄的水平带状区域中，说明选用的线性回归模型的精度较高，由以上分析可知，弹簧长度与拉力成线性关系．
规律方法 当资料点较少时，也可以利用残差表进行残差分析，注意计算数据要认真细心，残差分析要全面．
1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)残差平方和越小,线性回归方程拟合效果越好.( )
(2)在画两个变量的散点图时,预报变量在x轴上,解释变量在y轴上. ( )
(3)R2越接近于1,线性回归方程的拟合效果越好.( )
√
×
√
2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)从散点图上看,点散布在从左下角到右上角的区域内,两个变量的这种相关关系为 .
(2)在残差分析中,残差图的纵坐标为 .
(3)如果发现散点图中所有的样本点都在一条直线上,则残差平方和等于 ,解释变量和预报变量之间的相关系数R等于 .
正相关
残差
0
1或-1
3.已知某种商品的价格x(元)与需求量y(件)之间的关系有如下一组数据：
x
14
16
18
20
22
y
12
10
7
5
3
求y对x的回归直线方程，并说明回归模型拟合效果的好坏．
0
0.3
－0.4
－0.1
0.2
4.6
2.6
－0.4
－2.4
－4.4
敬请指导
.
