(共25张PPT)
第二章
推理与证明
2.2.1
综合法与分析法
1、了解综合法的思考过程、特点,会用综合法证明题目.
2、了解分析法的分析思路,会用分析法证明题目.
3、能用分析法分析证题思路,用综合法书写证明过程.
应用:
1、证明不等式
2、证明等式
内容：
本课主要学习综合法与分析法。通过两个引例出发,引入综合法与分析法,通过对比掌握它们证题的特点,并总结出它们之间的区别与联系,为在实际问题中分析问题寻找解题方法做好铺垫.重点:会用综合法和分析法证明问题;了解综合法与分析法的思考过程.难点:根据问题的特点,结合综合法与分析法的思考过程、特点,选择适当的证明方法.
本课选用了两个例题。例题设置难易适度,每个例题后有针对性的练习,便于学生巩固和掌握,且第一个例题与变式训练分别用分析法和综合法来证明,让学生真正体会两种方法的优点与作用，另外,第二个例题可以用综合法，也可以用分析法,从而锻炼学生灵活应用方法解决问题的能力.采用一讲一练针对性讲解的方式，重点理解综合法与分析法的应用。
通过观看视频，大家一起讨论一下我们应该如何测的恒星之间的距离呢？
如何测的恒星之间的距离
复习
推
理
合情推理
（或然性推理）
演绎推理
（必然性推理）
归纳
(特殊到一般）
类比
（特殊到特殊）
三段论
（一般到特殊）
合情推理是
发现
的方法，
演绎推理是数学中严
格
证明
的工具
.
怎样用演绎推理来证明呢？这是要讲究方法的
.
今天
,
我们就来认识一些基本的证明方法……
合情推理得到的结论是不可靠的，需要证明.数学中证明的方法有哪些呢？
引例一:证明不等式:
证法1:由
证法2:由
证法2是从已经成立的事实出发,经过正确推理,得到要证的结论.
------
综合法
引例二:求证
分析:从待证不等式不易发现证明的出发点,因此我们直接
从待证不等式出发,分析其成立的充分条件.
在本例中,由于我们很难想到从“
21<25”入手,所以用综合法证明比较困难.
以上采用的证明方法就是分析法.
利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法.
用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论.
则综合法用框图表示为:
…
综合法是由一个个推理组成的.
特点：由因索果
综合法概念
从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件为止，这种证明的方法叫做分析法．
这个明显成立的条件可以是：
已知条件、定理、定义、公理等
特点：
执果索因（逆推）
则分析法用框图表示为:
得到一个明显成立的条件
P
P
1
2
Q
P
1
P
P
2
3
…
分析法概念
(1)区别:综合法是从已知条件出发,逐步推向未知,每步寻找的是必要条件;分析法是从待求结论出发,逐步靠拢已知,每步寻找的是充分条件.
(2)优缺点:综合法和分析法是直接证明的两种基本方法,两种方法各有优缺点,综合法从条件推出结论,能较简捷地解决问题,但不便于思考;分析法解题方向较为明确,容易寻找到解题的思路和方法,缺点是思路逆行,叙述较繁.
1.
综合法:
要点:顺推证法;由因导果．
2.
分析法:
要点:逆推证法;执果索因．
3.综合法与分析法的区别及优缺点
综合法与分析法的比较
【分析法】
从结论出发，寻找结论成立的充分条件
直至最后，把要证明的结论归结为判定一
个明显成立的条件.
要证：??
只要证：??
只需证：??
??显然成立
上述各步均可逆
所以
结论成立
要证：??
??
??
??
??
所以
结论成立
格
式
分析基本不等式：
(a>0,b>0)的证明.
证明:
因为;
所以
所以
所以
成立
证明:要证
只需证
只需证
只需证
因为
成立
所以
成立
还原成综合法：
证明:
因为;
所以
当且仅当a=b时取等号
所以
所以
成立
证明:要证
只需证
只需证
而
当且仅当
成立
所以
成立
综合法：
证明：方法一（分析法）
证明:要证
只需证
只需证
只需证
即只需证
而由已知条件可知
显然成立，所以命题得证.
方法二（综合法）
证明:
即
即
由条件可知
即
，
所以命题得证.
例2：在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ对应的边分别为a、b、c，且Ａ、Ｂ、Ｃ成等差数列，a、b、c成等比数列，求证△ＡＢＣ为等边三角形．
证明：
解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言。还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来．
1.知识与技能:
(1)综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.
(2)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）.
(3)综合法与分析法的区别：综合法是从已知条件出发，逐步推向未知，每步寻找的是必要条件；分析法是从待求结论出发，逐步靠拢已知，每步寻找的是充分条件.
2.思想与方法:
顺推与逆推的思想.(共19张PPT)
2.2
直接证明与间接证明
2.2.2
反
证
法
反证法
内容：反证法的概念、步骤
应用:
1.直接证明难以下手的命题
2.“至少”、“至多”
型命题
3.否定性命题
4.某些存在性命题
本课主要学习反证法。反证法是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛盾的结论.本课以视频王戎的故事引入新课，从生活实例抽象出反证法的概念、步骤.让学生感受到了反证法处处可在，也从这些具体的例子中更加熟悉反证法的步骤.并能利用反证法解决简单的问题.证明方法的选择，以及如何发现证明思路是本课的难点.由于学生的实际情况不同，且本节内容涉及过多以往知识点的应用，建议教师在使用本课件时灵活掌握.
在讲述反证法的应用时，采用例题与变式结合的方法，通过例1和变式1,让学生明白:当直接证明命题难以下手时，改变其思维方向，从反面进行思考，问题可能解决得十分干脆。通过例2和例3,告诉学生:“至少”、“至多”
型命题常用反证法.采用一讲一练针对性讲解的方式，重点理解和巩固反证法的运用方法.
1.直接证明的两种基本证法：
综合法和分析法
2.这两种基本证法的推证过程和特点：
由因导果
执果索因
3、在实际解题时，两种方法如何运用？
通常用分析法寻求思路，再由综合法书写过程
综合法
已知条件
结论
分析法
结论
已知条件
路边苦李
古时候有个人叫王戎，7岁那年的某天，他和小伙伴在路边玩，看见一颗李子树上的果实多得把树枝都快压断了，小伙伴们都跑去摘，只有王戎站着没动.他说：“李子是苦的，我不吃.”小伙伴摘来一尝，李子果然苦的没法吃.小伙伴问王戎：“这就怪了！你又没吃怎么知道李子是苦的啊？”
王戎说：“如果李子是甜的，树长在路边，李子早就没有了！李子现在还这么多，所以啊，肯定李子是苦的，不好吃！”
王戎推断李子是苦涩的道理和你的方法一样吗？是什么方法？
反证法是我们常见的一种证明方法，它隶属于间接证明，今天我们就来一起探讨反证法在证明问题中的应用.
反证法
路边苦李
（1）如果有5只鸽子飞进两只鸽笼，至少有3只鸽子在同一只鸽笼，对吗？
（2）A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎。则C在撒谎吗？为什么？
分析:假设C没有撒谎,
则A、B都撒谎.
由A撒谎,
知B没有撒谎.
那么假设C没有撒谎不成立,
则C必定是在撒谎.
这与B撒谎矛盾.
把这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为间接证明
注：反证法是最常见的间接证法，
反证法：假设命题结论的反面成立,经过正确的推理,引出矛盾，因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这样的的证明方法叫反证法.（归谬法）
反证法的思维方法：正难则反
例1：求证：
是无理数。
解析：直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从反面进行思考，问题可能解决得十分干脆。
例1：求证：
是无理数。
证明：假设
是有理数
则存在互质的整数m,n使得
反证法的证明过程：
否定结论——推出矛盾——肯定结论，
即分三个步骤：反设—归谬—存真
反设——假设命题的结论不成立；
存真——由矛盾结果，断定反设不成立，从而
肯定原结论成立。
归谬——从假设出发，经过一系列正确的推理，
````````得出矛盾；
用反证法证明命题的过程用框图表示为：
肯定条件
否定结论
导
致
逻辑矛盾
反设
不成立
结论
成立
所以假设错误，故原命题
成立
证明:
假设
不大于
则
或
因为
所以
否定要全面
例2
已知a≠0，证明x的方程ax=b有且只有一个根。
注:结论中的有且只有(有且仅有)形式出现,
是唯一性问题,常用反证法
不妨设方程的两根分别为
证：由于
，因此方程至少有一个根
假设方程
至少存在两个根。
则：
与已知
矛盾，故假设不成立，结论成立。
例3：已知x>0,y>0，x
+
y
>2，
求证：
中至少有一个小于2。
分析：所谓至少有一个,就是不可能没有,要证“至少有一个”只要证明它的反面“所有都”不成立即可.
注:“至少”、“至多”
型命题常用反证法
常见否定用语
是－－－不是
有－－－没有
等－－－不等
成立－－不成立
都是－－不都是，即至少有一个不是
都有－－不都有，即至少有一个没有
都不是－部分或全部是，即至少有一个是
唯一－－至少有两个
至少有一个有（是）－－全部没有（不是）
至少有一个不－－－－－全部都
应用反证法的情形：
(1)直接证明困难;
(2)需分成很多类进行讨论．
(3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个”
类命题；
(4)结论为
“唯一”类命题；
正难则反!
三个步骤：反设—归谬—存真
归缪矛盾：
（1）与已知条件矛盾；
（2）与已有公理、定理、定义矛盾；
（3）自相矛盾。
一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），
经过正确的推理，
最后得出矛盾。
因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，
这样的证明方法叫做反证法。
推理与证明
推理
证明
合情推理
演绎推理
直接证明
间接证明
类比推理
归纳推理
分析法
综合法
反证法
已知：整数a的平方能被2整除，
求证：a是偶数。
证明：假设a不是偶数，
则a是奇数，不妨设a=2n+1(n是整数)
∴a2=(2n+1)2=4n2+4n+1=4n(n+1)+1
∴a2是奇数，与已知矛盾。
∴假设不成立，所以a是偶数。
