(共23张PPT)
3.2.1
复数代数形式的
加减运算
本课主要学习复数代数形式的加减运算的运用，以动画引入新课，接着讲述复数代数形式的加减运算的公式和应用，研究不同题型时，多种求解方式；针对问题给出一些典例和变式通过解决实际问题，掌握运算方法。
在讲述复数代数形式的加减运算的应用时，采用例题与变式结合的方法，通过学生自主讨论、分析,总结小老师的方法,师生互动,讲练结合,同学总结提出解题注意事项,从而突出重点,突破难点。
3．对复数加减法几何意义的理解
它包含两个方面：一方面是利用几何意义可以把几何图形的变换转化为复数运算去处理，另一方面对于一些复数的运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．
4.学习复数的加(减)法，只需把握复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加(减)即可．对于加(减)法的几何意义，应明确它们符合向量加(减)法的平行四边形法则．另外，还可以按三角形法则进行，这样类比记忆就把复杂问题简单化了．
1．复数加法与减法的运算法则
(1)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，则z1＋z2＝
，z1－z2＝
.
(2)对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝
，(z1＋z2)＋z3＝
(a＋c)＋(b＋d)i
(a－c)＋(b－d)i
z2＋z1
z1＋(z2＋z3)
2．复数加减法的几何意义
如图：设复数z1，z2对应向量分别为
，
，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是
，与z1－z2对应的向量是
.
实战演练
[例1] 计算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；
(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]；
(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R)．
[解析] (1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)＝(4－2i)－(5＋6i)＝－1－8i.
(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]＝5i－(4＋i)＝－4＋4i.
(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝(a－2a)＋[b－(－3b)－3]i＝－a＋(4b－3)i.
[点评] 两个复数相加(减)，将两个复数的实部与实部相加(减)，虚部与虚部相加(减)．
总结： 本题给出了几何图形上一些点对应的复数，因此，借助复数加、减法的几何意义求解即可，要学会利用复数加减运算的几何意义去解题，主要包含两个方面：(1)利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理．
(2)对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．例如：已知复数z1，z2，z1＋z2在复平面内分别对应点A，B，C，O为原点，且|z1＋z2|＝|z1－z2|，判断四边形OACB的形状．把关系式|z1＋z2|＝|z1－z2|给予几何解释为：平行四边形两对角线长相等，故四边形OACB为矩形．
总结： 复数的减法也可用向量来进行运算，同样可实施平行四边形法则和三角形法则．
满足条件|z－i|＝|3＋4i|的复数z在复平面上的对应点的轨迹是
( )
A．一条直线
B．两条直线
C．圆
D．椭圆
[答案] C
总结： 解法一是利用复数的代数形式求解，即“化虚为实”．解法二则是利用复数的几何意义求解．关于复数模的问题，可以转化为复平面内两点间的距离解决．
[例4] 已知：复平面上的四个点A、B、C、D构成平行四边形，顶点A、B、C对应于复数－5－2i，－4＋5i,2，求点D对应的复数．
[辨析] 四个点A、B、C、D构成平行四边形，并不仅有?ABCD一种情况，应该还有?ABDC和?ACBD两种情况．如图所示．
[正解] 用相同的方法可求得另两种情况下点D对应的复数z.
图①中点D对应的复数为3＋7i，
图②中点D对应的复数为－11＋3i.
一、选择题
1．已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2＝( )
A．8i B．6 C．6＋8i D．6－8i
[答案] B
[解析] z1＋z2＝3＋4i＋3－4i
＝(3＋3)＋(4－4)i＝6
2．若复数z满足z＋i－3＝3－i，则z＝( )
A．0 B．2i C．6 D．6－2i
[答案] D
[解析] ∵z＋i－3＝3－i
∴z＝3－i－(i－3)＝6－2i
[答案] A
[答案] －2i
[答案] 5
三、解答题
6．已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)，设z＝z1－z2，且z＝13－2i，求z1，z2.(共28张PPT)
3.2.2
复数代数形式的
乘除运算
掌握复数代数形式的乘法和除法运算．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．理解共轭复数的概念．本节重点：复数的乘除运算及共轭复数的概念．本节难点：共轭复数的求解及特殊复数的运算．
对于复数的代数形式乘除法法则，不必死记硬背，乘法可按多项式类似的办法进行，除法只需记住两个复数相除，就是先把它们的商写成分数的形式，然后把分子、分母都乘以分母的共轭复数，再把结果化简即可．
1．复数的乘法
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝
(a，b，c，d∈R)．
(ac－bd)＋(ad＋bc)i
2．复数乘法的运算律
对于任意z1，z2，z3∈C，有
交换律
z1·z2＝
结合律
(z1·z2)·z3＝
乘法对加法的分配律
z1(z2＋z3)＝
z2·z1
z1·(z2·z3)
z1z2＋z1·z3
3.共扼复数的概念
一般地，当两个复数的
，虚部
数时，这两个复数叫做互为共轭复数．通常记复数z的共轭复数
，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做
．
实部相等
互为相反
共轭虚数
对于复数的代数形式乘除法法则，不必死记硬背，乘法可按多项式类似的办法进行，除法只需记住两个复数相除，就是先把它们的商写成分数的形式，然后把分子、分母都乘以分母的共轭复数，再把结果化简即可．
练一练
例1
(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，
ω3
＝1
变式1
例2
[解析] (1)设z＝x＋yi(x，y∈R)．则集合
P＝{(x，y)|x2＋y2－6y＋5＝0}
＝{(x，y)|x2＋(y－3)2＝4}，
故P表示以(0,3)为圆心，2为半径的圆．
设w＝a＋bi(a，b∈R)．
z＝x0＋y0i∈P(x0，y0∈R)且w＝2iz.
计算：i＋i2＋i3＋…＋i2011.
[分析] 由题目可获取以下主要信息：
已知虚数单位i的幂，求和．
解答本题可利用等比数列求和公式化简或者利用in的周期性化简．
例3
计算：1＋2i＋3i2＋…＋2009·i2008.
.
已知1＋i是关于x的方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，c为实数)．
(1)求b，c的值；
(2)试说明1－i也是该方程的一个根．
例4
注意： 因为已知方程x2＋bx＋c＝0的一根是复数根，故我们需将该已知根代入方程，根据复数相等的充要条件求解．
有关复数的方程问题一般有两种情况：
①方程的根为复数，系数为实数，已知方程的一个复数根，求实系数．
②方程的根为实数，系数为复数，求实根．
解方程|x|＝2＋x－2i.
例5
[辨析] 在解题中用了复数范围内不成立的等式
|z|2＝z2.
[答案] C
[答案] D
[答案] A
二、填空题
4．若x－2＋yi和3x－i互为共轭复数，则实数x＝______，y＝______.
[答案] －1 1
