14.3.2.2 用完全平方公式分解因式 课件（23张PPT）

第 十四 章 整式的乘法与因式分解14.3 因式分解
14.3.2 公式法
第2课时 用完全平方公式分解因式

2020年秋人教版数学八年级上册精品课件
学 习 目 标
1
2
理解用完全平方公式进行因式分解，并能熟练地运用完全平方公式分解因式.（重点）
能综合运用提公因式法和完全平方公式对多项式进行因式分解．（难点）
知识回顾
提公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c)
平方差公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)
练习
把下列各式分解因式:
① ② x4-16
解:原式=ax2(x2-1)
=ax2(x+1)(x-1).
解:原式=(x2+4)(x2-4)
=(x2 +4)(x+2)(x-2).
因式分解学过了哪些方法？
有公因式，先提公因式
因式分解要彻底
(a+b)2 = ，
a2+2ab+b2
(a-b)2 = .
a2-2ab+b2
我们知道，因式分解是整式乘法的反过程，逆用乘法公式，我们得到了因式分解的两种方法：提取公因式法、平方差公式法.现在，大家自然会想，还有哪些乘法公式可以用来分解因式呢？
完全平方公式
知识讲解
将完全平方公式倒过来看，得到：
因式分解的完全平方公式
语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.
注意：公式中的????,????既可以是单项式，也可以是多项式.
?
能用完全平方公式分解因式的多项式的特点
我们把a?+2ab+b?和a?-2ab+b?这样的式子叫做完全平方式.
观察发现：
????????±????????????+????????
?
1.是三项式（或可以看成三项）；
2.有两个同号的数或式的平方；
3.中间是这两个数的积的±2倍.
凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式.
试一试
下列各式是不是完全平方式？
（1）????????－????????+????; （2）????????+????????+????????????;
（3）????????????+????????????+????????; （4）????????－????????+????????;
（5）????????－????????－????; （6）????????+????+????.????????.
?
是
（2）不是，因为4????不是????与2????乘积的2倍.
?
是
（4）不是，?????????不是????与????乘积的2倍.
?
（5）不是，????????与－9的符号不统一.
?
是
分解因式：
例1
解：（1）　 　
　　（1）　　　　 　；（2）　　 　　　．　　
（2）　 　
练习1　
将下列多项式分解因式：
（1）
（2）
（3）
（4）
解：(1)原式=3a（x2+2xy+y2）
=3a（x+y）2.
分解因式：
例2
(2)(????+????)????－????（?????+????）+????.
?
(2)原式=（?????+????）????－????×（?????+????）×????+????????
=［（?????+????）－????］????
?=（?????+????－????）????.
?
(1)3ax2+6axy+3ay2 ；
有公因式，先提公因式
练习2　
将下列多项式分解因式：
（1）
（2）
例3
把下列完全平方公式分解因式：
(1)1002－2×100×99+99?；
(2)342＋34×32＋162.
解：(1)原式=（100－99)?
(2)原式＝(34＋16)2
=1.
＝2500.
例4
已知x2－4x＋y2－10y＋29＝0，求x2y2＋2xy＋1
的值．
＝112＝121.
解：∵x2－4x＋y2－10y＋29＝0，
∴(x－2)2＋(y－5)2＝0.
∵(x－2)2≥0，(y－5)2≥0，
?
∴x－2＝0，y－5＝0，
∴x＝2，y＝5，
∴x2y2＋2xy＋1＝(xy＋1)2
1.具有完全平方形式的多项式才可运用完全平方公式分解因式.
2.公式 中的字母 ?????,????可以是单项式，也可以是多项式，应视具体情形灵活运用.
3.若多项式中有公因式，应先提取公因式，然后再进一步分解因式.
4.分解因式要彻底.要注意每一个因式的形式要最简，直到不能再分解为止.
?
结论：
????????±????????????+????????=(????±????)????
?
随堂训练
1.下列四个多项式中，能因式分解的是( )
A．a2＋1 B．a2－6a＋9
C．x2＋5y D．x2－5y
2.把多项式4x2y－4xy2－x3分解因式的结果是( )
A．4xy(x－y)－x3 B．－x(x－2y)2
C．x(4xy－4y2－x2) D．－x(－4xy＋4y2＋x2)
B
B
3.已知4????2+????????????+9????2? 是一个完全平式，则????=
?
a2+b2?2
?
4.已知 ????(????+1)?(????2?????)=?2, 求 的值.
?
±12
解: 由????(????+1)?(????2?????)=????2+?????????2+????=????+????=?2,得
?
+ab
5.把下列多项式因式分解.
（1）x2-12x+36; （2）4(2a+b)2-4(2a+b)+1;
(3) y2+2y+1-x2.
(2)原式=[2(2a+b)]? - 2·2(2a+b)·1+1?
=(4a+2b- 1)2.
解：(1)原式 =x2-2·x·6+62
=(x-6)2.
(3)原式=(y+1)? -x?
=(y+1+x)(y+1-x).
6.已知????2+4????+????2?2????+5=0,求 ?????????的值.
?
解：由????2+4????+????2?2????+5=(????2+4????+4)+(????2?2????+1)
??????????=(????+2)2+(?????1)2=0,得 ????+2=0,?????1=0.?
∴????=?2,????=1.
∴ ??????????=(-2)-1=
?
7. 已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且a2 ＋ 2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，请判断△ABC的形状， 并说明理由．
∴△ABC是等边三角形．
解：△ABC是等边三角形．理由如下：
即(a－b)2＋(b－c)2＝0，
∴a－b＝0，b－c＝0，∴a＝b＝c，
由a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，
得 a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0，
课堂小结
1.利用完全平方公式分解因式:
2.因式分解的步骤是:首先提取公因式,然后考虑用公式法.
3.因式分解应进行到每一个因式不能分解为止.
????????±????????????+????????=(????±????)????.
?
谢谢
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