14.3.1 提公因式法课件（25张PPT）

第 十四 章 整式的乘法与因式分解14.3 因式分解
14.3.1 提公因式法


2020年秋人教版数学八年级上册精品课件
学 习 目 标
1
2
了解因式分解的意义，理解因式分解的概念及其与整式乘法的区别和联系．（重点） 　　
理解提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因式．（难点） 　　
新课导入
某中学决定购买????台电脑和????套桌子,现在知道每台电脑的单价为????元,每套桌子的单价为????元,那么怎样表示该校购买电脑和桌子总共需要的资金呢?
?
思路一: 购买一台电脑和一套桌子需(????+????)元,购买m台电脑和m套桌子共需????(????+????)元.
?
思路二：购买????台电脑需????????元,购买????套桌子需????????元,则购m台电脑和m套桌子共需(????????+????????)元.
?
从这两种方法列出的式子中,你发现了什么?
ma+mb=m(a+b)
这个变化过程是什么？怎么变化的?
知识讲解
计算下列各式：
(1) x(x+1)= ；
(2) (x+1)(x-1)= ；
(3) (a+b)2 = .
x2 +x
x2 -1
a2 +2ab+b2
把下列多项式写成整式的乘积的形式:
(1) x2 +x=( )( )
(2) x2 -1 =( )( )
(3) a2 +2ab+b2 =( )2
x x+1
x+1 x-1
a+b
整式乘法
？
把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
x2 +???? x(x+1)
?
因式分解
整式乘法
等式的特征：左边是多项式，右边是几个整式的乘积.
想一想：整式乘法与因式分解有什么关系？
是方向相反的变形.
　　判断一个式子是不是因式分解，要看等式的左边是不是一个多项式，右边是不是几个整式的积的形式.
试一试：
下列由左边到右边的变形中，哪些是因式分解，哪些不是？
（1） （ ）
（2）(????+2)(?????2）=?????2?4（ ）
（3）????2?????2+1=(????+????)(?????????)+1（ ）
（4）????????2+????????2=????(????2+????2) （ ）
?
(1)分解因式是多项式的恒等变形,也就是分解因式的结果的积等于多项式;
(2)分解因式的结果必须是整式的积的形式,每个因式必须是整式且每个因式的次数都不高于原来多项式的次数.
(3)因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止.
注意：
多项式ma+mb有什么特点？
各项都含有一个公共的因式????,我们把因式????叫做这个多项式各项的公因式.
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例如:????是多项式?????????????2各项的公因式;
2?????????是多项式4????2?????6????????2?????各项的公因式.
?
观察：
3.看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的；
1.看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；
2.看字母：公因式的字母是各项相同的字母；
确定公因式的基本步骤
4.看整体：若多项式中含有相同的多项式，应将其看成整体，不要拆开.
说出下列多项式各项的公因式：
(1)ma + mb ；
(2)4kx－ 8ky ；
(3)5y3+20y2 ；
(4)a2b－2ab2+ab .
练一练：
m
4k
5y2
ab
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
提公因式法分解因式：
例如：????????+????????+????????＝????(????+????+????)?
?
提公因式法分解因式的一般步骤：
（1）确定公因式：先确定系数，再确定字母和字 母的指数；
（2）提公因式并确定另一个因式；
（3）把多项式写成这两个因式的积的形式.
例1
把8a3b2 + 12ab3c 分解因式.
解:8a3b2+12ab3c
=4ab2?2a2+4ab2?3bc
=4ab2(2a2+3bc).
解：原式=（????+????－????)(????－????+????)－(????－????+????)(????－????+????)
=（????－????+????)［(????+????－????)－(????－????+????)］
=????－????+????????+????－????－????+????－????

?
把(????+????－????)(????－????+????)+(????－????+????)(????－????－????)分解因式.
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例2
=（????－????+????)(????????－????????）
?
=2（????－????+????)(????－????）?
?
例3
4????2（????+7）?3（????+7），其中????=-5， ?????=3.
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先分解因式，再求值.
解： ????????????（????+????）－????（????+????）
= ????+??????????????????－????.
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当????=－5， ?????=3时，
原式=（3+7）〔4×（－5）2－3〕
=10×(100 －3)
=970.
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随堂训练
1.下列各式由左边到右边的变形中,属于分解因式的是 (　　)　
A.a(x+y)=ax+ay
B.x2-4x+4=x(x-4)+4
C.10x2-5x=5x(2x-1)
D.x2-16+6x=(x+4)(x-4)+6x
解析: A.是多项式乘法,故选项错误;B.右边不是积的形式,故选项错误;C.提公因式法,故选项正确;D.右边不是积的形式,故选项错误.故选C.
C
2.设x2+3x+y=(x+1)(x+2),则y的值为 (　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
B
3.观察下列各式:①2a+b和a+b ;②5m(a-b)和-a+b ;③3(a+b)和-a-b ;④x2-y2和x2+y2.其中有公因式的是 (　　)
A.①② B.②③
C.③④ D.①④
B
4.用提公因式法分解因式.
(1)4x2- 4xy+8xz ;
(2)6x4- 4x3+2x2 ;
(3)6m2n-15mn2+30m3n ;
(4)(a+b)-(a+b)2 ;
(5)x(x-y)+y (y-x) ;
(6)(m+n)2-2(m+n) .
解: (1)4x2- 4xy+8xz=4x(x-y+2z).
(2)6x4- 4x3+2x2=2x2(3x2-2x+1).　
(3)6m2n-15mn2+30m2n=3mn(2m-5n+10m2).　
(4)(a+b)-(a+b)2=(a+b)(1-a-b).　
(5)x(x-y)+y(y-x)=x(x-y)-y(x-y)=(x-y)2.　(6)(m+n)2-2(m+n)=(m+n)(m+n-2).
解： ????????????+??????????????????????
=????????(????+????)?(????+????)
=(????+????)(?????????????)
=5×(4-1)
=15.
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5.已知????+????=5，????????=4，求????????2+????2??????????????的值.
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6.计算：
(1)39×37－13×91；
(2)29×20.18＋72×20.18＋13×20.18－20.18×14.
(2)原式＝20.18×(29＋72＋13－14)＝2018.
＝13×20＝260.
解：(1)原式＝3×13×37－13×91
＝13×(3×37－91)
课堂小结
1.因式分解
把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
2.提公因式法分解因式
谢谢
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