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x（x-1）=
380
21.3 实际问题与一元二次方程
第2课时 平均变化率与销售问题
第二十一章
一元二次方程
例1
两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，试求该药品成本的年平均下降率是多少？
解：设甲种药品的年平均下降率为x.根据题意，列方程，得
5000
(
1－x
)2
=
3000，
解方程，得
x1≈0.225，x2≈1.775.
根据问题的实际意义，甲种药品成本的
年平均下降率约为22.5％.
为什么选择22.5%作为答案？
第2课时 平均变化率与销售问题
练一练
两年前生产1吨乙种药品的成本是6000元.随着生产技术的进步，现在生产1吨乙种药品的成本是3600元，试求乙种药品成本的年平均下降率？
6000
(
1－y
)2
=
3600，
解方程，得
y1≈0.225，y2≈1.775.
根据问题的实际意义，乙种药品成本的年平均下降率约为22.5％.
解：设乙种药品的年平均下降率为y.根据题意，列方程，得
第2课时 平均变化率与销售问题
答：不能.甲种药品成本的年平均下降额为（5000-3000）÷2=1000元，乙种药品成本的年平均下降额为（6000-3600）÷2=1200元.显然，乙种药品成本的年平均下降额较大．但是，两种药品的年平均下降率是一样的.
问题1
药品年平均下降额（元）大能否说年平均下降率（百分数）就大呢？
第2课时 平均变化率与销售问题
问题2
你能总结出增长率和降低率的有关数量关系吗？
答：这类增长率（降低率）的问题在实际生活中普遍存在，其数量的变化规律：
①若基数是a，平均增长率为x，则一次增长后的值为a（1+x），两次增长后的值为a（1+x）2，n次增长后的值为a（1+x）?.
②若基数是a，平均下降率为x，则一次下降后的值为a（1-x），两次下降后的值为a（1-x）2，n次下降后的值为a（1-x）?.
第2课时 平均变化率与销售问题
例2
某公司最近的各项经营中，一季度的营业额为200万元，一季度、二季度、三季度的营业额共计950万元，如果平均每季度营业额的增长率相同，求这个增长率．
解：设这个增长率为x.根据题意，得
所以这个增长率为50%．
200+200(1+x)
+200(1+x)2=950
整理方程，得
解这个方程得
4x2+12x-7=0，
x1=-3.5（舍去），x2=0.5.
增长率不能为负数，但可以超过1.
例3
电商平台发现：某款手机平均每天可售出20台，每台盈利400元.为了迎接“双十一”，平台决定采取适当的降价措施，扩大销售量来增加盈利，并尽快占领市场.经市场调查发现：如果每台手机每降低40元，那么平均每天就可多售出8台.如果想要平均每天通过销售这款手机盈利12000元，那么每台手机应降价多少元？
第2课时 平均变化率与销售问题
解:设每台手机降价x元，则每台手机的利润是（400-x）元.
因为每台手机降价40元，那么平均每天就可多售出8台，则每天售出（20+8×
）台，根据总利润，列出方程得
（400-x）（20+8×
）=12000，
化简得
x2-300x+20000=0，
解得
x1=100，x2=200，
因为要尽快占领市场，所以x=200，每台手机要降价200元.
第2课时 平均变化率与销售问题
总结：列一元二次方程解“每每问题”的五个步骤．
①设每件商品涨价（降价）x元（有时设新的定价为未知数）；
②用含x的代数式表示每件商品的利润P；
③用含x的代数式表示涨价（降价）后商品的销售量Q；
④根据“每件商品的利润×销售量=销售利润”，得P·Q＝总利润；
⑤解方程，取舍，作答．
注：把含有条件“每件商品每涨价（降价）＿＿元，销售量就减少（增加）＿＿件”的问题称为“每每问题”．
两次下降后的值为a（1-x）2
实际问题
与
一元二次方程
增长率问题
下降率问题
销售问题
两次增长后的值为a（1+x）2
每件商品的利润×销售量
=销售利润
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x（x-1）=
380
21.3 实际问题与一元二次方程
第1课时 传播与数字等代数问题
第二十一章
一元二次方程
第1课时 传播与数字等代数问题
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第1课时 传播与数字等代数问题
问题1
有一个人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?
分析
设每轮传染中平均一个人传染了x个人.传染过程如下：
轮次
本轮开始时的感染人数
本轮新增加的感染人数
本轮结束时感染的总人数
第一轮
1
x
1+x
第二轮
1+x
x（1+x）
1+x+x（1+x）=（1+x）2
第1课时 传播与数字等代数问题
解方程,得x1=
10,x2=-12(不合题意,舍去).
所以每轮传染中，平均一个人传染了10个人.
列方程(1+x)2=121.
一元二次方程的解有可能不符合题意，所以一定要进行检验.
第1课时 传播与数字等代数问题
轮次
本轮开始时的感染人数
本轮新增加的感染人数
本轮结束时感染的总人数
第一轮
1
x
1+x
第二轮
1+x
x（1+x）
1+x+x（1+x）=（1+x）2
第三轮
（1+x）2
x（1+x）2
（1+x）2
+x（1+x）2
=（1+x）3
思考
如果按照这样的传染速度，经过三轮感染后共有多少个人患流感？
第1课时 传播与数字等代数问题
或者以第二轮传染后的人数121为传染源，再传染一次后患流感的总人数是121(1+x)=121(1+10)=1331.
所以，以1人为传染源，经过三轮传染后患流感的总人数是(1+x)3=(1+10)3=1331.
通过对这个问题的探究，你对类似的传播问题中的数量关系有新的认识吗？
（1）审题，设元，列方程，解方程，检验，作答；
（2）可利用表格梳理数量关系；
（3）关注起始值、新增数量，找出变化规律.
第1课时 传播与数字等代数问题
问题2
某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干?支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支?
解：设每个支干长出x个小分支,
则
1+x+x2=91
解得,x1=9,x2=-10(不合题意,舍去).
答:每个支干长出9个小分支.
主干
支干
小分支
小分支
小分支
小分支
x
x
x
1
支干
......
......
......
......
问题3
参加英格兰足球超级联赛的每两队之间都进行两场比赛，主客场各一次，共要比赛380场，共有多少支球队参加？
解：设有x支球队参加该联赛，在双循环赛制下一共有x（x-1）场比赛，则
x（x-1）=
380.
解得x1=20，x2=－19(不合题意，舍去).
所以一共有20支球队参加.
注意双循环比赛和单循环比赛的差别
问题4
读诗词解题：
大江东去浪淘尽，千古风流数人物。
而立之年督东吴，早逝英年两位数。
十位恰小个位三，个位平方与寿符。
哪位学子算得快，多少年华属周瑜？
第2课时 配方法
解：设个位数字为x，十位数字为(x-3)，则
x1=6,
x2=5
x2-11x=-30
x2-11x+5.52=-30+5.52
(x-5.5)2=0.25
x-5.5=0.5，或x-5.5=-0.5
x2=10(x-3)+x
所以这个两位数为36或25，因为周瑜30岁还在东吴为官，所以周瑜去世时36岁.
实际问题
与
一元二次方程
步骤
类型
与列一元一次方程解决实际问题基本相同.不同的地方是要检验根的合理性
数字问题
关键要设数位上的数字，要准确地表示出原数
传播问题
两轮传播后的量=
开始数量×（1+传播速度）2
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x（x-1）=
380
21.3 实际问题与一元二次方程
第3课时 几何图形问题
第二十一章
一元二次方程
第3课时 几何图形问题
解析：设小道的宽为xm，图形可以变换为如图的形状,其中种植面积和图中阴影矩形的面积相等，而阴影矩形的长﹑宽分别为（32-2x）m﹑（20-2x）m，根据矩形的面积公式就可以列出方程，解方程即可.
例1
学校课外生物小组的试验园地是长32m﹑宽20m的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，使种植面积为504m?，求小道的宽.
32-2x
20-2x
x
32
20
第3课时 几何图形问题
解：设小道的宽为xm.
依题意，得（32-2x）（20-2x）=504.
整理，得x?-36x+68=0.
解得
=2，
=34（不合题意，舍去）.
答：小道的宽为2m.
①若是规则图形，则套用面积公式；
②若是不规则图形，通过割补平移的方法转换为规则图形，再根据面积间的和﹑差关系求解.
第3课时 几何图形问题
例2
要设计一本书的封面,封面长27㎝,宽21cm,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度？(精确到0.1cm)
27cm
21cm
第3课时 几何图形问题
27cm
21cm
解析：封面的长宽之比是
：
，中央的矩形长宽之比也是
：
，由此得上下边衬与左右边衬的宽度之比是
：
.
9
7
解：设中央的矩形的长和宽分别为9a和7a，由此得到上下边衬与左右边衬的宽度之比是
9
7
9
7
=9（3-a）：7（3-a）
=9:7
第3课时 几何图形问题
解:设上下边衬的宽均为9xcm，左右边衬的宽均为7xcm，则中央的矩形长为（27-18x）cm，宽为（21-14x）cm.中央的矩形的面积是封面面积的四分之三.于是可列方程
（27-18x）（21-14x）=
×27×21
整理，得
16x?-48x+9=0
解方程，得
所以上下边衬的宽为
,左右边衬的宽为
方程的哪个根符合实际意义？为什么？
第3课时 几何图形问题
解:
设中央的矩形的长和宽别为9xcm，7xcm.依题意得
试一试：如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？
9x×7x
=
×27×21
解得
（舍去）
所以上下边衬的宽度为
左右边衬的宽度为
第3课时 几何图形问题
解：设AB的长是
x
m.
(100-4x)x=400
x2-25x+100=0
x1=20，x2=5
x=20,100-4x=20<25；
x=5,100-4x=80>25,故x=5舍去.
答：羊圈的边长AB和BC的长分别是20m和20m.
例3
要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB和BC的长分别是多少米？
D
C
B
A
25米
第3课时 几何图形问题
例4
如图所示，在△ABC中，∠C=90°，
AC=6cm，BC=8cm.点P沿AC边从点A向终点C以1cm/s的速度移动；同时点Q沿CB边从点C向B以2cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后可使△PCQ的面积为9
cm?？
根据题意得AP=
xcm,PC=(6-x)cm,CQ=2xcm,有
解：若设出发x
s后可使△PCQ的面积为9cm?.
解得
答：点P，Q出发3s后可使△PCQ的面积为9cm?.
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