中小学教育资源及组卷应用平台
专题10
位置与坐标（二）
考点一
找规律
【方法点拨】通过图形的翻折、平移、旋转等变化，找出点的规律，求点的坐标
一．选择题（共1小题）
1．如图所示，把多块大小不同的30°直角三角板，摆放在平面直角坐标系中，第一块三角板AOB的一条直角边与x轴重合且点A的坐标为（2，0），∠ABO＝30°，第二块三角板的斜边BB1与第一块三角板的斜边AB垂直且交x轴于点B1，第三块三角板的斜边B1B2与第二块三角板的斜边BB1垂直且交y轴于点B2，第四块三角板斜边B2B3与第三块三角板的斜边B1B2垂直且交x轴于点B3，按此规律继续下去，则点B2018的坐标为（ ）
A．（﹣2×（）2018，0）
B．（0，﹣2×（）2018）
C．（2×（）2019，0）
D．（0，﹣2×（）2019）
二．填空题（共4小题）
2．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0）…根据这个规律探究可得，第200个点的坐标为
．
3．如图所示，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2016次，点P依次落在点P1，P2，P3，…P2016的位置，点P2016的横坐标为
．
4．如图，等边三角形的顶点A（1，1）、B（3，1），规定把等边△ABC“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次変换，如果这样连续经过2016次变换后，等边△ABC的顶点C的坐标为
．
5．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B，O分别落在点B1，C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…．若点A（3，0），B（0，4），则点B2018的坐标为
．
三．解答题（共1小题）
6．一个动点在第一象限及x轴、y轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到（0，1），然后接着按图中箭头所示方向运动（即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→…），且每秒移动一个单位，那么第100秒时动点所在位置的坐标是
．
考点二
等腰三角形的存在性问题
【方法点拨】分类讨论哪两条边相等，运用“两圆一线”的方法求点的坐标
1．如图，点A的坐标是（2，2），若点P在x轴上，且△APO是等腰三角形，则点P的坐标不可能是（ ）
A．（2，0）
B．（4，0）
C．（，0）
D．（3，0）
2．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），在坐标轴上找一点P，使得△AOP是等腰三角形，则这样的点P共有
个．
3．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（20，0），（0，8），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是以10为腰长的等腰三角形时，点P的坐标为
．
4．如图，点A的坐标为（0，8），点B的坐标为（6，0），在x轴上确定一点P，使△PAB为一个等腰三角形，则P点的坐标可以是
．
5．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形ABCD是矩形，顶点A、B、C、D的坐标分别为（7，0），（7，4），（﹣4，4），（﹣4，0），点E（5，0），点P在CB边上运动，使△OPE为等腰三角形，则满足条件的点P有
个．
6．如图，已知一次函数y＝kx的图象经过点M（2，0），与正比例函数
y的图象交于点A，过点A作AB垂直于x轴于点B．
（1）求k值；并计算y＝kx的图象与坐标轴围成的三角形的面积；
（2）求交点A的坐标，计算AM的长；
（3）在x轴上是否存在点P，使得以三点P、A、M组成的三角形AMP为等腰三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
7．在平面直角坐标系中，已知点B（a，b），线段BA⊥y轴于A点，线段BC⊥x轴于C点，且（a+2）20．
（1）求A，C两点的坐标；
（2）若点D是BC的中点，点E的横坐标是﹣1，求E点坐标及△AEC的面积；
（3）请在y轴上确定一点P，使得△ACP为等腰三角形．（直接写出P点坐标，不用书写过程）．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题10
位置与坐标（二）
考点一
找规律
【方法点拨】通过图形的翻折、平移、旋转等变化，找出点的规律，求点的坐标
一．选择题（共1小题）
1．如图所示，把多块大小不同的30°直角三角板，摆放在平面直角坐标系中，第一块三角板AOB的一条直角边与x轴重合且点A的坐标为（2，0），∠ABO＝30°，第二块三角板的斜边BB1与第一块三角板的斜边AB垂直且交x轴于点B1，第三块三角板的斜边B1B2与第二块三角板的斜边BB1垂直且交y轴于点B2，第四块三角板斜边B2B3与第三块三角板的斜边B1B2垂直且交x轴于点B3，按此规律继续下去，则点B2018的坐标为（ ）
A．（﹣2×（）2018，0）
B．（0，﹣2×（）2018）
C．（2×（）2019，0）
D．（0，﹣2×（）2019）
【分析】根据题意和图象可以发现题目中的变化规律：OB＝2，OB1＝2，OB2＝2，……，从而可以推算出点B2018的坐标．
【解析】解：由题意可得，
∵OB＝OA?tan60°＝22，
∴B（0，2）
∵OB1＝OB?tan60°＝22，
∴B1（﹣2，0）
∵OB2＝OB1?tan60°＝2，
∴B2（0，﹣2）
∵OB3＝OB2?tan60°＝2，
∴B3（2，0）
……
∵2018＝504×4+2
∴点B2018的坐标为（0，﹣2）
故选：D．
【点睛】本题属于规律型，选择题压轴题，有一定难度；主要考查了点的坐标，解直角三角形，特殊角三角函数等，解答本题的关键是明确题意，找出题目中坐标的变化规律，求出相应的点的坐标．
二．填空题（共4小题）
2．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0）…根据这个规律探究可得，第200个点的坐标为 （20，9） ．
【分析】观察图形，可知：每列的个数成等差数列，由等差数列的求和公式可得出第200个点为第20列的第10个，再由偶数列的点是由下往上排的，可求出第200个点的坐标（此处纵坐标为10﹣1）．
【解析】解：观察图形，可知：每列的个数成等差数列．
∵1+2+3+…+19190，190+10＝200，
∴第200个点为第20列的第10个．
由图中可以看出偶数列的点是由下往上排的，
∴第200个点的坐标为（20，9）．
故答案为：（20，9）．
【点睛】本题考查了规律型：点的坐标，利用等差数列的求和公式找出第200个点为第20列的倒数第10个是解题的关键．
3．如图所示，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2016次，点P依次落在点P1，P2，P3，…P2016的位置，点P2016的横坐标为 2015 ．
【分析】本题可按题意分别求出P1，P2，P6…的横坐标，再总结出规律即可得出x2016的值．
【解析】解：根据规律
P1（1，1），P2（2，0）＝P3，P4（3，1），
P5（5，1）P6（6，0）＝P7，P8（7，1）…，
每4个一循环，可以判断P2016在504次循环后与P4一致，坐标应该是（2015，1），
∴P2016的横坐标x2016＝2015．
故答案是：2015．
【点睛】本题主要考查了通过图形观察规律的能力，并根据规律进行简单计算的能力，难度适中．
4．如图，等边三角形的顶点A（1，1）、B（3，1），规定把等边△ABC“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次変换，如果这样连续经过2016次变换后，等边△ABC的顶点C的坐标为 （﹣2014，1） ．
【分析】据轴对称判断出点C变换后在x轴上方，然后求出点C纵坐标，再根据平移的距离求出点C变换后的横坐标，最后写出即可．
【解析】解：∵△ABC是等边三角形AB＝3﹣1＝2，
∴点C到x轴的距离为1+21，
横坐标为2，
∴C（2，1），
第2016次变换后的三角形在x轴上方，
点C的纵坐标为1，
横坐标为2﹣2016×1＝﹣2014，
所以，点C的对应点C′的坐标是（﹣2014，1），
故答案为：（﹣2014，1）．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，等边三角形的性质，读懂题目信息，确定出连续2016次这样的变换得到三角形在x轴上方是解题的关键．
5．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B，O分别落在点B1，C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…．若点A（3，0），B（0，4），则点B2018的坐标为 （12108，4） ．
【分析】然后通过旋转发现，B、B2、B4…每偶数之间的B相差12个单位长度，根据这个规律可以求得B2018的横坐标，进而可得点B2018的坐标．
【解析】解：∵点A（3，0），B（0，4），
∴OA＝3，OB＝4，
∴AB5，
∴OA+AB1+B1C2＝3+5+4＝12，
观察图象可知，点B2018的纵坐标为4，
∵2018÷2＝1009，
∴点B2018的横坐标为1009×12＝12108，
∴点B2018的坐标为（12108，4）．
故答案为（12108，4）．
【点睛】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，规律型：点的坐标，解题的关键是循环探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．
三．解答题（共1小题）
6．一个动点在第一象限及x轴、y轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到（0，1），然后接着按图中箭头所示方向运动（即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→…），且每秒移动一个单位，那么第100秒时动点所在位置的坐标是 （10，0） ．
【分析】由题目中所给的质点运动的特点找出规律，到（2，0）用4秒，到（2，2）用6秒，到（0，2）用8秒，到（0，3）用9秒，到（3，3）用12秒，即可得出第100秒时质点所在位置的坐标．
【解析】解：质点运动的速度是每秒运动一个单位长度，（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）用的秒数分别是1秒，2秒，3秒，到（2，0）用4秒，到（2，2）用6秒，到（0，2）用8秒，到（0，3）用9秒，到（3，3）用12秒，到（4，0）用16秒，依此类推，到（10，0）用100秒．
故第100秒时质点所在位置的坐标是（10，0）．
故答案为：（10，0）．
【点睛】此题主要考查了数字变化规律，解决本题的关键是正确读懂题意，能够正确确定点运动的顺序，确定运动的距离，从而可以得到到达每个点所用的时间．
考点二
等腰三角形的存在性问题
【方法点拨】分类讨论哪两条边相等，运用“两圆一线”的方法求点的坐标
1．如图，点A的坐标是（2，2），若点P在x轴上，且△APO是等腰三角形，则点P的坐标不可能是（ ）
A．（2，0）
B．（4，0）
C．（，0）
D．（3，0）
【分析】先根据勾股定理求出OA的长，再根据①AP＝PO；②AO＝AP；③AO＝OP分别算出P点坐标即可．
【解析】解：点A的坐标是（2，2），
根据勾股定理可得：OA＝2，
①若AP＝PO，可得：P（2，0），
②若AO＝AP可得：P（4，0），
③若AO＝OP，可得：P（2，0）或（﹣2，0），
∴P（2，0），（4，0），（﹣2，0），
故点P的坐标不可能是：（3，0）．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了坐标与图形的性质，等腰三角形的判定，关键是掌握等腰三角形的判定：有两边相等的三角形是等腰三角形，再分情况讨论．
2．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），在坐标轴上找一点P，使得△AOP是等腰三角形，则这样的点P共有 8 个．
【分析】建立网格平面直角坐标系，然后作出符合等腰三角形的点P的位置，即可得解．
【解析】解：如图所示，使得△AOP是等腰三角形的点P共有8个．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直观．
3．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（20，0），（0，8），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是以10为腰长的等腰三角形时，点P的坐标为 （6，8）或（4，8）或（16，8） ．
【分析】分为三种情况①DP＝OD＝10，②OP＝OD＝10，③OP＝DP＝10，根据勾股定理求出DE，OE即可．
【解析】解：由题意，当△ODP是腰长为10的等腰三角形时，有三种情况：
（1）如答图①所示，PD＝OD＝10，点P在点D的左侧．
过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝8．
在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE6，
∴OE＝OD﹣DE＝10﹣6＝4，
∴此时点P坐标为（4，8）；
（2）如答图②所示，OP＝OD＝10．
过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4．
在Rt△POE中，由勾股定理得：OE6，
∴此时点P坐标为（6，8）；
（3）如答图③所示，PD＝OD＝10，点P在点D的右侧．
过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝8．
在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE6，
∴OE＝OD+DE＝10+6＝16，
∴此时点P坐标为（16，8）．
综上所述，点P的坐标为：（4，8）或（6，8）或（16，8）．
故答案为：（6，8）或（4，8）或（16，8）．
【点睛】本题考查了矩形性质，等腰三角形的判定，坐标与图形性质，勾股定理的应用，关键是求出符合条件的所有情况．
4．如图，点A的坐标为（0，8），点B的坐标为（6，0），在x轴上确定一点P，使△PAB为一个等腰三角形，则P点的坐标可以是 （，0）或（﹣6，0）或（16，0）或（﹣4，0） ．
【分析】分以AB为底、AB为腰A为顶点、AB为腰B为顶点三种情况讨论即可．
【解析】解：①以AB为底边时，
作AB的垂直平分线交x轴于点P1，
则P1A＝P1B
设点P的坐标为（a，0）
则a2+82＝（6﹣a）2
解得：a
∴P1（，0）
②当以AB为腰A为顶点时，
如图2，以A为圆心，以AB的长为半径作圆，交x轴于点P2，
此时OB＝OP2，
故p2的坐标为（﹣6，0）
③以AB为腰B为顶点时，如图3，以B为圆心以BA的长为半径作圆交x轴于点P3和P4，
此时BP3＝BP4＝AB＝10，
∴点P3的坐标为（16，0），点P4的坐标为（﹣4，0）
故答案为：（，0）或（﹣6，0）或（16，0）或（﹣4，0）
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，能够分三种情况分类讨论是解题的关键．
5．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形ABCD是矩形，顶点A、B、C、D的坐标分别为（7，0），（7，4），（﹣4，4），（﹣4，0），点E（5，0），点P在CB边上运动，使△OPE为等腰三角形，则满足条件的点P有 4 个．
【分析】分别以O、E为圆心，以OE的长为半径作圆与BC相交，再作OE的垂直平分线与CB相交，交点即为所求的点P．
【解析】解：如图，使△OPE为等腰三角形的P点有：
（﹣3，4）（2，4）（2.5，4）（3，4）（8，4），
∵点（8，4）不在矩形ABCD的边BC上，
∴满足条件的点P有4个．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了矩形的性质，坐标与图形性质，等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
6．如图，已知一次函数y＝kx的图象经过点M（2，0），与正比例函数
y的图象交于点A，过点A作AB垂直于x轴于点B．
（1）求k值；并计算y＝kx的图象与坐标轴围成的三角形的面积；
（2）求交点A的坐标，计算AM的长；
（3）在x轴上是否存在点P，使得以三点P、A、M组成的三角形AMP为等腰三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）把点M（2，0）代入即可求出k的值，然后即可求出三角形的面积；
（2）由，即可解得点A的坐标；
（3）分三种情况讨论：①当PA＝PM时，②当AM＝MP时，③当AP＝AM时．
【解析】解：（1）∵一次函数y＝kx的图象经过点M（2，0），
∴2k0，
∴k，
∴yx的图象与坐标轴围成的三角形的面积2；
（2）∵yx与正比例函数y的图象交于点A，
∴，
解得，
∴A（﹣2，3），
∵M（2，0），
∴AM5；
（3）假设存在P，设P（a，0），①当PA＝PM时，P（，0）；
②当AM＝MP时，|a﹣2|＝5，解得a＝7或a＝﹣3；
③当AP＝AM时，（a+2）2+9＝25，解得a＝2或a＝﹣6；
故存在P点坐标为：（，0）或（7，0）或（﹣3，0）或（﹣6，0）．
【点睛】本题考查了一次函数的综合知识，难度一般，关键是掌握分类讨论的思想求解．
7．在平面直角坐标系中，已知点B（a，b），线段BA⊥y轴于A点，线段BC⊥x轴于C点，且（a+2）20．
（1）求A，C两点的坐标；
（2）若点D是BC的中点，点E的横坐标是﹣1，求E点坐标及△AEC的面积；
（3）请在y轴上确定一点P，使得△ACP为等腰三角形．（直接写出P点坐标，不用书写过程）．
【分析】（1）根据非负性可求a，b的值，即可求点B，点A，点C的坐标；
（2）根据中点坐标公式可求点D坐标，即可求OD解析式，将点E的横坐标代入，可求点E的坐标，根据三角形面积的和差关系，可求△AEC的面积；
（3）分AC＝AP，AC＝CP，CP＝AP三种情况讨论，根据等腰三角形的性质和勾股定理可求点P的坐标．
【解析】解：（1）∵（a+2）20，
∴a＝﹣2，b＝4
∴点B（﹣2，4）
∵线段BA⊥y轴于A点，线段BC⊥x轴于C点，
∴点A（0，4），点C（﹣2，0）
（2）∵点B（﹣2，4），点C（﹣2，0），点D是BC的中点，
∴点D（﹣2，2）
∴直线DO的解析式为：y＝﹣x
∵点E的横坐标是﹣1，
∴点E（﹣1，1）
∵S△AEC＝S△ACO﹣S△COE﹣S△AEO，
∴S△AEC2×41
（3）∵点A（0，4），点C（﹣2，0）
∴AO＝4，CO＝2，
∵AC2
若AC＝AP＝2，且点A（0，4）
∴点P（0，4+2）或（0，4﹣2）
若AC＝CP，且CO⊥AO，
∴AO＝OP＝4
∴点P（0，﹣4）
若AP＝CP，如图，
在Rt△COP中，CP2＝CO2+OP2，
∴AP2＝4+（4﹣AP）2，
∴AP
∴OP
∴点P（0，）
综上所述：点P的坐标为：（0，）或（0，4+2）或（0，4﹣2）或（0，﹣4）．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了中点公式，等腰三角形的性质，一次函数的应用，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
(
13
)
