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专题01
第一章
丰富的图形世界
B卷培优必备知识方法
1.对几何体分类的一般角度：点(顶点)、线(棱)、面(围成几何体的表面).
2.多面体中,点线面之间的关系:顶点数+面数=棱数.
3.(1)棱柱的数量特征:面的个数为+2,顶点的个数为2,棱的条数为3;
(2)棱棱锥的数量特征:面的个数为+1,顶点的个数为+1,棱的条数为2;
4.确定立方体各面上数字的方法:一个中心定四周,剩下一个是对面.
5.得到正方体平面展开图,需要剪开7条棱,共有11种展开图.可分为四类:
(1)“141型”;
(2)“231型”：“2”行与“3”行错位一个;
(3)“222型”：二二相连各错位一个;
(4)“33型”：三三相连错位一个;
6.用一个平面截一个多面体，所得截面是一个多边形，其边数不超过多面体的面数.
7.(1)画三视图时,看不见但又实际存在的线画成虚线;
(2)由三视图确定几何体个数的方法是:①按主视图层数,在俯视图中按个数最多的可能性标数字;②按左视图的层数,在俯视图中按个数最多的可能性标数字,两次矛盾的,以后标注的为准;③俯视图中所有数字之和就是几何体中所含小正方体的个数.
(3)由“主视图”+“俯视图”确定最多与最少的方法：在俯视图中填“数字”，每个取最多，则结果最多；一个取最多，其余取最少，则结果最少.
8.对于有与三视图方向不平行的斜面的立方体图形的表面积,由各个表面面积之和得到;由小正方体搭成的有六个面的立方体的表面积计算公式;
B卷培优典型例题
例1：1．如图是一个三视图，则它所对应的几何体是（ ）
A．
B．
C．
D．
思路点拨方法一：抓特殊性（第二层几何体俯视图是圆，且直径等于第一层几何体俯视图宽的只有B选项）；方法二：排除法（依次验证是否符合三视图特征）
例2：
一个长方体礼盒的展开图如图所示（重叠部分不计）则该长方体的表面积为（ ）
A．34
B．36
C．42
D．46
思路点拨
（1）找出隐藏数据是关键：能重合的是棱是等长的棱，通过“等长”转移数据.(2)展开图面积计算法:“分割”计算法；“补形”计算法.
例3：已知一个直角三角形的两直角边分别是6,
8.将这个直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周，可以得到一个圆锥，则这个圆锥的体积是______________.(结果用π表示)
思路点拨
（1）旋转轴不唯一确定,因此需要分类讨论.(2).
例4：如图是一个正方体的平面展开图，标注了A字母的是正方体的正面，如果正方体的左面与右面标注的式子相等．
（1）求的值；
（2）求正方体的上面和右面的数字和．
思路点拨
（1）确定正方体平面展开图“相对面”的方法：“同行间一或换行间一是对面”；(2)确定正方体平面展开图“相邻面”的方法：“共顶共线是邻面”.
例5：如图，有一个立方体，它的表面涂满了红色，在它每个面上切两刀，得到27个小立方体，而且凡是切面都是白色。问：
(1)小立方体中三面红的有几块?两面红的呢?一面红的呢?没有红色的面呢?
(2)如果每面切三刀，情况又怎样呢?
(3)每面切刀呢?
思路点拨
（1）“一面色”在面上，不在棱上；“两面色”在棱上，不在顶点上；“三面色”只在顶点上；“无色”只在立方体内部.(2)切刀后,每条棱一侧有(+1)个小正方形.
例6：如图①是一个正方体，不考虑边长的大小，它的平面展开图为图②，四边形APQC是截正方体的一个截面．问截面的四条线段AC，CQ，QP，PA分别在展开图的什么位置上？
思路点拨
（1）在展开图中找“立体图形公共点”的口诀：换行间一间二是“公共点”.(2)把立体图形中相关线段转移到平面展开图中对应位置的关键：先定线段的两端点.
B卷培优能力专题训练
一．选择题（共12小题）
1．对如图的几何体变换位置或视角，则可以得到的几何体是（ ）
B．
C．
D．
2．如图是一个几何体的三视图，其中主视图与左视图完全一样，则这个几何体的表面积是（ ）
A．80﹣2π
B．80+4π
C．80
D．80+6π
3．已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示．若沿OM将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（ ）
B．
C．
D．
4．如图是一个长方形截去两个角后的立体图形，如果照这样截去长方形的八个角，那么新的几何体的棱有（ ）
A．26条
B．30条
C．36条
D．42条
5．如图，是一个正方体的展开图，这个正方体可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．如图是一物体的展开图，每个面内都标了字母用来代表该面的序号，则下列说法错误的是（ ）
A．若A在长方体的底部，则F面一定在上面
B．若F面在前面，从左面看是B面，则E面在上面
C．若从右面看C面，D面在后面，则F面一定在下面
D．如果F面在下面，右面看是E面，则B面在后面
7．如图，把一个棱长为3的正方体的每个面等分成9个小正方形，然后沿每个面正中心的一个正方形向里挖空（相当于挖去7个小正方体），所得到的几何体的表面积是（ ）
A．78
B．72
C．54
D．48
8．如图，是一个正方体形状的商品包装盒，它的上底面被分成四个全等的等腰直角三角形，图中有一个面被涂成红色（其余均为白色）．下列图形中，可能是该包装盒表面展开图的示意图的是（ ）
B．
C．
D．
9．如图，已知BC是圆柱底面的直径，AB是圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈路径最短的金属丝，现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．如图，一个正方体的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6．根据图中三种状态所显示的数字，正方体的正面“？”表示的数字是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．6
11．你小时候玩过积木吗？有关专家指出，搭积木游戏可以促进孩子视觉智能的成长．当孩子刚开始搭积木时，首先会学习到的是线条的排列组合，接着则是思考如何运用空间的垂直性来搭建塔楼．下面就来测试一下你搭积木的水平吧．在下列四个积木块中，能与右图完全组合拼成一个4×4×4的正方体木块的是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．如图，5个棱长为1cm的立方体摆在桌子上，则露在表面的部分的面积为（ ）
A．13cm2
B．16cm2
C．20cm2
D．23cm2
二．填空题（共9小题）
13．用一个平面截下列几何体：①长方体，②六棱柱，③球，④圆柱，⑤圆锥，截面能得到三角形的是
（填写序号即可）
14．由几个相同的小正方体搭成的几何体从三面看的形状如图所示，则搭成的这个几何体的小正方体的个数是
．
15．一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，如图分别是从它的正面、上面看到的形状图，则该几何体至少是用
个小立方块搭成的，至多是用
个小立方块搭成的．
16．如图，是由10个完全相同的小正方体堆成的几何体．若现在你还有若干个相同的小正方体，在保证该几何体的从上面、从正面、从左面看到的图形都不变的情况下，最多还能放
个小正方体．
17．如图所示的几何体都是由棱长为1个单位的正方体摆成的，经计算可得第（1）个几何体的表面积为6个平方单位，第（2）个几何体的表面积为18个平方单位，第（3）个几何体的表面积是36个平方单位，…依次规律，则第（20）个几何体的表面积是
个平方单位．
18．如图，在一次数学活动课上，小明用18个棱长为1的正方体积木搭成一个几何体，然后他请小亮用其他棱长为1的正方体积木在旁边再搭一个几何体，使小亮所搭几何体恰好和小明所搭几何体拼成一个无空隙的大长方体（不改变小明所搭几何体的形状）．
请从下面的A、B两题中任选一题作答，我选择
．
A、按照小明的要求搭几何体，小亮至少需要
个正方体积木．
B、按照小明的要求，小亮所搭几何体的表面积最小为
．
19．一位画家把边长为1米的7个相同正方体摆成如图的形式，然后把露出的表面涂上颜色，则涂色面积为
平方米．
20．如图，将一张长为17，宽为11的长方形纸片，去掉阴影部分，恰可以围成一个宽是高2倍的长方体纸盒，这个长方体纸盒的容积是
．
21．一个无盖的长方形包装盒展开后如图所示（单位：cm），则其容积为
cm3．
三．解答题（共10小题）
22．图（1）是图（2）正方体的表面展开图，请在图（2）的正方体中将线段BD、EF画出来．
23．如图所示为一几何体的三视图：
（1）写出这个几何体的名称；
（2）任意画出这个几何体的一种表面展开图；
（3）若长方形的高为10cm，正三角形的边长为4cm，求这个几何体的侧面积．
24．如图，是由一些棱长为单位1的相同的小正方体组合成的简单几何体．
（1）图中有
块小正方体；
（2）请分别画出该几何体的左视图和俯视图．
25．如图是一个三棱柱，观察这个三棱柱，请回答下列问题：
（1）这个三棱柱共有多少个面？
（2）这个三棱柱一共有多少条棱？
（3）这个三棱柱共有多少顶点？
（4）通过对棱柱的观察，请你说出n棱柱的面数、顶点数及棱的条数．
26．如图所示，用标有数字1、2、3、4的四块正方形，以及标有字母A、B、C、D、E、F、H的七块正方形中任意一块，用这5块连在一起的正方形折叠成一个无盖的正方体盒子，一共有几种不同的方法？写出这些方法所用到正方形所标有的数字和字母．（例如：1、2、3、4、F）
27．把正方体的六个面分别涂上六种不同的颜色，且每个颜色都代表不同的数字，各个颜色所代表的数字情况如下表所示：
颜色
黄
白
红
紫
绿
蓝
花的朵数
0
﹣2
3
1
﹣1
4
将上述大小相同，颜色分布完全一样的四个正方体拼成一个如图所示的长方体，长方体水平放置，则：
（1）在正方体中，与涂蓝色的面相对的面是什么颜色？
（2）该长方体下底面四个正方形所涂颜色代表的数字的和是多少？
28．如图所示是长方形的表面展开图，折叠成一个长方体．
（1）与字母F重合的点有
；
（2）若DE＝4，AD＝16，CK＝20，求原长方体的容积是多少？
29．如图，左图为一个棱长为4的正方体，右图为左图的表面展开图（字在外表面上），请根据要求回答问题：
（1）面“成”的对面是面
；
（2）如果面“丽”在右面，面“美”在后面，面
会在上面；
（3）左图中，M．N为所在棱的中点，试在右图中画出点M．N的位置；右图中三角形AMN的面积为
．
30．某班数学活动小组的同学用纸板制作长方体包装盒，其平面展开图和相关尺寸如下，其中阴影部分为内部粘贴角料（单位：毫米）
（1）此长方体包装盒的体积为
立方毫米（用含x、y的式子表示）．
（2）若内部粘贴角料的面积占长方体表面纸板面积的，求当x＝40，y＝70时制作这样一个长方体共需要纸板多少平方毫米？
31．如图①，从大正方体上截去一个小正方体之后，可以得到图②的几何体．
（1）设原大正方体的表面积为S，图②中几何体的表面积为S1，那么S1与S的大小关系是
A．S1＞S
B．S1＝S
C．S1＜S
D．无法确定
（2）小明说：“设图①中大正方体各棱的长度之和为l，图②中几何体各棱的长度之和为l1，那么l1比l正好多出大正方体3条棱的长度．”你认为这句话对吗？为什么？
（3）如果截去的小正方体的棱长为大正方体棱长的一半，那么图③是图②中几何体的表面展开图吗？如有错误，请予修正．
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专题01
第一章
丰富的图形世界
B卷培优必备知识方法
1.对几何体分类的一般角度：点(顶点)、线(棱)、面(围成几何体的表面).
2.多面体中,点线面之间的关系:顶点数+面数=棱数.
3.(1)棱柱的数量特征:面的个数为+2,顶点的个数为2,棱的条数为3;
(2)棱棱锥的数量特征:面的个数为+1,顶点的个数为+1,棱的条数为2;
4.确定立方体各面上数字的方法:一个中心定四周,剩下一个是对面.
5.得到正方体平面展开图,需要剪开7条棱,共有11种展开图.可分为四类:
(1)“141型”;
(2)“231型”：“2”行与“3”行错位一个;
(3)“222型”：二二相连各错位一个;
(4)“33型”：三三相连错位一个;
6.用一个平面截一个多面体，所得截面是一个多边形，其边数不超过多面体的面数.
7.(1)画三视图时,看不见但又实际存在的线画成虚线;
(2)由三视图确定几何体个数的方法是:①按主视图层数,在俯视图中按个数最多的可能性标数字;②按左视图的层数,在俯视图中按个数最多的可能性标数字,两次矛盾的,以后标注的为准;③俯视图中所有数字之和就是几何体中所含小正方体的个数.
(3)由“主视图”+“俯视图”确定最多与最少的方法：在俯视图中填“数字”，每个取最多，则结果最多；一个取最多，其余取最少，则结果最少.
8.对于有与三视图方向不平行的斜面的立方体图形的表面积,由各个表面面积之和得到;由小正方体搭成的有六个面的立方体的表面积计算公式;
B卷培优典型例题
例1：1．如图是一个三视图，则它所对应的几何体是（ ）
A．
B．
C．
D．
思路点拨方法一：抓特殊性（第二层几何体俯视图是圆，且直径等于第一层几何体俯视图宽的只有B选项）；方法二：排除法（依次验证是否符合三视图特征）
【解答】解：本题中，只有B的几何体和题目中的几何体一致．
故选：B．
例2：
一个长方体礼盒的展开图如图所示（重叠部分不计）则该长方体的表面积为（ ）
A．34
B．36
C．42
D．46
思路点拨
（1）找出隐藏数据是关键：能重合的是棱是等长的棱，通过“等长”转移数据.(2)展开图面积计算法:“分割”计算法；“补形”计算法.
【解答】解：2×==34．
故选：A．
例3：已知一个直角三角形的两直角边分别是6cm,
8cm.将这个直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周，可以得到一个圆锥，则这个圆锥的体积是______________.(结果用π表示)
思路点拨
（1）旋转轴不唯一确定,因此需要分类讨论.(2).
【解答】解：分两种情况：①；②
所以这个圆锥的体积是128π或96π.
例4：如图是一个正方体的平面展开图，标注了A字母的是正方体的正面，如果正方体的左面与右面标注的式子相等．
（1）求的值；
（2）求正方体的上面和右面的数字和．
思路点拨
（1）确定正方体平面展开图“相对面”的方法：“同行间一或换行间一是对面”；(2)确定正方体平面展开图“相邻面”的方法：“共顶共线是邻面”.
【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“A”与“?2”是相对面，
“3”与“1”是相对面，
“”与“3?2”是相对面，
(1)∵正方体的左面与右面标注的式子相等，
∴=3?2，
解得=1.
(2)正方体前后左右四个面的文字分别是：A.??2、、3?2，
依题意得A?2++3?2=?12
A?2+1+3?2=?12
A=?12.
例5：如图，有一个立方体，它的表面涂满了红色，在它每个面上切两刀，得到27个小立方体，而且凡是切面都是白色。问：
(1)小立方体中三面红的有几块?两面红的呢?一面红的呢?没有红色的面呢?
(2)如果每面切三刀，情况又怎样呢?
(3)每面切刀呢?
思路点拨
（1）“一面色”在面上，不在棱上；“两面色”在棱上，不在顶点上；“三面色”只在顶点上；“无色”只在立方体内部.(2)切刀后,每条棱一侧有(+1)个小正方形.
【解答】解：(1)小立方体中三面红的有8块，两面红的12块，一面红的6块，没有红色的1块。
(2)如果每面切三刀，小立方体中三面红的有8块，两面红的24块，一面红的24块，没有红色的8块。
(3)每面切n刀,小立方体中三面红的有8块,两面红的6(2n?2)块,一面红的块,没有红色的块。
例6：如图①是一个正方体，不考虑边长的大小，它的平面展开图为图②，四边形APQC是截正方体的一个截面．问截面的四条线段AC，CQ，QP，PA分别在展开图的什么位置上？
思路点拨
（1）在展开图中找“立体图形公共点”的口诀：换行间一间二是“公共点”.(2)把立体图形中相关线段转移到平面展开图中对应位置的关键：先定线段的两端点.
【解答】(1)考虑到展开图上有六个顶点没有标出，可想象将展开图折成立体形，并在顶点上标出对应的符号，见图。
(2)根据四边形所在立体图形上的位置，确定其顶点所在的点和棱，以及四条边所在的平面：
顶点：A?A，C?C，P在EF边上，Q在GF边上。边AC在ABCD面上，AP在ABFE面上，QC在BCGF面上，PQ在EFGH面上。
(3)将上面确定的位置标在展开图上，并在对应平面上连线。需要注意的是，立体图上的A，C点在展开图上有三个，B，D点在展开图上有二个，所以在标点连线时必须注意连线所在的平面，连好线的图形如图。
B卷培优能力专题训练
一．选择题（共12小题）
1．对如图的几何体变换位置或视角，则可以得到的几何体是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】我们在观察物体时，无论什么角的观察物体，物体的形状都不会发生改变．
【解答】解：本题中，只有B的几何体和题目中的几何体一致．
故选：B．
2．如图是一个几何体的三视图，其中主视图与左视图完全一样，则这个几何体的表面积是（ ）
A．80﹣2π
B．80+4π
C．80
D．80+6π
【分析】由三视图可知，该几何体是长方体，中间是空心圆柱体，长方体的长宽高分别为4，4，3，圆柱体直径为2，高为3，据此解答即可．
【解答】解：由三视图可知，该几何体是长方体，中间是空心圆柱体，长方体的长宽高分别为4，4，3，圆柱体直径为2，高为3，
长方体表面积：4×4×2+4×3×4＝80，圆柱体侧面积2π×3＝6π，上下表面空心圆面积：2π，
∴这个几何体的表面积是：80+6π﹣2π＝80+4π，
故选：B．
3．已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示．若沿OM将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】此题运用圆锥的性质，同时此题为数学知识的应用，由题意蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短，就用到两点间线段最短定理．
【解答】解：蜗牛绕圆锥侧面爬行的最短路线应该是一条线段，因此选项A和B错误，又因为蜗牛从p点出发，绕圆锥侧面爬行后，又回到起始点P处，那么如果将选项C、D的圆锥侧面展开图还原成圆锥后，位于母线OM上的点P应该能够与母线OM′上的点（P′）重合，而选项C还原后两个点不能够重合．
故选：D．
4．如图是一个长方形截去两个角后的立体图形，如果照这样截去长方形的八个角，那么新的几何体的棱有（ ）
A．26条
B．30条
C．36条
D．42条
【分析】一个长方体有4+4+4＝12条棱，一个角上裁出3条棱，即8个角共3×8条棱，相加即可．
【解答】解：∵一个长方体有4+4+4＝12条棱，
一个角上裁出3条棱，即8个角共3×8条棱，
∴12+3×8＝36，
故选：C．
5．如图，是一个正方体的展开图，这个正方体可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】结合正方体的展开图中圆点所在面的位置，把展开图折叠再观察其位置，即可得到这个正方体．
【解答】解：把展开图折叠后，只有B选项符合图形，
故选：B．
6．如图是一物体的展开图，每个面内都标了字母用来代表该面的序号，则下列说法错误的是（ ）
A．若A在长方体的底部，则F面一定在上面
B．若F面在前面，从左面看是B面，则E面在上面
C．若从右面看C面，D面在后面，则F面一定在下面
D．如果F面在下面，右面看是E面，则B面在后面
【分析】利用长方体及其表面展开图的特点解题．
【解答】解：这是一个长方体的平面展开图，共有六个面，
其中面“A”与面“F”相对，面“E”与面“C”相对，“B”与面“D”相对．
所以A，C，D的说法都正确．
故选：B．
7．如图，把一个棱长为3的正方体的每个面等分成9个小正方形，然后沿每个面正中心的一个正方形向里挖空（相当于挖去7个小正方体），所得到的几何体的表面积是（ ）
A．78
B．72
C．54
D．48
【分析】如图所示，一、棱长为3的正方体的每个面等分成9个小正方形，那么每个小正方形的边长是1，所以每个小正方面的面积是1；二、正方体的一个面有9个小正方形，挖空后，这个面的表面积增加了3个小正方形，即：每个面有12个小正方形，6个面就是6×12＝72个，那么几何体的表面积为72×1＝72．
【解答】解：如图所示，周边的六个挖空的正方体每个面增加4个正方形，且减少了1个正方形，则每个面的正方形个数为12个，则表面积为12×6×1＝72．
故选：B．
8．如图，是一个正方体形状的商品包装盒，它的上底面被分成四个全等的等腰直角三角形，图中有一个面被涂成红色（其余均为白色）．下列图形中，可能是该包装盒表面展开图的示意图的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据图中符号所处的位置关系作答．
【解答】解：画出所给平面图形，把所给的平面图形进行折叠，得到正方体，摆成各个选项的正面所对的情况，可得选项D正确．
故选：D．
9．如图，已知BC是圆柱底面的直径，AB是圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈路径最短的金属丝，现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．
【解答】解：因圆柱的展开面为长方形，AC展开应该是两直线，且有公共点C．
故选：B．
10．如图，一个正方体的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6．根据图中三种状态所显示的数字，正方体的正面“？”表示的数字是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．6
【分析】由于第一个、第二个正方体中都显示了数字1，判断出1的对面是6；又通过第一个、第三个正方体可知3的对面是4，则2与5相对，由此得出正方体六面数字．再根据第三个正方体摆放情况得出答案．
【解答】解：依题意可知由于1同时和2、3、4、5相邻，则1的对面是6，当3在上边时，5在右边，4在下面，时，2在左边，那么1在后面，前面是6，
故选：D．
11．你小时候玩过积木吗？有关专家指出，搭积木游戏可以促进孩子视觉智能的成长．当孩子刚开始搭积木时，首先会学习到的是线条的排列组合，接着则是思考如何运用空间的垂直性来搭建塔楼．下面就来测试一下你搭积木的水平吧．在下列四个积木块中，能与右图完全组合拼成一个4×4×4的正方体木块的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】先数出右图积木块数为35块，用4×4×4的正方体木块的块数64，再观察图象，即可得出四个积木块中符合的选项．
【解答】解：∵4×4×4的正方体木块数为64块，右图积木块数为35块，
又∵64﹣35＝29块，选项中的积木块数小于等于29块，
观察图象可知A、D的积木块数等于29块，只有D能与右图完全组合拼成一个4×4×4的正方体木块．
故选：D．
12．如图，5个棱长为1cm的立方体摆在桌子上，则露在表面的部分的面积为（ ）
A．13cm2
B．16cm2
C．20cm2
D．23cm2
【分析】熟悉视图的概念及定义即可解．上面一个露出5个面，下面四个均露出3个面还要考虑被上面覆盖的一个．
【解答】解：根据以上分析每个面的面积为1cm2露在表面部分的面积为3×4﹣1+5＝16个面故为16cm2，故选B．
二．填空题（共9小题）
13．用一个平面截下列几何体：①长方体，②六棱柱，③球，④圆柱，⑤圆锥，截面能得到三角形的是 ①②⑤ （填写序号即可）
【分析】根据用一个平面截一个几何体得到的面叫做几何体的截面，利用常见图形分析得出即可．
【解答】解：①长方体能截出三角形；
②六棱柱沿对角线截几何体可以截出三角形；
③球不能截出三角形；
④圆柱不能截出三角形；
⑤圆锥能截出三角形；
故截面可能是三角形的有①②⑤共3个．
故答案为：①②⑤．
14．由几个相同的小正方体搭成的几何体从三面看的形状如图所示，则搭成的这个几何体的小正方体的个数是 5 ．
【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图和左视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数．
【解答】解：综合三视图，我们可得出，这个几何体的底层应该有2+1＝3个小正方体；
第二层应该有1个小正方体；
第三层应有1个小正方体；
因此搭成这个几何体的小正方体的个数是3+1+1＝5个．
故答案为：5．
15．一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，如图分别是从它的正面、上面看到的形状图，则该几何体至少是用 8 个小立方块搭成的，至多是用 11 个小立方块搭成的．
【分析】根据题意可以得到该几何体从正面和上面看至少有多少个小立方体，综合考虑即可解答本题．
【解答】解：根据俯视图视图可得，俯视图中有6个小立方体；
根据主视图可知第二层最多有5个小立方体，最少有2个小立方体，
所以则该几何体至少是用8个小立方块搭成的，至多是用11个小立方块搭成的．
故答案为：8，11．
16．如图，是由10个完全相同的小正方体堆成的几何体．若现在你还有若干个相同的小正方体，在保证该几何体的从上面、从正面、从左面看到的图形都不变的情况下，最多还能放 1 个小正方体．
【分析】根据主视图是从正面看得到图形是主视图，从上面看得到的图形是俯视图，从左面看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：主视图是第一层三个小正方形，第二层是左边一个小正方形，中间一个小正方形，第三层是左边一个小正方形，
俯视图是第一层三个小正方形，第二层三个小正方形，
左视图是第一层两个小正方形，第二层两个小正方形，第三层左边一个小正方形，
不改变三视图，中间第二层加一个，
故答案为：1．
17．如图所示的几何体都是由棱长为1个单位的正方体摆成的，经计算可得第（1）个几何体的表面积为6个平方单位，第（2）个几何体的表面积为18个平方单位，第（3）个几何体的表面积是36个平方单位，…依次规律，则第（20）个几何体的表面积是 1260 个平方单位．
【分析】结合图形，发现：（1）中，图形的表面积是1×6＝6个平方单位；（2）中，图形的表面积是（1+2）×6＝18个平方单位；（3）中，图形的表面积是（1+2+3）×6＝36个平方单位；以此类推即可求解．
【解答】解：结合图形，发现：
第（20）个图形的表面积是（1+2+…+20）×6＝1260个平方单位．
故答案为：1260．
18．如图，在一次数学活动课上，小明用18个棱长为1的正方体积木搭成一个几何体，然后他请小亮用其他棱长为1的正方体积木在旁边再搭一个几何体，使小亮所搭几何体恰好和小明所搭几何体拼成一个无空隙的大长方体（不改变小明所搭几何体的形状）．
请从下面的A、B两题中任选一题作答，我选择 A ．
A、按照小明的要求搭几何体，小亮至少需要 18 个正方体积木．
B、按照小明的要求，小亮所搭几何体的表面积最小为 46 ．
【分析】A、首先确定小明所搭几何体所需的正方体的个数，然后确定两人共搭建几何体所需小立方体的数量，求差即可；
B、分别得到前后面，上下面，左右面的面积，相加即可求解．
【解答】解：A、∵小亮所搭几何体恰好可以和小明所搭几何体拼成一个无缝隙的大长方体，
∴该长方体需要小立方体4×32＝36个，
∵小明用18个边长为1的小正方体搭成了一个几何体，
∴小亮至少还需36﹣18＝18个小立方体，
B、表面积为：2×（8+8+7）＝46．
故答案为：A，18，46．
19．一位画家把边长为1米的7个相同正方体摆成如图的形式，然后把露出的表面涂上颜色，则涂色面积为 23 平方米．
【分析】依据图形，从上面，前后面，左右面5个方向看．
【解答】解：根据分析，涂色面积＝5+4×2+5×2＝23．
故答案为：23平方米．
20．如图，将一张长为17，宽为11的长方形纸片，去掉阴影部分，恰可以围成一个宽是高2倍的长方体纸盒，这个长方体纸盒的容积是 56 ．
【分析】设长为y，高为x，则宽为2x，依据图中想数据列方程组，即可得到这个长方体纸盒的容积．
【解答】解：设长为y，高为x，则宽为2x，依题意得
，
解得，
∴这个长方体纸盒的容积是4×2×7＝56，
故答案为：56．
21．一个无盖的长方形包装盒展开后如图所示（单位：cm），则其容积为 800 cm3．
【分析】先用20cm减去15cm求出高为5cm，再用15cm减去5cm求出宽为10cm，再用26cm减去10cm求出长为16cm，再根据长方体的体积公式计算即可求解．
【解答】解：20﹣15＝5（cm），
15﹣5＝10（cm），
26﹣10＝16（cm），
16×10×5＝800（cm3）．
答：其容积为800cm3．
故答案为：800．
三．解答题（共10小题）
22．图（1）是图（2）正方体的表面展开图，请在图（2）的正方体中将线段BD、EF画出来．
【分析】根据折叠，可得EF在后面，与顶点C相对，BD在下面，可得答案．
【解答】解：如图：
．
23．如图所示为一几何体的三视图：
（1）写出这个几何体的名称；
（2）任意画出这个几何体的一种表面展开图；
（3）若长方形的高为10cm，正三角形的边长为4cm，求这个几何体的侧面积．
【分析】（1）只有棱柱的主视图和左视图才能出现长方形，根据俯视图是三角形，可得到此几何体为三棱柱；
（2）应该会出现三个长方形，两个三角形；
（3）侧面积为3个长方形，它的长和宽分别为10cm，4cm，计算出一个长方形的面积，乘3即可．
【解答】解：（1）这个几何体是正三棱柱；
（2）表面展开图如下：
；
（3）侧面积：3×10×4＝120cm2．
24．如图，是由一些棱长为单位1的相同的小正方体组合成的简单几何体．
（1）图中有 10 块小正方体；
（2）请分别画出该几何体的左视图和俯视图．
【分析】（1）最前面1排1个小正方体，中间1排有3个正方体，最后面一排共6个小正方体，再计算总和即可．
（2）由已知条件可知，左视图有3列，每列小正方形数目分别为3，2，1；俯视图有3列，每列小正方数形数目分别为3，2，1，据此可画出图形．
【解答】解：（1）正方体的个数：6+3+1＝10，
故答案为：10；
（2）如图所示：
25．如图是一个三棱柱，观察这个三棱柱，请回答下列问题：
（1）这个三棱柱共有多少个面？
（2）这个三棱柱一共有多少条棱？
（3）这个三棱柱共有多少顶点？
（4）通过对棱柱的观察，请你说出n棱柱的面数、顶点数及棱的条数．
【分析】根据观察可发现规律n棱柱的面数（n+2）、顶点数是2n，棱的条数是3n，可得答案．
【解答】解：（1）这个三棱柱共有5个面
（2）这个三棱柱一共有9条棱；
（3）这个三棱柱共有6顶点
（4）通过对棱柱的观察，请你说出n棱柱的面数（n+2）、顶点数是2n，棱的条数是3n．
26．如图所示，用标有数字1、2、3、4的四块正方形，以及标有字母A、B、C、D、E、F、H的七块正方形中任意一块，用这5块连在一起的正方形折叠成一个无盖的正方体盒子，一共有几种不同的方法？写出这些方法所用到正方形所标有的数字和字母．（例如：1、2、3、4、F）
【分析】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题．本题注意要用5块（其中四块必须用到数字1234，余下的一块用字母）连在一起的正方形折成一个无盖方盒的限定条件．
【解答】解：将4个数字和1个字母括起来的不同的方法有：
（1、2、3、4、A），（1、2、3、4、B），（1、2、3、4、C），（1、2、3、4、D），（1、2、3、4、E）．
故一共有5种不同的方法．
27．把正方体的六个面分别涂上六种不同的颜色，且每个颜色都代表不同的数字，各个颜色所代表的数字情况如下表所示：
颜色
黄
白
红
紫
绿
蓝
花的朵数
0
﹣2
3
1
﹣1
4
将上述大小相同，颜色分布完全一样的四个正方体拼成一个如图所示的长方体，长方体水平放置，则：
（1）在正方体中，与涂蓝色的面相对的面是什么颜色？
（2）该长方体下底面四个正方形所涂颜色代表的数字的和是多少？
【分析】（1）在正方体中，与涂蓝色的面相对的面是白颜色；
（2）由图中显示的规律，可分别求出，右边正方体的下边为白色，左边为绿色，后面为紫色，按此规律，可依次得出右二的立方体的下侧为紫色，右三的为黄色，左一的为绿色，即可求出长方体下底面四个正方形所涂颜色代表的数字的和．
【解答】解：（1）在正方体中，与涂蓝色的面相对的面是白颜色
（2）由题意可得，题中的长方体涂红色的面与涂蓝、黄、紫、白色的面均相邻，
∴与涂红色的面相对的面是涂绿色的面，
∵涂白色的面与涂红、黄色的面均相邻，
∴与涂白色的面相对的面是涂蓝色的面，
∴与涂紫色的面相对的面是涂黄色的面，
∴长方体下面的四个面分别涂绿、黄、紫、白色，
∴长方体下底面四个正方形所涂颜色代表的数字的和是：﹣1+0+1﹣2＝﹣2．
28．如图所示是长方形的表面展开图，折叠成一个长方体．
（1）与字母F重合的点有 B ；
（2）若DE＝4，AD＝16，CK＝20，求原长方体的容积是多少？
【分析】（1）把展开图折叠成一个长方体，找到与F重合的点即可；
（2）根据题意得出原长方体的长、宽、高，从而可求得原长方体的容积．
【解答】解：（1）与F重合的点是B．
故答案为：B
（2）由题知，原长方体的长、宽、高对应的长度分别为12，4，8，
所以体积＝12×4×8＝384．
29．如图，左图为一个棱长为4的正方体，右图为左图的表面展开图（字在外表面上），请根据要求回答问题：
（1）面“成”的对面是面 爱 ；
（2）如果面“丽”在右面，面“美”在后面，面 成 会在上面；
（3）左图中，M．N为所在棱的中点，试在右图中画出点M．N的位置；右图中三角形AMN的面积为 18 ．
【分析】（1）正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答；
（2）根据（1）的结论解答即可；
（3）根据点M、N所在的棱与正方形ABCD的边的位置关系作出图形，再根据△AMN的面积等于梯形的面积减去两个三角形的面积列式计算即可得解．
【解答】解：（1）正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“美”与“我”是相对面，
“爱”与“成”是相对面，
“丽”与“都”是相对面，
故答案为：爱；
（2）∵面“丽”在右面，面“美”在后面，
∴面“成”会在上面；
故答案为：成；
（3）△AMN的面积（4+6）×82×46×6，
＝40﹣4﹣18，
＝40﹣22，
＝18．
或△AM′N10×2＝10，
故答案为：18或10．
30．某班数学活动小组的同学用纸板制作长方体包装盒，其平面展开图和相关尺寸如下，其中阴影部分为内部粘贴角料（单位：毫米）
（1）此长方体包装盒的体积为 65xy 立方毫米（用含x、y的式子表示）．
（2）若内部粘贴角料的面积占长方体表面纸板面积的，求当x＝40，y＝70时制作这样一个长方体共需要纸板多少平方毫米？
【分析】（1）由长方体包装盒的平面展开图，可知该长方体的长为y毫米，宽为x毫米，高为65毫米，根据长方体的体积＝长×宽×高即可求解；
（2）由于长方体的表面积＝2（长×宽+长×高+宽×高），又内部粘贴角料的面积占长方体表面纸板面积的，所以制作这样一个长方体共需要纸板的面积＝（1）×长方体的表面积．
【解答】解：（1）由题意，知该长方体的长为y毫米，宽为x毫米，高为65毫米，
则长方体包装盒的体积为：65xy立方毫米．
故答案为65xy；
（2）∵长方体的长为y毫米，宽为x毫米，高为65毫米，
∴长方体的表面积＝2（xy+65y+65x）平方毫米，
又∵内部粘贴角料的面积占长方体表面纸板面积的，
∴制作这样一个长方体共需要纸板的面积＝（1）×2（xy+65y+65x）（xy+65y+65x）xy+156y+156x（平方毫米），
∵x＝40，y＝70，
∴制作这样一个长方体共需要纸板40×70+156×70+156×40＝23880平方毫米．
31．如图①，从大正方体上截去一个小正方体之后，可以得到图②的几何体．
（1）设原大正方体的表面积为S，图②中几何体的表面积为S1，那么S1与S的大小关系是 B
A．S1＞S
B．S1＝S
C．S1＜S
D．无法确定
（2）小明说：“设图①中大正方体各棱的长度之和为l，图②中几何体各棱的长度之和为l1，那么l1比l正好多出大正方体3条棱的长度．”你认为这句话对吗？为什么？
（3）如果截去的小正方体的棱长为大正方体棱长的一半，那么图③是图②中几何体的表面展开图吗？如有错误，请予修正．
【分析】（1）根据平移的性质可得出S1与S的大小关系；
（2）利用立方体的性质得出得出棱长之间的关系；
（3）利用立方体的侧面展开图的性质得出即可．
【解答】解：（1）设原大正方体的表面积为S，图②中几何体的表面积为S1，
那么S1与S的大小关系是相等；
故选：B；
（2）设大正方体棱长为1，小正方体棱长为x，那么l1﹣l＝6x．
只有当x时，才有6x＝3，所以小明的话是不对的；
（3）如图所示：
．
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