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专题03
有理数及其运算：2有理数混合运算（B卷能力突破）
B卷培优经典例题
例1：（2019?浙江校级自主招生）将1，2，3，4，…，12，13这13个整数分为两组，使得一组中所有数的和比另一组中所有数的和大10，这样的分组方法（ ）
A．只有一种
B．恰有两种
C．多于三种
D．不存在
【点拨】先求得这组数的和，再根据一组的和比另一组的和多10，分别求得这两组数的和，确定分组方法．
【解析】解：1+2+…+13＝91，分为两组，一组的和为x，另一组的和为x﹣10，x+x﹣10＝91，x，
∵x为整数，∴没法分，
故选：D．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，此题难度较大．
例2：若S＝15+195+1995+19995+…．，则S的末四位数字的和为（ ）
A．10
B．14
C．18
D．20
【点拨】首先可得15＝20﹣5，195＝200﹣5，1995＝2000﹣5，…，2×102011﹣5，由22220﹣2011×5可以求出末四位数为2165，进而求出S的末四位数字的和．
【解析】解：15＝20﹣5，195＝200﹣5，1995＝2000﹣5，…，199…5＝2×102011﹣5，
故S＝15+195+1995+19995+…．20+200+2000+…+2×1099﹣2011×5，
22220﹣2011×5＝12165，
S的末四位数字为12165，
则S的末四位数字的和为1+2+1+6+5＝14．
故选：B．
【点睛】考查了有理数的加法，解答本题的关键是分别把199…5写成2×10n﹣5的形式，此题难度不大．
例3：（2019?霍邱县二模）阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22017
首先设S＝1+2+22+23+24+…+22017①则2S＝2+22+23+24+25+…+22018②
②﹣①得S＝22018﹣1即1+2+22+23+24+…+22017＝22018﹣1
以上解法，在数列求和中，我们称之为：“错位相减法”
请你根据上面的材料，解决下列问题
（1）求1+3+32+33+34+…+32019的值
（2）若a为正整数且a≠1，求1+a+a2+a3+a4+..+a2019
【点拨】（1）利用题中的方法设S＝1+3+32+33+34+…+32019
，两边乘以3得到3S＝3+32+33+34+35+…+32020
，然后把两式相减计算出S即可；
（2）利用（1）的方法计算．
【解析】解：（1）设S＝1+3+32+33+34+…+32019
①，
则3S＝3+32+33+34+35+…+32020
②，
②﹣①得2S＝32020﹣1，
所以S，
即1+3+32+33+34+…+32019；
（2）设S＝1+a+a2+a3+a4+..+a2019①，
则aS＝a+a2+a3+a4+..+a2019+a2020②，
②﹣①得：（a﹣1）S＝a2020﹣1，
所以S，
即1+a+a2+a3+a4+..+a2019．
【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类：认真观察、仔细思考，善用联想，利用类比的方法是解决这类问题的方法．
例4：4（2018?金堂县期末）我国现行的个人所得税法自2011年9月1日起施行，其中规定个人所得税纳税办法如下：一．以个人每月工资收入额减去3500元后的余额作为其每月应纳税所得额；二．个人所得税纳税税率如表所示．
纳税级数
个人每月应纳税所得额
纳税税率
1
不超过1500元的部分
3%
2
超过1500元至4500元的部分
10%
3
超过4500元至9000元的部分
20%
4
超过9000元至35000元的部分
25%
5
超过35000元至55000元的部分
30%
6
超过55000元至80000元的部分
35%
7
超过80000元的部分
45%
（1）若甲、乙两人的每月工资收入额分别为4500元和5500元，请分别求出甲、乙两人的每月应缴纳的个人所得税．
（2）若丙每月缴纳的个人所得税为145元，则丙每月的工资收入额应为多少？
【点拨】（1）根据月收入超过3500元起，超过部分在1500元内的部分，应按照3%的税率缴纳个人所得税，甲的月工资4500元，应缴税的部分是4500﹣3500＝1000元，再算出1000元应缴纳的税款即可；超过部分在1500元至4500元的部分，应按照10%的税率缴纳个人所得税，乙的月工资5500元，应缴税的部分是5500﹣3500＝2000元，再算出2000元应缴纳的税款即可；
（2）根据个人所得税纳税税率表可知，丙每月的工资收入额应为超过4500元至9000元的部分，设丙每月的工资收入额应为x元，根据丙每月缴纳的个人所得税为145元列出方程即可求解．
【解析】解（1）由题意可知：甲每月应缴纳的个人所得税为：
（4500﹣3500）×3%＝1000×3%＝30（元）；
乙每月应缴纳的个人所得税为1500×3%+（5500﹣3500﹣1500）×10%＝45+50＝95（元）；
（2）设丙每月的工资收入额为x元，则由题可得：
1500×3%+（x﹣3500﹣1500）×10%＝145
解得：x＝6000，
答：丙每月的工资收入额为6000元；
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解决本题关键是理解纳税的办法，找出应纳税的部分，学会利用参数构建方程解决问题．
例5：计算：
（1）1﹣2+3﹣4+5﹣6+…+99﹣100；
（2）1﹣2+3﹣4+5﹣6+…+99﹣100+101；
（3）1﹣2+3﹣4+5﹣6+…+（﹣1）n+1n（n为正整数）．
【点拨】（1）两个一组进行计算即可求解；
（2）两个一组进行计算即可求解；
（3）分n为偶数和奇数两种情况进行讨论计算即可求解．
【解析】解：（1）1﹣2+3﹣4+5﹣6+…+99﹣100
＝﹣1×（100÷2）
＝﹣1×50
＝﹣50；
（2）1﹣2+3﹣4+5﹣6+…+99﹣100+101
＝﹣1×[（101﹣1）÷2]+101
＝﹣1×50+101
＝﹣50+101
＝51；
（3）1﹣2+3﹣4+5﹣6+…+（﹣1）n+1n（n为正整数），
当n为偶数时，原式＝﹣1×（n÷2）；
当n为奇数时，原式＝﹣1×[（n﹣1）÷2]+n．
【点睛】本题主要考查的是规律型：数字的变化类，有理数的加减混合运算，应用加法的运算律进行简便计算是解题的关键．
B卷培优能力专题训练
一．选择题（共10小题）
1．（2018?金牛区期末）有理数﹣32，（﹣3）2，|﹣33|按从小到大的顺序排列是（ ）
A．|﹣33|＜﹣32＜（﹣3）2
B．|﹣33|＜（﹣3）2＜﹣32
C．﹣32＜|﹣33|＜（﹣3）2
D．﹣32＜（﹣3）2＜|﹣33|
【点拨】首先计算出﹣32＝﹣9，（﹣3）2＝9，|﹣33|＝27，再根据结果进行比较．
【解答】解：﹣32＝﹣9，（﹣3）2＝9，|﹣33|＝27，
∵﹣9＜9＜27，
∴﹣32＜（﹣3）2＜|﹣33|，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了有理数的大小，关键是掌握绝对值和有理数的乘方计算．
2．（2019?香坊区校级期中）一商店在某一时间以每件120元价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损20%，卖出这两件衣服总的盈亏情况如何（ ）
A．不盈不亏
B．盈利6元
C．盈利8元
D．亏损6元
【点拨】分别列方程求出两件衣服的进价，然后可得两件衣服分别赚了多少和赔了多少，则两件衣服总的盈亏就可求出．
【解答】解：设第一件衣服的进价为x，
依题意得：x（1+25%）＝120，
解得：x＝96，
所以赚了：120﹣96＝24（元）；
设第二件衣服的进价为y，
依题意得：y（1﹣20%）＝120，
解得：y＝150，
所以赔了：150﹣120＝30（元），
则两件衣服一共赔了30﹣24＝6（元）．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解决本题的关键是根据题意，列方程求出两件衣服的进价，进而求出总盈亏．
3．（2019?咸阳校级月考）99，这个运算应用了（ ）
A．加法交换律
B．乘法结合律
C．乘法交换律、乘法结合律
D．乘法分配律
【点拨】根据有理数的乘法，即可解答．
【解答】解：99，这个运算应用了乘法的分配律，
故选：D．
【点睛】本题考查了有理数的乘法，解决本题的关键是熟记有理数的乘法的分配律．
4．四个整数的积abcd＝9，且a≠b≠c≠d，那么a+b+c+d的值为（ ）
A．0
B．4
C．8
D．不能确定
【点拨】将9写成四个互不相等的整数的积的形式，只能是9＝﹣3×3×（﹣1）×1，从而确定a、b、c、d，求出它们的和．
【解答】解：∵四个整数的积abcd＝9，且a≠b≠c≠d，
又∵﹣3×3×（﹣1）×1＝9，
∴a+b+c+d＝﹣3+3+（﹣1）+1＝0．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了有理数的乘法法则．关键是理解题意，将9写成四个互不相等的整数的积的形式．
5．（2018?化德县校级期末）若（a+1）2+|b﹣2|＝0，则a+6（﹣a+2b）等于（ ）
A．5
B．﹣5
C．30
D．29
【点拨】首先根据非负数的性质求出a、b的值，然后再代值求解．
【解答】解：由题意，得：a+1＝0，b﹣2＝0，
即a＝﹣1，b＝2；
把a＝﹣1，b＝2代入a+6（﹣a+2b）＝29；
故选：D．
【点睛】本题考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．
6．下列计算正确的是（ ）
A．﹣3020×（）
B．（）÷（）＝﹣2
C．（）÷（）×（）
D．（）×（）＝0
【点拨】根据有理数数的乘法与除法运算对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、﹣3020×（）＝（﹣30+20），故本选项错误；
B、（）÷（）＝（）÷（）＝﹣2，故本选项正确；
C、（）÷（）×（）12，故本选项错误；
D、（）×（）＝﹣1×（），故本选项错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了有理数的乘法与除法，运算量较大，计算时要认真仔细．
7．（2019?佛山）实际测量一座山的高度时，可在若干个观测点中测量每两个相邻可视观测点的相对高度，然后用这些相对高度计算出山的高度．下表是某次测量数据的部分记录（用A﹣C表示观测点A相对观测点C的高度）根据这次测量的数据，可得观测点A相对观测点B的高度是（ ）米．
A﹣C
C﹣D
E﹣D
F﹣E
G﹣F
B﹣G
90米
80米
﹣60米
50米
﹣70米
40米
A．210
B．130
C．390
D．﹣210
【点拨】认真审题可以发现：A比C高90米，C比D高80米，D比E高60米，F比E高50米，F比G高70米，B比G高40米．
然后转化为算式，通过变形得出A﹣B的关系即可．
【解答】解：由表中数据可知：A﹣C＝90①，C﹣D＝80②，D﹣E＝60③，E﹣F＝﹣50④，F﹣G＝70⑤，G﹣B＝﹣40⑥，
①+②+③+…+⑥，
得：（A﹣C）+（C﹣D）+（D﹣E）+（E﹣F）+（F﹣G）+（G﹣B）＝A﹣B＝90+80+60﹣50+70﹣40＝210．
∴观测点A相对观测点B的高度是210米．
故选：A．
【点睛】此题主要考查正负数在实际生活中的应用，所以学生在学这一部分时一定要联系实际，不能死学．
8．（2018?淮安期末）大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，…，若m3分裂后，其中有一个奇数是63，则m的值是（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【点拨】仿照题中“分裂”的方法判断即可．
【解答】解：根据题意得：83＝512＝57+59+61+63+65+67+69+71，
则m＝8，
故选：D．
【点睛】此题考查了有理数的乘方，弄清题中的方法是解本题的关键．
9．（2019?石鼓区校级月考）如果（a﹣3）2+|b|＝0，则a2010?b2011的结果是（ ）
A．0
B．3
C．
D．1
【点拨】先根据非负数的性质求出a、b的值，再代入所求代数式进行计算即可．
【解答】解：∵（a﹣3）2+|b|＝0，
∴a﹣3＝0，b0，
解得a＝3，b，
∴a2010?b2011
＝32010?（）2011
＝32010?（）2010?
＝（3）2010?
．
故选：C．
【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
10．（2019?硚口区期中）下列结论：①若a为有理数，则a2＞0；②若a2+b2＝0，则a+b＝0；③若a+b＝0，则1；④若ab＞0，则3，则其中正确的结论的个数是（ ）
A．3个
B．2个
C．1个
D．0个
【点拨】①根据平方的意义，a取0时，结论不成立；
②根据非负数的意义即可判断；
③由条件得到a，b为互为相反数，即可判断结论正确；
④当a，b同正时，结论错误．
【解答】解：①若a＝0时，则a2＝0，故①错误；
②∵a2≥0，b2≥0，若a2+b2＝0，则a＝b＝0，∴a+b＝0，故②正确；
③若a+b＝0，则a＝﹣b，∴1故③错误；
④若ab＞0，则a，b同号，当a＞0，b＞0时，2，c＞0时，3，c＜0时，1，c＝0时，2，故④错误，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，非负数的性质，互为相反数的性质，掌握特殊值解题方法是解题的关键．
二．填空题（共10小题）
1．（2018?黔东南州期末）如果|a+2|+（b﹣1）2＝0，那么（a+b）2019的值是 ﹣1 ．
【点拨】直接利用非负数的性质以及偶次方的性质，进而得出答案．
【解答】解：∵|a+2|+（b﹣1）2＝0，
∴a＝﹣2，b＝1，
则（a+b）2019＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点睛】此题主要考查了非负数的性质，正确得出a，b的值是解题关键．
2．（2019?鹿城区校级自主招生）一个幻方中，每一行，每一列，及每一对角线上的三个数之和有相同的值，如图所示已知一个幻方中的三个数，x的值是 26 ．
【点拨】由题意可先得到右上角的数为28，由于要求每一行，每一列，及每一对角线上的三个数之和有相同的值，所以中央的数是右上角与左下角的数的平均数，故可求得x的值．
【解答】解：右上角的数为：22+27+x﹣x﹣21＝28，
中央数为：（22+28）÷2＝25，
故x+27+22＝22+25+28，
解得：x＝26．
故本题答案为：26．
【点睛】根据幻方的特点：每一行，每一列，及每一对角线上的三个数之和有相同的值，列出等式解答．
本题还可以先根据魔方特点求出每一排或每一列数的和为75，再填入．
3．（2018?海淀区校级期末）3个有理数a、b、c两两不等，则中有 2 个是负数．
【点拨】根据题意，a、b、c两两不等，可设a＞b＞c，易得a﹣b＞0，b﹣c＞0，c﹣a＜0，进而可得，的符号，进而可得答案．
【解答】解：根据题意，a、b、c两两不等，
可设a＞b＞c，
易得a﹣b＞0，b﹣c＞0，c﹣a＜0，
则中有2个是负数，
故答案为2．
【点睛】本题考查符号法则的运用，即同号为正，异号得负．
4．（2019?东台市期中）若“！”是一种数学运算符号，并且：1！＝1，2！＝2×1＝2，3！＝3×2×1＝6，4！＝4×3×2×1，…，则 ．
【点拨】原式利用已知新定义化简，计算即可得到结果．
【解答】解：原式，
故答案为：
【点睛】此题考查了有理数的乘法，弄清题中的新定义是解本题的关键．
5．（2019?江汉区期中）若abc＜0，a+b+c＝0，则 1 ．
【点拨】根据有理数的乘法判断出负数的个数，再用两个字母表示出第三个字母，然后求解即可．
【解答】解：∵abc＜0，
∴a、b、c有1个负数或3个负数，
∵a+b+c＝0，
∴a、b、c只有1个负数，
∴b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c，
∴1+1+1＝1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了有理数的除法，有理数的乘法，绝对值的性质，熟记运算法则是解题的关键，难点在于要分情况讨论．
6．（2019?嘉定区校级月考）如图，将长方形ABCD平均分成三个小长方形，再将小长方形分别平均分为2份，3份，4份，问阴影部分面积是长方形ABCD面积的 （用最简分数表示）
【点拨】分别得到三排阴影部分面积是长方形ABCD面积的分率，再相加即可求解．
【解答】解：根据题意得，
．
答：阴影部分面积是长方形ABCD面积的．
故答案为：．
【点睛】考查了分数的加法计算，得到三排阴影部分面积是长方形ABCD面积的分率是解题的关键．
7．（2018?崇川区期末）若|a+1|+|a﹣2|＝5，|b﹣2|+|b+3|＝7，则a+b＝ ±1或±6 ．
【点拨】先根据绝对值的性质分类讨论求得a、b的值，再分别代入a+b计算可得．
【解答】解：当a≤﹣1时，﹣a﹣1+2﹣a＝5，解得a＝﹣2；
当﹣1＜a＜2时，a+1+2﹣a＝3≠5，舍去；
当a≥2时，a+1+a﹣2＝5，解得a＝3；
当b≤﹣3时，2﹣b﹣b﹣3＝7，解得b＝﹣4；
当﹣3＜b＜2时，﹣b﹣3+b﹣2＝﹣5≠7，舍去；
当b≥2时，b﹣2+b+3＝7，解得b＝3；
综上a＝﹣2或a＝3，b＝﹣4或b＝3；
当a＝﹣2、b＝﹣4时，a+b＝﹣6；
当a＝﹣2、b＝3时，a+b＝1；
当a＝3、b＝﹣4时，a+b＝﹣1；
当a＝3、b＝3时，a+b＝6；
即a+b＝±1或±6；
故答案为：±1或±6．
【点睛】本题主要考查有理数的加法和绝对值，解题的关键是根据绝对值的性质求得a、b的值及分类讨论思想的运用．
8．（2019?江岸区校级月考）有理数a、b、c满足|a+b+c|＝a﹣b+c，且b≠0，则|a﹣b+c+3|﹣|b﹣1|的值为 2 ．
【点拨】根据|a+b+c|＝a﹣b+c，可得a﹣b+c≥0，由对应关系可得a+c＝0，b＜0，然后代入求解即可．
【解答】解：∵|a+b+c|＝a﹣b+c，
∴a﹣b+c≥0，a+c＝0，b＜0，
则|a﹣b+c+3|﹣|b﹣1|＝a﹣b+c+3+b﹣1＝a+c+2＝2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了有理数的加法/绝对值的知识，解答本题的关键是掌握绝对值的性质，进行绝对值的化简．
9．（2019?东台市月考）计算：﹣1+2﹣3+4﹣5+6﹣7+8…﹣95+96﹣97+98﹣99+100＝ 50 ．
【点拨】根据有理数的混合运算的运算方法，用正有理数的和加上负有理数的和，即可求出结果．
【解答】解：﹣1+2﹣3+4﹣5+6﹣7+8…﹣95+96﹣97+98﹣99+100
＝（﹣1﹣99）+100+（2+98）+（﹣3﹣97）+（4+96）+（﹣5﹣95）+…+（48+52）+（﹣49﹣51）+50
＝50；
故答案为50．
【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
10．（2019?西湖区校级月考）有理数a，b，c在数轴上对应的位置如图所示，给出下面三个结论：
①abc＜0；②|a﹣b|＝|b﹣a|﹣|a﹣c|；③a（b+c）＞0；④|a|+|﹣c|﹣|a﹣c|＝0；
⑤，正确的结论是 ①④ （请填序号）．
【点拨】根据a，b，c在数轴上对应的位置，确定其取值范围，然后根据a，b，c的取值范围，对每个选项化简和计算，从而逐个做出判断．
【解答】解：由有理数a，b，c在数轴上对应的位置可知：﹣2＜c＜﹣1，0＜a＜b＜1，
①abc＜0正确，
②可知a﹣b＜0，b﹣a＞0，a﹣c＞0，
|a﹣b|＝b﹣a，
|b﹣a|﹣|a﹣c|＝b﹣a﹣a+c＝b+c﹣2a，
因此；②|a﹣b|＝|b﹣a|﹣|a﹣c|不正确，
③a＞0，b+c＜0，因此a（b+c）＜0，
因此a（b+c）＞0是不正确的，
④由题意得：a＞0，c＜0，a﹣c＞0，
∴|a|+|﹣c|﹣|a﹣c|＝a﹣c﹣a+c＝0；
因此④|a|+|﹣c|﹣|a﹣c|＝0正确；
⑤由题意得：a﹣b＜0，b﹣c＞0，c﹣a＜0，a（b﹣c）＞0，
∴1﹣1﹣1+1＝﹣2，
因此⑤，是不正确的，
故答案为：①④
【点睛】考查数轴，理解和掌握有理数的意义是解决问题的关键．
三．解答题（共10小题）
1．（2018?罗湖区期末）某航空公司开展网络购机票优惠活动：凡购机票每张不超过2000元的一律八折优惠；超过2000元的，其中2000元按八折算，超过2000的部分按七折算．
（1）甲旅客购买了一张机票的原价为1500元，需付款 1200 元；
（2）乙旅客购买了一张机票的原价为x（x＞2000）元，需付款 0.7x+200 元（用含x的代数式表示）；
（3）丙旅客因出差购买了两张机票，第一张机票实际付款1440元，第二张机票享受了七折优惠，他査看了所买机票的原价，发现两张票共节约了910元，求丙旅客第二张机票的原价和实际付款各多少元？
【点拨】（1）利用需付款＝原价×0.8，即可求出结论；
（2）根据需付款＝2000×0.8+0.7×超出2000元部分，即可求出结论；
（3）根据原价＝需付款÷0.8可求出第一张机票的原价，设丙旅客第二张机票的原价为y元，则购买两种票实际付款（1800+y﹣910）元，根据（2）的结论，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）1500×0.8＝1200（元）．
故答案为：1200．
（2）根据题意得：需付款＝2000×0.8+（x﹣2000）×0.7＝0.7x+200（元）．
故答案为：（0.7x+200）．
（3）第一张机票的原价为1440÷0.8＝1800（元）．
设丙旅客第二张机票的原价为y元，则购买两种票实际付款（1800+y﹣910）元，
根据题意得：1440+0.7y+200＝1800+y﹣910，
解得：y＝2500，
∴1800+y﹣910﹣1440＝1950．
答：丙旅客第二张机票的原价为2500元，实际付款1950元．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
2．（2018?福田区校级期末）已知a，b，c数轴上的对应点如图所示，且|a|＝|b|
（1）求a3+b3的值；
（2）化简：|a|﹣|a+b|﹣|c﹣a|+|c﹣b|+|ac|﹣|﹣2b|
【点拨】（1）观察数轴，根据题意可知a，b互为相反数，再根据立方的定义即可求解；
（2）根据数轴可得a＞0，a+b＝0，c﹣a＜0，c﹣b＜0，ac＜0，﹣2b＞0，再计算绝对值，合并同类项即可求解．
【解答】解：（1）∵|a|＝|b|，
∴由数轴可知a，b互为相反数，
∴a3+b3＝0；
（2）由数轴可得a＞0，a+b＝0，c﹣a＜0，c﹣b＜0，ac＜0，﹣2b＞0，
则|a|﹣|a+b|﹣|c﹣a|+|c﹣b|+|ac|﹣|﹣2b|
＝a﹣0+c﹣a﹣c+b﹣ac+2b
＝﹣ac+3b．
【点睛】本题考查了数轴，利用相反数的定义、绝对值的性质化简是解题关键．
3．（2018?福田区校级期末）已知a是最大的负整数，b、c满足（b﹣3）2+|c+4|＝0，且a、b、c分别是点A、B、C在数轴上对应的数．
（1）点A表示的数为 ﹣1 ，点B表示的数为 3 ，点C表示的数为 ﹣4 ；
（2）若动点P从C出发沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒2个单位长度，运动几秒后，点P到点B为5个单位长度？
（3）在数轴上找一点M，使点M到A、B、C三点的距离之和等于13，请写出所有点M对应的数，并写出求解过程．
【点拨】（1）由题目中的条件可直接得出点A对应的数，根据平方与绝对值的非负性可得出B与C对应的数；
（2）由点P到点B为5个单位长度，可两种情况，点P在点B左边及点P在点B右边，分别列方程即可求得；
（3）分情况讨论，当点M在点C左边及当点M在点B右边，分别列方程可求得；而当点M在点C及点B之间时不符合题意．
【解答】解：（1）∵a是最大的负整数∴a＝﹣1
∵（b﹣3）2≥0，|c+4|≥0，而（b﹣3）2+|c+4|＝0
∴b＝3，c＝﹣4
故答案为：﹣1；3；﹣4．
（2）设点P运动t秒时到点B为5个单位长度，分以下两种情况：
①点P在点B左边距离点B5个单位，则有：
2t+5＝3﹣（﹣4）解得t＝1
②点P在点B右边距离点B5个单位，则有：
2t﹣5＝3﹣（﹣4）解得t＝6
故当点P运动1秒或6秒后，点P到点B为5个单位长度．
（3）点B与点C之间的任何一点时到A、B、C三点的距离之和都小于13，
因此点M的位置只有以下两种情况，设点M所表示的数为m，则：
①点M在点C左边时，可得：
﹣4﹣m﹣1﹣m+3﹣m＝13
解得m＝﹣5
②点M在点B右边时，可得：
m+4+m+1+m﹣3＝13
解得m
故点M对应的数为﹣5或．
【点睛】本题考察非负数的性质及数轴上与动点有关的计算，较为基础，在做题时注意考虑到所有情况进行讨论．
4．（2018?历城区期末）请将“2，4，6，7，9，11，12，14，16”共9个数，填入到下面3×3的方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，构成一个三阶幻方．（至少三种不同的填法）
【点拨】由题意得出横或列的和为27，据此求解可得．
【解答】解：如图所示．
【点睛】本题主要考查有理数的加法，解题的关键是根据幻方的特点及有理数的加法得出横或列的和为27．
5．（2019?江阴市校级月考）计算
（1）﹣20﹣（﹣18）+（﹣14）+13
（2）18+（﹣12）+（﹣21）﹣（﹣12）
（3）|﹣1|﹣（+2）﹣（﹣2.75）
（4）0.35+（﹣0.6）+0.25﹣（+5.4）
（5）1
（6）（+1.125）﹣（+3）﹣（）+（﹣0.25）
【点拨】（1）将减法转化为加法，再根据法则计算可得；
（2）将减法转化为加法，再根据法则计算可得；
（3）将分数化为小数，减法转化为加法，再根据法则计算可得；
（4）将减法转化为加法，再根据法则计算可得；
（5）将分数化为小数，减法转化为加法，再根据法则计算可得；
（6）将分数化为小数，减法转化为加法，再根据法则计算可得．
【解答】解：（1）原式＝﹣20+18﹣14+13
＝﹣34+31
＝﹣3；
（2）原式＝18﹣12﹣21+12
＝30﹣33
＝﹣3；
（3）原式＝0.4﹣1.5﹣2.25+2.75
＝0.4﹣1.5+0.5
＝0.9﹣1.5
＝﹣0.6；
（4）原式＝0.35﹣0.6+0.25﹣5.4
＝﹣5.4；
（5）原式
＝（）+（）
＝3+3
＝6；
（6）原式＝1.125﹣3.75﹣0.125﹣0.25
＝（1.125﹣0.125）+（﹣3.75﹣0.25）
＝1﹣4
＝﹣3．
【点睛】本题主要考查有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则及其运算律．
6．（2019?庄浪县校级月考）计算
（1）（﹣3）×（﹣9）﹣8×（﹣5）
（2）﹣63÷7+45÷（﹣9）
（3）（）×1（﹣1）
（4）（1）×（﹣48）
（5）（﹣79）÷2（﹣29）
（6）（）0.25×（﹣5）×（﹣64）．
【点拨】（1）原式先计算乘法运算，再计算加减运算即可得到结果；
（2）原式先计算除法运算，再计算加减运算即可得到结果；
（3）原式从左到右依次计算即可得到结果；
（4）原式利用乘法分配律计算即可得到结果；
（5）原式先计算乘除运算，再计算加减运算即可得到结果；
（6）原式先计算乘除运算，再计算加减运算即可得到结果．
【解答】解：（1）原式＝27+40＝67；
（2）原式＝﹣9﹣5＝﹣14；
（3）原式；
（4）原式＝﹣48+8﹣36＝﹣76；
（5）原式＝﹣79（﹣29）（﹣79﹣29）（﹣108）＝﹣48；
（6）原式165×64＝﹣10﹣80＝﹣90．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7．（2018?宣汉县期末）计算：
（1）﹣22+8÷（﹣2）（﹣1）2019
（2）[﹣32×（）2﹣2]
【点拨】（1）先算乘方，再算乘除法，最后加减法即可解答本题；
（2）先算中括号里的，再根据有理数的乘法即可解答本题．
【解答】解：（1）﹣22+8÷（﹣2）（﹣1）2019
＝﹣4+8×（）（﹣1）
＝﹣4﹣1+1
＝﹣4；
（2）[﹣32×（）2﹣2]
＝9．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的运算顺序．
8．（2019?滦南县一模）已知：b是最小的正整数，且a、b、c满足（c﹣5）2+|a+b|＝0，试回答下列问题：
（1）求a，b，c的值
（2）a、b、c所对应的点分别为A、B、C，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点C以每秒5个单位长度的速度向右运动，试求几秒后点A与点C距离为12个单位长度？
【点拨】（1）根据非负数的性质列出算式，求出a、b、c的值；
（2）根据题意列出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）由题意得，b＝1，c﹣5＝0，a+b＝0，
则a＝﹣1，b＝1，c＝5；
（2）设x秒后点A与点C距离为12个单位长度，
则x+5x＝12﹣6，
解得，x＝1，
答：1秒后点A与点C距离为12个单位长度．
【点睛】本题考查的是非负数的性质，掌握当几个非负数相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0是解题的关键．
9．（2019?黄冈月考）阅读下列材料：
计算：50÷（）．
解法一：原式＝50505050×3﹣50×4+50×12＝550．
解法二：原式＝50÷（）＝5050×6＝300．
解法三：原式的倒数为（）÷50＝（）
故原式＝300．
上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法 一 是错误的．在正确的解法中，你认为解法 三 最简捷．然后，请你解答下列问题：
计算：（）÷（）．
【点拨】上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，我认为解法一是错误的．在正确的解法中，你认为解法三最简捷；
利用乘法分配律求出原式倒数的值，即可求出原式的值．
【解答】解：上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，我认为解法一是错误的．在正确的解法中，你认为解法三最简捷；
原式的倒数为（）÷（）＝（）×（﹣42）＝﹣7+9﹣28+12＝﹣14，
则原式．
故答案为：一；三．
【点睛】此题考查了有理数的除法，弄清题意是解本题的关键．
10．（2019?东莞市校级期中）阅读下列材料：1×2（1×2×3﹣0×1×2），
2×3（2×3×4﹣1×2×3），
3×4（3×4×5﹣2×3×4），
由以上三个等式相加，可得：1×2+2×3+3×43×4×5＝20．
读完以上材料，请你计算下列各题：
（1）1×2+2×3+3×4+…+10×11（写出过程）；
（2）1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）＝ [n×（n+1）×（n+2）] ；
（3）1×2×3+2×3×4+3×4×5＝ 90 ．
【点拨】由题意可得规律：n×（n+1）[n×（n+1）×（n+2）﹣（n﹣1）×n×（n+1）]．进一步利用规律解答即可．
【解答】解：1×2（1×2×3﹣0×1×2）；
2×3（2×3×4﹣1×2×3）；
3×4（3×4×5﹣2×3×4）；
…
10×11（10×11×12﹣9×10×11）；
…
n×（n+1）[n×（n+1）×（n+2）﹣（n﹣1）×n×（n+1）]．
（1）1×2+2×3+3×4+…+10×11
（1×2×3﹣0×1×2）（2×3×4﹣1×2×3）（3×4×5﹣2×3×4）（10×11×12﹣9×10×11）
（10×11×12）＝440；
（2）1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）
（1×2×3﹣0×1×2）（2×3×4﹣1×2×3）（3×4×5﹣2×3×4）[n×（n+1）×（n+2）﹣（n﹣1）×n×（n+1）]
[n×（n+1）×（n+2）]；
（3）1×2×3（1×2×3×4﹣0×1×2×3）；
2×3×4（2×3×4×5﹣1×2×3×4）；
3×4×5（3×4×5×6﹣2×3×4×5）；
1×2×3+2×3×4+3×4×5
（1×2×3×4﹣0×1×2×3）（2×3×4×5﹣1×2×3×4）（3×4×5×6﹣2×3×4×5）
（3×4×5×6）
＝90．
【点睛】此题考查数字的变化规律，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
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专题03
有理数及其运算：2有理数混合运算（B卷能力突破）
B卷培优经典例题
例1：（2019?浙江校级自主招生）将1，2，3，4，…，12，13这13个整数分为两组，使得一组中所有数的和比另一组中所有数的和大10，这样的分组方法（ ）
A．只有一种
B．恰有两种
C．多于三种
D．不存在
【思路点拨】先求得这组数的和，再根据一组的和比另一组的和多10，分别求得这两组数的和，确定分组方法．
例2：若S＝15+195+1995+19995+…．，则S的末四位数字的和为（ ）
A．10
B．14
C．18
D．20
【思路点拨】首先可得15＝20﹣5，195＝200﹣5，1995＝2000﹣5，…，2×102011﹣5，由22220﹣2011×5可以求出末四位数为2165，进而求出S的末四位数字的和．
例3：（2019?霍邱县二模）阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22017
首先设S＝1+2+22+23+24+…+22017①则2S＝2+22+23+24+25+…+22018②
②﹣①得S＝22018﹣1即1+2+22+23+24+…+22017＝22018﹣1
以上解法，在数列求和中，我们称之为：“错位相减法”
请你根据上面的材料，解决下列问题
（1）求1+3+32+33+34+…+32019的值
（2）若a为正整数且a≠1，求1+a+a2+a3+a4+..+a2019
【思路点拨】（1）利用题中的方法设S＝1+3+32+33+34+…+32019
，两边乘以3得到3S＝3+32+33+34+35+…+32020
，然后把两式相减计算出S即可；
（2）利用（1）的方法计算．
例4：（2018秋?金堂县期末）我国现行的个人所得税法自2011年9月1日起施行，其中规定个人所得税纳税办法如下：一．以个人每月工资收入额减去3500元后的余额作为其每月应纳税所得额；二．个人所得税纳税税率如表所示．
纳税级数
个人每月应纳税所得额
纳税税率
1
不超过1500元的部分
3%
2
超过1500元至4500元的部分
10%
3
超过4500元至9000元的部分
20%
4
超过9000元至35000元的部分
25%
5
超过35000元至55000元的部分
30%
6
超过55000元至80000元的部分
35%
7
超过80000元的部分
45%
（1）若甲、乙两人的每月工资收入额分别为4500元和5500元，请分别求出甲、乙两人的每月应缴纳的个人所得税．
（2）若丙每月缴纳的个人所得税为145元，则丙每月的工资收入额应为多少？
【思路点拨】（1）根据月收入超过3500元起，超过部分在1500元内的部分，应按照3%的税率缴纳个人所得税，甲的月工资4500元，应缴税的部分是4500﹣3500＝1000元，再算出1000元应缴纳的税款即可；超过部分在1500元至4500元的部分，应按照10%的税率缴纳个人所得税，乙的月工资5500元，应缴税的部分是5500﹣3500＝2000元，再算出2000元应缴纳的税款即可；
（2）根据个人所得税纳税税率表可知，丙每月的工资收入额应为超过4500元至9000元的部分，设丙每月的工资收入额应为x元，根据丙每月缴纳的个人所得税为145元列出方程即可求解．
例5：计算：
（1）1﹣2+3﹣4+5﹣6+…+99﹣100；
（2）1﹣2+3﹣4+5﹣6+…+99﹣100+101；
（3）1﹣2+3﹣4+5﹣6+…+（﹣1）n+1n（n为正整数）．
【思路点拨】（1）两个一组进行计算即可求解；
（2）两个一组进行计算即可求解；
（3）分n为偶数和奇数两种情况进行讨论计算即可求解．
B卷培优能力专题训练
一．选择题（共10小题）
1．（2018?金牛区期末）有理数﹣32，（﹣3）2，|﹣33|按从小到大的顺序排列是（ ）
A．|﹣33|＜﹣32＜（﹣3）2
B．|﹣33|＜（﹣3）2＜﹣32
C．﹣32＜|﹣33|＜（﹣3）2
D．﹣32＜（﹣3）2＜|﹣33|
2．（2019?香坊区校级期中）一商店在某一时间以每件120元价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损20%，卖出这两件衣服总的盈亏情况如何（ ）
A．不盈不亏
B．盈利6元
C．盈利8元
D．亏损6元
3．（2019?咸阳校级月考）99，这个运算应用了（ ）
A．加法交换律
B．乘法结合律
C．乘法交换律、乘法结合律
D．乘法分配律
4．四个整数的积abcd＝9，且a≠b≠c≠d，那么a+b+c+d的值为（ ）
A．0
B．4
C．8
D．不能确定
5．（2018?化德县校级期末）若（a+1）2+|b﹣2|＝0，则a+6（﹣a+2b）等于（ ）
A．5
B．﹣5
C．30
D．29
6．下列计算正确的是（ ）
A．﹣3020×（）
B．（）÷（）＝﹣2
C．（）÷（）×（）
D．（）×（）＝0
7．（2019?佛山）实际测量一座山的高度时，可在若干个观测点中测量每两个相邻可视观测点的相对高度，然后用这些相对高度计算出山的高度．下表是某次测量数据的部分记录（用A﹣C表示观测点A相对观测点C的高度）根据这次测量的数据，可得观测点A相对观测点B的高度是（ ）米．
A﹣C
C﹣D
E﹣D
F﹣E
G﹣F
B﹣G
90米
80米
﹣60米
50米
﹣70米
40米
A．210
B．130
C．390
D．﹣210
8．（2018?淮安期末）大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，…，若m3分裂后，其中有一个奇数是63，则m的值是（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
9．（2019?石鼓区校级月考）如果（a﹣3）2+|b|＝0，则a2010?b2011的结果是（ ）
A．0
B．3
C．
D．1
10．（2019?硚口区期中）下列结论：①若a为有理数，则a2＞0；②若a2+b2＝0，则a+b＝0；③若a+b＝0，则1；④若ab＞0，则3，则其中正确的结论的个数是（ ）
A．3个
B．2个
C．1个
D．0个
二．填空题（共10小题）
1．（2018?黔东南州期末）如果|a+2|+（b﹣1）2＝0，那么（a+b）2019的值是
．
2．（2019?鹿城区校级自主招生）一个幻方中，每一行，每一列，及每一对角线上的三个数之和有相同的值，如图所示已知一个幻方中的三个数，x的值是
．
3．（20018?海淀区校级期末）3个有理数a、b、c两两不等，则中有
个是负数．
4．（2019?东台市期中）若“！”是一种数学运算符号，并且：1！＝1，2！＝2×1＝2，3！＝3×2×1＝6，4！＝4×3×2×1，…，则
．
5．（2019?江汉区期中）若abc＜0，a+b+c＝0，则
．
6．（2019?嘉定区校级月考）如图，将长方形ABCD平均分成三个小长方形，再将小长方形分别平均分为2份，3份，4份，问阴影部分面积是长方形ABCD面积的
（用最简分数表示）
7．（2018?崇川区期末）若|a+1|+|a﹣2|＝5，|b﹣2|+|b+3|＝7，则a+b＝
．
8．（2019?江岸区校级月考）有理数a、b、c满足|a+b+c|＝a﹣b+c，且b≠0，则|a﹣b+c+3|﹣|b﹣1|的值为
．
9．（2019?东台市月考）计算：﹣1+2﹣3+4﹣5+6﹣7+8…﹣95+96﹣97+98﹣99+100＝
．
10．（2019?西湖区校级月考）有理数a，b，c在数轴上对应的位置如图所示，给出下面三个结论：
①abc＜0；②|a﹣b|＝|b﹣a|﹣|a﹣c|；③a（b+c）＞0；④|a|+|﹣c|﹣|a﹣c|＝0；
⑤，正确的结论是
（请填序号）．
三．解答题（共10小题）
1．（2018?罗湖区期末）某航空公司开展网络购机票优惠活动：凡购机票每张不超过2000元的一律八折优惠；超过2000元的，其中2000元按八折算，超过2000的部分按七折算．
（1）甲旅客购买了一张机票的原价为1500元，需付款
元；
（2）乙旅客购买了一张机票的原价为x（x＞2000）元，需付款
元（用含x的代数式表示）；
（3）丙旅客因出差购买了两张机票，第一张机票实际付款1440元，第二张机票享受了七折优惠，他査看了所买机票的原价，发现两张票共节约了910元，求丙旅客第二张机票的原价和实际付款各多少元？
2．（2018?福田区校级期末）已知a，b，c数轴上的对应点如图所示，且|a|＝|b|
（1）求a3+b3的值；
（2）化简：|a|﹣|a+b|﹣|c﹣a|+|c﹣b|+|ac|﹣|﹣2b|
3．（2018?福田区校级期末）已知a是最大的负整数，b、c满足（b﹣3）2+|c+4|＝0，且a、b、c分别是点A、B、C在数轴上对应的数．
（1）点A表示的数为
，点B表示的数为
，点C表示的数为
；
（2）若动点P从C出发沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒2个单位长度，运动几秒后，点P到点B为5个单位长度？
（3）在数轴上找一点M，使点M到A、B、C三点的距离之和等于13，请写出所有点M对应的数，并写出求解过程．
4．（2018?历城区期末）请将“2，4，6，7，9，11，12，14，16”共9个数，填入到下面3×3的方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，构成一个三阶幻方．（至少三种不同的填法）
5．（2019?江阴市校级月考）计算
（1）﹣20﹣（﹣18）+（﹣14）+13
（2）18+（﹣12）+（﹣21）﹣（﹣12）
（3）|﹣1|﹣（+2）﹣（﹣2.75）
（4）0.35+（﹣0.6）+0.25﹣（+5.4）
（5）1
（+1.125）﹣（+3）﹣（）+（﹣0.25）
6．（2019?庄浪县校级月考）计算
（1）（﹣3）×（﹣9）﹣8×（﹣5）
（2）﹣63÷7+45÷（﹣9）
（3）（）×1（﹣1）
（4）（1）×（﹣48）
（5）（﹣79）÷2（﹣29）
（6）（）0.25×（﹣5）×（﹣64）．
7．（2018?宣汉县期末）计算：
（1）﹣22+8÷（﹣2）（﹣1）2019
（2）[﹣32×（）2﹣2]
8．（2019?滦南县一模）已知：b是最小的正整数，且a、b、c满足（c﹣5）2+|a+b|＝0，试回答下列问题：
（1）求a，b，c的值
（2）a、b、c所对应的点分别为A、B、C，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点C以每秒5个单位长度的速度向右运动，试求几秒后点A与点C距离为12个单位长度？
9．（2019?黄冈月考）阅读下列材料：
计算：50÷（）．
解法一：原式＝50505050×3﹣50×4+50×12＝550．
解法二：原式＝50÷（）＝5050×6＝300．
解法三：原式的倒数为（）÷50＝（）
故原式＝300．
上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法
是错误的．在正确的解法中，你认为解法
最简捷．然后，请你解答下列问题：
计算：（）÷（）．
10．（2019?东莞市校级期中）阅读下列材料：1×2（1×2×3﹣0×1×2），
2×3（2×3×4﹣1×2×3），
3×4（3×4×5﹣2×3×4），
由以上三个等式相加，可得：1×2+2×3+3×43×4×5＝20．
读完以上材料，请你计算下列各题：
（1）1×2+2×3+3×4+…+10×11（写出过程）；
（2）1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）＝
；
（3）1×2×3+2×3×4+3×4×5＝
．
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