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专题02
有理数及其运算：1数轴与绝对值
B卷培优典型例题
例1：（2019?兴化市校级月考）数轴上点A和点B表示的数分别是﹣1和3，点P到A、B两点的距离之和为6，则点P表示的数是（ ）
A．﹣3
B．﹣3或5
C．﹣2
D．﹣2或4
【点拨】根据AB的距离为4，小于6，分点P在点A的左边和点B的右边两种情况分别列出方程，然后求解即可．
【解析】解：∵AB＝|3﹣（﹣1）|＝4，点P到A、B两点的距离之和为6，
设点P表示的数为x，
∴点P在点A的左边时，﹣1﹣x+3﹣x＝6，
解得：x＝﹣2，
点P在点B的右边时，x﹣3+x﹣（﹣1）＝6，
解得：x＝4，
综上所述，点P表示的数是﹣2或4．
故选：D．
【点睛】本题考查了数轴，主要利用了数轴上两点间的距离的表示方法，读懂题目信息，理解两点间的距离的表示方法是解题的关键．
例2：（2019?中原区校级期中）电影《哈利?波特》中，小哈利波特穿越墙进入“9站台”的镜头（如示意图的Q站台），构思奇妙，能给观众留下深刻的印象．若A、B站台分别位于，处，AP＝3BP，则P站台用类似电影的方法可称为“ 1或3 站台”．
【点拨】先根据两点间的距离公式得到AB的长度，再根据AP＝3PB求得AP的长度，再用加上该长度即为所求．
【解析】解：AB（），
AP2或AP4，
P：21或43．
故P站台用类似电影的方法可称为“1站台”或“3站台”．
故答案为：1或3．
【点睛】此题考查了数轴，关键是用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点．
例3：（2018?成都期末）有理数a，b、c在数轴上的位置如图所示，化简|a+b|+|a﹣c|﹣|b﹣1|＝ ﹣2a+c﹣1 ．
【点拨】根据数轴判断出a、b、c的正负情况以及绝对值的大小，然后求出a+b，a﹣c，b﹣1的正负情况，再根据绝对值的性质去掉绝对值号，然后合并同类项即可得解．
【解析】解：由图可知：b＜a＜0＜c＜1，
所以可得a+b＜0，a﹣c＜0，b﹣1＜0，
|a+b|+|a﹣c|﹣|b﹣1|＝﹣a﹣b﹣a+c+b﹣1＝﹣2a+c﹣1，
故答案为：﹣2a+c﹣1
【点睛】本题考查了数轴，绝对值的性质，以及合并同类项，根据数轴判断出a、b、c的正负情况以及绝对值的大小是解题的关键．
例4：（2018?槐荫区期末）计算：已知|x|＝3，|y|＝2，
（1）当xy＜0时，求x+y的值
（2）求x﹣y的最大值
【点拨】（1）由题意x＝±3，y＝±2，由于xy＜0，x＝3，y＝﹣2或x＝﹣3，y＝2，代入x+y即可求出答案．
（2）由题意x＝±3，y＝±2，根据几种情况得出x﹣y的值，进而比较即可．
【解析】解：由题意知：x＝±3，y＝±2，
（1）∵xy＜0，
∴x＝3，y＝﹣2或x＝﹣3，y＝2，
∴x+y＝±1，
（2）当x＝3，y＝2时，x﹣y＝3﹣2＝1；
当x＝3，y＝﹣2时，x﹣y＝3﹣（﹣2）＝5；
当x＝﹣3，y＝2时，x﹣y＝﹣3﹣2＝﹣5；
当x＝﹣3，y＝﹣2时，x﹣y＝﹣3﹣（﹣2）＝﹣1，
所以x﹣y的最大值是5
【点睛】本题考查绝对值的性质，涉及代入求值，分类讨论的思想，属于基础题型．
例5：如果对于某一特定范围内x的任意允许值，P＝|1﹣8x|+|1﹣10x|+|1﹣12x|+|1﹣14x|+|1﹣16x|的值恒为一个常数，试求x的取值范围和这个常数．
【点拨】由P为常数可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，进而可求出该常数．
【解析】解：根据题意得：，
解得：x，
∴P＝|1﹣8x|+|1﹣10x|+|1﹣12x|+|1﹣14x|+|1﹣16x|＝1﹣8x+1﹣10x+1﹣12x+14x﹣1+16x﹣1＝1．
即当x时，P＝1．
【点睛】本题考查了绝对值以及解一元一次不等式组，由P为常数找出关于x的一元一次不等式组是解题的关键．
例6：（2018?南海区期末）如图，在数轴上点A表示的数a、点B表示数b，a、b满足|a﹣6|+（b+12）2＝0．点O是数轴原点．
（1）求线段AB的长；
（2）点A以每秒1个单位的速度在数轴上匀速运动，点B以每秒2个单位的速度在数轴上匀速运动．设点A、B同时出发，运动时间为t秒，若点A、B能够重合，求出这时的运动时间；
（3）在（2）的条件下，直接写出经过多少秒后，点A、B两点间的距离为20个单位．
【点拨】（1）根据偶次方以及绝对值的非负性求出a、b的值，可得点A表示的数，点B表示的数，再根据两点间的距离公式可求线段AB的长；
（2）分两种情况：①相向而行；②同时向右而行．根据行程问题的相等关系分别列出方程即可求解；
（3）分四种情况：①两点均向左；②两点均向右；③A点向右，B点向左；④A点向左，B点向右．根据点A、B两点间的距离为20个单位分别列出方程即可求解．
【解析】解：（1）∵|a﹣6|+（b+12）2＝0，
∴a﹣6＝0，b+12＝0，
∴a＝6，b＝﹣12，
∴AB＝6﹣（﹣12）＝18；
（2）设点A、B同时出发，运动时间为t秒，点A、B能够重合时，可分两种情况：
①若相向而行，则2t+t＝18，
解得t＝6；
②若同时向右而行，则2t﹣t＝18，
解得t＝18．
综上所述，经过6或18秒后，点A、B重合；
（3）在（2）的条件下，即点A以每秒1个单位的速度在数轴上匀速运动，点B以每秒2个单位的速度在数轴上匀速运动，设点A、B同时出发，运动时间为t秒，点A、B两点间的距离为20个单位，可分四种情况：
①若两点均向左，则（6﹣t）﹣（﹣12﹣2t）＝20，解得t＝2；
②若两点均向右，则（﹣12+2t）﹣（6+t）＝20，解得t＝38；
③若A点向右，B点向左，则（6+t）﹣（﹣12﹣2t）＝20，解得t；
④若A点向左，B点向右，（﹣12+2t）﹣（6﹣t）＝20，t．
综上，经过2，38，，秒时，A、B相距20个单位．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、数轴、两点间的距离公式、绝对值以及偶次方的非负性，根据两点间的距离公式结合点之间的关系列出一元一次方程是解题的关键．注意分类讨论思想的应用．
B卷培优能力
一．选择题（共8小题）
1．在，，0，﹣1，0.4，π，2，﹣3，﹣6这些数中，有理数有m个，自然数有n个，分数有k个，则m﹣n﹣k的值为（ ）
A．3
B．2
C．1
D．4
【点拨】除π外都是有理数，所以m＝8；自然数有0和2，所以n＝2；分数有，，0.4，所以k＝3；代入计算就可以了．
【解析】解：根据题意m＝8，n＝2，k＝3，
所以m﹣n﹣k＝8﹣2﹣3＝8﹣5＝3．
故选：A．
2．如图所示，有理数a、b在数轴上的位置，化简|1+a|+|1﹣b|的值为（ ）
A．a+b
B．a+b﹣2
C．﹣a﹣b
D．a﹣b+2
【点拨】根据a、b在数轴上的位置，进行绝对值的化简，然后合并．
【解析】解：由图可得，﹣1＜a＜0＜1＜b，
则|1+a|+|1﹣b|＝a+1﹣1+b＝a+b．
故选：A．
3．设三个互不相等的有理数，既可表示为1，a+b，a的形式，又可表示为0，，b的形式，则a﹣b的值为（ ）
A．0
B．﹣1
C．﹣2
D．2
【点拨】根据三个互不相等的有理数，既表示为1，a+b，a的形式，又可以表示为0，b，的形式，也就是说这两个数组的数分别对应相等，即a+b与a中有一个是0，与b中有一个是1，再根据分式有意义的条件判断出a、b的值即可．
【解析】解：∵三个互不相等的有理数，既表示为1，a+b，a的形式，又可以表示为0，，b的形式，
∴这两个数组的数分别对应相等．
∴a+b与a中有一个是0，与b中有一个是1，但若a＝0，会使无意义，
∴a≠0，只能a+b＝0，即a＝﹣b，于是1．只能是b＝1，于是a＝﹣1；
∴a﹣b＝﹣2．
故选：C．
4．某项科学研究，以45分钟为1个时间单位，并记每天上午10：00时间为0，10时以前记为负，10时以后记为正，例如：9：15记为﹣1，10：45记为1等等，依此类推，上午6：15记为（ ）
A．﹣4
B．﹣5
C．﹣3.45
D．6.15
【点拨】先计算出上午6：15到10：00之间有多少分钟，再计算出有多少个45分钟，然后根据“正”和“负”的相对性，即可计算出正确结果．
【解析】解：由于记每天上午10：00时间为0，10时以前记为负，10时以后记为正，故上午6：15距10：00有225分钟，记为﹣5．
故选：B．
5．已知a，b，c为非零的实数，则的可能值的个数为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【点拨】分a、b、c三个数都是正数，两个正数，一个正数，都是负数四种情况，根据绝对值的性质去掉绝对值号，再根据有理数的加法运算法则进行计算即可得解．
【解析】解：①a、b、c三个数都是正数时，a＞0，ab＞0，ac＞0，bc＞0，
原式＝1+1+1+1
＝4；
②a、b、c中有两个正数时，
设为a＞0，b＞0，c＜0，
则ab＞0，ac＜0，bc＜0，
原式＝1+1﹣1﹣1
＝0；
设为a＞0，b＜0，c＞0，
则ab＜0，ac＞0，bc＜0，
原式＝1﹣1+1﹣1
＝0；
设为a＜0，b＞0，c＞0，
则ab＜0，ac＜0，bc＞0，
原式＝﹣1﹣1﹣1+1
＝﹣2；
③a、b、c有一个正数时，
设为a＞0，b＜0，c＜0，
则ab＜0，ac＜0，bc＞0，
原式＝1﹣1﹣1+1
＝0；
设为a＜0，b＞0，c＜0，
则ab＜0，ac＞0，bc＜0，
原式＝﹣1﹣1+1﹣1
＝﹣2；
设为a＜0，b＜0，c＞0，
则ab＞0，ac＜0，bc＜0，
原式＝﹣1+1﹣1﹣1
＝﹣2；
④a、b、c三个数都是负数时，即a＜0，b＜0，c＜0，
则ab＞0，ac＞0，bc＞0，
原式＝﹣1+1+1+1
＝2．
综上所述，的可能值的个数为4．
故选：A．
6．已知有理数a，b，c在数轴上对应的位置如图所示，化简|b﹣c|﹣|c﹣a|（ ）
A．b﹣2c+a
B．b﹣2c﹣a
C．b+a
D．b﹣a
【点拨】观察数轴，可知：c＜0＜b＜a，进而可得出b﹣c＞0、c﹣a＜0，再结合绝对值的定义，即可求出|b﹣c|﹣|c﹣a|的值．
【解析】解：观察数轴，可知：c＜0＜b＜a，
∴b﹣c＞0，c﹣a＜0，
∴|b﹣c|﹣|c﹣a|＝b﹣c﹣（a﹣c）＝b﹣a．
故选：D．
7．点O，A，B，C在数轴上的位置如图所示，O为原点，AC＝1，OA＝OB．若点C所表示的数为a，则点B所表示的数为（ ）
A．﹣（a+1）
B．﹣（a﹣1）
C．a+1
D．a﹣1
【点拨】根据题意和数轴可以用含a的式子表示出点B表示的数，本题得以解决．
【解析】解：∵O为原点，AC＝1，OA＝OB，点C所表示的数为a，
∴点A表示的数为a﹣1，
∴点B表示的数为：﹣（a﹣1），
故选：B．
8．如图，点A、B在数轴上所表示的数分别是2和5，若点C与A、B在同一条数轴上且AC﹣AB＝m（m＞0），则点C所表示的数为（ ）
A．m+5
B．1﹣m
C．m+5或2﹣m
D．m+5或﹣m﹣1
【点拨】设点C所表示的数为x，根据AC﹣AB＝m（m＞0），列出方程|x﹣2|﹣3＝m，解方程即可．
【解析】解：设点C所表示的数为x．
∵点A、B在数轴上所表示的数分别是2和5，
∴AB＝5﹣2＝3．
∵AC﹣AB＝m（m＞0），
∴|x﹣2|﹣3＝m，
∴|x﹣2|＝m+3，
∴x﹣2＝m+3，或x﹣2＝﹣m﹣3，
∴x＝m+5，或x＝﹣m﹣1．
故选：D．
二．填空题（共11小题）
1．纽约与北京的时差为﹣13小时（正数表示同一时刻比北京时间早的时数），若北京时间19：30，则此时纽约的时间是 6：30 ．
【点拨】根据正负数的含义，可得：正数表示同一时刻比北京时间早的时数，则负数表示同一时刻比北京时间晚的时数，据此判断即可．
【解析】解：纽约与北京的时差为﹣13小时（正数表示同一时刻比北京时间早的时数），若北京时间19：30，则此时纽约的时间是6：30．
故答案为：6：30．
2．我们把分子为1的分数叫做单位分数．如，，任何一个单位分数都可以拆成两个不同的单位分数的和，如，，，…，根据对上述式子的观察，请你写出 ．
【点拨】观察每条式子各个分母的关系，做好第一问，总结了规律才能解答．
【解析】解：根据题意可得规律为：，
所以可得：，
故答案为：．
3．在数轴上，表示数（4）的点M与表示数（3）的点N分别位于原点两侧且到原点的距离相等，则a的值为 ﹣42 ．
【点拨】根据相反数的定义可得方程（4）+（3）＝0，解方程可得答案．
【解析】解：依题意有
（4）+（3）＝0，
解得a＝﹣42．
故答案为：﹣42．
4．如图，点A，B在数轴上，且A与B的距离是5，点A对应的数为，则点B所对应的数为 ﹣1 ．
【点拨】根据题意，结合数轴，求出B对应的数即可．
【解析】解：如图，点A，B在数轴上，且A与B的距离是5，点A对应的数为，则点B所对应的数为35＝﹣1，
故答案为：﹣1
5．利用数轴解答：有一座三层楼房不幸起火，一位消防队员搭梯子爬往三楼去救人，当他爬到梯子正中一级时，二楼窗口喷出火来，他就往下退了3级，等到火过去了，他又爬了7级，这时屋顶有砖掉下，他又往后退了2级，幸好没事，他又爬了8级，这时他距离梯子最高层还有一级，问这个梯子共有 23 级．
【点拨】梯子有正中一级，说明梯子的级数和为奇数，设正中一级是第x级，根据梯子总级数俩列等量关系为：第x级﹣3+7﹣2+8+1＝2x﹣1，把相关数值代入即可求解．
【解析】解：设中间一级为第x级，则全梯共有2x﹣1级，
根据题意得：x﹣3+7﹣2+8+1＝2x﹣1．
∴x＝12．
∴2x﹣1＝23．
故答案为：23．
6．如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），刻度尺上表示“0cm”、“8cm”的点分别对应数轴上的﹣2和x，那么x的值为 6 ．
【点拨】根据直尺的长度知x为﹣2右边8个单位的点所表示的数，据此可得．
【解析】解：由题意知，x的值为﹣2+（8﹣0）＝6，
故答案为：6．
7．已知a，b，c都是有理数，且满足1，那么6 7 ．
【点拨】此题首先能够根据已知条件和绝对值的意义，得到a，b，c的符号关系，再进一步求解．
【解析】解：根据绝对值的意义，知：一个非零数的绝对值除以这个数，等于1或﹣1．
又1，则其中必有两个1和一个﹣1，即a，b，c中两正一负．
则1，
则66﹣（﹣1）＝7．
故答案为：7．
8．如图，数轴上的有理数a，b满足|3a﹣b|﹣|a+2b|＝|a|，则 ．
【点拨】根据点a、b在数轴上的位置可判断出3a﹣b＜0，a+2b＞，a＜0，然后化简绝对值，从而可求得答案．
【解析】解：∵由题意可知：3a﹣b＜0，a+2b＞0，a＜0，
∴b﹣3a﹣（a+2b）＝﹣a．
整理得：﹣b＝3a．
∴．
故答案为：．
9．如图，点A、B在数轴上，其对应的数分别是﹣14和10，若点C也在这个数轴上，且AC：BC＝2：5，则点C对应的数是 或﹣30 ．
【点拨】设点C表示的数为x，分点C在A、B之间和点C在点A的左边两种情况，利用两点间的距离公式列方程求解可得．
【解析】解：设点C表示的数为x，
当点C在A、B之间时，，
解得：x；
当点C在点A的左边时，，
解得：x＝﹣30，
故答案为：或﹣30．
10．已知﹣2＜x≤m，x在数轴上有4个整数解，则m的取值范围是 2≤m＜3 ．
【点拨】根据数轴上有4个整数解，确定出m的范围即可．
【解析】解：∵﹣2＜x≤m，x在数轴上有4个整数解，
∴2≤m＜3，
故答案为：2≤m＜3．
11．如图，折叠纸面上一数轴，使得表示数5与数﹣1的两点重合，若此时，数轴上的A、B两点也重合，且A、B两点之间的距离为32，则A表示的数为 18或﹣14 ．
【点拨】若5表示的点与﹣1表示的点重合，则折痕经过2；若数轴上A、B两点之间的距离为32，则两个点分别距离中点是16，依此即可求解．
【解析】解：∵5表示的点与﹣1表示的点重合，
∴折痕经过2；
∵数轴上A、B两点之间的距离为32，
∴两个点分别距离中点是16，
∴A表示的数为2+16＝18或2﹣16＝﹣14．
故答案为：18或﹣14．
三．解答题（共7小题）
1．（2019?青羊区校级期中）已知有理数a、b、c满足：a+c＜0，ac＞0，|b|＝b，
（1）比较大小：a ＜ 0；b ≥ ；c ＜ 0；
（2）先去绝对值，再化简：|a﹣2b+c|2|b﹣2c|的值．
【点拨】（1）通过加法、乘法的符号法则，判断a、b的正负，通过绝对值的意义，判断b的正负；
（2）根据加法的符号法则，先判断a﹣2b+c、2a+4c、b﹣2c的正负，再根绝绝对值的意义化去绝对值后再计算．
【解析】解：（1）因为a+c＜0，ac＞0，|b|＝b，
所以a＜0，c＜0，b≥0．
故答案为：＜；≥；＜
（2）∵a＜0，c＜0，b≥0．
∴a﹣2b+c＜0，2a+4c＜0，b﹣2c＞0，
∴原式＝﹣（a﹣2b+c）2（b﹣2c）
＝﹣a+2b﹣c+a+2c+2b﹣4c
＝4b﹣3c．
【点睛】本题考查了整式的加减，有理数的加、减、乘法的符号法则，绝对值的意义．解决本题的关键是掌握有理数的加减乘的符号法则．
2．若|x﹣y+3|与|x+y﹣1999|互为相反数，求的值
【点拨】先根据相反数的定义得到|x﹣y+3|与|x+y﹣1999|的关系，再根据绝对值的性质列出关于x、y的方程组，求出x、y的值，再把x、y的值代入所求代数式进行计算即可．
【解析】解：依相反数的意义有|x﹣y+3|＝﹣|x+y﹣1999|．
因为任何一个实数的绝对值是非负数，所以必有|x﹣y+3|＝0且|x+y﹣1999|＝0．即
，
由①有x﹣y＝﹣3，由②有x+y＝1999．
②﹣①得2y＝2002，y＝1001，
所以1000．
【点睛】本题考查的是相反数的定义、非负数的性质及解二元一次方程组，能根据非负数的性质得到关于x、y的二元一次方程组是解答此题的关键．
3．（2019?雁塔区校级期中）（1）当|x﹣2|+|x﹣3|的值最小时，则|x﹣3|﹣|x﹣2|+|x﹣1|的最大值是 2 ，最小值是 1 ．
（2）已知正整数a，b满足|b﹣2|+b﹣2＝0，|a﹣b|+a﹣b＝0，求ab的值．
【点拨】（1）首先确定x的取值范围，然后在x的取值范围内确定最大值和最小值即可；
（2）根据任何数的绝对值一定是非负数，以及正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，即可确定a，b的值，从而求解．
【解析】解：（1）将|x﹣2|+|x﹣3|简化，
它也就是个分段函数，
当x＜2时
为2﹣x+3﹣x＝5﹣2x＞1，
当2≤x≤3时
为x﹣2+3﹣x＝1，
当x＞3时
为x﹣2+x+3＝2x+1＞1，
∴当2≤x≤3时，|x﹣2|+|x﹣3|有最小值为1，
∴当2≤x≤3时，|x﹣3|﹣|x﹣2|+|x﹣1|＝3﹣x﹣（x﹣2）+（x+1）＝3﹣x﹣x+2+x﹣1＝﹣x+4，
当x＝2时，|x﹣3|﹣|x﹣2|+|x﹣1|有最大值2，
当x＝3时，|x﹣3|﹣|x﹣2|+|x﹣1|最小值1
综上可以得到：当x＝2时|x﹣3|﹣|x﹣2|+|x﹣1|的最大值是2，当x＝3时最小值是1；
故答案为：2，1．
（2）解：∵|b﹣2|+b﹣2＝0，
∴|b﹣2|＝2﹣b≥0，
∴b≤2，
又∵|a﹣b|+a﹣b＝0，
∴|a﹣b|＝b﹣a≥0，
∴a≤b．
∵a，b是正整数．
∴a＝1，b＝2或a＝b＝1或a＝b＝2，
∴ab＝2或1或4．
【点睛】本题考查了绝对值的性质：任何数的绝对值一定是非负数，（2）中求得a，b的值是关键．
4．（2018?吉州区期末）已知数轴上两点A、B对应的数分别是
6，﹣8，M、N、P为数轴上三个动点，点M从A点出发速度为每秒2个单位，点N从点B出发速度为M点的3倍，点P从原点出发速度为每秒1个单位．
（1）若点M向右运动，同时点N向左运动，求多长时间点M与点N相距54个单位？
（2）若点M、N、P同时都向右运动，求多长时间点P到点M，N的距离相等？
【点拨】（1）设经过x秒点M与点N相距54个单位，由点M从A点出发速度为每秒2个单位，点N从点B出发速度为M点的3倍，得出2x+6x+14＝54求出即可；
（2）首先设经过t秒点P到点M，N的距离相等，得出（2t+6）﹣t＝（6t﹣8）﹣t或（2t+6）﹣t＝t﹣（6t﹣8），进而求出即可．
【解析】解：（1）设经过x秒点M与点N相距54个单位．
依题意可列方程为：2x+6x+14＝54，
解方程，得x＝5．
答：经过5秒点M与点N相距54个单位．（算术方法对应给分）
（2）设经过t秒点P到点M，N的距离相等．
（2t+6）﹣t＝（6t﹣8）﹣t或（2t+6）﹣t＝t﹣（6t﹣8），
t+6＝5t﹣8或t+6＝8﹣5t
t或t，
答：经过或秒点P到点M，N的距离相等．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据已知点运动速度得出以及距离之间的关系得出等式是解题关键．
5．（2018?无棣县期末）已知点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且|a+5|+（b﹣1）2＝0，规定A、B两点之间的距离记作|AB|＝|a﹣b|．
（1）求A、B两点之间的距离|AB|；
（2）设点P在线段AB之间且在数轴上对应的数为x，当|PA|﹣|PB|＝2时，求x的值；
（3）若点P在线段AB之外，N、M分别是PA、PB的中点．对于①|PN|+|PM|的值，②||PN|﹣|PM||的值．探究①②中值的结果，判断哪个结果的值一定是一个常数，说明理由并求出这个常数．
【点拨】（1）根据绝对值与平方的和0，可得绝对值、平方同时为0，根据两点间的距离公式，可得答案；
（2）根据两点间的距离公式，可得答案；
（3）根据分类讨论，可得，||PN|﹣|PM||的值，可得答案．
【解析】解：（1）∵|a+5|+（b﹣1）2＝0，
∴a＝﹣5，b＝1，
|AB|＝|a﹣b|＝|﹣5﹣1|＝6；
（2）因为P在A、B之间|PA|＝|x﹣（﹣5）|＝x+5，|PB|＝|x﹣1|＝1﹣x
∵|PA|﹣|PB|＝2，
∴x+5﹣（1﹣x）＝2，
∴x＝﹣1；
（3）②||PN|﹣|PM||的值是一个常数
当点P在线段AB的左侧时
有|PN|﹣|PM||PB||PA|（|PB|﹣|PA|）|AB|＝3；
当点P在线段AB的右侧时
有|PN|﹣|PM||PB||PA|（|PB|﹣|PA|）|AB|＝﹣3；
∴点P在线段AB之外时总有||PN|﹣|PM||＝3，
而|PN|+|PM|的结果与点P位置有关，不为常数，
∴||PN|﹣|PM||的值为常数，这个常数为3．
【点睛】题考查了绝对值，两点间的距离公式是解题关键，（3）要分类讨论，要不重不漏．
6．（2019?市中区校级月考）请把下列每对数在数轴上所对应的两点的距离写在横线上：
（1）①3与2 1 ；3与﹣2 5 ；
③﹣4与﹣4 ；
④﹣3与2 6 ；
你能发现求出距离与这两个数的差有什么关系吗？如果有一对数为a，b，则a，b两数所对应的两点之间的距离可表示为 |a﹣b| ．
（2）如图所示，点A、B所代表的数分别为1，﹣2，在数轴上画出与A、B两点的距离之和为5的点（并标上相应的字母）
（3）由以上探索解答下列问题：
①当|x+1|+|x﹣2|＝7时，x＝ 4 ；
②|x﹣3|+|x﹣4|+|x﹣5|的和的最小值＝ 2
③求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|…|x﹣21|的最小值．
【点拨】（1）利用数轴分别得出，进而得出a，b两数所对应的两点之间的距离；
（2）根据点A、B所代表的数分别为1，﹣2，在数轴上画出与A、B两点的距离之和为5的点，结合数轴得出即可；
（3）①利用x的取值范围分析得出即可；
②利用x＝4时，求出原式的最值即可；
③可以用数形结合来解题：x为数轴上的一点，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…|x﹣21|表示：点x到数轴上的21个点（1、2、3、…、21）的距离之和，由于原式的绝对值共有21项，最中间的那一项是|x﹣11|，所以只需取x＝11，它们的和就可以获得最小值．
【解析】解：（1）①1；②5；③；④6；
a，b两数所对应的两点之间的距离可表示为|a﹣b|；
（2）C、D是与A、B两点的距离之和为5的点
；
（3）①当x＞2时，|x+1|+|x﹣2|＝7为x+1+x﹣2＝7，
解得：x＝4；
当2＞x≥﹣1时，x+1+2﹣x＝7（舍去）；
当x＜﹣1时，|x+1|+|x﹣2|＝7为﹣x﹣1﹣x+2＝7，解得：x＝﹣3，
故答案为：4或﹣3；
②当|x﹣3|+|x﹣4|+|x﹣5|的和最小，则x＝4，
∴原式＝1+0+1＝2；
故答案为：2；
③当x＝11时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|…|x﹣21|＝10+9+8+7+…+9+10＝10×11＝110．
【点睛】此题主要考查了绝对值的性质以及利用数形结合求最值问题，利用已知得出x＝11时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…|x﹣21|能够取到最小值是解题关键．
7．已知|x+2|+|1﹣x|＝9﹣|y﹣5|﹣|1+y|，求x+y最大值与最小值．
【点拨】先将|x+2|+|1﹣x|＝9﹣|y﹣5|﹣|1+y|化为x+2|+|1﹣x|+|y﹣5|+|1+y|＝9．再对x、y的取值进行分类讨论：当x≥1，y≥5时；当1＞x≥﹣2，5＞y≥﹣1时；当x＜﹣2，y＜﹣1时．最后求出最大最小值．
【解析】解：|x+2|+|1﹣x|＝9﹣|y﹣5|﹣|1+y|，
∴|x+2|+|1﹣x|+|y﹣5|+|1+y|＝9，
当x≥1，y≥5时，x+2+x﹣1+y﹣5+y+1＝9，
2x+2y＝12，
x+y＝6，
当1＞x≥﹣2，5＞y≥﹣1时，
x+2+1﹣x+5﹣y+y+1＝9
但x+y＜6，
当x＜﹣2，y＜﹣1时，
﹣x﹣2+1﹣x+5﹣y﹣1﹣y＝9，
﹣2x﹣2y＝6，
x+y＝﹣3，
故x+y最大值为6，最小值为﹣3．
【点睛】本题主要考查了绝对值：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；绝对值是非负数≥0；0的绝对值还是零．
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专题02
有理数及其运算：1数轴与绝对值
B卷培优典型例题
例1：（2019?兴化市校级月考）数轴上点A和点B表示的数分别是﹣1和3，点P到A、B两点的距离之和为6，则点P表示的数是（ ）
A．﹣3
B．﹣3或5
C．﹣2
D．﹣2或4
例2：（2019?中原区校级期中）电影《哈利?波特》中，小哈利波特穿越墙进入“9站台”的镜头（如示意图的Q站台），构思奇妙，能给观众留下深刻的印象．若A、B站台分别位于，处，AP＝3BP，则P站台用类似电影的方法可称为“___________站台”．
例3：（2018?成都期末）有理数a，b、c在数轴上的位置如图所示，化简|a+b|+|a﹣c|﹣|b﹣1|＝_______．
例4：（2018?槐荫区期末）计算：已知|x|＝3，|y|＝2，
（1）当xy＜0时，求x+y的值
（2）求x﹣y的最大值
例5：如果对于某一特定范围内x的任意允许值，P＝|1﹣8x|+|1﹣10x|+|1﹣12x|+|1﹣14x|+|1﹣16x|的值恒为一个常数，试求x的取值范围和这个常数．
例6：（2018?南海区期末）如图，在数轴上点A表示的数a、点B表示数b，a、b满足|a﹣6|+（b+12）2＝0．点O是数轴原点．
（1）求线段AB的长；
（2）点A以每秒1个单位的速度在数轴上匀速运动，点B以每秒2个单位的速度在数轴上匀速运动．设点A、B同时出发，运动时间为t秒，若点A、B能够重合，求出这时的运动时间；
（3）在（2）的条件下，直接写出经过多少秒后，点A、B两点间的距离为20个单位．
B卷培优能力
一．选择题（共8小题）
1．在，，0，﹣1，0.4，π，2，﹣3，﹣6这些数中，有理数有m个，自然数有n个，分数有k个，则m﹣n﹣k的值为（ ）
A．3
B．2
C．1
D．4
2．如图所示，有理数a、b在数轴上的位置，化简|1+a|+|1﹣b|的值为（ ）
A．a+b
B．a+b﹣2
C．﹣a﹣b
D．a﹣b+2
3．设三个互不相等的有理数，既可表示为1，a+b，a的形式，又可表示为0，，b的形式，则a﹣b的值为（ ）
A．0
B．﹣1
C．﹣2
D．2
4．某项科学研究，以45分钟为1个时间单位，并记每天上午10：00时间为0，10时以前记为负，10时以后记为正，例如：9：15记为﹣1，10：45记为1等等，依此类推，上午6：15记为（ ）
A．﹣4
B．﹣5
C．﹣3.45
D．6.15
5．已知a，b，c为非零的实数，则的可能值的个数为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
6．已知有理数a，b，c在数轴上对应的位置如图所示，化简|b﹣c|﹣|c﹣a|（ ）
A．b﹣2c+a
B．b﹣2c﹣a
C．b+a
D．b﹣a
7．点O，A，B，C在数轴上的位置如图所示，O为原点，AC＝1，OA＝OB．若点C所表示的数为a，则点B所表示的数为（ ）
A．﹣（a+1）
B．﹣（a﹣1）
C．a+1
D．a﹣1
8．如图，点A、B在数轴上所表示的数分别是2和5，若点C与A、B在同一条数轴上且AC﹣AB＝m（m＞0），则点C所表示的数为（ ）
A．m+5
B．1﹣m
C．m+5或2﹣m
D．m+5或﹣m﹣1
二．填空题（共11小题）
1．纽约与北京的时差为﹣13小时（正数表示同一时刻比北京时间早的时数），若北京时间19：30，则此时纽约的时间是
．
2．我们把分子为1的分数叫做单位分数．如，，任何一个单位分数都可以拆成两个不同的单位分数的和，如，，，…，根据对上述式子的观察，请你写出
．
3．在数轴上，表示数（4）的点M与表示数（3）的点N分别位于原点两侧且到原点的距离相等，则a的值为
．
4．如图，点A，B在数轴上，且A与B的距离是5，点A对应的数为，则点B所对应的数为
．
5．利用数轴解答：有一座三层楼房不幸起火，一位消防队员搭梯子爬往三楼去救人，当他爬到梯子正中一级时，二楼窗口喷出火来，他就往下退了3级，等到火过去了，他又爬了7级，这时屋顶有砖掉下，他又往后退了2级，幸好没事，他又爬了8级，这时他距离梯子最高层还有一级，问这个梯子共有
级．
6．如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），刻度尺上表示“0cm”、“8cm”的点分别对应数轴上的﹣2和x，那么x的值为
．
7．已知a，b，c都是有理数，且满足1，那么6
．
8．如图，数轴上的有理数a，b满足|3a﹣b|﹣|a+2b|＝|a|，则
．
9．如图，点A、B在数轴上，其对应的数分别是﹣14和10，若点C也在这个数轴上，且AC：BC＝2：5，则点C对应的数是
．
10．已知﹣2＜x≤m，x在数轴上有4个整数解，则m的取值范围是
．
11．如图，折叠纸面上一数轴，使得表示数5与数﹣1的两点重合，若此时，数轴上的A、B两点也重合，且A、B两点之间的距离为32，则A表示的数为
．
二．解答题（共7小题）
1．（2019?青羊区校级期中）已知有理数a、b、c满足：a+c＜0，ac＞0，|b|＝b，
（1）比较大小：a
0；b
；c
0；
（2）先去绝对值，再化简：|a﹣2b+c|2|b﹣2c|的值．
2．若|x﹣y+3|与|x+y﹣1999|互为相反数，求的值
3．（2019?雁塔区校级期中）（1）当|x﹣2|+|x﹣3|的值最小时，则|x﹣3|﹣|x﹣2|+|x﹣1|的最大值是
，最小值是
．
（2）已知正整数a，b满足|b﹣2|+b﹣2＝0，|a﹣b|+a﹣b＝0，求ab的值．
4．（2018?吉州区期末）已知数轴上两点A、B对应的数分别是
6，﹣8，M、N、P为数轴上三个动点，点M从A点出发速度为每秒2个单位，点N从点B出发速度为M点的3倍，点P从原点出发速度为每秒1个单位．
（1）若点M向右运动，同时点N向左运动，求多长时间点M与点N相距54个单位？
（2）若点M、N、P同时都向右运动，求多长时间点P到点M，N的距离相等？
5．（2018?无棣县期末）已知点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且|a+5|+（b﹣1）2＝0，规定A、B两点之间的距离记作|AB|＝|a﹣b|．
（1）求A、B两点之间的距离|AB|；
（2）设点P在线段AB之间且在数轴上对应的数为x，当|PA|﹣|PB|＝2时，求x的值；
（3）若点P在线段AB之外，N、M分别是PA、PB的中点．对于①|PN|+|PM|的值，②||PN|﹣|PM||的值．探究①②中值的结果，判断哪个结果的值一定是一个常数，说明理由并求出这个常数．
6．（2019?市中区校级月考）请把下列每对数在数轴上所对应的两点的距离写在横线上：
（1）①3与2
；3与﹣2
；
③﹣4与﹣4
；
④﹣3与2
；
你能发现求出距离与这两个数的差有什么关系吗？如果有一对数为a，b，则a，b两数所对应的两点之间的距离可表示为
．
（2）如图所示，点A、B所代表的数分别为1，﹣2，在数轴上画出与A、B两点的距离之和为5的点（并标上相应的字母）
（3）由以上探索解答下列问题：
①当|x+1|+|x﹣2|＝7时，x＝
；
②|x﹣3|+|x﹣4|+|x﹣5|的和的最小值＝
③求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|…|x﹣21|的最小值．
7．已知|x+2|+|1﹣x|＝9﹣|y﹣5|﹣|1+y|，求x+y最大值与最小值．
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