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专题02
有理数及其运算：1数轴与绝对值（B卷专题训练）
（满分50分）
一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
1．（2019?鄂城区期中）已知|a+3|+|b﹣5|＝0，x，y互为相反数，则3（x+y）﹣a+2b的值等于 13 ．
【点拨】根据非负数的性质列式求出a、b的值，根据互为相反数的两个数的和等于0可得x+y＝0，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解析】解：∵|a+3|+|b﹣5|＝0，
∴a+3＝0，b﹣5＝0，
解得a＝﹣3，b＝5，
∵x，y互为相反数，
∴x+y＝0，
∴3（x+y）﹣a+2b＝3×0﹣（﹣3）+2×5＝0+3+10＝13．
故答案为：13．
【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
2．（2019?广陵区校级月考）已知：|m﹣5|＝5﹣m，则m ≤ 5（填“≤”或“≥”）．
【点拨】根据绝对值的性质可得．
【解析】解：∵|m﹣5|＝5﹣m，
∴m﹣5≤0，
则m≤5，
故答案为：≤．
【点睛】本题主要考查绝对值，掌握负数的绝对值等于其相反数是解题的关键．
3．（2019?下陆区月考）|x﹣2|+|x+4|＝6，则x的取值范围是 ﹣4≤x≤2 ．
【点拨】|x﹣2|+|x+4|＝6可看作数轴到表示2与﹣4的点的距离等于6的点的集合．
【解析】解：由绝对值的意义可知：|x﹣2|+|x+4|＝6表示数轴上某点到表示2与﹣4的点的距离等于6的点的集合．
故此x的取值范围是：﹣4≤x≤2．
故答案为：﹣4≤x≤2．
【点睛】本题主要考查的是绝对值的定义，明确|x﹣2|+|x+4|＝6的几何意义是解题的关键．
4．（2019?武昌区期中）当3≤m＜5时，化简|2m﹣10|+2|m﹣3|＝ 4
【点拨】根据m的范围判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果．
【解析】解：∵3≤m＜5，
∴2m﹣10＜0，m﹣3≥0，
则原式＝10﹣2m+2m﹣6＝4．
故答案为：4．
【点睛】此题考查了整式的加减，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．（2017秋?宝安区期末）如图所示，有理数a、b在数轴上的位置，化简|1+a|+|1﹣b|的值为
a+b
．
【点拨】根据a、b在数轴上的位置，进行绝对值的化简，然后合并．
【解析】解：由图可得，﹣1＜a＜0＜1＜b，
则|1+a|+|1﹣b|＝a+1﹣1+b＝a+b．
【点睛】本题考查了数轴，绝对值，解答本题的关键是掌握绝对值的化简以及同类项的合并．
二、解答题（本大题共3小题，共30分）
6．（每小题5分，共10分）
（1）已知，且﹣1≤x≤2，则S的最大值与最小值的差是多少？
【点拨】根据﹣1≤x≤2，可以得到x﹣2≤0，x+2≥0，然后根据x的符号即可去掉绝对值的符号，即可求得S的值或值的范围，从而求解．
【解析】解：∵﹣1≤x≤2
∴x﹣2≤0，x+2≥0
当﹣1≤x＜0时，S＝﹣x+2x+x+2x+4；
当0≤x≤2时，S＝﹣x+2x+x+2x+4．
则S的最大值是4，最小值是3．
则S的最大值与最小值的差是4﹣3＝1．
故答案是1．
【点睛】本题主要考查了绝对值的性质：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．正确对x的范围进行分类是解决本题的关键．
（2）已知a，b，c，d都是整数，且|a+b|+|b+c|+|c+d|+|d+a|＝2，则|a+d|＝的值为．
【点拨】根据题意易知|a+b|、|b+c|、|c+d|、|d+a|是整数，所以不外乎两种可能：①3个为0，1个为2；②2个为0，2个为1，继而讨论|a+d|的值．
【解析】解：由题意得：|a+b|、|b+c|、|c+d|、|d+a|是整数，所以有两种可能：
①3个为0，1个为2，
②2个为0，2个为1，
所以|a+d|只可能取0、1、2，若为2，
则|a+b|＝|b+c|＝|c+d|＝0，
不难得出a＝﹣d，所以|a+d|＝0，与假设|a+d|＝2矛盾．
所以|a+d|只可能取0、1，a＝0，b＝0，c＝﹣1，d＝1时|a+d|＝1；
a＝﹣1，b＝0，c＝0，d＝1时|a+d|＝0．
故答案为：1或0．
【点睛】本题考查了绝对值的知识，难度较大，注意对各种情况的讨论，不要漏解．
7．（2018?松滋市期末）如图，A、B、P是数轴上的三个点，P是AB的中点，A、B所对应的数值分别为﹣20和40．
（1）试求P点对应的数值；若点A、B对应的数值分别是a和b，试用a、b的代数式表示P点在数轴上所对应的数值；
（2）若A、B、P三点同时一起在数轴上做匀速直线运动，A、B两点相向而行，P点在动点A和B之间做触点折返运动（即P点在运动过程中触碰到A、B任意一点就改变运动方向，向相反方向运动，速度不变，触点时间忽略不计），直至A、B两点相遇，停止运动．如果A、B、P运动的速度分别是1个单位长度/s，2个单位长度/s，3个单位长度/s，设运动时间为t．
①求整个运动过程中，P点所运动的路程．
②若P点用最短的时间首次碰到A点，且与B点未碰到，试写出该过程中，P点经过t秒钟后，在数轴上对应的数值（用含t的式子表示）；
③在②的条件下，是否存在时间t，使P点刚好在A、B两点间距离的中点上，如果存在，请求出t值，如果不存在，请说明理由．
【点拨】（1）根据题意结合图形即可解决问题；
（2）①关键是确定P点运动的时间；
②根据条件确定t的取值范围，由点P运动的时间和速度，再结合其初始位置，易得其在数轴上对应的位置；
③研究三个点的相对位置和运动过程中距离的变化情况可以判断．
【解析】解：（1）∵P是AB的中点，A、B所对应的数值分别为﹣20和40．
∴点p应该位于点A的右侧，和点A的距离是30，而点A位于原点O的左侧，距离为20
∴点P位于原点的右侧，和原点O的距离为10．
故答案是10．
（2）①点A和点B相向而行，相遇的时间为20（秒），此即整个过程中点P运动的时间．
所以，点P的运动路程为3×20＝60（单位长度），故答案是60个单位长度．
②由P点用最短的时间首次碰到A点，且与B点未碰到，可知开始时点P是和点A相向而行的．所以这个过程中0≤t≤15．P点经过t秒钟后，在数轴上对应的数值为10﹣3t．
故答案是：10﹣3t，0≤t≤15．
③不存在．
由②可知，点P是和点A相向而行的，整个过程中，点P与点A的距离越来越小，而点P与点B的距离越来越大，所以不存在相等的时候．
【点睛】该命题主要考查了数轴上的点的排列特点；解题的关键是深刻把握题意．
8．（2019?阜宁县校级期中）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．
回答下列问题：
（1）数轴上表示2和7两点之间的距离是 5 ，数轴上表示3和﹣3两点之间的距离是 6 ．
（2）数轴上表示x和﹣4的两点之间的距离表示为 |x+4|； ．
（3）若|x﹣2|+|x+4|＝6，则x的取值范围是 2≥x≥﹣4 ．
（4）若x表示一个有理数，则代数式3﹣2|x﹣2|﹣2|x+4|有最大值吗？若有，请求出最大值．若没有，说出理由．
【点拨】（1）利用题目中的已知在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．即可得到答案；
（2）将x与﹣4代入|a﹣b|即可；
（3）根据绝对值的定义有：|x﹣2|+|x+4|可表示为点x到2与﹣4两点距离之和，当x在﹣4与2之间时，|x﹣2|+|x+4|＝6，故可得x的取值范围；
（4）由代数式3﹣2|x﹣2|﹣2|x+4|可知，其值要想最大，则|x﹣2|与|x+4|的值应最小，根据绝对值的定义有：|x﹣2|+|x+4|可表示为点x到2与﹣4两点距离之和，根据几何意义分析可知：当x在﹣4与2之间时，|x﹣2|+|x+4|有最小值6，故得到代数式3﹣2|x﹣2|﹣2|x+4|有最大值，再将|x﹣2|+|x+4|的最小值6代入即可得到最大值．
【解析】解：（1）数轴上表示2和7两点之间的距离是|7﹣2|＝5，数轴上表示3和﹣3的两点之间的距离是|3﹣（﹣3）|＝6；
（2）根据绝对值的定义有：数轴上表示x和﹣4的两点之间的距离表示为|x﹣（﹣4）|＝|x+4|；
（3）|x﹣2|+|x+4|可表示为点x到2与﹣4两点距离之和，当x在﹣4与2之间时，|x﹣2|+|x+4|＝6，
所以x的取值范围为：2≥x≥﹣4；
（4）根据绝对值的定义有：|x﹣2|+|x+4|可表示为点x到2与﹣4两点距离之和，
根据几何意义分析可知：当x在﹣4与2之间时，|x﹣2|+|x+4|有最小值6．
所以3﹣2|x﹣2|﹣2|x+4|＝3﹣2（|x﹣2|+|x+4|）＝3﹣12＝﹣9．
所以代数式3﹣2|x﹣2|﹣2|x+4|有最大值﹣9．
【点睛】本题考查的是绝对值的定义，两点间的距离，阅读理解能力及知识的迁移能力．
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专题02
有理数及其运算：1数轴与绝对值（B卷专题训练）
（满分50分）
一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
1．（2019?鄂城区期中）已知|a+3|+|b﹣5|＝0，x，y互为相反数，则3（x+y）﹣a+2b的值等于
．
2．（2019?广陵区校级月考）已知：|m﹣5|＝5﹣m，则m
5（填“≤”或“≥”）．
3．（2019?下陆区月考）|x﹣2|+|x+4|＝6，则x的取值范围是
．
4．（2019?武昌区期中）当3≤m＜5时，化简|2m﹣10|+2|m﹣3|＝
．
5．（2018?宝安区期末）如图所示，有理数a、b在数轴上的位置，化简|1+a|+|1﹣b|的值为
．
二、解答题（本大题共3小题，共30分）
6．（每小题5分，共10分）
（1）已知，且﹣1≤x≤2，则S的最大值与最小值的差是多少？
（2）已知a，b，c，d都是整数，且|a+b|+|b+c|+|c+d|+|d+a|＝2，则|a+d|的值为？
7．（10分）（2018?松滋市期末）如图，A、B、P是数轴上的三个点，P是AB的中点，A、B所对应的数值分别为﹣20和40．
（1）试求P点对应的数值；若点A、B对应的数值分别是a和b，试用a、b的代数式表示P点在数轴上所对应的数值；
（2）若A、B、P三点同时一起在数轴上做匀速直线运动，A、B两点相向而行，P点在动点A和B之间做触点折返运动（即P点在运动过程中触碰到A、B任意一点就改变运动方向，向相反方向运动，速度不变，触点时间忽略不计），直至A、B两点相遇，停止运动．如果A、B、P运动的速度分别是1个单位长度/s，2个单位长度/s，3个单位长度/s，设运动时间为t．
①求整个运动过程中，P点所运动的路程．
②若P点用最短的时间首次碰到A点，且与B点未碰到，试写出该过程中，P点经过t秒钟后，在数轴上对应的数值（用含t的式子表示）；
③在②的条件下，是否存在时间t，使P点刚好在A、B两点间距离的中点上，如果存在，请求出t值，如果不存在，请说明理由．
8．（8分）（2019?阜宁县校级期中）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．
回答下列问题：
（1）数轴上表示2和7两点之间的距离是
，数轴上表示3和﹣3两点之间的距离是
．
（2）数轴上表示x和﹣4的两点之间的距离表示为
．
（3）若|x﹣2|+|x+4|＝6，则x的取值范围是
．
（4）若x表示一个有理数，则代数式3﹣2|x﹣2|﹣2|x+4|有最大值吗？若有，请求出最大值．若没有，说出理由．
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