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专题04
整式及其加减（B卷能力突破）
B卷培优经典例题
例1：（2019?西湖区校级月考）QQ是一种流行的中文网络即时通讯软件．它可以通过累积“活跃天数”获得相应的等级，一个新用户等级开到1级需要5天的“活跃天数”，这样可以得到1个星星，此后每升1级需要的“活跃天数”都比前一次多2天，每升1级可以得到1个星星，每4个星星可以换一个月亮，每4个月亮可以换1个太阳，某用户今天刚升到2个月亮3个星星的等级，那么他可以升到1个太阳最少还需的活跃天数 155 天．
【思路点拨】根据题意所述可得出，若级数为N，天数为M，则M＝N（N+4），然后计算出2个月亮3个星星，1个太阳的天数，即可得出结论．
【解答】解：1级需要5天，2级需要12天；3级需要21天；四级需要32天…
∴若级数为N，天数为M，则M＝N（N+4），
∴升到1个太阳即到16级，则天数M＝16×（16+4）＝320（天）；
升到2个月亮3个星星即到第11级，所用天数为：11×（11+4）＝165（天），
∴320﹣165＝155（天），
即至少还需要155天，
故答案是：155．
【点睛】此题属于应用类问题，解答本题需要一定的规律总结能力，例如本题的规律“M＝N（N+4）”，如果不能直接发现，可先计算出前几个级数、天数，然后再总结，有一定难度．
例2：（2019?灌云县模拟）一旅游团来到十堰境内某旅游景点，看到售票处旁边的公告栏如图所示，请根据公告栏内容回答下列问题：
（1）若旅游团人数为9人，门票费用是多少？若旅游团人数为30人，门票费用又是多少？
（2）设旅游团人数为x人，写出该旅游团门票费用y（元）与人x的函数关系式（直接填写在下面的横线上）
【思路点拨】（1）9人时，根据门票费用＝单价×人数列式计算即可得解；30人时，分两个部分，10人按照原价，超过10的人数安装6折计算，然后列出算式进行计算即可得解；
（2）分两段根据门票费用＝单价×人数，列式整理即可得解．
【解答】解：（1）180×9＝1620（元），
180×10+180×60%×（30﹣10）
＝1800+108×20
＝1800+2160
＝3960（元）．
答：若旅游团人数为9人，门票费用是1
620元；若人数为30人，门票费用是3
960元；
（2）x≤10时，y＝180x，
x＞10时，y＝180×10+180×60%×（x﹣10）
＝1800+108x﹣1080
＝108x+720，
y．
【点睛】本题考查学生对应用题的审题分析能力．考查学生对多种问题的情况分析运用情况，以及考查学生对一次函数的掌握和灵活运用情况．
例3：整体代入
（1）已知当x＝7时，代数式ax5+bx﹣8＝8，求x＝7时，x5x+8的值
（2）已知x﹣y＝3xy，求的值．
【思路点拨】（1）把x＝7代入已知等式，求出75a+7b，把x＝7及75a+7b的值代入原式计算即可得到结果；
（2）把x﹣y＝3xy代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：（1）把x＝7代入代数式得：75a+7b﹣8＝8，即75a+7b＝16，
则当x＝7时，原式（75a+7b）+8＝8+8＝16；
（2）∵x﹣y＝3xy，
∴原式9．
【点睛】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
例4：（2019?自贡）阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+…+22017+22018的值，采用以下方法：
设S＝1+2+22+…+22017+22018①
则2S＝2+22+…+22018+22019②
②﹣①得2S﹣S＝S＝22019﹣1
∴S＝1+2+22+…+22017+22018＝22019﹣1
请仿照小明的方法解决以下问题：
（1）1+2+22+…+29＝ 210﹣1 ；
（2）3+32+…+310＝ ；
（3）求1+a+a2+…+an的和（a＞0，n是正整数，请写出计算过程）．
【思路点拨】（1）利用题中的方法设S＝1+2+22+…+29，两边乘以2得到2S＝2+22+…+210，然后把两式相减计算出S即可；
（2）利用题中的方法设S＝3+32+33+34+…+310
，两边乘以3得到3S＝3+32+33+34+35+…+311
，然后把两式相减计算出S即可；
（3）利用（2）的方法计算．
【解答】解：（1）设S＝1+2+22+…+29①
则2S＝2+22+…+210②
②﹣①得2S﹣S＝S＝210﹣1
∴S＝1+2+22+…+29＝210﹣1；
故答案为：210﹣1
（2）设S＝3+32+33+34+…+310
①，
则3S＝32+33+34+35+…+311
②，
②﹣①得2S＝311﹣3，
所以S，
即3+32+33+34+…+310；
故答案为：；
（3）设S＝1+a+a2+a3+a4+..+an①，
则aS＝a+a2+a3+a4+..+an+an+1②，
②﹣①得：（a﹣1）S＝an+1﹣1，
a＝1时，不能直接除以a﹣1，此时原式等于n+1；
a不等于1时，a﹣1才能做分母，所以S，
即1+a+a2+a3+a4+..+an，
【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类：认真观察、仔细思考，善用联想，利用类比的方法是解决这类问题的方法．
例5：（2019?大丰市校级期中）已知A＝﹣3x3+2x2﹣1，B＝x3﹣2x2﹣x+3，求3A﹣（2A﹣B）．
【思路点拨】直接把A＝﹣3x3+2x2﹣1，B＝x3﹣2x2﹣x+3代入3A﹣（2A﹣B）进行计算即可．
【解答】解：∵A＝﹣3x3+2x2﹣1，B＝x3﹣2x2﹣x+3，
∴3A﹣（2A﹣B）
＝3A﹣2A+B
＝A+B
＝（﹣3x3+2x2﹣1）+（x3﹣2x2﹣x+3）
＝﹣3x3+2x2﹣1+x3﹣2x2﹣x+3
＝﹣2x3﹣x+2．
【点睛】本题考查的是整式的加减，熟知整式的加减实质上就是合并同类项是解答此题的关键．
例6：（2019?姑苏区校级模拟）已知多项式A＝2x2﹣xy+my﹣8，B＝﹣nx2+xy+y+7，A﹣2B中不含有x2项和y项，求nm+mn的值．
【思路点拨】把A与B代入A﹣2B中，去括号合并得到最简结果，由结果不含有x2项和y项求出m与n的值，代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：∵A＝2x2﹣xy+my﹣8，B＝﹣nx2+xy+y+7，
∴A﹣2B＝2x2﹣xy+my﹣8+2nx2﹣2xy﹣2y﹣14＝（2+2n）x2﹣3xy+（m﹣2）y﹣22，
由结果不含有x2项和y项，得到2+2n＝0，m﹣2＝0，
解得：m＝2，n＝﹣1，
则原式＝1﹣2＝﹣1．
【点睛】此题考查了整式的加减，熟练掌握去括号法则与合并同类项法则是解本题的关键．
B卷培优能力专题训练
一．选择题（共10小题）
1．（2019?宝安区期末）若﹣2x2yb+3xay3＝x2y3，则|a﹣b|等于（ ）
A．﹣1
B．1
C．5
D．6
【思路点拨】根据同类项是字母相同且相同字母的指数也相同，可得a、b的值，根据差的绝对值数大数减小数，可得答案．
【解答】解：由﹣2x2yb+3xay3＝x2y3，得
．
|a﹣b|＝b﹣a＝3﹣2＝1，
故选：B．
【点睛】本题考查了合并同类项，由同类项得出a、b的值是解题关键．
2．（2019?温江区期末）已知a+b＝4，c+d＝2，则（b﹣c）﹣（d﹣a）的值为（ ）
A．6
B．﹣6
C．2
D．﹣2
【思路点拨】先将（b﹣c）﹣（d﹣a）变形为（b+a）﹣（c+d），然后将a+b＝4，c+d＝2代入求解即可．
【解答】解：∵a+b＝4，c+d＝2，
∴（b﹣c）﹣（d﹣a）
＝（b+a）﹣（c+d）
＝4﹣2
＝2．
故选：C．
【点睛】本题考查了整式的加减，解答本题的关键在于先将（b﹣c）﹣（d﹣a）变形为（b+a）﹣（c+d），然后将a+b＝4，c+d＝2代入求解．
3．（2019?睢宁县期中）若x表示一个两位数，y也表示一个两位数，小明想用x、y来组成一个四位数，且把x放在y的右边，你认为下列表达式中正确的是（ ）
A．100y+x
B．100x+y
C．x+y
D．yx
【思路点拨】根据两位数的表示列出代数式解答即可．
【解答】解：若x表示一个两位数，y也表示一个两位数，小明想用x、y来组成一个四位数，且把x放在y的右边，
可表示为：100y+x，
故选：A．
【点睛】此题考查列代数式，理解题意，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键．
4．（2019?罗湖区期末）门窗生产厂不锈钢材制造一个长方形的窗户ABCD（中间的EF为共用边）、相关数据（单位米）如图所示，那么制造这个窗户所需不锈钢材的总长是（ ）
A．（3a+4b）米
B．（4a+3b）米
C．2ab米
D．（2a+3b）米
【思路点拨】直接利用已知图形求出其周长即可得出答案．
【解答】解：由题意可得，制造这个窗户所需不锈钢材的总长是：3b+2×2a＝4a+3b．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了列代数式，正确利用图形分析是解题关键．
5．（2019?福田区期末）关于x、y的代数式（﹣3kxy+3y）+（9xy﹣8x+1）中不含有二次项，则k＝（ ）
A．3
B．
C．4
D．
【思路点拨】原式去括号合并后，根据结果不含二次项，确定出k的值即可．
【解答】解：原式＝﹣3kxy+3y+9xy﹣8x+1＝（9﹣3k）xy+3y﹣8x+1，
由结果不含二次项，得到9﹣3k＝0，
解得：k＝3，
故选：A．
【点睛】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
6．（2019?福田区期末）观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2019应标在（ ）
A．第504个正方形的左下角
B．第504个正方形的右下角
C．第505个正方形的右上角
D．第505个正方形的左上角
【思路点拨】首先发现四个数的排列规律，然后设第n个正方形中标记的最大的数为an，观察给定图形，可找出规律“an＝4n”，依此规律即可得出结论．
【解答】解：观察图形发现奇数个正方形的四个角上的数字逆时针排列，偶数个图形顺时针排列，
∵2019＝504×4+3，
∴2019应该在第505个正方形的角上，
∴应该逆时针排列，
设第n个正方形中标记的最大的数为an．
观察给定正方形，可得出：
每个正方形有4个数，即an＝4n．
所以数2019应标在第505个正方形左上角
故选：D．
【点睛】本题考查了规律型中的图形的变化类，根据正方形顶点上标数的变化找出变化规律是解题的关键．
7．（2019?常州期末）我国政府为解决老百姓看病难的问题，决定大幅度下调药品价格．某种药品在1999年涨价30%，2003年降价70%至a．那么这种药品在1999年涨价前的价格为（ ）
A．（1+30%）（1+70%）a
B．（1﹣30%）（1+70%）a
C．
D．
【思路点拨】本题关键是要知道1999年涨价后的价格为a÷（1﹣70%），再依据题意求解．
【解答】解：2003年降价70%至a，是在1999年涨价后的价格的基础上降价的，
∴1999年涨价后的价格为a÷（1﹣70%）；
这种药品在1999年涨价30%，
那么1999年涨价前的价格为：．
故选：D．
【点睛】解决问题的关键是读懂题意，本题需先算出1999年涨价后的价格．难点是找到相应的单位1．
8．（2019?望江县期末）某公司去年10月份的利润为a万元，11月份比10月份减少5%，12月份比11月份增加了9%，则该公司12月份的利润为（ ）
A．（a﹣5%）（a+9%）万元
B．（a﹣5%+9%）万元
C．a（1﹣5%+9%）万元
D．a（1﹣5%）（1+9%）万元
【思路点拨】先表示11月份利润为a（1﹣5%）万元，则12月份利润为a（1﹣5%）（1+9%）万元．
【解答】解：由题意得：12月份的利润为：a（1﹣5%）（1+9%）万元，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了列代数式的知识，属于变化率的问题，一般公式为原来的量×（1±x）＝后来的量，其中增长用+，减少用﹣，难度一般．
9．（2019?渝中区校级期中）2012年6月15日，重庆市物价局发出相关通知，从今年7月1日起，我市将开始执行居民生活用电试行阶梯电价方案．方案的具体电价标准为：凡我市实行“一户一表”的城乡居民用户，月用电量200千瓦时（含）以内的为第一档，维持现行电价标准，即每千瓦时0.52元；月用电量201﹣400千瓦时（含）的为第二档，每千瓦时提高5分，即每千瓦时0.57元；月用电量在401千瓦时（含）以上的为第三档，每千瓦时提高0.30元，即每千瓦时0.82元．某居民今年11月用电量为t千瓦时（200＜t≤400），则该居民所付电费为（ ）
A．0.52t
B．0.57t
C．0.52×20
0+0.57t
D．0.52×200+0.57×（t﹣200）
【思路点拨】某居民家11月份用电t千瓦时，交电费y元，根据等量关系列出关于y的方程即可．
【解答】解：设该居民所付电费为y元，则依题意有
y＝0.52×150+0.57（t﹣200），
故选：D．
【点睛】本题主要考查了列代数式的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出代数式即可．
10．（2019?站前区校级模拟）如图，矩形ABCD长为a，宽为b，若S1＝S2（S3+S4），则S4等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【思路点拨】连接DB，根据S矩形ABCD＝S1+S2+S3+S4得出S1+S2ab，利用三角形的面积公式得出S△DCBab，从而得出FBBC，同理得出EBAB，求得S3，然后即可求得S4．
【解答】解：S矩形ABCD＝S1+S2+S3+S4（S3+S4）（S3+S4）+S3+S4＝2（S3+S4）＝ab，
∴S3+S4ab，
∴S1+S2ab，
连接DB，则S△DCBab，
∴CF：BC＝S2：＝S△DCBab：ab＝1：2，
∴FBBC，
同理，EBAB，
∴S3EB?FB?BC?ABab，
∴S4ab﹣S3ababab；
故选：A．
【点睛】此题考查了列代数式，用到的知识点是三角形面积和长方形的面积公式，解题的关键是作出辅助线，属于难题．
11．（2019?沙市区期中）如果已知整式3x2﹣4x+6的值为9，则x2x+6的值为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．5或8
【思路点拨】求出3x2﹣4x＝3，再变形后代入，即可求出答案．
【解答】解：根据题意得：3x2﹣4x+6＝9，
3x2﹣4x＝3，
所以x2x+6（3x2﹣4x）+66＝7，
故选：C．
【点睛】本题考查了求代数式的值，能够整体代入是解此题的关键．
4
8
6
44
6
10
8
74
10
x
12．（2019?法库县期末）下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的，根据此规律确定x的值为（ ）
2
6
4
22
0
4
2
8
A．148
B．158
C．168
D．178
【思路点拨】首先根据图示，可得第n个表格的左上角的数等于2n，左下角的数等于2n+2；右上角的数分别为2n+4，由此求出n；最后根据每个表格中右下角的数等于左下角的数与右上角的数的积减去左上角的数，求出x的值是多少即可．
【解答】解：观察可知：2n＝10，解得：n＝5，
∴x＝12×14﹣10＝158．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了探寻数字规律问题，注意观察总结出规律，并能正确的应用规律．
13．（2019?沙坪坝区校级月考）若2x+y＝1，﹣y+2z＝﹣3，则x+y﹣z的值是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【思路点拨】求出（2x+y）﹣（﹣y+2z）的值，再两边除以2即可得．
【解答】解：∵（2x+y）﹣（﹣y+2z）
＝2x+y+y﹣2z
＝2x+2y﹣2z
＝1﹣（﹣3）
＝4，
∴x+y﹣z＝2，
故选：B．
【点睛】本题主要考查整式的加减，解题的关键是掌握整式加减运算法则．
14．（2019?泰兴市期中）如图，四边形的面积为9，五边形的面积为17，两个阴影部分的面积分别为a，b（a＜b），则b﹣a的值为（ ）
A．9
B．8
C．7
D．6
【思路点拨】设重叠部分面积为c，（b﹣a）可理解为（b+c）﹣（a+c），即两个多边形面积的差．
【解答】解：设重叠部分面积为c，
b﹣a＝（b+c）﹣（a+c）＝17﹣9＝8．
故选：B．
【点睛】本题考查了整式的加减，将阴影部分的面积之差转换成整个图形的面积之差是解题的关键．
二．填空题（共7小题）
1．（2019?金堂县期末）将若干个自然数按某种规律排列，若前面几个数依次是：1，3，6，10，15，21，28，36，则第50个数是 1275 ．
【思路点拨】根据题目中前几个数，可以发现数字的变化规律，从而可以得到这列数的第50个数，本题得以解决．
【解答】解：∵一列数的前几个数是1，3，6，10，15，21，28，36，
∴第n个数为：1+2+3+…+n，
∴第50个数是：1275，
故答案为：1275．
【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中的数字变化规律．
2．（2019?市北区期末）如图是一种分类数值转换机，若开始输入x的值是14，则第1次输出的结果是 7 ，第2次输出的结果是 12 ，依次继续下去，第2018次输出的结果是 1 ．
【思路点拨】首先根据题意，开始输入x的值是14，14是一个偶数，则第1次输出的结果是14＝7，第2次输入的x的值是7，7是一个奇数，则第二次输出的结果是7+5＝12，然后依此类推，归纳总结出输出的结果的规律，进而判断出第2018次输出的结果是多少即可．
【解答】解：根据分析，可得
第1次输出的结果是：14＝7；
第2次输出的结果是：7+5＝12；
第3次输出的结果是：12＝6；
第4次输出的结果是：6＝3；
第5次输出的结果是：3+5＝8；
第6次输出的结果是：8＝4；
第7次输出的结果是：4＝2；
第8次输出的结果是：2＝1；
第9次输出的结果是：1+5＝6；
第10次输出的结果是：6＝3；
所以从第3次开始，输出的结果是6，3，8，4，2，1，每6个数一个循环，
∵（2018﹣2）÷6＝2016÷6＝336，
∴第2018次输出的结果为1，
故答案为：7，12，1．
【点睛】此题主要考查了代数式求值问题，解答此题的关键是弄清楚每次输入的值的奇偶性，并能判断出：从第3次开始，输出的结果是6，3，8，4，2，1，每6个数一个循环．
3．（2019?青羊区期末）当k＝
时，代数式x2﹣8+xy﹣3y2+2kxy中不含xy项．
【思路点拨】首先合并多项式，由于不含xy的项，该项的系数为0，得到关于k的方程，求解即可．
【解答】解：x2﹣8+xy﹣3y2+2kxy
＝x2﹣8﹣3y2+（2k+1）xy
由于代数式不含xy项
所以2k+1＝0
解得：k
故答案为：
【点睛】本题考查了多项式的相关概念，不含那一项就是该项的系数为0
4．（2019?开江县期末）如果单项式5am+1bn+5与a2m+1b2n+3是同类项，则3m﹣n＝ ﹣2 ．
【思路点拨】根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，求出m、n的值，继而可求得3m﹣n的值．
【解答】解：∵单项式5am+1bn+5与a2m+1b2n+3是同类项，
∴，
解得：，
∴3m﹣n＝0﹣2＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点睛】本题考查了同类项的知识，解答本题的关键是掌握同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同．
5．（2019?成都期末）已知多项式6x2+（1﹣2m）x+7m的值与m的取值无关，则x＝ ．
【思路点拨】将已知代数式进行整理，令含m项是系数为零即可求得x的值．
【解答】解：6x2+（1﹣2m）x+7m＝6x2+x+（7﹣2x）m．
因为
多项式6x2+（1﹣2m）x+7m的值与m的取值无关，
所以
7﹣2x＝0．
解得
x．
故答案是：．
【点睛】考查了合并同类项，“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．
6．（2019?丰县期中）为鼓励节约用水，某地推行阶梯式水价计费制，标准如下：每月用水不超过17立方米的按每立方米a元计费，超过17立方米而未超过30立方米的部分按每立方米b元计费，超过30立方米的部分按每立方米c元计费，某户居民上月用水35立方米，应缴水费 17a+13b+5c 元．
【思路点拨】一是前17立方米的水费，按每立方米水价按a元收费；二是超过17立方米而未超过30立方米的水费，按每立方米按b元交费，过30立方米的部分按每立方米c元计费，再把两部分水费加起来即可．
【解答】解：某户居民上月用水35立方米，应缴水费17a+13b+5c元，
故答案为：17a+13b+5c
【点睛】此题主要考查了列代数式，关键是正确理解题意，理清题目中的收费方式．
7．（2019?简阳市期末）一般情况下不成立，但有些数可以使得它成立，例如：m＝n＝0时，我们称使得成立的一对数m，n为“相伴数对”，记为（m，n）．
（1）若（m，1）是“相伴数对”，则m＝ ；
（2）（m，n）是“相伴数对”，则代数式m﹣[n（6﹣12n﹣15m）]的值为 ﹣3 ．
【思路点拨】（1）利用新定义“相伴数对”列出算式，计算即可求出m的值；
（2）利用新定义“相伴数对”列出关系式，原式去括号合并后代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）根据题意得：，
去分母得：15m+10＝6m+6，
移项合并得：9m＝﹣4，
解得：m；
（2）由题意得：，即，
整理得：15m+10n＝6m+6n，即9m+4n＝0，
则原式m﹣n﹣3+6nmm+5n﹣3（9m+4n）﹣3＝﹣3，
故答案为：（1）；（2）﹣3
【点睛】此题考查了整式的加减﹣化简求值，弄清题中的新定义是解本题的关键．
三．解答题（共10小题）
1．（2019?贵阳）如图是一个长为a，宽为b的矩形，两个阴影图形都是一对底边长为1，且底边在矩形对边上的平行四边形．
（1）用含字母a，b的代数式表示矩形中空白部分的面积；
（2）当a＝3，b＝2时，求矩形中空白部分的面积．
【思路点拨】（1）空白区域面积＝矩形面积﹣两个阴影平行四边形面积+中间重叠平行四边形面积；
（2）将a＝3，b＝2代入（1）中即可；
【解答】解：（1）S＝ab﹣a﹣b+1；
（2）当a＝3，b＝2时，S＝6﹣3﹣2+1＝2；
【点睛】本题考查阴影部分面积，平行四边形面积，代数式求值；能够准确求出阴影部分面积是解题的关键．
2．（2019?青羊区校级期末）已知关于a，b的多项式：A＝3a2+kab+b﹣1，B＝b2﹣aba﹣3，且多项式3B+A中不含有ab项．
（1）则k＝ 3 ；
（2）在（1）的基础上，若关于y的方程1的解为y＝k，求（m+4）2017?22018的值；
（3）在（1）的基础上，若|a+b+2|+|a2+b2﹣3|＝0，求3B+A的值．
【思路点拨】（1）计算3B+A，因为不含ab的项，即得到含k的一元一次方程，求k．
（2）把y＝k＝3代入方程求解即可．
（3）由绝对值非负性得到含a、b的式子的值，代入化简后的3B+A即可．
【解答】解：（1）3B+A＝3（b2﹣aba﹣3）+3a2+kab+b﹣1＝3b2﹣3ab+a﹣9+3a2+kab+b﹣1＝3a2+3b2+（k﹣3）ab+a+b﹣10
∵多项式3B+A中不含有ab项
∴k﹣3＝0
得：k＝3
故答案为：3．
（2）∵y＝3是方程1的解
∴
解得：m
∴（m+4）2017?22018＝（4）2017?22018＝（2）2017?2＝﹣2
（3）∵|a+b+2|+|a2+b2﹣3|＝0
∴|a+b+2|＝0，|a2+b2﹣3|＝0
∴a+b＝﹣2，a2+b2＝3
∴3B+A＝3a2+3b2+kab﹣3ab+a+b﹣10＝3（a2+b2）+（a+b）﹣10＝3×3+（﹣2）﹣10＝9﹣2﹣10＝﹣3
【点睛】本题考查了整式的加减，一元一次方程的解法．
3．（2019?成都期末）（1）化简：5（2x3y+3xy2）﹣（6xy2﹣3x3y）
（2）化简求值：已知a+b＝9，ab＝20，求（﹣15a+3ab）（2ab﹣10a）﹣4（ab+3b）的值．
【思路点拨】（1）根据整式的运算法则即可求出答案．
（2）根据整式的运算法则，进而代入即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝10x3y+15xy2﹣6xy2+3x3y
＝13x3y+9xy2；
（2）原式
，
把a+b＝9，ab＝20代入．
【点睛】本题考查整式的运算法则，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
4．（2019?南海区期末）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：
（1）求所捂的多项式；
（2）若x是2x＝﹣x+9的解，求所捂多项式的值；
（3）若x为正整数，任取x几个值并求出所捂多项式的值，你能发现什么规律？
【思路点拨】（1）根据题意列出整式相加减的式子，再去括号，合并同类项即可；
（2）先求出2x＝﹣x+9的解，然后代入（1）中求得的所捂的多项式即可；
（3）令x＝1，2，3求出所捂多项式的值，找出规律即可．
【解答】解：（1）（﹣3x2﹣x﹣2）+（4x2+5x+6）
＝﹣3x2﹣x﹣2+4x2+5x+6
＝x2+4x+4，
即所捂的多项式是x2+4x+4；
（2）∵x是2x＝﹣x+9的解，
∴x＝3，
∴x2+4x+4＝32+4×3+4＝25，
即若x是2x＝﹣x+9的解，求所捂多项式的值是25；
（3）当x＝1时，x2+4x+4＝12+4×1+4＝9；
当x＝2时，x2+4x+4＝22+4×2+4＝16；
当x＝3时，x2+4x+4＝32+4×3+4＝25；
由上可以发现规律是所捂多项式的值是x与2的和的平方．
【点睛】本题考查的是整式的加减、代数式求值，解题的关键是明确整式的加减的方法，运用转化的数学思想求出所求的代数式，会根据具体的x的值求代数式的值，能发现题目中所求式子的值的规律．
5．（2019春?常州期末）观察下列各式：
（x﹣1）÷（x﹣1）＝1
（x2﹣1）÷（x﹣1）＝x+1；
（x3﹣1）÷（x﹣1）＝x2+x+1
（x4﹣1）÷（x﹣1）＝x3+x2+x+1
（1）根据上面各式的规律可得（xn+1﹣1）÷（x﹣1）＝ xn+xn﹣1+…+x+1 ；
（2）求22019+22018+22017+……+2+1的值．
【思路点拨】（1）根据上面各式的规律，可得：（xn+1﹣1）÷（x﹣1）＝xn+xn﹣1+…+x+1．
（2）根据（1）总结出的规律，可得：22019+22018+22017+……+2+1＝（22020﹣1）÷（2﹣1），据此求出算式的值是多少即可．
【解答】解：（1）根据上面各式的规律，可得：
（xn+1﹣1）÷（x﹣1）＝xn+xn﹣1+…+x+1．
（2）∵（xn+1﹣1）÷（x﹣1）＝xn+xn﹣1+…+x+1，
∴22019+22018+22017+……+2+1
＝（22020﹣1）÷（2﹣1）
＝22020﹣1
故答案为：xn+xn﹣1+…+x+1．
【点睛】此题主要考查了整式的除法的运算方法，有理数的混合运算的方法，以及数字的变化类，要注意总结出规律，并能应用规律．
6．（2018秋?武侯区期末）已知8x2ay与﹣3x4y2+b是同类项，且A＝a2+ab﹣2b2，B＝3a2﹣ab﹣6b2，求2B﹣3（B﹣A）的值．
【思路点拨】直接同类项的定义得出a，b的值，进而去括号合并同类项，再把a，b的值代入求出答案．
【解答】解：∵8x2ay与﹣3x4y2+b是同类项，
∴，
解得：，
∵A＝a2+ab﹣2b2，B＝3a2﹣ab﹣6b2，
∴2B﹣3（B﹣A）
＝3A﹣B
＝3（a2+ab﹣2b2）﹣（3a2﹣ab﹣6b2）
＝4ab，
当a＝2，b＝﹣1时，
原式＝4×2×（﹣1）＝﹣8．
【点睛】此题主要考查了整式的加减运算，正确合并同类项是解题关键．
7．（2019?温江区期末）张明在写作业时，不慎将一滴墨水滴在数轴上，根据图中的数据解答下列问题：
①写出墨迹遮盖住的所有整数；
②如果墨迹遮盖住的整数中最大的是a，最小的是b，且，n＝b2﹣3b+2．试求﹣2（mn﹣3m2）﹣[m2﹣5（mn﹣m2）+2mn]的值．
【思路点拨】①根据数轴可得墨迹遮盖住的所有整数；
②根据①的结果求出a，b，再代入，n＝b2﹣3b+2求出m，n，再化简后代入计算即可求解．
【解答】解：①墨迹遮盖住的所有整数为：﹣1，0，1；
②a＝1，b＝﹣1，
则0.1，n＝b2﹣3b+2＝1+3+2＝6，
则﹣2（mn﹣3m2）﹣[m2﹣5（mn﹣m2）+2mn]
＝﹣2mn+6m2﹣[m2﹣5mn+5m2+2mn]
＝﹣2mn+6m2﹣m2+5mn﹣5m2﹣2mn
＝mn
＝0.1×6
＝0.6．
【点睛】考查了数轴，整式的加减﹣化简求值，给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算．
8．（2019?温州月考）用长为10m的铝合金做成如图的长方形窗框，设窗框横档的长为xm，中间一条直档与横档长度相等．
（1）用含x的代数式表示这个窗户的面积（中间的横档与直档所占的面积忽略不计）；
（2）当横档长取1.4m时，求窗户的面积．
【思路点拨】（1）窗框横档的长为xm，方形窗框的高（长方形的宽）为（x）m，利用长方形的面积求得结论；
（2）把x＝1.4代入（1）中的代数式求得问题的结论即可．
【解答】解：（1）设窗框横档的长为xm，方形窗框的高（长方形的宽）为（x）m，
则这个窗户的面积＝x（x）m2；
（2）当x＝1.4时，
窗户的面积0.525（m2）
【点睛】此题考查利用基本图形的面积列代数式，关键是求出长方形的宽．
9．（2019?沙河口区校级期末）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1），分两种不同形式不重叠的放在一个底面长为m，宽为n的长方形盒子底面（如图2、图3），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．
（1）求图2中阴影部分图形的周长；（用含m、n的式子直接写出答案）
（2）求图3中两个阴影部分图形的周长和．（用含有m、n的式子表示）
【思路点拨】（1）根据图形可直接得出阴影部分图形的周长是2m+2n；
（2）先设小长方形的宽为x，长为y，根据题意分别求出EP、FQ、PQ的值，再把各边长进行相加，即可得出答案．
【解答】解：（1）图2中阴影部分图形的周长是：2m+2n；
（2）设小长方形的宽为x，长为y，根据题意得：2x+y＝m，
EP＝n﹣y，FQ＝n﹣2x，
PQ＝EQ+PF﹣EF＝y+2x﹣n＝m﹣n，
EP+FQ＝n﹣（m﹣n）＝2n﹣m，
则两个阴影部分图形的周长和是：2m+2（2n﹣m）＝4n．
【点睛】此题考查了列代数式，解题关键是弄清题意，找出合适的数量关系，列出代数式，在解题时要根据题意结合图形得出答案．
10．（2019?武昌区期中）某超市在十一长假期间对顾客实行优惠，规定如下：
一次性购物
优惠办法
少于100元
不予优惠
超过100元但低于500元
超过100元部分给予九折优惠
超过500元
超过500元部分给予八折优惠
（1）小明的爷爷一次性购200元的保健食品，他实际付款 190 元：小明妈妈一次性购300元的衣服，她实际付款 280 元：如果他们两人合作付款，则能少付 10 元．
（2）小芳奶奶在该超市一次性购物x元生活用品，当x大于或等于500时，她们实际付款 100+360+0.8（x﹣500）＝0.8x+60 元（用含x的式子表示，写最简结果）
（3）如果小芳奶奶两次购物货款合计900元，第一次购物的货款为a元（200＜a＜300），两次购物小芳奶奶实际付款多少元？（用含a的式子表示）
（4）如何能更省钱，请给出一些建议．
【思路点拨】（1）根据少于100元不予优惠，超过100元但低于500元，超过100元部分给予九折优惠，可得出实际付款．
（2）根据少于100元不予优惠，超过100元但低于500元，超过100元部分给予九折优惠，超过500元的，超过500元部分给予八折优惠，可列出代数式．
（3）分别求出两次购物小芳奶奶实际付款的钱数，相加即可求解；
（4）一次性购物能更省钱．
【解答】解：（1）小明的爷爷一次性购200元的保健食品，他实际付款100+0.9×（200﹣100）＝190元：小明妈妈一次性购300元的衣服，她实际付款100+0.9×（300﹣100）＝280元：如果他们两人合作付款，则能少付190+280﹣[100+0.9×（200+300﹣100）]＝10元．
故答案为：190；280；10；
（2）小芳奶奶在该超市一次性购物x元生活用品，当x大于或等于500时，她们实际付款
100+360+0.8（x﹣500）＝（0.8x+60）元．
故答案为：（0.8x+60）；
（3）100+0.9（a﹣100）+100+0.9×（500﹣100）+0.8（900﹣a﹣500）＝（0.1a+790）元．
答：两次购物小芳奶奶实际付款（0.1a+790）元
（4）一次性购物能更省钱．
【点睛】本题考查了列代数式，代数式求值，关键明白优惠的方案，从而可求出解．
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专题04
整式及其加减（B卷能力突破）
B卷培优经典例题
例1：（2019?西湖区校级月考）QQ是一种流行的中文网络即时通讯软件．它可以通过累积“活跃天数”获得相应的等级，一个新用户等级开到1级需要5天的“活跃天数”，这样可以得到1个星星，此后每升1级需要的“活跃天数”都比前一次多2天，每升1级可以得到1个星星，每4个星星可以换一个月亮，每4个月亮可以换1个太阳，某用户今天刚升到2个月亮3个星星的等级，那么他可以升到1个太阳最少还需的活跃天数
天．
【思路点拨】根据题意所述可得出，若级数为N，天数为M，则M＝N（N+4），然后计算出2个月亮3个星星，1个太阳的天数，即可得出结论．
例2：（2019?灌云县模拟）一旅游团来到十堰境内某旅游景点，看到售票处旁边的公告栏如图所示，请根据公告栏内容回答下列问题：
（1）若旅游团人数为9人，门票费用是多少？若旅游团人数为30人，门票费用又是多少？
（2）设旅游团人数为x人，写出该旅游团门票费用y（元）与人x的函数关系式（直接填写在下面的横线上）
【思路点拨】（1）9人时，根据门票费用＝单价×人数列式计算即可得解；30人时，分两个部分，10人按照原价，超过10的人数安装6折计算，然后列出算式进行计算即可得解；
（2）分两段根据门票费用＝单价×人数，列式整理即可得解．
例3：整体代入
（1）已知当x＝7时，代数式ax5+bx﹣8＝8，求x＝7时，x5x+8的值
（2）已知x﹣y＝3xy，求的值．
【思路点拨】（1）把x＝7代入已知等式，求出75a+7b，把x＝7及75a+7b的值代入原式计算即可得到结果；
（2）把x﹣y＝3xy代入原式计算即可得到结果．
例4：（2019?自贡）阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+…+22017+22018的值，采用以下方法：
设S＝1+2+22+…+22017+22018①
则2S＝2+22+…+22018+22019②
②﹣①得2S﹣S＝S＝22019﹣1
∴S＝1+2+22+…+22017+22018＝22019﹣1
请仿照小明的方法解决以下问题：
（1）1+2+22+…+29＝ 210﹣1 ；
（2）3+32+…+310＝ ；
（3）求1+a+a2+…+an的和（a＞0，n是正整数，请写出计算过程）．
【思路点拨】（1）利用题中的方法设S＝1+2+22+…+29，两边乘以2得到2S＝2+22+…+210，然后把两式相减计算出S即可；
（2）利用题中的方法设S＝3+32+33+34+…+310
，两边乘以3得到3S＝3+32+33+34+35+…+311
，然后把两式相减计算出S即可；
（3）利用（2）的方法计算．
例5：（2019?大丰市校级期中）已知A＝﹣3x3+2x2﹣1，B＝x3﹣2x2﹣x+3，求3A﹣（2A﹣B）．
【思路点拨】直接把A＝﹣3x3+2x2﹣1，B＝x3﹣2x2﹣x+3代入3A﹣（2A﹣B）进行计算即可．
例6：（2019?姑苏区校级模拟）已知多项式A＝2x2﹣xy+my﹣8，B＝﹣nx2+xy+y+7，A﹣2B中不含有x2项和y项，求nm+mn的值．
【思路点拨】把A与B代入A﹣2B中，去括号合并得到最简结果，由结果不含有x2项和y项求出m与n的值，代入原式计算即可得到结果．
B卷培优能力专题训练
一．选择题（共10小题）
1．（2019?宝安区期末）若﹣2x2yb+3xay3＝x2y3，则|a﹣b|等于（ ）
A．﹣1
B．1
C．5
D．6
2．（2019?温江区期末）已知a+b＝4，c+d＝2，则（b﹣c）﹣（d﹣a）的值为（ ）
A．6
B．﹣6
C．2
D．﹣2
3．（2019?睢宁县期中）若x表示一个两位数，y也表示一个两位数，小明想用x、y来组成一个四位数，且把x放在y的右边，你认为下列表达式中正确的是（ ）
A．100y+x
B．100x+y
C．x+y
D．yx
4．（2019?罗湖区期末）门窗生产厂不锈钢材制造一个长方形的窗户ABCD（中间的EF为共用边）、相关数据（单位米）如图所示，那么制造这个窗户所需不锈钢材的总长是（ ）
A．（3a+4b）米
B．（4a+3b）米
C．2ab米
D．（2a+3b）米
5．（2019?福田区期末）关于x、y的代数式（﹣3kxy+3y）+（9xy﹣8x+1）中不含有二次项，则k＝（ ）
A．3
B．
C．4
D．
6．（2019?福田区期末）观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2019应标在（ ）
A．第504个正方形的左下角
B．第504个正方形的右下角
C．第505个正方形的右上角
D．第505个正方形的左上角
7．（2019?常州期末）我国政府为解决老百姓看病难的问题，决定大幅度下调药品价格．某种药品在1999年涨价30%，2003年降价70%至a．那么这种药品在1999年涨价前的价格为（ ）
A．（1+30%）（1+70%）a
B．（1﹣30%）（1+70%）a
C．
D．
8．（2019?望江县期末）某公司去年10月份的利润为a万元，11月份比10月份减少5%，12月份比11月份增加了9%，则该公司12月份的利润为（ ）
A．（a﹣5%）（a+9%）万元
B．（a﹣5%+9%）万元
C．a（1﹣5%+9%）万元
D．a（1﹣5%）（1+9%）万元
9．（2019?渝中区校级期中）2012年6月15日，重庆市物价局发出相关通知，从今年7月1日起，我市将开始执行居民生活用电试行阶梯电价方案．方案的具体电价标准为：凡我市实行“一户一表”的城乡居民用户，月用电量200千瓦时（含）以内的为第一档，维持现行电价标准，即每千瓦时0.52元；月用电量201﹣400千瓦时（含）的为第二档，每千瓦时提高5分，即每千瓦时0.57元；月用电量在401千瓦时（含）以上的为第三档，每千瓦时提高0.30元，即每千瓦时0.82元．某居民今年11月用电量为t千瓦时（200＜t≤400），则该居民所付电费为（ ）
A．0.52t
B．0.57t
C．0.52×20
0+0.57t
D．0.52×200+0.57×（t﹣200）
10．（2019?站前区校级模拟）如图，矩形ABCD长为a，宽为b，若S1＝S2（S3+S4），则S4等于（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2019?沙市区期中）如果已知整式3x2﹣4x+6的值为9，则x2x+6的值为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．5或8
12．（2019?法库县期末）下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的，根据此规律确定x的值为（ ）
2
6
4
22
4
8
6
44
6
10
8
74
10
x
0
4
2
8
A．148
B．158
C．168
D．178
13．（2019?沙坪坝区校级月考）若2x+y＝1，﹣y+2z＝﹣3，则x+y﹣z的值是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
14．（2019?泰兴市期中）如图，四边形的面积为9，五边形的面积为17，两个阴影部分的面积分别为a，b（a＜b），则b﹣a的值为（ ）
A．9
B．8
C．7
D．6
二．填空题（共7小题）
1．（2019?金堂县期末）将若干个自然数按某种规律排列，若前面几个数依次是：1，3，6，10，15，21，28，36，则第50个数是
．
2．（2019?市北区期末）如图是一种分类数值转换机，若开始输入x的值是14，则第1次输出的结果是
，第2次输出的结果是
，依次继续下去，第2018次输出的结果是
．
3．（2019?青羊区期末）当k＝
时，代数式x2﹣8+xy﹣3y2+2kxy中不含xy项．
4．（2019?开江县期末）如果单项式5am+1bn+5与a2m+1b2n+3是同类项，则3m﹣n＝
．
5．（2019?成都期末）已知多项式6x2+（1﹣2m）x+7m的值与m的取值无关，则x＝
．
6．（2019?丰县期中）为鼓励节约用水，某地推行阶梯式水价计费制，标准如下：每月用水不超过17立方米的按每立方米a元计费，超过17立方米而未超过30立方米的部分按每立方米b元计费，超过30立方米的部分按每立方米c元计费，某户居民上月用水35立方米，应缴水费
元．
7．（2019?简阳市期末）一般情况下不成立，但有些数可以使得它成立，例如：m＝n＝0时，我们称使得成立的一对数m，n为“相伴数对”，记为（m，n）．
（1）若（m，1）是“相伴数对”，则m＝
；
（2）（m，n）是“相伴数对”，则代数式m﹣[n（6﹣12n﹣15m）]的值为
．
三．解答题（共10小题）
1．（2019?贵阳）如图是一个长为a，宽为b的矩形，两个阴影图形都是一对底边长为1，且底边在矩形对边上的平行四边形．
（1）用含字母a，b的代数式表示矩形中空白部分的面积；
（2）当a＝3，b＝2时，求矩形中空白部分的面积．
2．（2019?青羊区校级期末）已知关于a，b的多项式：A＝3a2+kab+b﹣1，B＝b2﹣aba﹣3，且多项式3B+A中不含有ab项．
（1）则k＝
；
（2）在（1）的基础上，若关于y的方程1的解为y＝k，求（m+4）2017?22018的值；
（3）在（1）的基础上，若|a+b+2|+|a2+b2﹣3|＝0，求3B+A的值．
3．（2019?成都期末）（1）化简：5（2x3y+3xy2）﹣（6xy2﹣3x3y）
（2）化简求值：已知a+b＝9，ab＝20，求（﹣15a+3ab）（2ab﹣10a）﹣4（ab+3b）的值．
4．（2019?南海区期末）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：
（1）求所捂的多项式；
（2）若x是2x＝﹣x+9的解，求所捂多项式的值；
（3）若x为正整数，任取x几个值并求出所捂多项式的值，你能发现什么规律？
5．（2019?常州期末）观察下列各式：
（x﹣1）÷（x﹣1）＝1
（x2﹣1）÷（x﹣1）＝x+1；
（x3﹣1）÷（x﹣1）＝x2+x+1
（x4﹣1）÷（x﹣1）＝x3+x2+x+1
（1）根据上面各式的规律可得（xn+1﹣1）÷（x﹣1）＝
；
（2）求22019+22018+22017+……+2+1的值．
（2019?武侯区期末）已知8x2ay与﹣3x4y2+b是同类项，且A＝a2+ab﹣2b2，B＝3a2﹣ab﹣6b2，求2B﹣3（B﹣A）的值．
7．（2019?温江区期末）张明在写作业时，不慎将一滴墨水滴在数轴上，根据图中的数据解答下列问题：
①写出墨迹遮盖住的所有整数；
②如果墨迹遮盖住的整数中最大的是a，最小的是b，且，n＝b2﹣3b+2．试求﹣2（mn﹣3m2）﹣[m2﹣5（mn﹣m2）+2mn]的值．
8．（2019?温州月考）用长为10m的铝合金做成如图的长方形窗框，设窗框横档的长为xm，中间一条直档与横档长度相等．
（1）用含x的代数式表示这个窗户的面积（中间的横档与直档所占的面积忽略不计）；
（2）当横档长取1.4m时，求窗户的面积．
9．（2019?沙河口区校级期末）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1），分两种不同形式不重叠的放在一个底面长为m，宽为n的长方形盒子底面（如图2、图3），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．
（1）求图2中阴影部分图形的周长；（用含m、n的式子直接写出答案）
（2）求图3中两个阴影部分图形的周长和．（用含有m、n的式子表示）
10．（2019?武昌区期中）某超市在十一长假期间对顾客实行优惠，规定如下：
一次性购物
优惠办法
少于100元
不予优惠
超过100元但低于500元
超过100元部分给予九折优惠
超过500元
超过500元部分给予八折优惠
（1）小明的爷爷一次性购200元的保健食品，他实际付款
元：小明妈妈一次性购300元的衣服，她实际付款
元：如果他们两人合作付款，则能少付
元．
（2）小芳奶奶在该超市一次性购物x元生活用品，当x大于或等于500时，她们实际付款
元（用含x的式子表示，写最简结果）
（3）如果小芳奶奶两次购物货款合计900元，第一次购物的货款为a元（200＜a＜300），两次购物小芳奶奶实际付款多少元？（用含a的式子表示）
（4）如何能更省钱，请给出一些建议．
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