中小学教育资源及组卷应用平台
专题05
基本平面图形（B卷能力突破）
B卷培优经典例题
例1：（2019?枝江市期中）如图，已知∠MOQ是直角，∠QON是锐角，OR平分∠QON，OP平分∠MON，则∠POR的度数为（ ）
A．45°∠QON
B．60°
C．∠QON
D．45°
【思路点拨】先根据∠MOQ是直角，∠QON是锐角，OP平分∠MON得出∠PON的表达式，再由OR平分∠QON得出∠NOR的表达式，故可得出结论．
例2：（2019?福田区校级期末）当时间为3点30分时，时钟上时针与分针所成夹角的度数是 ．
【思路点拨】根据分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°得到时针30分转了15°，分针30分转了180°，而它们开始相距3×30°，于是所以3点30分，时针与分针所成夹角的度数＝180°﹣90°﹣15°．
例3：（2019?沁阳市期末）如图，∠AOC＝30°35′25″，∠BOC＝80°15′28″，OC平分∠AOD，那么∠BOD等于 49°40′3″ ．
【思路点拨】先根据角平分线的定义求出∠COD的度数，最后利用角的差计算结果．
例4：（2019?宣汉县期末）如图，N为线段AC中点，点M、点B分别为线段AN、NC上的点，且满足AM：MB：BC＝1：4：3．
（1）若AN＝6，求AM的长．
（2）若NB＝2，求AC的长．
【思路点拨】（1）根据线段中点的定义得到AC＝2AN＝12，于是得到AMAC12；
（2）根据线段中点的定义得到ANAC，得到ABACAC，列方程即可得到结论．
例5：（2019?宣汉县期末）如图1，点O为直线AB上一点，过O点作射线OC，使∠AOC：∠BOC＝1：3，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置，使得ON落在射线OB上，此时三角板旋转的角度为 180 度．
（2）在（1）旋转过程中，当旋转至图3的位置时，使得OM在∠BOC的内部，ON落在直线AB下方，试探究∠COM与∠BON之间满足什么等量关系，并说明理由．
【思路点拨】（1）根据OM的初始位置和旋转后在图2的位置进行分析；
（2）依据已知先计算出∠BOC＝135°，则∠MOB＝135°﹣MOC，根据∠BON与∠MOB互补，则可用∠MOC表示出∠BON，从而发现二者之间的等量关系．
例6：（2019?金牛区期末）如图1，点O为线段MN上一点，一副直角三角板的直角顶点与点O重合，直角边DO、BO在线段MN上，∠COD＝∠AOB＝90°．
（1）将图1中的三角板COD绕着点O沿顺时针方向旋转到如图2所示的位置，若∠AOC＝35°，则∠BOD＝ 145° ；猜想∠AOC与∠BOD的数量关系为 180° ；
（2）将图1中的三角板COD绕着点O沿逆时针方向按每秒15°的速度旋转一周，三角板AOB不动，请问几秒后OD所在的直线平分∠AOB？
（3）将图1中的三角板COD绕着点O沿逆时针方向按每秒15°的速度旋转两周，同时三角板AOB绕着点O沿逆时针方向按每秒5°的速度旋转（随三角板COD停止而停止），请直接写出几秒后OC所在直线平分∠AON．
【思路点拨】（1）根据互余关系先求出∠AOD，再由角的和差求出结果；
（2）当旋转135°或315°时，OD所在的直线平分∠AOB，由此便可求得结果；
（3）根据当三角板AOB绕着点O沿逆时针方向旋转0°到90°，90°到180°，180°到240°三种情况，满足OC直线平分∠AON时，列出关于t的方程进行解答．
B卷培优能力专题训练
一．选择题（共10小题）
1．（2019?福田区期末）如图所示，C、D是线段AB上两点，若AC＝3cm，C为AD中点且AB＝10cm，则DB＝（ ）
A．4cm
B．5cm
C．6cm
D．7cm
2．（2019?和平区期末）下列各数中，正确的角度互化是（ ）
A．63.5°＝63°50′
B．23°12′36″＝23.48°
C．18°18′18″＝18.33°
D．22.25°＝22°15′
3．（2019?罗湖区期末）木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线，这是因为（ ）
A．两点之间，线段最短
B．两点确定一条直线
C．过一点，有无数条直线
D．连接两点之间的线段叫做两点间的距离
4．（2019?南海区期末）已知：点C在直线AB上，线段AB＝6，点D是AC中点，BC＝4那么A、D之间的距离是（ ）
A．5
B．2.5
C．5或1
D．5或2.5
5．（2019?江岸区期末）不相等的有理数a，b，c在数轴上的对应点分别是A、B、C，如果|a﹣b|+|b﹣c|＝|a﹣c|，那么点B
（ ）
A．在A、C点的左边
B．在A、C点的右边
C．在A、C点之间
D．上述三种均可能
6．（2019?漳浦县期末）如图，把一个直径为12的半圆分成三个大小相同的扇形，则每个扇形的面积是（ ）
A．24π
B．18π
C．12π
D．6π
7．（2019?东营区校级期中）下列语句中准确规范的是（ ）
A．直线a，b相交于一点m
B．反向延长直线AB
C．反向延长射线AO（O是端点）
D．延长线段AB到C，使BC＝AB
8．（2019?高阳县一模）如图，某边防战士驾驶摩托艇外出巡逻，先从港口A点沿北偏东60°的方向行驶30海里到达B点，再从B点沿北偏西30°方向行驶30海里到C点，要想从C点直接回到港口A，行驶的方向应是（ ）
A．南偏西15°方向
B．南偏西60°方向
C．南偏西30°方向
D．南偏西45°方向
9．（2019?蜀山区期末）如图，将一根绳子对折以后用线段AB表示，现从P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为60cm，若APPB，则这条绳子的原长为（ ）
A．100cm
B．150cm
C．100cm或150cm
D．120cm或150cm
10．（2019?威海）如图，一条街道旁有A，B，C，D，E五幢居民楼．某大桶水经销商统计各楼居民每周所需大桶水的数量如下表：
楼号
A
B
C
D
E
大桶水数/桶
38
55
50
72
85
他们计划在这五幢楼中租赁一间门市房，设立大桶水供应点．若仅考虑这五幢楼内的居民取水所走路程之和最小，可以选择的地点应在（ ）
A．B楼
B．C楼
C．D楼
D．E楼
二．填空题（共10小题）
1．（2019?平顶山期末）9时45分时，时钟的时针与分针的夹角是
．
2．（209?福田区校级期末）现有2019条直线a1，a2，a3，…，a2019，且有a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5…，则直线a1与a2019的位置关系是
．
3．（2019?市北区期末）已知线段AB＝10cm，C是直线AB上的点，BC＝4cm，若M是AB的中点，N是BC的中点，则线段MN的长为
．
4．（2019?青羊区校级期末）如图，点C、D分别为线段AB（端点A、B除外）上的两个不同的动点，点D始终在点C右侧，图中共有
条线段，若所有线段的和等于36cm，且AB＝4CD，则CD＝
cm．
5．（2019?宝安区期末）如图，∠AOC和∠DOB都是直角，如果∠DOC＝26°，那么∠AOB的度数是
．
6．（2019?金乡县三模）如图，将一副直角三角板如图放置，若∠AOD＝18°，则∠BOC的度数为
．
7．（2019?漳浦县期末）时钟显示时间是3点30分，此时时针与分针的夹角为
°．
8．（2019?金堂县期末）已知线段AB＝16cm，点M在直线AB上，AM：BM＝1：3，点P，点Q分别为线段AM，线段AB的中点，则线段PQ的长为
．
9．（2019?江岸区期末）如图，数轴上线段AB及可移动的线段CD（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），已知线段AB覆盖8个整数点（数轴上对应整数的点），线段CD覆盖2个整数点，点M，点N分别为AC、BD的中点，则线段MN覆盖
个整数点．
10．（2019?长兴县期末）如图，已知线段AB＝a（a＞1），线段CD＝1，线段CD在线段AB上由点A向点B从左向右移动（点C不与点A重合，点D不与点B重合），若设线段AC＝x，即图中所有线段的长度之和为S，则S＝
（用含a，x的代数式表示）．
三．解答题（共10小题）
1．（2019?雅安期末）如图，∠AOB＝80°，OP平分∠BOC，OQ平分∠AOC，求∠POQ的度数．
2．（2019?简阳市期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC，∠FOD＝90°
（1）若∠AOF＝50°，求∠BOE的度数；
（2）若∠BOD：∠BOE＝1：4，求∠AOF的度数．
3．（2019?罗湖区期末）如图1，点A、O、B在同一直线上，∠AOC＝60°，在直线AB另一侧，直角三角形DOE绕直角顶点O逆时针旋转（当OD与OC重合时停止），设∠BOE＝α：
（1）如图1，当DO的延长线OF平分∠BOC，∠α＝
度；
（2）如图2，若（1）中直角三角形DOE继续逆时针旋转，当OD位于∠AOC的内部，且∠AOD∠AOC，∠α＝
度；
（3）在上述直角三角形DOE的旋转过程中，（∠COD+∠α）的度数是否改变？若不改变，请求出其度数；若改变，请说明理由．
4．（2019?青羊区校级期末）O是直线AB上的一点，∠AOC＝72°．（本题中角的度数均为大于0°且小于等于180°）．
（1）如图1，若OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，则∠DOE＝
°；
（2）在（1）的条件下，如图2，若OF平分∠BOD，求∠EOF的值；
（3）如图3，将整个图形绕点O逆时针旋转m°（0＜m＜180），直线AB旋转到A1B1，OC旋转到OC1，作射线OP且不与射线OB1重合，使∠BOP＝∠BOB1，当m为何值时，∠POA1﹣∠AOC1＝60°．
5．（2019?成都期末）已知线段AB＝16，在直线AB上截取线段BC＝10，点P、Q分別是AB、AC的中点．
（1）线段PQ的长度为
；
（2）若AB＝m，BC＝n，其它条件不变，求线段PQ的长度；
（3）分析（1）（2）的结论，你从中发现了什么规律？
6．（2019?和平区期末）已知A，B，C三点在数轴上对应的位置如图如示，其中点B对应的数为2，BC＝3，AB＝14．
（1）点A对应的数是
，点C对应的数是
：
（2）动点P，Q分别同时从A，C两点出发，分别以每秒8个单位和3个单位的速度沿数轴正方向运动．点M为AP的中点，点N在CQ上，且CNCQ，设运动时间为t（t＞0）．
①请直接用含t的代数式表示点M，N对应的数；
②当OM＝2BN时，求t的值．
7．（2019?金牛区期末）已知∠AOB＝110°，∠COD＝40°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．
（1）如图①，当OB、OC重合时，求∠AOE﹣∠BOF的值；
（2）当∠COD从图①所示位置绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转t秒（0＜t＜10）；在旋转过程中∠AOE﹣∠BOF的值是否会因t的变化而变化，若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由．
8．（2019?成都期末）已知点O是直线AB上一点，将一个直角三角形板如图①放置，使其中一条直角边ON在直线AB上，射线OC在∠BOM的内部．
（1）如图②，将三角板绕点O逆时针旋转，当∠BON＝∠CON时，请判断OM是否平分∠AOC，并说明理由．
（2）若∠BOC＝40°，将三角板绕点O逆时针旋转，每秒旋转1°，多少秒时∠AOM＝∠COM？
（3）在（2）的条件下，如图③，旋转三角板使ON在∠AOC内部，另一边OM在直线AB的另一侧，请探索∠AOM与∠CON的数量关系，并说明理由．
9．（2019?青羊区期末）（1）x为何值时，代数式的值比代数式x的值大3．
（2）如图，已知B，C两点把线段AD从左至右依次分成2：4：3三部分，M是AD的中点，BM＝5，求线段MC的长．
（2016秋?金牛区期末）点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a、b满足：
|a+6|+（b﹣4）2＝0
（1）求线段AB的长；
（2）如图1，点C在数轴上对应的数为x，且是方程x+1x﹣5的根，在数轴上是否存在点P使PA+PBBC+AB？若存在，求出点P对应的数；若不存在，说明理由；
如图2，若P点是B点右侧一点，PA的中点为M，N为PB的三等分点且靠近于P点，当P在B的右侧运动时，有两个结论：①PMBN的值不变；②PMBN的值不变，其中只有一个结论正确，请判断出正确的结论，并求出其值．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题05
基本平面图形（B卷能力突破）
B卷培优经典例题
例1：（2019?枝江市期中）如图，已知∠MOQ是直角，∠QON是锐角，OR平分∠QON，OP平分∠MON，则∠POR的度数为（ ）
A．45°∠QON
B．60°
C．∠QON
D．45°
【思路点拨】先根据∠MOQ是直角，∠QON是锐角，OP平分∠MON得出∠PON的表达式，再由OR平分∠QON得出∠NOR的表达式，故可得出结论．
【解答】解：∵∠MOQ是直角，∠QON是锐角，OP平分∠MON，
∴∠PON（∠MOQ+∠QON）（90°+∠QON）＝45°∠QON，
∵OR平分∠QON，
∴∠NOR∠QON，
∴∠POR＝∠PON﹣∠NOR＝45°∠QON∠QON＝45°．
故选：D．
【点睛】本题考查的是角平分线的定义，即一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
例2：（2019?福田区校级期末）当时间为3点30分时，时钟上时针与分针所成夹角的度数是 75° ．
【思路点拨】根据分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°得到时针30分转了15°，分针30分转了180°，而它们开始相距3×30°，于是所以3点30分，时针与分针所成夹角的度数＝180°﹣90°﹣15°．
【解答】解：时针从数3开始30分转了30×0.5°＝15°，分针从数字12开始30分转了30×6°＝180°，
所以3点30分，时针与分针所成夹角的度数＝180°﹣90°﹣15°＝75°．
故答案为：75°．
【点睛】本题考查了钟面角：钟面被分成12大格，每大格30°；分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°．
例3：（2019?沁阳市期末）如图，∠AOC＝30°35′25″，∠BOC＝80°15′28″，OC平分∠AOD，那么∠BOD等于 49°40′3″ ．
【思路点拨】先根据角平分线的定义求出∠COD的度数，最后利用角的差计算结果．
【解答】解：∵OC平分∠AOD，
∴∠COD＝∠AOC＝30°35′25″，
∵∠BOC＝80°15′28″，
∴∠BOD＝∠BOC﹣∠COD，
＝80°15′28″﹣30°35′25″，
＝79°75′28″﹣30°35′25″，
＝49°40′3″，
故答案为：49°40′3″．
【点睛】此题主要考查了角平分线的定义、度、分、秒的换算，正确掌握角平分线的性质是解题关键，注意度、分、秒之间是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法．
例4：（2019?宣汉县期末）如图，N为线段AC中点，点M、点B分别为线段AN、NC上的点，且满足AM：MB：BC＝1：4：3．
（1）若AN＝6，求AM的长．
（2）若NB＝2，求AC的长．
【思路点拨】（1）根据线段中点的定义得到AC＝2AN＝12，于是得到AMAC12；
（2）根据线段中点的定义得到ANAC，得到ABACAC，列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）∵AN＝6，N为线段AC中点，
∴AC＝2AN＝12，
∵AM：MB：BC＝1：4：3．
∴AMAC12；
（2）∵N为线段AC中点，
∴ANAC，
∵AM：MB：BC＝1：4：3，
∴ABACAC，
∴BN＝AB﹣ANACACAC＝2，
∴AC＝16．
【点睛】本题考查的是两点间的距离，正确理解线段中点的意义是解题的关键．
例5：（2019?宣汉县期末）如图1，点O为直线AB上一点，过O点作射线OC，使∠AOC：∠BOC＝1：3，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置，使得ON落在射线OB上，此时三角板旋转的角度为 180 度．
（2）在（1）旋转过程中，当旋转至图3的位置时，使得OM在∠BOC的内部，ON落在直线AB下方，试探究∠COM与∠BON之间满足什么等量关系，并说明理由．
【思路点拨】（1）根据OM的初始位置和旋转后在图2的位置进行分析；
（2）依据已知先计算出∠BOC＝135°，则∠MOB＝135°﹣MOC，根据∠BON与∠MOB互补，则可用∠MOC表示出∠BON，从而发现二者之间的等量关系．
【解答】解：（1）OM由初始位置旋转到图2位置时，在一条直线上，所以旋转了180°．
故答案为180；
（2）∵∠AOC：∠BOC＝1：3，
∴∠BOC＝180°135°．
∵∠MOC+∠MOB＝135°，
∴∠MOB＝135°﹣∠MOC．
∴∠BON＝90°﹣∠MOB＝90°﹣（135°﹣∠MOC）＝∠MOC﹣45°．
即∠COM﹣∠BON＝45°．
【点睛】本题主要考查了角之间的和差关系，解题时一定要结合图形分析题目．
例6：（2019?金牛区期末）如图1，点O为线段MN上一点，一副直角三角板的直角顶点与点O重合，直角边DO、BO在线段MN上，∠COD＝∠AOB＝90°．
（1）将图1中的三角板COD绕着点O沿顺时针方向旋转到如图2所示的位置，若∠AOC＝35°，则∠BOD＝ 145° ；猜想∠AOC与∠BOD的数量关系为 180° ；
（2）将图1中的三角板COD绕着点O沿逆时针方向按每秒15°的速度旋转一周，三角板AOB不动，请问几秒后OD所在的直线平分∠AOB？
（3）将图1中的三角板COD绕着点O沿逆时针方向按每秒15°的速度旋转两周，同时三角板AOB绕着点O沿逆时针方向按每秒5°的速度旋转（随三角板COD停止而停止），请直接写出几秒后OC所在直线平分∠AON．
【思路点拨】（1）根据互余关系先求出∠AOD，再由角的和差求出结果；
（2）当旋转135°或315°时，OD所在的直线平分∠AOB，由此便可求得结果；
（3）根据当三角板AOB绕着点O沿逆时针方向旋转0°到90°，90°到180°，180°到240°三种情况，满足OC直线平分∠AON时，列出关于t的方程进行解答．
【解答】解：（1）∵∠COD＝90°，∠AOC＝35°，
∴∠AOD＝∠COD﹣∠AOC＝55°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠BOD＝∠AOB+AOD＝145°；
∵∠BOD＝∠AOD+∠AOC+BOC，
∴∠AOC+∠BOD＝∠AOC+∠AOD+∠AOC+∠BOC＝∠COD+∠AOB＝90°+90°＝180°，
∴∠AOC+∠BOD＝∠＝180°；
故答案为：145°；180°．
（2）根据题意可得，
当旋转135°或315°时，OD所在的直线平分∠AOB，
所以，旋转时间为：135°÷15°＝9（秒），315°÷15°＝21（秒），
答：9秒或21秒后OD所在的直线平分∠AOB．
（3）①当三角板AOB绕着点O沿逆时针方向旋转0°到90°，OC直线平分∠AON时，有
（90°+5t）＝180°﹣15t，
解得t（秒）；
②当三角板AOB绕着点O沿逆时针方向旋转90°到180°，OC直线平分∠AON时，有
（270°﹣5t）＝360°+90°﹣15t，
解得，t（秒）；
③当三角板AOB绕着点O沿逆时针方向旋转180°到240°，OC直线平分∠AON时，有
（270°﹣5t）＝360°+270°﹣15t，
解得，t（秒）．
综上，秒秒或秒或后OC所在直线平分∠AON．
【点睛】本题是一个图形旋转综合题，考查了旋转性质，互余角的性质，一元一次方程的应用，射线所在直线平分角，分为两种情况，射线在角内，射线在角外，应考虑全面．第（3）小题分三种情况研究平分角，从中找出t的方程，是解决难点的突破口，难度较大．
B卷培优能力专题训练
一．选择题（共10小题）
1．（2019?福田区期末）如图所示，C、D是线段AB上两点，若AC＝3cm，C为AD中点且AB＝10cm，则DB＝（ ）
A．4cm
B．5cm
C．6cm
D．7cm
【思路点拨】从AD的中点C入手，得到CD的长度，再由AB的长度算出DB的长度．
【解答】解：∵点C为AD的中点，AC＝3cm，
∴CD＝3cm．
∵AB＝10cm，AC+CD+DB＝AB，
∴BD＝10﹣3﹣3＝4cm．
故选：A．
【点睛】本题考查了两点间的距离以及中点的坐标，利用线段之间的关系求出DB的长度是解题的关键．
2．（2019?和平区期末）下列各数中，正确的角度互化是（ ）
A．63.5°＝63°50′
B．23°12′36″＝23.48°
C．18°18′18″＝18.33°
D．22.25°＝22°15′
【思路点拨】根据大单位化小单位乘以进率，小单位化单位除以进率，可得答案．
【解答】解：A、63.5°＝63°30′≠63°50′，故A不符合题意；
B、23.48°＝23°28′48″≠23°12′36″，故B不符合题意；
C、18.33°＝18°19′48″≠18°18′18″，故C不符合题意；
D、22.25°＝22°15′，故D正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了度分秒的换算，利用大单位化小单位乘以进率，小单位化单位除以进率是解题关键．
3．（2019?罗湖区期末）木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线，这是因为（ ）
A．两点之间，线段最短
B．两点确定一条直线
C．过一点，有无数条直线
D．连接两点之间的线段叫做两点间的距离
【思路点拨】依据两点确定一条直线来解答即可．
【解答】解：在木板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线，此操作的依据是两点确定一条直线．
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是直线的性质，掌握直线的性质是解题的关键．
4．（2019?南海区期末）已知：点C在直线AB上，线段AB＝6，点D是AC中点，BC＝4那么A、D之间的距离是（ ）
A．5
B．2.5
C．5或1
D．5或2.5
【思路点拨】首先考虑到A、B、C三点之间的位置关系：①当点C在线段AB上；②点C在AB的延长线上；再根据正确画出的图形解题．
【解答】解：本题有两种情形：
（1）当点C在线段AB上时，如图：
AC＝AB﹣BC，
又∵AB＝6cm，BC＝4cm，
∴AC＝6﹣4＝2cm，
∵D是AC的中点，
∴AD＝1cm；
（2）当点C在线段AB的延长线上时，如图：
AC＝AB+BC，
又∵AB＝6cm，BC＝4cm，
∴AC＝6+4＝10cm，
∵D是AC的中点，
∴AD＝5cm．
故选：C．
【点睛】此题考查的知识点是两点间的距离，在画图类问题中，正确画图很重要，本题渗透了分类讨论的思想．
5．（2019?江岸区期末）不相等的有理数a，b，c在数轴上的对应点分别是A、B、C，如果|a﹣b|+|b﹣c|＝|a﹣c|，那么点B
（ ）
A．在A、C点的左边
B．在A、C点的右边
C．在A、C点之间
D．上述三种均可能
【思路点拨】根据|a﹣b|+|b﹣c|表示数b的点到a与c两点的距离的和，|a﹣c|表示数a与c两点的距离即可求解．
【解答】解：∵|a﹣b|+|b﹣c|＝|a﹣c|，
∴点B在A、C点之间．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了绝对值的定义，就是表示两点之间的距离．
6．（2019?漳浦县期末）如图，把一个直径为12的半圆分成三个大小相同的扇形，则每个扇形的面积是（ ）
A．24π
B．18π
C．12π
D．6π
【思路点拨】根据扇形的面积公式计算即可．
【解答】解：由题意每个扇形的面积6π，
故选：D．
【点睛】本题考查扇形的面积公式，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
7．（2019?东营区校级期中）下列语句中准确规范的是（ ）
A．直线a，b相交于一点m
B．反向延长直线AB
C．反向延长射线AO（O是端点）
D．延长线段AB到C，使BC＝AB
【思路点拨】依据点的表示方法、直线的概念、射线的概念以及线段的概念进行判断即可．
【解答】解：A．点应该用大写字母表示，直线a，b相交于一点M，故本选项错误；
B．直线向两端无限延伸，可以反向延长射线AB，故本选项错误
C．反向延长射线AO（应该A是端点），故本选项错误
D．可以延长线段AB到C，使BC＝AB，本选项正确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了直线、射线以及线段的概念的运用，解题时注意：射线是直线的一部分，用两个字母表示时，端点的字母放在前边．
8．（2019?高阳县一模）如图，某边防战士驾驶摩托艇外出巡逻，先从港口A点沿北偏东60°的方向行驶30海里到达B点，再从B点沿北偏西30°方向行驶30海里到C点，要想从C点直接回到港口A，行驶的方向应是（ ）
A．南偏西15°方向
B．南偏西60°方向
C．南偏西30°方向
D．南偏西45°方向
【思路点拨】依据∠BAF＝60°，∠CBE＝30°，AF∥BE，可得∠ABC＝90°，进而得出△ABC是等腰直角三角形，依据∠BCA＝45°，∠BCD＝∠CBE＝30°，即可得到∠ACD＝15°．
【解答】解：如图，由题可得，∠BAF＝60°，∠CBE＝30°，AF∥BE，
∴∠ABC＝90°，
又∵AB＝BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BCA＝45°，
又∵∠BCD＝∠CBE＝30°，
∴∠ACD＝15°，
∴从C点直接回到港口A，行驶的方向应是南偏西15°方向，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了学生对方向角的理解及等腰直角三角形的判定等知识点的掌握情况．用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．
9．（2019?蜀山区期末）如图，将一根绳子对折以后用线段AB表示，现从P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为60cm，若APPB，则这条绳子的原长为（ ）
A．100cm
B．150cm
C．100cm或150cm
D．120cm或150cm
【思路点拨】根据绳子对折以后用线段AB表示，可得绳长是AB的2倍，分类讨论，PB的2倍最长，可得PB，AP的2倍最长，可得AP的长，再根据线段间的比例关系，可得答案．
【解答】解：当PB的2倍最长时，得
PB＝30cm，
APPB＝20cm，
AB＝AP+PB＝50cm，
这条绳子的原长为2AB＝100cm；
当AP的2倍最长时，得
AP＝30cm，APPB，
PBAP＝45cm，
AB＝AP+PB＝75cm，
这条绳子的原长为2AB＝150cm．
故选：C．
【点睛】本题考查了两点间的距离，分类讨论是解题关键．
10．（2019?威海）如图，一条街道旁有A，B，C，D，E五幢居民楼．某大桶水经销商统计各楼居民每周所需大桶水的数量如下表：
楼号
A
B
C
D
E
大桶水数/桶
38
55
50
72
85
他们计划在这五幢楼中租赁一间门市房，设立大桶水供应点．若仅考虑这五幢楼内的居民取水所走路程之和最小，可以选择的地点应在（ ）
A．B楼
B．C楼
C．D楼
D．E楼
【思路点拨】此题为数学知识的应用，由题意设立大桶水供应点，肯定要尽量缩短居民取水所走路程之间的里程，即需应用两点间线段最短定理来求解．
【解答】解：设AB＝a，BC＝b，CD＝c，DE＝d．每户居民每次取一桶水．
以点A为取水点，则五幢楼内的居民取水所走路程之和＝55AB+50AC+72AD+85AE＝262a+207b+157c+85d，
以点B为取水点，则五幢楼内的居民取水所走路程之和＝38AB+50BC+72BD+85BE＝38a+207b+157c+85d，
以点C为取水点，则五幢楼内的居民取水所走路程之和＝38AC+55BC+72CD+85CE＝38a+93b+157c+85d，
以点D为取水点，则五幢楼内的居民取水所走路程之和＝38AD+55BD+50CD+85DE＝38a+93b+143c+85d，
以点E为取水点，则五幢楼内的居民取水所走路程之和＝38AE+55BE+50CE+72DE＝38a+93b+143c+215d，
以点D为取水点，五幢楼内的居民取水所走路程之和最小．
故选：C．
【点睛】此题为数学知识的应用，考查知识点两点之间线段最短．
二．填空题（共10小题）
1．（2019?平顶山期末）9时45分时，时钟的时针与分针的夹角是 22.5° ．
【思路点拨】9点45分时，分针指向9，时针在指向9与10之间，则时针45分钟转过的角度即为9时45分时，时钟的时针与分针的夹角度数，根据时针每分钟转0.5°，计算0.5°×45即可．
【解答】解：∵9点45分时，分针指向9，时针在指向9与10之间，
∴时针45分钟转过的角度即为9时45分时，时钟的时针与分针的夹角度数，即0.5°×45＝22.5°．
故答案为22.5°．
【点睛】本题考查了钟面角：钟面被分成12大格，每格30°；分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°．
2．（2019?福田区校级期末）现有2019条直线a1，a2，a3，…，a2019，且有a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5…，则直线a1与a2019的位置关系是 a1⊥a2019 ．
【思路点拨】根据平行线的性质和规律得到：4条直线的位置关系为一个循环．
【解答】解：如图，a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5，…，
∴a1⊥a2，a1⊥a3，a1∥a4，a2∥a5，
依此类推，a1⊥a6，a1⊥a7，a1∥a8，a2∥a9，
∴2019÷4＝504……3，
∴a1⊥a2019．
故答案是：a1⊥a2019．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是找到在同一平面内有2019条直线的位置关系的规律．
3．（2019?市北区期末）已知线段AB＝10cm，C是直线AB上的点，BC＝4cm，若M是AB的中点，N是BC的中点，则线段MN的长为 7cm或3cm ．
【思路点拨】根据线段中点的定义求出BM、BN，再分线段BC不在线段AB上和在线段AB上两种情况讨论求解．
【解答】解：∵M是AB的中点，N是BC的中点，
∴BMAB10＝5cm，
BNBC4＝2cm，
如图1，线段BC不在线段AB上时，MN＝BM+BN＝5cm+2cm＝7cm，
如图2，线段BC在线段AB上时，MN＝BM﹣BN＝5cm﹣2cm＝3cm，
综上所述，线段MN的长度是7cm或3cm．
故答案为：7cm或3cm．
【点睛】本题考查了两点间的距离，主要利用了线段中点的定义，难点在于要分情况讨论．
4．（2019?青羊区校级期末）如图，点C、D分别为线段AB（端点A、B除外）上的两个不同的动点，点D始终在点C右侧，图中共有 6 条线段，若所有线段的和等于36cm，且AB＝4CD，则CD＝ cm．
【思路点拨】根据第一个填空，根据定义，列举出图中的所有线段即可；
结合已知，根据图形可得AC+CD+BD+AD+CB+AB＝36，再结合线段的和差关系可得3AB+CD＝36；
然后将已知条件AB＝4CD代入计算，即可求出CD的长．
【解答】解：图中共有6条线段，分别是线段AC，CD，BD，AD，CB，AB；
由已知得：
AC+CD+BD+AD+CB+AB＝36，即3AB+CD＝40，
又因为AB＝4CD，
所以12CD+CD＝36，即10CD＝36，所以CDcm．
故答案为：6，
【点睛】此题在线段的基础上，着重考查知识点的应用，同时培养学生的观察、归纳能力．
5．（2019?宝安区期末）如图，∠AOC和∠DOB都是直角，如果∠DOC＝26°，那么∠AOB的度数是 154° ．
【思路点拨】先求出∠AOD，再根据∠AOB＝∠AOD+∠BOD计算即可得解．
【解答】解：∵∠AOC是直角，∠DOC＝26°，
∴∠AOD＝90°﹣∠DOC＝90°﹣26°＝64°，
∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝64°+90°＝154°．
故答案为：154°．
【点睛】本题考查了余角和补角，是基础题，熟记概念并准确识图是解题的关键．
6．（2019?金乡县三模）如图，将一副直角三角板如图放置，若∠AOD＝18°，则∠BOC的度数为 162° ．
【思路点拨】先求出∠COA和∠BOD的度数，代入∠BOC＝∠COA+∠AOD+∠BOD求出即可．
【解答】解：∵∠AOD＝18°，∠COD＝∠AOB＝90°，
∴∠COA＝∠BOD＝90°﹣18°＝72°，
∴∠BOC＝∠COA+∠AOD+∠BOD＝72°+18°+72°＝162°．
故答案为：162°．
【点睛】本题考查了余角的应用，解此题的关键是求出∠COA和∠BOD的度数．
7．（2019?漳浦县期末）时钟显示时间是3点30分，此时时针与分针的夹角为 75 °．
【思路点拨】根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案．
【解答】解：3点30分时针与分针相距2份，
此时时针与分针的夹角为3075°．
故答案为：75．
【点睛】本题考查了钟面角，利用时针与分针相距的份数乘以每份的度数是解题关键．
8．（2019?金堂县期末）已知线段AB＝16cm，点M在直线AB上，AM：BM＝1：3，点P，点Q分别为线段AM，线段AB的中点，则线段PQ的长为 6cm或12cm ．
【思路点拨】根据点M在直线AB上，于是应该分M点在线段AB上与在线段AB外两种情况讨论，画出图形即可轻松解决问题．
【解答】解：∵点M在直线AB上，于是应该分M点在线段AB上或点M在线段AB外两种情况．
①点M在线段AB上，如图1所示
根据题意PQ＝AQ﹣AP
ABAM
又∵AM：BM＝1：3，且AB＝16cm
∴AM＝4
∴PQ164＝6
即当点M在线段AB上时，PQ的长为6cm．
②点M在线段AB外，如图2所示
根据题意得PQ＝AP+AQ
AMAB
又∵AM：BM＝1：3，且AB＝16cm
∴AM＝8
∴PQ816＝12
即当点M在线段AB上时，PQ的长为12cm．
故答案为6cm或12cm．
【点睛】本题考查的是线段的长度计算，熟练进行线段的和、差、倍、分的计算是解决问题的关键．
9．（2019?江岸区期末）如图，数轴上线段AB及可移动的线段CD（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），已知线段AB覆盖8个整数点（数轴上对应整数的点），线段CD覆盖2个整数点，点M，点N分别为AC、BD的中点，则线段MN覆盖 4，5，6 个整数点．
【思路点拨】分析AB，CD，MN三者之间的关系，在通过长度推算整点的个数的范围
【解答】解：MN＝CB﹣CM﹣BN＝CBCABD（2BC﹣CA﹣BD）（CD+AB）
∵线段AB覆盖8个整数点，7≤AB＜9，
∵线段CD覆盖2个整数点，1≤CD＜3，
4（CD+AB）＜6，则线段MN覆盖个整数点为4，5，6
故答案：4，5，6
【点睛】这题的难度较大，综合考察了线段的运算和线段覆盖的整点问题，一个典型的压轴题
10．（2019?长兴县期末）如图，已知线段AB＝a（a＞1），线段CD＝1，线段CD在线段AB上由点A向点B从左向右移动（点C不与点A重合，点D不与点B重合），若设线段AC＝x，即图中所有线段的长度之和为S，则S＝ 3a+1 （用含a，x的代数式表示）．
【思路点拨】利用S＝AC+AD+AB+CD+CB+DB求解即可．
【解答】解：如图，
S＝AC+AD+AB+CD+CB+DB＝x+x+1+a+1+a﹣x+a﹣x﹣1＝3a+1．
故答案为：3a+1．
【点睛】本题主要考查了两点间的距离，解题的关键是找出图中所有的线段．
二．解答题（共10小题）
1．（2019?雅安期末）如图，∠AOB＝80°，OP平分∠BOC，OQ平分∠AOC，求∠POQ的度数．
【思路点拨】根据角平分线的定义求出∠QOC与∠POC的度数，然后相减即可得到∠POQ的度数．
【解答】解：∵∠AOB＝80°，
∵OP平分∠BOC，OQ平分∠AOC，
∴∠POC∠BOC，∠QOC∠AOC，
∴∠POQ＝∠QOC﹣∠POC（∠AOC﹣∠BOC）∠AOB＝40°．
【点睛】本题考查了角的计算与角平分线的定义，准确识图，找出∠POQ＝∠QOC﹣∠POC的等量关系是解题的关键．
2．（2019?简阳市期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC，∠FOD＝90°
（1）若∠AOF＝50°，求∠BOE的度数；
（2）若∠BOD：∠BOE＝1：4，求∠AOF的度数．
【思路点拨】（1）根据补角，余角的关系，可得∠COB，根据角平分线的定义，可得答案；
（2）根据邻补角，可得关于x的方程，根据解方程，可得∠AOC，再根据余角的定义，可得答案．
【解答】解：（1）∵∠COF与∠DOF是邻补角，
∴∠COF＝180°﹣∠DOF＝90°．
∵∠AOC与∠AOF互为余角，
∴∠AOC＝90°﹣∠AOF＝90°﹣50°＝40°．
∵∠AOC与∠BOC是邻补角，
∴∠COB＝180°﹣∠AOC＝180°﹣40°＝140°．
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE∠BOC＝70°；
（2）∠BOD：∠BOE＝1：4，
设∠BOD＝∠AOC＝x，∠BOE＝∠COE＝4x．
∵∠AOC与∠BOC是邻补角，
∴∠AOC+∠BOC＝180°，
即x+4x+4x＝180°，
解得x＝20°．
∵∠AOC与∠AOF互为余角，
∴∠AOF＝90°﹣∠AOC＝90°﹣20°＝70°．
【点睛】本题考查了对顶角、邻补角，利用邻补角的定义、余角的定义是解题关键．
3．（2019?罗湖区期末）如图1，点A、O、B在同一直线上，∠AOC＝60°，在直线AB另一侧，直角三角形DOE绕直角顶点O逆时针旋转（当OD与OC重合时停止），设∠BOE＝α：
（1）如图1，当DO的延长线OF平分∠BOC，∠α＝ 30 度；
（2）如图2，若（1）中直角三角形DOE继续逆时针旋转，当OD位于∠AOC的内部，且∠AOD∠AOC，∠α＝ 110 度；
（3）在上述直角三角形DOE的旋转过程中，（∠COD+∠α）的度数是否改变？若不改变，请求出其度数；若改变，请说明理由．
【思路点拨】（1）先根据角平分线的定义求出∠BOF的度数，再根据余角的定义即可求出∠α的度数；
（2）根据题意易得∠AOD＝20°，根据余角的定义可求出∠AOE＝70°，再根据补角的定义即可求出∠α的度数；
（3）根据一周角等于360°，∠DOE与∠BOC的大小不变，可知（∠COD+∠α）的度数不变．
【解答】解：（1）∵DO的延长线OF平分∠BOC，∠AOC＝60°，
∴（180°﹣60°）＝60°，
又∵∠DOE＝90°，
∴∠α＝90°﹣∠BOF＝90°﹣60°＝30°．
故答案为：30
（2）当OD位于∠AOC的内部，且∠AOD∠AOC时，，
又∵∠DOE＝90°，
∴∠AOE＝90°﹣∠AOD＝90°﹣20°＝70°，
∴∠α＝180°﹣∠AOE＝180°﹣70°＝110°．
故答案为：110
（3）（∠COD+∠α）的度数不变．
理由如下：
∵（∠COD+∠α）+∠DOE+∠BOC＝360°，∠DOE与∠BOC的大小不变，
∴（∠COD+∠α）的度数不变．
【点睛】本题主要考查了余角和补角的定义，互为余角的两个角的和为90°，互为补角的两个角的和为180°．
4．（2019?青羊区校级期末）O是直线AB上的一点，∠AOC＝72°．（本题中角的度数均为大于0°且小于等于180°）．
（1）如图1，若OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，则∠DOE＝ 90 °；
（2）在（1）的条件下，如图2，若OF平分∠BOD，求∠EOF的值；
（3）如图3，将整个图形绕点O逆时针旋转m°（0＜m＜180），直线AB旋转到A1B1，OC旋转到OC1，作射线OP且不与射线OB1重合，使∠BOP＝∠BOB1，当m为何值时，∠POA1﹣∠AOC1＝60°．
【思路点拨】（1）（2）根据角平分线的定义求解；
（3）分三种情况0＜m≤72°时，72°＜m≤90°时，90°＜m≤180°时分别画出图形求解．
【解答】解：（1）∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，
∴∠DOE（∠AOC+∠BOC）180°＝90°；
故答案为90°．
（2）∵O是直线AB上的一点，
∴∠AOB＝180°
∵∠AOC＝72°，
∴∠COB＝180°﹣∠AOC＝108°
∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，
∴∠AOD∠AOC＝36°，∠BOE∠BOC＝54°
∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝144°；
∵OF平分∠BOD，∴∠FOB∠BOD＝72°，
∴∠EOF＝∠FOB﹣∠EOB＝72°﹣54°＝18°；
（3）分三种情况考虑：
1°：当0＜m≤72°时，如图1，∠COC1＝∠AOA1＝∠BOB1＝∠BOP＝m，
∴∠POA1＝180°﹣2m，∠AOC1＝72°﹣m，
∵∠POA1﹣∠AOC1＝60°，
∴180°﹣2m﹣（72°﹣m）＝60°
∴m＝48°，
2°：当72°＜m≤90°时，如图2，∠COC1＝∠AOA1＝∠BOB1＝∠BOP＝m，
∴∠POA1＝180°﹣2m，∠AOC1＝m﹣72°，
∵∠POA1﹣∠AOC1＝60°，
∴180°﹣2m﹣（m﹣72°）＝60°，
∴m＝64°（舍去），
3°：当90°＜m≤180°时，∠COC1＝∠AOA1＝∠BOB1＝∠BOP＝m，
∴∠POA1＝2m﹣180°，∠AOC1＝m﹣72°，
∵∠POA1﹣∠AOC1＝60°，
∴2m﹣180°﹣（m﹣72°）＝60°，
∴m＝168°，
综上所述，m＝48°，m＝168°．
【点睛】本题考查角平分线的定义；角的和差关系．能够找出角的等量关系，分情况画出每种情况的图形，结合图形解题是本题的关键．
5．（2019?成都期末）已知线段AB＝16，在直线AB上截取线段BC＝10，点P、Q分別是AB、AC的中点．
（1）线段PQ的长度为 5 ；
（2）若AB＝m，BC＝n，其它条件不变，求线段PQ的长度；
（3）分析（1）（2）的结论，你从中发现了什么规律？
【思路点拨】（1）根据题意可得点C的位置有两种，一种是线段在AB之间，另一种是在线段AB的延长线上．根据不同的情况分别讨论，然后得出PQ的长度；
（2）方法同（1）；
（3）比较（1）（2）的即可得出结论．
【解答】解：（1）当点C在线段AB之间时，AB＝16，BC＝10，故AC＝16﹣10＝6，
∵P、Q分别是AB、AC的中点，
∴8，AQ3，
∴PQ＝AP﹣AQ＝8﹣3＝5；
当点C在线段AB的延长线上时，AB＝16，BC＝10，故AC＝AB+BC＝16+10＝26，
∵P、Q分别是AB、AC的中点，
∴8，AQ13，
∴PQ＝AQ﹣AP＝13﹣8＝5；
故答案为：5；
（2）当点C在线段AB之间时，AB＝m，BC＝n，故AC＝m﹣n，
∵P、Q分别是AB、AC的中点，
∴，AQ，
∴PQ＝AP﹣AQ═；
当点C在线段AB的延长线上时，AB＝m，BC＝n，故AC＝AB+BC＝m+n，
∵P、Q分别是AB、AC的中点，
∴，AQ，
∴PQ＝AQ﹣AP；
（3）规律：PQ的长度总是等于BC的一半．
【点睛】本题难点是找出题中点C的位置，根据分析可得，点C有两个两种情况满足要求，则根据不同的情况分析各线段之间的关系，然后分别得出PQ的长度．
6．（2019?和平区期末）已知A，B，C三点在数轴上对应的位置如图如示，其中点B对应的数为2，BC＝3，AB＝14．
（1）点A对应的数是 ﹣12 ，点C对应的数是 5 ：
（2）动点P，Q分别同时从A，C两点出发，分别以每秒8个单位和3个单位的速度沿数轴正方向运动．点M为AP的中点，点N在CQ上，且CNCQ，设运动时间为t（t＞0）．
①请直接用含t的代数式表示点M，N对应的数；
②当OM＝2BN时，求t的值．
【思路点拨】（1）点A对应的数是0﹣12，点C对应的数是2+3；
（2）①点M表示的数是4t﹣12，点N表示的数是t+5；
②分点M在原点左右两侧两种可能来考虑．
【解答】解：（1）点A对应的数是0﹣12＝﹣12，点C对应的数是2+3＝5，
故答案为﹣12，5；
（2）①点M表示的数是﹣124t﹣12，点N表示的数是t+5；
②点M在原点左边时，
∵OM＝2BN
∴﹣（4t﹣12）＝2（t+5﹣2），
解得t＝1；
点M在原点右边时，
∵OM＝2BN
∴4t﹣12＝2（t+5﹣2），
解得t＝9，
所以当t＝1秒或t＝9秒时，OM＝2BN．
【点睛】本题借助数轴考查一元一次方程应用．表示点对应数字以及分类讨论是解答关键．
7．（2019?金牛区期末）已知∠AOB＝110°，∠COD＝40°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．
（1）如图①，当OB、OC重合时，求∠AOE﹣∠BOF的值；
（2）当∠COD从图①所示位置绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转t秒（0＜t＜10）；在旋转过程中∠AOE﹣∠BOF的值是否会因t的变化而变化，若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由．
【思路点拨】（1）首先根据角平分线的定义求得∠AOE和∠BOF的度数，然后根据∠AOE﹣∠BOF求解；
（2）首先由题意得∠BOC＝3t°，再根据角平分线的定义得∠AOC＝∠AOB+3t°，∠BOD＝∠COD+3t°，然后由角平分线的定义得∠AOE∠AOC（110°+3t°）、∠BOF∠BOD（40°+3t°），最后根据∠AOE﹣∠BOF求解可得；
【解答】解：（1）∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠AOE∠AOB110°＝55°，∠BOF∠COD40°＝20°，
∴∠AOE﹣∠BOF＝55°﹣20°＝35°；
（2）∠AOE﹣∠BOF的值是定值，
如图2，
由题意∠BOC＝3t°，
则∠AOC＝∠AOB+3t°，∠BOD＝∠COD+3t°，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠AOE∠AOC（110°+3t°），∠BOF∠BOD（40°+3t°），
∴∠AOE﹣∠BOF（110°+3t°）（40°+3t°）＝35°，
∴∠AOE﹣∠BOF的值是定值．
【点睛】本题考查了角度的计算以及角的平分线的性质，理解角度之间的和差关系是关键．
8．（2019?成都期末）已知点O是直线AB上一点，将一个直角三角形板如图①放置，使其中一条直角边ON在直线AB上，射线OC在∠BOM的内部．
（1）如图②，将三角板绕点O逆时针旋转，当∠BON＝∠CON时，请判断OM是否平分∠AOC，并说明理由．
（2）若∠BOC＝40°，将三角板绕点O逆时针旋转，每秒旋转1°，多少秒时∠AOM＝∠COM？
（3）在（2）的条件下，如图③，旋转三角板使ON在∠AOC内部，另一边OM在直线AB的另一侧，请探索∠AOM与∠CON的数量关系，并说明理由．
【思路点拨】（1）根据图形和题意得出∠AOM+∠BON＝90°，∠CON+∠COM＝90°，再根据∠BON＝∠CON，即可得出OM平分∠AOC；
（2）根据∠BOC＝40°，分OM在AB上方和OM在AB下方两种情况讨论列方程解答即可；
（3）设旋转t秒，分别用t表示出∠AOM与∠CON即可解答．
【解答】解：（1）∵∠AOM+∠BON＝90°，∠CON+∠COM＝90°，∠BON＝∠CON，
∴∠COM＝∠AOM，
∴OM平分∠AOC；
（2）∵∠BOC＝40°，
∴∠COM＝50°，
设x秒时∠AOM＝∠COM，根据题意得，
当OM在AB上方时，90﹣x＝50+x，解得x＝20；
当OM在AB下方时，x﹣90＝360﹣x﹣50，解得x＝200．
故20秒或200秒时∠AOM＝∠COM；
（3）设旋转t秒，则∠CON＝（t﹣40）°，∠AOM＝（t﹣90）°，
∴∠AOM＝∠CON﹣50°．
【点睛】此题考查了角的计算，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系求出角的度数是解题的关键．
9．（2019?青羊区期末）（1）x为何值时，代数式的值比代数式x的值大3．
（2）如图，已知B，C两点把线段AD从左至右依次分成2：4：3三部分，M是AD的中点，BM＝5，求线段MC的长．
【思路点拨】（1）列出方程解方程即可；
（2）由题意设AB＝2k，BC＝4k，CD＝3k，则AD＝9k，由M是AD中点，可得AM＝4.5k，根据BM＝AM﹣AB＝2.5k＝5，推出k＝2，由此即可解决问题．
【解答】解：（1）由题意：x+3，
∴﹣15x﹣15＝2x+2﹣x+3，
∴x．
（2）由题意设AB＝2k，BC＝4k，CD＝3k，则AD＝9k，
∵M是AD中点，
∴AM＝4.5k，
∴BM＝AM﹣AB＝2.5k＝5，
∴k＝2，
∴CM＝DN﹣CD＝4.5k﹣3k＝1.5k＝3．
【点睛】本题考查两点间距离、解一元一次方程等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．
10．（2019?金牛区期末）点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a、b满足：|a+6|+（b﹣4）2＝0
（1）求线段AB的长；
（2）如图1，点C在数轴上对应的数为x，且是方程x+1x﹣5的根，在数轴上是否存在点P使PA+PBBC+AB？若存在，求出点P对应的数；若不存在，说明理由；
（3）如图2，若P点是B点右侧一点，PA的中点为M，N为PB的三等分点且靠近于P点，当P在B的右侧运动时，有两个结论：①PMBN的值不变；②PMBN的值不变，其中只有一个结论正确，请判断出正确的结论，并求出其值．
【思路点拨】（1）利用非负数的性质求出a与b的值，即可确定出AB的长；
（2）求出已知方程的解确定出x，得到C表示的点，设点P在数轴上对应的数是m，由PA+PBBC+AB确定出P位置，即可做出判断；
（3）设P点所表示的数为n，就有PA＝n+6，PB＝n﹣4，根据条件就可以表示出PM，BN（n﹣4），再分别代入①PMBN和②PMBN求出其值即可．
【解答】解：（1）∵|a+6|+（b﹣4）2＝0，
∴a+6＝0，b﹣4＝0，
∴a＝﹣6，b＝4，
∴AB＝|﹣6﹣4|＝10．
答：AB的长为10；
（2）存在，
∵x+1x﹣5，
∴x＝﹣8，
∴BC＝12．
设点P在数轴上对应的数是m，
∵PA+PBBC+AB，
∴|m+6|+|m﹣4|12+10，
令m+6＝0，m﹣4＝0，
∴m＝﹣6或m＝4．
①当m≤﹣6时，
﹣m﹣6+4﹣m＝13，
m＝﹣7.5；
②当﹣6＜m≤4时，
m+6+4﹣m＝13，（舍去）；
③当m＞4时，
m+6+m﹣4＝13，
m＝5.5．
∴当点P表示的数为﹣7.5或5.5时，PA+PBBC+AB；
（3）设P点所表示的数为n，
∴PA＝n+6，PB＝n﹣4．
∵PA的中点为M，
∴PMPA．
N为PB的三等分点且靠近于P点，
∴BNPB（n﹣4），
∴①PMBN（不变），
②PMBNn+1（随点P的变化而变化），
即正确的结论为①PMBN的值不变，其值为．
【点睛】本题考查了一元一次方程的运用，分段函数的运用，数轴的运用，数轴上任意两点间的距离公式的运用，去绝对值的运用，解答时了灵活运用两点间的距离公式求解是关键．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
