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第五章
一元一次方程2一元一次方程的应用
B卷培优经典例题
例1：（2019?青羊区校级期末）已知，如图A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣10，B点对应的数为70．
（1）数轴上的有一点M，且MA＝3MB，直接写出M点对应的数是 110或50 ．
（2）现在有一只电子蚂蚁P从A点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从B点出发，以5个单位/秒的速度向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，请你求出C点对应的数．
（3）若当电子蚂蚁P从A点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从B点出发，以5单位/秒的速度向左运动，经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距24个单位长度，并写出此时P点对应的数．
【点拨】（1）根据数轴上对应数a与数b之间的点距离为|a﹣b|，设M对应的数为m，用m表示MA、MB，即列得方程．因为M有可能在A、B之间也有可能在B的右侧，所以需要分类讨论．
（2）根据点运动特征（向右即对应的数变大，向左即对应的数变小），设运动时间为t后，可用t表示P、Q对应的数，P、Q相遇时即它们对应的数相等，即求出t的值．
（3）用t表示PQ的长度时，由于不确定两点的左右关系，故需加绝对值号，再分类讨论求t的值．
【解答】解：（1）∵MA＝3MB
∴M点不可能在点A的左侧
设M对应的数为m，
∴MA＝m﹣（﹣10）＝m+10，MB＝|m﹣70|
∴m+10＝3|m﹣70|
当m≥70时，m+10＝3（m﹣70），解得：m＝110
当m＜70时，m+10＝﹣3（m﹣70），解得：m＝50
故答案为：110或50
（2）设运动时间为t秒，依题意得：
P对应的数为：﹣10+3t，Q对应的数为：70﹣5t
当P、Q相遇时，﹣10+3t＝70﹣5t
解得：t＝10
∴﹣10+3t＝﹣10+30＝20
∴C点对应的数为：20
（3）∵P对应的数为：﹣10+3t，Q对应的数为：70﹣5t
∴PQ＝|﹣10+3t﹣（70﹣5t）|＝|8t﹣80|
①当0＜t≤10时，﹣（8t﹣80）＝24，解得：t＝7
∴P对应的数为：﹣10+3t＝﹣10+21＝11
②当t＞10时，8t﹣80＝24，解得：t＝13
∴P对应的数为：﹣10+3t＝﹣10+39＝29
综上所述，经过7秒或13秒时，两只电子蚂蚁在数轴上相距24个单位长度，P对应的数为11或29．
【点睛】本题考查了数轴上点与实数的对应关系，绝对值，一元一次方程解法，考查数形结合和分类讨论思想．
例2：（2019?碑林区校级期末）为开展阳光体育活动，某班需要购买一批羽毛球拍和羽毛球，现了解情况如下：甲、乙两家商店岀售同样品牌的羽毛球拍和羽毛球，羽毛球拍毎副定价30元，羽毛球每盒定价5元，且两家都有优惠：甲店每买一副球拍赠一盒羽毛球；乙店全部按定价的9折优惠．
（1）若该班需购买羽毛球拍5副，购买羽毛球x盒（不小于5盒）．当购买多少盒羽毛球时，在两家商店购买所花的钱相等？
（2）若需购买10副羽毛球拍，30盒羽毛球，怎样购买更省钱？
【点拨】（1）根据甲、乙两店的优惠方式，可得出关于x的表达式．根据等量关系是：甲店的费用＝乙店的费用列出方程解答即可；
（2）根据最省钱的购买的思想确定方案
【解答】解：（1）设当购买乒乓球x盒时，两种优惠办法付款一样，可得：
甲店：30×5+（x﹣5）×5＝（5x+125）元，
乙店：（5×30+5x）×0.9＝（4.5x+135）元；
依题意得：（5x+125）＝4.5x+135
解得：x＝20，
答：当购买乒乓球20盒时，两种优惠办法付款一样．
（2）到甲店购买10副球拍，得到10副球拍，10盒球．再到乙店购买20盒乒乓球最省钱．
需要30×10+20×5×0.9＝390（元）．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解决本题的关键是理解两家商店的优惠条件，能用代数式表示甲店的费用即乙店的费用．
例3：（2019?青岛期末）为发展校园足球运动，某县城区四校决定联合购买一批足球运动装备，市场调查发现，甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球，已知每套队服比每个足球多50元，两套队服与三个足球的费用相等，经洽谈，甲商场优惠方案是：每购买十套队服，送一个足球，乙商场优惠方案是：若购买队服超过80套，则购买足球打八折．
（1）求每套队服和每个足球的价格是多少？
（2）若城区四校联合购买100套队服和a（a＞10）个足球，请用含a的式子分别表示出到甲商场和乙商场购买装备所花的费用；
（3）在（2）的条件下，若a＝60，假如你是本次购买任务的负责人，你认为到甲、乙哪家商场购买比较合算？
【点拨】（1）设每个足球的定价是x元，则每套队服是（x+50）元，根据两套队服与三个足球的费用相等列出方程，解方程即可；
（2）根据甲、乙两商场的优惠方案即可求解；
（3）把a＝60代入（2）中所列的代数式，分别求得在两个商场购买所需要的费用，然后通过比较得到结论：在乙商场购买比较合算．
【解答】解：（1）设每个足球的定价是x元，则每套队服是（x+50）元，根据题意得
2（x+50）＝3x，
解得x＝100，
x+50＝150．
答：每套队服150元，每个足球100元；
（2）到甲商场购买所花的费用为：150×100+100（a）＝100a+14000（元），
到乙商场购买所花的费用为：150×100+0.8×100?a＝80a+15000（元）；
（3）在乙商场购买比较合算，理由如下：
将a＝60代入，得
100a+14000＝100×60+14000＝20000（元）．
80a+15000＝80×60+15000＝19800（元），
因为20000＞19800，
所以在乙商场购买比较合算．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
例4：（2019?金牛区期末）列方程解应用题：某社区超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数比乙商品件数的2倍少30件，甲、乙两种商品的进价和售价如表：
甲
乙
进价（元/件）
22
30
售价（元/件）
29
40
（1）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？
（2）该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲种商品的件数不变，乙种商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原售价销售，乙商品在原售价上打折销售．第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多720元，求第二次乙种商品是按原价打几折销售？
【点拨】（1）设第一次购进乙种商品x件，则甲种商品的件数是（2x﹣30）件，根据题意列出方程求出其解就可以；
（2）设第二次甲种商品的售价为每件y元，根据第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多720元，建立方程求出其解即可．
【解答】解：（1）设第一次购进乙种商品x件，则甲种商品的件数是（2x﹣30）件，
根据题意列方程，得：30x+22（2x﹣30）＝6000，
解得：x＝90，
所以甲商品的件数为：2x﹣30＝2×90﹣30＝150（件），
可获得的利润为：（29﹣22）×150+（40﹣30）×90＝1950（元）．
答：两种商品全部卖完后可获得1950元利润；
（2）设第二次乙种商品是按原价打y折销售，根据题意列方程，得：
（29﹣22）×150+（4030）×90×3＝1950+720，
解得：y＝9，
答：第二次乙种商品是按原价打9折销售．
【点睛】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用及一元一次方程的解法的运用．解答时根据题意建立方程是关键．解题时注意利润＝售价﹣进价的运用，
例5：（2019?温江区期末）列方程解应用题：某中学举行数学竞赛，计划用A，B两台复印机复印试卷．如果单独用A机器需要90分钟印完，如果单独用B机器需要60分钟印完，为了保密的需要，不能过早复印试卷，学校决定在考试前由两台复印机同时复印．
（1）两台复印机同时复印，共需多少分钟才能印完？
（2）若两台复印机同时复印30分钟后，B机出了故障，暂时不能复印，此时离发卷还有13分钟．请你算一下，如果由A机单独完成剩下的复印任务，会不会影响按时发卷考试？
（3）在（2）的问题中，B机经过紧急抢修，9分钟后修好恢复正常使用，请你再计算一下，学校能否按时发卷考试？
【点拨】（1）设共需x分钟才能印完，依题意得（）x＝1，解方程即可；
（2）设由A机单独完成剩下的复印任务需要y分钟才能印完，依题意得（）×301，求解与13分进行比较即可；
（3）当B机恢复使用时，两机又共同复印了z分钟印完试卷，依题意得（）×30（）z＝1，求解后加9再与13进行比较．
【解答】解：（1）设共需x分钟才能印完，
根据题意得：（）x＝1，
解得x＝36，
答：两台复印机同时复印，共需36分钟才能印完；
（2）设由A机单独完成剩下的复印任务需要y分钟才能印完，
（）×301，
解得y＝15＞13
答：会影响学校按时发卷考试；
（3）当B机恢复使用时，两机又共同复印了z分钟印完试卷，
（）×30（）z＝1
解得z＝2.4
则有9+2.4＝11.4＜13．
答：学校可以按时发卷考试．
【点睛】此题考查一元一次方程的应用，关键是要掌握工作量的有关公式：工作总量＝工作时间×工作效率．
例6：（2019?宝安区期末）列方程解应用题
今年某网上购物商城在“双11购物节“期间搞促销活动，活动规则如下：
①购物不超过100元不给优惠；②购物超过100元但不足500元的，全部打9折；③购物超过500元的，其中500元部分打9折，超过500元部分打8折．
（1）小丽第1次购得商品的总价（标价和）为200元，按活动规定实际付款 180 元．
（2）小丽第2次购物花费490元，与没有促销相比，第2次购物节约了多少钱？（请利用一元一次方程解答）
（3）若小丽将这两次购得的商品合为一次购买，是否更省钱？为什么？
【点拨】（1）按活动规定实际付款＝商品的总价×0.9，依此列式计算即可求解；
（2）可设第2次购物商品的总价是x元，根据等量关系：小丽第2次购物花费490元，列出方程求解即可；
（3）先得到两次购得的商品的总价，再根据促销活动活动规则列式计算即可求解．
【解答】解：（1）200×0.9＝180（元）．
答：按活动规定实际付款180元．
（2）∵500×0.9＝450（元），
490＞450，
∴第2次购物超过500元，
设第2次购物商品的总价是x元，依题意有
500×0.9+（x﹣500）×0.8＝490，
解得x＝550，
550﹣490＝60（元）．
答：第2次购物节约了60元钱．
（3）200+550＝750（元），
500×0.9+（750﹣500）×0.8
＝450+200
＝650（元），
∵180+490＝670＞650，
∴小丽将这两次购得的商品合为一次购买更省钱．
故答案为：180．
【点睛】考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程．
B卷培优能力专题训练
一．选择题（共10小题）
1．（2019?邱县期末）一款新型的太阳能热水器进价2000元，标价3000元，若商场要求以利润率不低于5%的售价打折出售，则设销售员出售此商品最低可打x折，由题意列方程，得（ ）
A．3000x＝2000（1﹣5%）
B．
C．
D．
【点拨】当利润率是5%时，售价最低，根据利润率的概念即可求出售价，进而就可以求出打几折．
【解答】解：设销售员出售此商品最低可打x折，
根据题意得：30002000（1+5%），
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程的知识，理解什么情况下售价最低，并且理解打折的含义，是解决本题的关键．
2．（2019?武侯区期末）我国很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有四人共车，一车空；二人共车，八人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每4人乘一车，最终剩余1辆车，若每2人共乘一车，最终剩余8个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果我们设有x辆车，则可列方程（ ）
A．4（x﹣1）＝2x+8
B．4（x+1）＝2x﹣8
C．
D．
【点拨】设有x辆车，由人数不变，可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：设有x辆车，
依题意，得：4（x﹣1）＝2x+8．
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
3．（2019?沁阳市期末）一列动车以300km/h的速度过第一、第二两个隧道，已知第二个隧道的长度比第一个隧道长度的2倍还多1.5km，已知该列车过第二隧道比第一个隧道多用了90秒，若设第一个隧道的长度为xkm，则由题意列出的方程正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【点拨】设第一个隧道的长度为xkm，则第二个隧道的长度为（2x+1.5）km，根据时间＝路程÷速度结合该列车过第二隧道比第一个隧道多用了90秒（小时），即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：设第一个隧道的长度为xkm，则第二个隧道的长度为（2x+1.5）km，
依题意，得：．
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
4．（2019?萧山区月考）某校社团活动课中，手工制作社的同学用一种彩色硬纸板制作某种长方体小礼品的包装盒，每张硬纸板可制作盒身12个，或制作盒底18个，1个盒身与2个盒底配成一套．现有28张这种彩色硬纸板，要使盒身和盒底刚好配套，若设需要x张做盒身，则下列所列方程正确的是（ ）
A．18（28﹣x）＝12x
B．18（28﹣x）＝2×12x
C．18（14﹣x）＝12x
D．2×18（28﹣x）＝12x
【点拨】设用x张做盒身，则（28﹣x）张制盒底，然后根据1个盒身与2个盒底配成一套列等量关系．
【解答】解：由题意可得，
18（28﹣x）＝2×12x，
故选：B．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程．
5．（2019?宝安区期末）深圳市出租车的收费标准是：起步价10元（行驶距离不超过2km，都需付10元车费），超过2km每增加1km，加收2.6元，小陈乘出租车到达目的地后共支付车费49元，那么小陈坐车可行驶的路程最远是（不考虑其他收费）（ ）
A．15km
B．16km
C．17km
D．18km
【点拨】设小陈坐车行驶的路程最远为x千米，根据车费＝起步价+2.6×超出2千米的路程，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设小陈坐车行驶的路程最远为x千米，
根据题意得：10+2.6（x﹣2）＝49，
解得：x＝17．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据车费＝起步价+2.6×超出2千米的路程列出关于x的一元一次方程是解题的关键．
6．（2019?滨湖区期末）某班组每天需生产50个零件才能在规定的时间内完成一批零件任务，实际上该班组每天比计划多生产了6个零件，结果比规定的时间提前3天并超额生产120个零件，若设该班组要完成的零件任务为x个，则可列方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【点拨】关系式为：零件任务÷原计划每天生产的零件个数﹣（零件任务+120）÷实际每天生产的零件个数＝3，把相关数值代入即可求解．
【解答】解：实际完成的零件的个数为x+120，实际每天生产的零件个数为50+6，
所以根据时间列的方程为：3，
故选：C．
【点睛】根据时间得到相应的等量关系是解决本题的关键，注意应先得到实际的工作总量和工作效率．
7．（2019?薛城区期末）为倡导绿色出行，某市为市民提供了自行车租赁服务，其收费标准如下：
地区类别
首小时内
首小时外
备注
A类
1.5元/15分钟
2.75元/15分钟
不足15分钟时
按15分钟收费
B类
1.0元/15分钟
1.25元/15分钟
C类
免费
0.75元/15分钟
如果小明某次租赁自行车3小时，缴费14元，请判断小明该次租赁自行车所在地区的类别是（ ）
A．A类
B．B类
C．C类
D．无法确定
【点拨】根据自行车租赁服务的收费标准，分别求出三个类别租赁自行车的收费，进而求解即可．
【解答】解：如果租赁自行车所在地区的类别是A类，应该收费：1.5×4+2.75×8＝28（元），
如果停车所在地区的类别是B类，应该收费：1.0×4+1.25×8＝14（元），
如果停车所在地区的类别是C类，应该收费：0×4+0.75×8＝6（元），
故选：B．
【点睛】本题考查了实际问题的应用，正确理解自行车租赁服务的收费标准，求出三个类别租赁自行车的收费是解题的关键．
8．（2019?包河区期末）如图，已知正方形的边长为4，甲，乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A，C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的4倍，则它们第2019次相遇在边（ ）
A．AB上
B．BC上
C．CD上
D．DA上
【点拨】因为乙的速度是甲的速度的4倍，所以第1次相遇，甲走了正方形周长；从第2次相遇起，每次甲走了正方形周长，从第2次相遇起，5次一个循环，从而不难求得它们第2019次相遇位置．
【解答】解：根据题意分析可得：乙的速度是甲的速度的4倍，且AD+DC＝正方形周长的一半，故第1次相遇，甲走了正方形周长的；
从第2次相遇起，每次甲走了正方形周长，从第2次相遇起，5次一个循环．
因此可得：从第2次相遇起，每次相遇的位置依次是：DC，点C，CB，BA，AD；依次循环．
故它们第2019次相遇位置与第4次相同，在边CB上．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了行程问题中的相遇问题及按比例分配的运用，通过计算发现规律是解题关键．
9．（2019?天心区校级期末）如图是2019年5月的日历表，在此日历表中用阴影十字框选中5个数（如2、8、9、10、16）．若这样的阴影十字框上下左右移动选中这张日历表中的5个数，则这5个数的和可能为（ ）
A．41
B．42
C．81
D．120
【点拨】设阴影十字框中间的数为x，得到其余4个数的代数式，把这5个数相加，可得和为5x，再逐一分析各选项中的数即可．
【解答】解：设阴影十字框中间的数为x，则十字框中的五个数的和：x+（x﹣7）+（x+7）+（x﹣1）+（x+1）＝5x，
A、41÷5，不符合题意；
B、42÷5，不符合题意；
C、81÷5，不符合题意；
D、120÷5＝24，符合题意；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是根据所给数据得到阴影十字框中的五个数字之和是5的倍数．
10．（2019?慈溪市期末）一游泳池计划注入一定体积的水，按每小时500立方米的速度注水，注水2小时，注水口发生故障，停止注水，经20分钟抢修后，注水速度比原来提高了20%，结果比预定的时间提前了10分钟完成注水任务，则计划注入水的体积为（ ）
A．4000m3
B．2500m3
C．2000m3
D．500m3
【点拨】设计划注入水的体积为x立方米，根据“比预定的时间提前了10分钟完成注水任务”列出方程并解答．
【解答】解：设计划注入水的体积为x立方米，
依题意得：2，
解得x＝2500．
即计划注入水的体积为2500立方米．
故选：B．
【点睛】考查了一元一次方程的应用，读懂题意，找到等量关系，列出方程是解题的难点．
二．填空题（共9小题）
1．（20119?碑林区校级期末）如图所示，一个长方形被分割为11个大小不同的正方形，其中最小的正方形边长为9，这个长方形的长比宽多 1 ．
【点拨】将边长为9的正方形旁边最小的正方形边长设为x，依次从小到大表示出其余的正方形边长，利用长方形对边相等列方程求得x，分别代入表示长方形一组邻边的多项式中求出长方形的长和宽，相减即可．
【解答】解：如图所示，给图中10个正方形按①～⑩标上序号，
最小的正方形边长为9，
设①的边长为x，则其余正方形的边长可表示为：
②的边长为：x+9；③的边长为：2x+9；④的边长为：x+18；
⑤的边长为：x+27；⑥的边长为：3x+9；⑦的边长为：2x+45；
⑧的边长为：6x﹣18；⑨的边长为：3x﹣27；⑩的边长为：9x﹣45．
由于原图形为长方形，⑩与⑧的边长之和为：
9x﹣45+6x﹣18＝15x﹣63
⑦、④、②和③的边长之和为：
2x+45+x+18+x+9+2x+9＝6x+81
则有：15x﹣63＝6x+81
解得：x＝16
⑩和⑦的边长之和为：
9x﹣45+2x+45＝11x
则将x＝16分别代入15x﹣63与11x中可求得：
15x﹣63＝15×16﹣63＝177
11x＝11×16＝176
177﹣176＝1．
故答案为：1．
【点睛】本题考查用字母表示数、根据图形特征列方程和解一元一次方程，关键在于要细心的表示出每个正方形的边长，根据图形特征列方程求解．
2．（2019?无锡）某商场在“五一”期间举行促销活动，根据顾客按商品标价一次性购物总额，规定相应的优惠方法：
①如果不超过500元，则不予优惠；
②如果超过500元，但不超过800元，则按购物总额给予8折优惠；
③如果超过800元，则其中800元给予8折优惠，超过800元的部分给予6折优惠．
促销期间，小红和她母亲分别看中一件商品，若各自单独付款，则应分别付款480元和520元；若合并付款，则她们总共只需付款 838或910 元．
【点拨】根据题意知付款480元时，其实际标价为为480或600元，付款520元，实际标价为650元，求出一次购买标价1130元或1250元的商品应付款即可．
【解答】解：由题意知付款480元，实际标价为480或480600元，
付款520元，实际标价为520650元，
如果一次购买标价480+650＝1130元的商品应付款
800×0.8+（1130﹣800）×0.6＝838元．
如果一次购买标价600+650＝1250元的商品应付款
800×0.8+（1250﹣800）×0.6＝910元．
故答案为：838或910．
【点睛】本小题主要考查函数模型的选择与应用，考查函数的思想．属于基础题．
3．（2019?合浦县期末）某文艺团体为“希望工程”募捐组织了一场义演，成人票10元一张，学生票5元一张，共售出1000张票，筹得票款8000元．则售出学生票 400 张．
【点拨】设售出学生票x张，则售出成人票（1000﹣x）张，根据学生票的票款+成人票的票款＝8000元建立方程求出其解即可．
【解答】解：设售出学生票x张，则售出成人票（1000﹣x）张，由题意，得
5x+10（1000﹣x）＝8000，
解得：x＝400．
故答案为：400．
【点睛】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一元一次方程的解法的运用，解答时根据学生票的票款+成人票的票款＝8000元建立方程是关键．
4．（2019?茅箭区校级月考）五女峰森林公园门票价格：成人票每张50元，学生票每张25元．某旅游团买30张门票花了1250元．设其中有x张成人票，y张学生票，根据题意列方程组是 ．
【点拨】设其中有x张成人票，y张儿童票，根据30张门票花了1250元，即可得出关于x、y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：设其中有x张成人票，y张儿童票，
根据题意得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
5．（2019?九龙坡区校级月考）甲、乙两辆小汽车在一个封闭的环形跑道内进行耐久测试．两车从同一地点沿相同方向同时起步后，乙车速超过甲车速，在第12分钟时甲车提速，在第15分钟时，甲车追上乙车并且开始超过乙，在第21分钟时，甲车再次追上乙车，已知在测试中甲、乙两车均是匀速行驶，那么如果甲车不提速，乙车首次超过甲车所用的时间是 24 分钟．
【点拨】首先表示出甲车提速前速度比乙车慢a/分钟，提速后速度比乙车快b/分钟，进而利用甲车在第15分钟时，离乙车的距离为15a，这个距离在第18分钟追回来，即可得出等式方程求出a，b关系，再表示出一圈的路程即可得出答案．
【解答】解：方法一：设甲车提速前速度比乙车慢a/分钟，提速后速度比乙车快b/分钟．
那么有甲车在第12分钟时，离乙车的距离为12a．这个距离在第15分钟追回来．
那么12a＝（15﹣12）b．即b＝4a，
而且在第21分钟时，甲车比乙车多跑一圈．
那么一圈的路程为（21﹣15）b＝6b＝24a，
所以甲车不提速时，乙车首次超过甲车（即多跑一圈）所需时间为：24a÷a＝24分钟，
故答案为：24．
方法二：设甲车提速前的速度为x1，提速后的速度为x2，乙车的速度为y，
根据第12分钟时甲车提速，可得：3（x2﹣y）＝12（y﹣x1），
化简得：（x2﹣y）＝4（y﹣x1）①，
根据在第21分钟时，甲车再次追上乙车，可得：6（x2﹣y）＝1，
化简，得：x2﹣y②，
由①②可得：4（y﹣x1），
解得：y﹣x1，
所以甲车不提速时，乙车首次超过甲车（即多跑一圈）所需时间为：24．
故答案为：24．
【点睛】此题主要考查了追击问题，根据已知得出a，b之间的关系是解题关键．
6．（2019?梁溪区期末）某景区游船码头派车原定于8点整准时到达景区入口接工作人员，由于汽车在路上因故障导致8：10时车还未到达景区入口，于是工作人员步行前往码头．走了一段时间后遇到了前来接他的汽车，他上车后汽车立即掉头继续前进．到达码头时已经比原计划迟到了20min．已知汽车的速度是工作人员步行速度的6倍，则汽车在路上因故障耽误的时间为 24 min．
【点拨】根据他发现比平时迟到20分钟，一方面是由于排除故障耽误了t分钟，但另一方面由于少跑了工作人员步行出了景区入口．走了一段时间t1后，剩下的路程是汽车一个来回行驶的，单趟时间为t2，
根据每天早晨8：00都派小汽车按时接工作人员上班．有一天，汽车在路上因故障原因导致8：10时车还未到景区入口，于是工作人员步行出了景区入口，最后比平时迟到20分钟，可得时间关系：10min+t1+t2＝T+20min，再利用汽车速度是步行速度的6倍，得出路程关系，进而得出汽车在途中排除故障花费时间的代数式，根据实际上班的时间分析判断符合实际的情况．
【解答】解：正常8点到景区入口，
出事后，耽误t分钟，8点t分钟到他景区入口，
他在景区入口等了10分钟，车没来，
就走了a分钟，在8点（10+a）分钟时遇到了车；
他走a分钟的路程，车走分钟就走完了，
也就是在8点（t）时遇到了车，
则有：10+a＝t正常时从他景区入口到码头要用b分钟，
在他遇到了车的地点到码头要（b）分钟，
也就是8点（tb）分钟到码头，
已知他是在8点（b+20）分钟到的，
所以有tbb+20
因此解得：a＝12min，
t＝24min，
故答案是：24．
【点睛】此题主要考查一元一次方程的应用，依据题意得出晚到码头的时间具体原因以及汽车所晚的20分钟具体原因得出等量关系是解决问题的关键．
7．（2019?河北区期末）一艘轮船在甲、乙两地之间航行，已知水流速度是5千米时，顺水航行需要6小时，逆水航行需要8小时，则甲、乙两地间的距离是 240 千米．
【点拨】可根据船在静水中的速度来得到等量关系为：航程÷顺水时间﹣水流速度＝航程÷逆水时间+水流速度，把相关数值代入即可求得航程．
【解答】解：设A、B两码头之间的航程是x千米．
55，
解得x＝240，
故答案为：240
【点睛】考查一元一次方程的应用；得到表示船在静水中的速度的等量关系是解决本题的关键．
8．（2019?株洲）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？“其意思为：速度快的人走100步，速度慢的人只走60步，现速度慢的人先走100步，速度快的人去追赶，则速度快的人要走 250 步才能追到速度慢的人．
【点拨】设走路快的人追上走路慢的人所用时间为t，根据二者的速度差×时间＝路程，即可求出t值，再将其代入路程＝速度×时间，即可求出结论．
【解答】解：设走路快的人追上走路慢的人所用时间为t，
根据题意得：（100﹣60）t＝100，
解得：t＝2.5，
∴100t＝100×2.5＝250．
答：走路快的人要走250步才能追上走路慢的人．
故答案是：250．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
9．（2019?营口期末）在学校的一次劳动中，在甲处劳动的有27人，在乙处劳动的有19人，后因劳动任务需要，需要另外调20人来支援，使在甲处的人数是在乙处人数的2倍，问应调往乙处 3 人．
【点拨】设调往甲处的人数为x，则调往乙处的人数为（20﹣x），根据甲处的人数是在乙处人数的2倍列方程求解．
【解答】解：设应调往甲处x人，依题意得：27+x＝2（19+20﹣x），
解得：x＝17，
∴20﹣x＝3，
答：应调往甲处17人，调往乙处3人．
故答案是：3．
【点睛】考查了一元一次方程的应用．根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
三．解答题（共10小题）
1．（2019?市北区期末）海洋馆的门票价格规定如表：
购票人数（人）
1﹣50人
51﹣100人
100人以上
门票单价（元/人）
60
55
50
某校七年级一、二两班共102人去游公园，其中一班人数较多，经计算，如果两班都以班为单位分别购买与实际人数相同的票，则一共应付5850元．
请根据以上信息解答下列问题：
①两班各有多少学生？
②如果两班作为一个团体购票，可以节省多少钱？
【点拨】①若一班学生超过50人，根据一共应付5850元作出选择；显然一班超过50人，二班不足50人；
②两个班要合起来购票的话，显然是每人50元．
【解答】解：①设一班有x名学生，则二班有（102﹣x）名学生，由题意得：
55x+60（102﹣x）＝5850，
解得x＝54，
则102﹣x＝48（人）．
答：一班有54名学生，二班有48名学生；
②5850﹣102×50＝750（元）
如果两班联合起来，作为一个团体购票，可以省750元．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
2．（2019?温江区期末）树人中学组织七年级两个班的学生从学校步行到郊外社会实践．七（1）班同学组成前队，步行速度为4km/h，七（2）班的同学组成后队，速度为6km/h．前队出发30分钟后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回进行联络，他骑车的速度为12km/h．
（1）如果两队同时到达目的地，求学校与目的地的距离；
（2）当后队的联络员第一次与后队相遇时收到了来自后队传给前队的队旗，联络员刚好把队旗传给前队时距目的地还有多远？
【点拨】（1）根据两队到目的地的行使时间差为30分钟，列出方程便可解答；
（2）分三次列方程求出：联络员第一次与前队相遇的用时；联络员第一次与前队相遇到与后队相遇的用时；联络员第一次与后队相遇时收到了来自后队传给前队的队旗，联络员刚好把队旗传给前队的用时．再进一步便可求得结果．
【解答】解：（1）设学校与目的地的距离为xkm，根据题意得，
，
解得，x＝6（km），
答：学校与目的地的距离为6km；
（2）设联络员第一次与前队相遇用了y小时，根据题意得，
（12﹣4）y＝4，
解得，y（h），
设联络员第一次与前队相遇到与后队相遇用了z小时，根据题意得，
（12+6）z＝4（6﹣4），
解得，z（h），
设后队的联络员第一次与后队相遇时收到了来自后队传给前队的队旗，联络员刚好把队旗传给前队时用了a小时，根据题意得，
（12﹣4）a＝4（6﹣4）×（），
解得，a（h），
此时前队离目的地的距离为：6﹣4×（）＝2（km）．
答：联络员刚好把队旗传给前队时距目的地还有2km．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出相等分析，列出相应的方程．
3．（2019?武侯区期末）春节逛“大庙会“已成为成都老百姓的年俗，每年成都武侯祠博物馆举办的成都大庙会都会吸引大量的游客前往参观游玩．武侯祠大街某商家抓住商机采购了一批玩具熊猫，按成本价提高50%后标价，为了增加销量，又以9折优惠进行销售，每个售价为108元．
（1）这批玩具熊猫每个的成本价是多少元？
（2）这批玩具熊猫按此售价卖出三分之二以后，商家清仓换新，决定将剩下的玩具熊猫以每个72元的价格出售，若销售完这批玩具熊猫该商家共盈利4800元，求这批玩具熊猫的采购数量和销售利润率．
【点拨】（1）可设玩具熊猫每个的成本价为x元，则根据价格的变化得到x（1+50%）×90%＝108，解方程即可；
（2）抓住等量关系：销售额﹣成本＝利润，表示出总销售额即可表达；利润率100%即可求出本次销售的利润率．
【解答】解：（1）设这批玩具熊猫每个的成本价是x元，则标价为x（1+50%），9折优惠后售价为x（1+50%）×90%，
由题意得：x（1+50%）×90%＝108，
解得x＝80
答：这批玩具熊猫每个的成本价是80元．
（2）设这批玩具熊猫的采购数量为y个，则根据题意可得
（y×108y×72）﹣80y＝4800
解得y＝300
利润率100%＝20%
答：这批玩具熊猫的采购数量为300个，这次销售利润率为20%．
【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，清楚进价（成本）、标价、售价的意义是基本要求，理清：销售额﹣成本＝利润与利润率100%这两个等量关系是解题的关键．
4．（2019?宝安区期末）列方程解应用题
某中学七年级（1）（2）两个班共105人，要去市科技博物馆进行社会大课堂活动，老师指派小明到网上查阅票价信息，小明查得票价如下表：其中七（1）班不足50人，经估算，如果两个班都以班为单位购票，一共应付1140元．
购票张数（张）
每张票的价格（元）
1～50
12
51～100
10
100以上
a
①两个班各有多少学生？
②如果两个班联合起来，作为一个团体购票，可以省300元，请求a的值．
【点拨】（1）设七年级（1）班x人，则七年级（2）班（105﹣x）人，根据两个班共付费1140元建立方程求出其解就可以；
（2）先求出购团体票的费用，再用1140元﹣团体票的费用就是节约的钱；
【解答】解：（1）设七年级（1）班x人，则七年级（2）班（105﹣x）人，
由题意可得：12x+10（105﹣x）＝1140，
解得x＝45，
则105﹣x＝60．
答：七年级（1）班45人，七年级（2）班60人；
（2）1140﹣105×a＝300（元），
解得：a＝8；
【点睛】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一元一次方程的解法的运用，设计方案的运用，解答时找到等量关系建立方程求出各班人数是关键．
5．（2019?金牛区期末）成都市“滴滴快车中的优享型”计价规则如下：
车费由里程费+时长费两部分构成：
里程费（分时段）
普通时段（除以下两个时段以外的时间）
1.90元/公里
00：00﹣07：00
2.80元/公里
23：00﹣﹣00：00
2.80元/公里
时长费（分时段）
普通时段（除以下两个时段以外的时间）
0.34元/分钟
07：00﹣10：00
0.43元/分钟
17：00﹣19：00
0.43元/分钟
（1）小刘家的车周三限号，小刘早上在7：10乘坐“滴滴快车中的优享型”去上学，行车里程6公里，行车时间10分钟，则他应付车费多少元？
（2）下晚自习后小刘乘坐“滴滴快车中的优享型”回家，21：10在学校上车，由于堵车，走另外一条路回家，平均速度是20公里/小时，共付了23.36元，请问从学校到家快车行驶了多少公里？
【点拨】（1）根据题意和表格中的数据可以计算出小刘应付的车费，本题得以解决；
（2）根据题意和表格中的数据可以列出相应的方程，本题得以解决．
【解答】解：（1）由题意可得，
小刘应付车费为：1.90×6+0.43×10＝15.7（元），
答：小刘应付车费15.7元；
（2）设从学校到家快车行驶了x公里，
1.90x+0.34×（60）＝23.36，
解得，x＝8，
答：从学校到家快车行驶了8公里．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解答本题关键是明确题意，列出相应的方程，注意单位要统一．
6．（2019?简阳市期末）成都某网络约车公司的收费标准是：起步价8元，不超过3千米时不加价，行程在3千米到5千米时，超过3千米但不超过5千米的部分按每千米1.8元收费（不足1千米按1千米计算），当超过5千米时，超过5千米的部分按每千米2元收费（不足1千米按1千米计算）．
（1）若李老师乘坐了2.5千米的路程，则他应支付费用为 8 元；若乘坐的5千米的路程，则应支付的费用为 11.6 元；若乘坐了10千米的路程，则应支付的费用为 21.6 元；
（2）若李老师乘坐了x（x＞5且为整数）千米的路程，则应支付的费用为 2x+1.6 元（用含x的代数式表示）；
（3）李老师周一从家到学校乘坐出租车付了19.6元的车费（且他所乘路程的千米数为整数），若李老师改骑电动自行车从家到学校与乘坐出租车所走路程相等，李老师骑电动自行车的费用为每千米0.1元，不考虑其他因素，问李老师可以节约多少元钱？
【点拨】①分别利用乘车收费标准求出不同路程的乘车费用；
②利用李老师乘坐了x（x＞5且为整数）千米的路程，进而利用乘车收费标准得出答案；
③首先求出李老师乘车的路程超过5千米，再求出电动车的费用，求差即可；
【解答】解：①由题意可得：李老师乘坐了2.5千米的路程，他应支付的费用为：8元；
乘坐了5千米的路程，应支付的费用为：8+（5﹣3）×1.8＝11.6（元），
乘坐了10千米的路程，应支付的费用为：8+2×1.8+5×2＝21.6（元），
故答案为：8；11.6，21.6；
②由题意可得：8+1.8×2+2（x﹣5）＝2x+1.6；
故答案为：2x+1.6．
③若走5千米，则应付车费：8+1.8×2＝11.6（元），
∵11.6＜19.6，
∴李老师乘车的路程超过5千米，设李老师乘坐了x千米的路程，
因此，由（Ⅱ）得2x+1.6＝19.6，
解得：x＝9，
19.6﹣9×0.1＝18.7
答：李老师可以节约18.7元钱．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意得出超过5km乘车费用的关系式是解题关键．
7．（2019?慈溪市期末）如图1，现有一个长方体水槽放在桌面上，从水槽内量得它的侧面高20cm，底面的长25cm，宽20cm，水槽内水的高度为acm，往水槽里放入棱长为10cm的立方体铁块．
（1）求下列两种情况下a的值．
①若放入铁块后水面恰好在铁块的上表面；
②若放入铁块后水槽恰好盛满（无溢出）．
（2）若0＜a≤18，求放入铁块后水槽内水面的高度（用含a的代数式表示）．
（3）如图2，在水槽旁用管子连通一个底面在桌面上的圆柱形容器，内部底面积为50cm2，管口底部A离水槽内底面的高度为hcm（h＞a），水槽内放入铁块，水溢入圆柱形容器后，容器内水面与水槽内水面的高度差为8.2cm，若a＝15，求h的值．（水槽和容器的壁及底面厚度相同）
【点拨】（1）①②根据题意列出方程得出a的值即可；
（2）设放入铁块后水槽内水面的高度为xcm，根据题意列出方程解答即可；
（3）根据题意得出方程解答即可．
【解答】解：（1）①由题意得：500a＝5000﹣1000，
解得：a＝8，
②500×20＝1000+500a，
解得：a＝18，
（2）设放入铁块后水槽内水面的高度为xcm，
当0＜a≤8时，由题意得：500x＝100x+500a，
解得：x＝1.25a，
当8＜a≤18时，由题意得：500x＝1000+500a，
解得：x＝a+2；
（3）由题意得：50（h﹣8.2）＝500（15+2﹣h）
解得：h＝16.2．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意得出方程是解题关键．
8．（2019?青羊区期末）有一个带有进水管和出水管的空容器，每个单位时间内进出的水量都是一定的，设从某时刻开始的4分钟内只进水不出水，总水量从0升上升到20升，在随后的8分钟内既进水有出水，总数量从20升上升到30升．
（1）每分钟进水 5 升，每分钟出水 升；
（2）当容器内的水量达到25升时，用时多少分钟？
（3）当12分钟后只出水不进水，问从开始出水起多少分钟才能使放出的水量是容器内剩余水量的2倍？
【点拨】（1）由4分钟内注水20升可求得每分钟的进水量，然后根据从4分钟到12分钟的进水量，即可求得出水的速度；
（2）令时间为x，容器内水量为y，根据（1）的结果求得放尽水所用的时间即可求出函数解析式，求出y＝25时的x的值即可得；
（3）先求出12分钟后剩余水量y与时间x的关系式，再依据放出的水量是容器内剩余水量的2倍列出方程，解之可得．
【解答】解：（1）根据题意知，每分钟进水20÷4＝5升、
每分钟出水[（12﹣4）×5﹣（30﹣20）]÷（12﹣4）升，
故答案为：5、；
（2）令时间为x，容器内水量为y，
当4≤x≤12时，设解析式为y＝kx+b，
依题意得
4k+b＝20
12k+b＝30，
解得：k，b＝15，
∴yx+15．
当y＝25时，x+15＝25，
解得：x＝8，
即当容器内的水量达到25升时，用时8分钟；
（3）∵12分钟以后只出水不进水，
∴308分钟，
∴8分钟将水放完，
∴函数解析式为y＝30（x﹣12）x+75，
根据题意，得：2（x+75）（x﹣12），
解得：x，
答：从开始出水起分钟才能使放出的水量是容器内剩余水量的2倍．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解答一次函数的应用问题中，要注意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义．
9．（2019?南海区期末）如图是2018年5月月历．
（1）如图，用一正方形框在表中任意框4个数，记左上角的一个数为x，则被正方形框的4个数之和用含x的式子表示出来是 4x+16 ；
（2）在表中用正方形框的四个数之和最小记为a1，最大记为a2，则a1+a2＝ 128 ；
（3）当（1）中被正方形框的4个数之和等于76时，求x的值？
（4）在（1）中能否用正方形框这样的4个数，使它们的和等于92？若能，则求出x的值；若不能，则说明理由？
【点拨】（1）观察表格，根据表格中相邻各数间的关系，即可得出结论；
（2）先求出四个数之和最小a1，和最大a2的值，再求和即可；
（3）、（4）根据（1）中各数的表达式求出x的值即可．
【解答】解：（1）记左上角的一个数为x，则另三个数分别为：x+1，x+7，x+8．
依题意得：x+x+1+x+7+x+8＝4x+16．
故答案是：4x+16．
（2）∵当四个数是1，2，8，9时最小，a1＝1+2+8+9＝20；
当四个数是23，24，30，31时最大，a2＝23+24+30+31＝108，
∴a1+a2＝20+108＝128．
故答案为：128；
（3）由题意得，x+x+1+x+7+x+8＝76，解得x＝15，
答：当被框住的4个数之和等于76时，x的值为15；
（4）不能．
由题意得，x+x+1+x+7+x+8＝92，解得x＝19，
故由此框住的四个数应是19，20，26，27，但是19，20不在同行的相邻位置，所以不能框住4个数的和等于92．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
10．（2019?惠东县期末）如图1，P点从点A开始以2厘米/秒的速度沿A→B→C的方向移动，点Q从点C开始以1厘米/秒的速度沿C→A→B的方向移动，在直角三角形ABC中，∠A＝90°，若AB＝16厘米，AC＝12厘米，BC＝20厘米，如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动时间，那么：
（1）如图1，若P在线段AB上运动，Q在线段CA上运动，试求出t为何值时，QA＝AP
（2）如图2，点Q在CA上运动，试求出t为何值时，三角形QAB的面积等于三角形ABC面积的；
（3）如图3，当P点到达C点时，P、Q两点都停止运动，试求当t为何值时，线段AQ的长度等于线段BP的长的
【点拨】（1）当P在线段AB上运动，Q在线段CA上运动时，设CQ＝t，AP＝2t，则AQ＝12﹣t，由AQ＝AP，可得方程12﹣t＝2t，解方程即可．
（2）当Q在线段CA上时，设CQ＝t，则AQ＝12﹣t，根据三角形QAB的面积等于三角形ABC面积的，列出方程即可解决问题．
（3）分三种情形讨论即可①当0＜t≤8时，P在线段AB上运动，Q在线段CA上运动．②当8＜t≤12时，Q在线段CA上运动，P在线段BC上运动．③当t＞12时，Q在线段AB上运动，P在线段BC上运动时，分别列出方程求解即可．
【解答】解：（1）当P在线段AB上运动，Q在线段CA上运动时，设CQ＝t，AP＝2t，则AQ＝12﹣t，
∵AQ＝AP，
∴12﹣t＝2t，
∴t＝4．
∴t＝4s时，AQ＝AP．
（2）当Q在线段CA上时，设CQ＝t，则AQ＝12﹣t，
∵三角形QAB的面积等于三角形ABC面积的，
∴?AB?AQ?AB?AC，
∴16×（12﹣t）16×12，解得t＝9．
∴t＝9s时，三角形QAB的面积等于三角形ABC面积的．
（3）由题意可知，Q在线段CA上运动的时间为12秒，P在线段AB上运动时间为8秒，
①当0＜t≤8时，P在线段AB上运动，Q在线段CA上运动，设CQ＝t，AP＝2t，则AQ＝12﹣t，BP＝16﹣2t，
∵AQBP，
∴12﹣t（16﹣2t），解得t＝16（不合题意舍弃）．
②当8＜t≤12时，Q在线段CA上运动，P在线段BC上运动，设CQ＝t，则AQ＝12﹣t，BP＝2t﹣16，
∵AQBP，
∴12﹣t（2t﹣16），解得t．
③当t＞12时，Q在线段AB上运动，P在线段BC上运动时，
∵AQ＝t﹣12，BP＝2t﹣16，
∵AQBP，
∴t﹣12（2t﹣16），解得t＝16，
综上所述，ts或16s时，AQBP．
【点睛】本题考查三角形综合题，三角形面积、一元一次方程等知识，解题的关键是理解题意，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．
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第五章
一元一次方程2一元一次方程的应用
B卷培优经典例题
例1：（2019?青羊区校级期末）已知，如图A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣10，B点对应的数为70．
（1）数轴上的有一点M，且MA＝3MB，直接写出M点对应的数是 ．
（2）现在有一只电子蚂蚁P从A点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从B点出发，以5个单位/秒的速度向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，请你求出C点对应的数．
（3）若当电子蚂蚁P从A点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从B点出发，以5单位/秒的速度向左运动，经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距24个单位长度，并写出此时P点对应的数．
【点拨】（1）根据数轴上对应数a与数b之间的点距离为|a﹣b|，设M对应的数为m，用m表示MA、MB，即列得方程．因为M有可能在A、B之间也有可能在B的右侧，所以需要分类讨论．
（2）根据点运动特征（向右即对应的数变大，向左即对应的数变小），设运动时间为t后，可用t表示P、Q对应的数，P、Q相遇时即它们对应的数相等，即求出t的值．
（3）用t表示PQ的长度时，由于不确定两点的左右关系，故需加绝对值号，再分类讨论求t的值．
例2：（2019?碑林区校级期末）为开展阳光体育活动，某班需要购买一批羽毛球拍和羽毛球，现了解情况如下：甲、乙两家商店岀售同样品牌的羽毛球拍和羽毛球，羽毛球拍毎副定价30元，羽毛球每盒定价5元，且两家都有优惠：甲店每买一副球拍赠一盒羽毛球；乙店全部按定价的9折优惠．
（1）若该班需购买羽毛球拍5副，购买羽毛球x盒（不小于5盒）．当购买多少盒羽毛球时，在两家商店购买所花的钱相等？
（2）若需购买10副羽毛球拍，30盒羽毛球，怎样购买更省钱？
【点拨】（1）根据甲、乙两店的优惠方式，可得出关于x的表达式．根据等量关系是：甲店的费用＝乙店的费用列出方程解答即可；
（2）根据最省钱的购买的思想确定方案
例3：（2019?青岛期末）为发展校园足球运动，某县城区四校决定联合购买一批足球运动装备，市场调查发现，甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球，已知每套队服比每个足球多50元，两套队服与三个足球的费用相等，经洽谈，甲商场优惠方案是：每购买十套队服，送一个足球，乙商场优惠方案是：若购买队服超过80套，则购买足球打八折．
（1）求每套队服和每个足球的价格是多少？
（2）若城区四校联合购买100套队服和a（a＞10）个足球，请用含a的式子分别表示出到甲商场和乙商场购买装备所花的费用；
（3）在（2）的条件下，若a＝60，假如你是本次购买任务的负责人，你认为到甲、乙哪家商场购买比较合算？
【点拨】（1）设每个足球的定价是x元，则每套队服是（x+50）元，根据两套队服与三个足球的费用相等列出方程，解方程即可；
（2）根据甲、乙两商场的优惠方案即可求解；
（3）把a＝60代入（2）中所列的代数式，分别求得在两个商场购买所需要的费用，然后通过比较得到结论：在乙商场购买比较合算．
例4：（2019?金牛区期末）列方程解应用题：某社区超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数比乙商品件数的2倍少30件，甲、乙两种商品的进价和售价如表：
甲
乙
进价（元/件）
22
30
售价（元/件）
29
40
（1）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？
（2）该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲种商品的件数不变，乙种商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原售价销售，乙商品在原售价上打折销售．第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多720元，求第二次乙种商品是按原价打几折销售？
【点拨】（1）设第一次购进乙种商品x件，则甲种商品的件数是（2x﹣30）件，根据题意列出方程求出其解就可以；
（2）设第二次甲种商品的售价为每件y元，根据第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多720元，建立方程求出其解即可．
例5：（2019?温江区期末）列方程解应用题：某中学举行数学竞赛，计划用A，B两台复印机复印试卷．如果单独用A机器需要90分钟印完，如果单独用B机器需要60分钟印完，为了保密的需要，不能过早复印试卷，学校决定在考试前由两台复印机同时复印．
（1）两台复印机同时复印，共需多少分钟才能印完？
（2）若两台复印机同时复印30分钟后，B机出了故障，暂时不能复印，此时离发卷还有13分钟．请你算一下，如果由A机单独完成剩下的复印任务，会不会影响按时发卷考试？
（3）在（2）的问题中，B机经过紧急抢修，9分钟后修好恢复正常使用，请你再计算一下，学校能否按时发卷考试？
【点拨】（1）设共需x分钟才能印完，依题意得（）x＝1，解方程即可；
（2）设由A机单独完成剩下的复印任务需要y分钟才能印完，依题意得（）×301，求解与13分进行比较即可；
（3）当B机恢复使用时，两机又共同复印了z分钟印完试卷，依题意得（）×30（）z＝1，求解后加9再与13进行比较．
例6：（2019?宝安区期末）列方程解应用题
今年某网上购物商城在“双11购物节“期间搞促销活动，活动规则如下：
①购物不超过100元不给优惠；②购物超过100元但不足500元的，全部打9折；③购物超过500元的，其中500元部分打9折，超过500元部分打8折．
（1）小丽第1次购得商品的总价（标价和）为200元，按活动规定实际付款 元．
（2）小丽第2次购物花费490元，与没有促销相比，第2次购物节约了多少钱？（请利用一元一次方程解答）
（3）若小丽将这两次购得的商品合为一次购买，是否更省钱？为什么？
【点拨】（1）按活动规定实际付款＝商品的总价×0.9，依此列式计算即可求解；
（2）可设第2次购物商品的总价是x元，根据等量关系：小丽第2次购物花费490元，列出方程求解即可；
（3）先得到两次购得的商品的总价，再根据促销活动活动规则列式计算即可求解．
B卷培优能力专题训练
一．选择题（共10小题）
1．（2019?邱县期末）一款新型的太阳能热水器进价2000元，标价3000元，若商场要求以利润率不低于5%的售价打折出售，则设销售员出售此商品最低可打x折，由题意列方程，得（ ）
A．3000x＝2000（1﹣5%）
B．
C．
D．
2．（2019?武侯区期末）我国很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有四人共车，一车空；二人共车，八人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每4人乘一车，最终剩余1辆车，若每2人共乘一车，最终剩余8个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果我们设有x辆车，则可列方程（ ）
A．4（x﹣1）＝2x+8
B．4（x+1）＝2x﹣8
C．
D．
3．（2019?沁阳市期末）一列动车以300km/h的速度过第一、第二两个隧道，已知第二个隧道的长度比第一个隧道长度的2倍还多1.5km，已知该列车过第二隧道比第一个隧道多用了90秒，若设第一个隧道的长度为xkm，则由题意列出的方程正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2019?萧山区月考）某校社团活动课中，手工制作社的同学用一种彩色硬纸板制作某种长方体小礼品的包装盒，每张硬纸板可制作盒身12个，或制作盒底18个，1个盒身与2个盒底配成一套．现有28张这种彩色硬纸板，要使盒身和盒底刚好配套，若设需要x张做盒身，则下列所列方程正确的是（ ）
A．18（28﹣x）＝12x
B．18（28﹣x）＝2×12x
C．18（14﹣x）＝12x
D．2×18（28﹣x）＝12x
5．（2019?宝安区期末）深圳市出租车的收费标准是：起步价10元（行驶距离不超过2km，都需付10元车费），超过2km每增加1km，加收2.6元，小陈乘出租车到达目的地后共支付车费49元，那么小陈坐车可行驶的路程最远是（不考虑其他收费）（ ）
A．15km
B．16km
C．17km
D．18km
6．（2019?滨湖区期末）某班组每天需生产50个零件才能在规定的时间内完成一批零件任务，实际上该班组每天比计划多生产了6个零件，结果比规定的时间提前3天并超额生产120个零件，若设该班组要完成的零件任务为x个，则可列方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2019?薛城区期末）为倡导绿色出行，某市为市民提供了自行车租赁服务，其收费标准如下：
地区类别
首小时内
首小时外
备注
A类
1.5元/15分钟
2.75元/15分钟
不足15分钟时
按15分钟收费
B类
1.0元/15分钟
1.25元/15分钟
C类
免费
0.75元/15分钟
如果小明某次租赁自行车3小时，缴费14元，请判断小明该次租赁自行车所在地区的类别是（ ）
A．A类
B．B类
C．C类
D．无法确定
8．（2019?包河区期末）如图，已知正方形的边长为4，甲，乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A，C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的4倍，则它们第2019次相遇在边（ ）
A．AB上
B．BC上
C．CD上
D．DA上
9．（2019?天心区校级期末）如图是2019年5月的日历表，在此日历表中用阴影十字框选中5个数（如2、8、9、10、16）．若这样的阴影十字框上下左右移动选中这张日历表中的5个数，则这5个数的和可能为（ ）
A．41
B．42
C．81
D．120
10．（209?慈溪市期末）一游泳池计划注入一定体积的水，按每小时500立方米的速度注水，注水2小时，注水口发生故障，停止注水，经20分钟抢修后，注水速度比原来提高了20%，结果比预定的时间提前了10分钟完成注水任务，则计划注入水的体积为（ ）
A．4000m3
B．2500m3
C．2000m3
D．500m3
二．填空题（共9小题）
1．（2019?碑林区校级期末）如图所示，一个长方形被分割为11个大小不同的正方形，其中最小的正方形边长为9，这个长方形的长比宽多
．
2．（2019?无锡）某商场在“五一”期间举行促销活动，根据顾客按商品标价一次性购物总额，规定相应的优惠方法：
①如果不超过500元，则不予优惠；
②如果超过500元，但不超过800元，则按购物总额给予8折优惠；
③如果超过800元，则其中800元给予8折优惠，超过800元的部分给予6折优惠．
促销期间，小红和她母亲分别看中一件商品，若各自单独付款，则应分别付款480元和520元；若合并付款，则她们总共只需付款
元．
3．（2019?合浦县期末）某文艺团体为“希望工程”募捐组织了一场义演，成人票10元一张，学生票5元一张，共售出1000张票，筹得票款8000元．则售出学生票
张．
4．（2019?茅箭区校级月考）五女峰森林公园门票价格：成人票每张50元，学生票每张25元．某旅游团买30张门票花了1250元．设其中有x张成人票，y张学生票，根据题意列方程组是
．
5．（2019?九龙坡区校级月考）甲、乙两辆小汽车在一个封闭的环形跑道内进行耐久测试．两车从同一地点沿相同方向同时起步后，乙车速超过甲车速，在第12分钟时甲车提速，在第15分钟时，甲车追上乙车并且开始超过乙，在第21分钟时，甲车再次追上乙车，已知在测试中甲、乙两车均是匀速行驶，那么如果甲车不提速，乙车首次超过甲车所用的时间是
分钟．
6．（2019?梁溪区期末）某景区游船码头派车原定于8点整准时到达景区入口接工作人员，由于汽车在路上因故障导致8：10时车还未到达景区入口，于是工作人员步行前往码头．走了一段时间后遇到了前来接他的汽车，他上车后汽车立即掉头继续前进．到达码头时已经比原计划迟到了20min．已知汽车的速度是工作人员步行速度的6倍，则汽车在路上因故障耽误的时间为
min．
7．（2019?河北区期末）一艘轮船在甲、乙两地之间航行，已知水流速度是5千米时，顺水航行需要6小时，逆水航行需要8小时，则甲、乙两地间的距离是
千米．
8．（2019?株洲）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？“其意思为：速度快的人走100步，速度慢的人只走60步，现速度慢的人先走100步，速度快的人去追赶，则速度快的人要走
步才能追到速度慢的人．
9．（2019?营口期末）在学校的一次劳动中，在甲处劳动的有27人，在乙处劳动的有19人，后因劳动任务需要，需要另外调20人来支援，使在甲处的人数是在乙处人数的2倍，问应调往乙处
人．
三．解答题（共10小题）
1．（2019?市北区期末）海洋馆的门票价格规定如表：
购票人数（人）
1﹣50人
51﹣100人
100人以上
门票单价（元/人）
60
55
50
某校七年级一、二两班共102人去游公园，其中一班人数较多，经计算，如果两班都以班为单位分别购买与实际人数相同的票，则一共应付5850元．
请根据以上信息解答下列问题：
①两班各有多少学生？
②如果两班作为一个团体购票，可以节省多少钱？
2．（2019?温江区期末）树人中学组织七年级两个班的学生从学校步行到郊外社会实践．七（1）班同学组成前队，步行速度为4km/h，七（2）班的同学组成后队，速度为6km/h．前队出发30分钟后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回进行联络，他骑车的速度为12km/h．
（1）如果两队同时到达目的地，求学校与目的地的距离；
（2）当后队的联络员第一次与后队相遇时收到了来自后队传给前队的队旗，联络员刚好把队旗传给前队时距目的地还有多远？
3．（2019?武侯区期末）春节逛“大庙会“已成为成都老百姓的年俗，每年成都武侯祠博物馆举办的成都大庙会都会吸引大量的游客前往参观游玩．武侯祠大街某商家抓住商机采购了一批玩具熊猫，按成本价提高50%后标价，为了增加销量，又以9折优惠进行销售，每个售价为108元．
（1）这批玩具熊猫每个的成本价是多少元？
（2）这批玩具熊猫按此售价卖出三分之二以后，商家清仓换新，决定将剩下的玩具熊猫以每个72元的价格出售，若销售完这批玩具熊猫该商家共盈利4800元，求这批玩具熊猫的采购数量和销售利润率．
4．（2019?宝安区期末）列方程解应用题
某中学七年级（1）（2）两个班共105人，要去市科技博物馆进行社会大课堂活动，老师指派小明到网上查阅票价信息，小明查得票价如下表：其中七（1）班不足50人，经估算，如果两个班都以班为单位购票，一共应付1140元．
购票张数（张）
每张票的价格（元）
1～50
12
51～100
10
100以上
a
①两个班各有多少学生？
②如果两个班联合起来，作为一个团体购票，可以省300元，请求a的值．
5．（2019?金牛区期末）成都市“滴滴快车中的优享型”计价规则如下：
车费由里程费+时长费两部分构成：
里程费（分时段）
普通时段（除以下两个时段以外的时间）
1.90元/公里
00：00﹣07：00
2.80元/公里
23：00﹣﹣00：00
2.80元/公里
时长费（分时段）
普通时段（除以下两个时段以外的时间）
0.34元/分钟
07：00﹣10：00
0.43元/分钟
17：00﹣19：00
0.43元/分钟
（1）小刘家的车周三限号，小刘早上在7：10乘坐“滴滴快车中的优享型”去上学，行车里程6公里，行车时间10分钟，则他应付车费多少元？
（2）下晚自习后小刘乘坐“滴滴快车中的优享型”回家，21：10在学校上车，由于堵车，走另外一条路回家，平均速度是20公里/小时，共付了23.36元，请问从学校到家快车行驶了多少公里？
6．（2019?简阳市期末）成都某网络约车公司的收费标准是：起步价8元，不超过3千米时不加价，行程在3千米到5千米时，超过3千米但不超过5千米的部分按每千米1.8元收费（不足1千米按1千米计算），当超过5千米时，超过5千米的部分按每千米2元收费（不足1千米按1千米计算）．
（1）若李老师乘坐了2.5千米的路程，则他应支付费用为
元；若乘坐的5千米的路程，则应支付的费用为
元；若乘坐了10千米的路程，则应支付的费用为
元；
（2）若李老师乘坐了x（x＞5且为整数）千米的路程，则应支付的费用为
元（用含x的代数式表示）；
（3）李老师周一从家到学校乘坐出租车付了19.6元的车费（且他所乘路程的千米数为整数），若李老师改骑电动自行车从家到学校与乘坐出租车所走路程相等，李老师骑电动自行车的费用为每千米0.1元，不考虑其他因素，问李老师可以节约多少元钱？
7．（2019?慈溪市期末）如图1，现有一个长方体水槽放在桌面上，从水槽内量得它的侧面高20cm，底面的长25cm，宽20cm，水槽内水的高度为acm，往水槽里放入棱长为10cm的立方体铁块．
（1）求下列两种情况下a的值．
①若放入铁块后水面恰好在铁块的上表面；
②若放入铁块后水槽恰好盛满（无溢出）．
（2）若0＜a≤18，求放入铁块后水槽内水面的高度（用含a的代数式表示）．
（3）如图2，在水槽旁用管子连通一个底面在桌面上的圆柱形容器，内部底面积为50cm2，管口底部A离水槽内底面的高度为hcm（h＞a），水槽内放入铁块，水溢入圆柱形容器后，容器内水面与水槽内水面的高度差为8.2cm，若a＝15，求h的值．（水槽和容器的壁及底面厚度相同）
8．（2019?青羊区期末）有一个带有进水管和出水管的空容器，每个单位时间内进出的水量都是一定的，设从某时刻开始的4分钟内只进水不出水，总水量从0升上升到20升，在随后的8分钟内既进水有出水，总数量从20升上升到30升．
（1）每分钟进水
升，每分钟出水
升；
（2）当容器内的水量达到25升时，用时多少分钟？
（3）当12分钟后只出水不进水，问从开始出水起多少分钟才能使放出的水量是容器内剩余水量的2倍？
9．（2019?南海区期末）如图是2018年5月月历．
（1）如图，用一正方形框在表中任意框4个数，记左上角的一个数为x，则被正方形框的4个数之和用含x的式子表示出来是
；
（2）在表中用正方形框的四个数之和最小记为a1，最大记为a2，则a1+a2＝
；
（3）当（1）中被正方形框的4个数之和等于76时，求x的值？
（4）在（1）中能否用正方形框这样的4个数，使它们的和等于92？若能，则求出x的值；若不能，则说明理由？
10．（2019?惠东县期末）如图1，P点从点A开始以2厘米/秒的速度沿A→B→C的方向移动，点Q从点C开始以1厘米/秒的速度沿C→A→B的方向移动，在直角三角形ABC中，∠A＝90°，若AB＝16厘米，AC＝12厘米，BC＝20厘米，如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动时间，那么：
（1）如图1，若P在线段AB上运动，Q在线段CA上运动，试求出t为何值时，QA＝AP
（2）如图2，点Q在CA上运动，试求出t为何值时，三角形QAB的面积等于三角形ABC面积的；
（3）如图3，当P点到达C点时，P、Q两点都停止运动，试求当t为何值时，线段AQ的长度等于线段BP的长的
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