中小学教育资源及组卷应用平台
第五章
一元一次方程2一元一次方程应用
B卷培优能力测试
（满分50分）
一．填空题（共5小题，每小题4分）
1．（2019?市北区期末）某商场将一件玩具按进价提高50%后标价，销售时按标价打八折销售，结果相对于进价仍获利20元，则这件玩具的进价是 100 元．
【点拨】首先理解题意找出题中存在的等量关系：x×（1+50%）×80%﹣x＝20，根据此列方程解答即可．
【解答】解：设这件的进价为x元，则
x?（1+50%）×80%﹣x＝20，
解得：x＝100，
故答案为：100
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，此题的关键是理解成本价、标价、售价之间的关系及打8折的含义．
2．（2019?南漳县期末）已知两个完全相同的大长方形，长为a，各放入四个完全一样的白色小长方形后，得到图①、图②，那么，图①中阴影部分的周长与图②中阴影部分的周长的差是 a （用含a的代数式表示）．
【点拨】设小长方形的长为x，宽为y，大长方形宽为b，表示出x、y、a、b之间的关系，然后求出阴影部分周长之差即可．
【解答】解：设图中小长方形的长为x，宽为y，大长方形的宽为b，
根据题意，得：x+2y＝a、x＝2y，
则4y＝a，
图（1）中阴影部分周长为2b+2（a﹣x）+2x＝2a+2b，图（2）中阴影部分的周长为2（a+b﹣2y）＝2a+2b﹣4y，
图（1）阴影部分周长与图（2）阴影部分周长之差为：（2a+2b）﹣（2a+2b﹣4y）＝4y＝a，
故答案是：a．
【点睛】此题考查了整式的加减，以及一元一次方程的应用，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．某超市在一楼至二楼间安装了一自动扶梯，以均匀的速度向上行驶，张明与高丽同时从自动扶梯上走到二楼（扶梯本身也在行驶），如果张明与高丽都在匀速运动，且张明每分钟走动的级数是高丽的2倍，已知张明走了27级到达扶梯顶部，而高丽走了18级到达顶部（设张明、高丽每次只跨一级台阶），则扶梯露在外面的部分有 54 级．
【点拨】如果设女孩上梯速度为x级/分，自动扶梯的速度为y级/分，扶梯露在外面的部分有S级．题中有两个等量关系，男孩走27级的时间等于扶梯走（S﹣27）级的时间；女孩走18级的时间等于扶梯走（S﹣18）级的时间，据此列出方程组，求出S的值即可．
【解答】解：设女孩上梯速度为x级/分，自动扶梯的速度为y级/分，扶梯露在外面的部分有S级，则男孩上梯的速度为2x级/分．
由题意有，
解得S＝54．
答：扶梯露在外面的部分有54级．
故答案为：54．
【点睛】本题考查应用类问题，分式方程在行程问题中的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题属于竞赛题型，有一定难度．难点在于自动扶梯在上升，具有一定的速度，同时甲、乙也在上楼梯，变化量较多．解题时要善于抓住不变量，只有不变量才是列方程的依据．另外，本题求解时设的未知数x、y，只设不求，这种方法在解复杂的应用题时常用来帮助分析数量关系，便于解题．
4．（2019?江北区模拟）有一玻璃密封器皿如图①，测得其底面直径为20cm，高20cm，现内装蓝色溶液若干．如图②放置时，测得液面高10cm；如图③放置时，测得液面高16cm；则该玻璃密封器皿总容量为 1400π cm3（结果保留π）
【点拨】根据圆柱体的体积公式和图②和图③中的溶液体积相等，可以列出相应的方程，从而可以解答本题．
【解答】解：设该玻璃密封器皿总容量为Vcm3，
π×102×10＝V﹣π×102×（20﹣16），
解得，V＝1400π，
故答案为：1400π．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程的思想解答．
5．（2019?沙坪坝区校级期中）一辆快车和一辆慢车相向而行，快车行驶1410千米时，与慢车相遇，两车同时停止行驶，已知快车从乙站开出，每小时行驶120千米，中途不停靠，快车出发25分钟后慢车从甲站开出，慢车每小时行驶48千米，每行驶1小时到达一个观光站点，第一站点停靠5分钟，第二个站点停靠10分钟，第三个站点停靠15分钟，……，第n个站点停靠5n分钟，则甲、乙两站相距 1810 千米．
【点拨】先计算快车的行驶时间为小时，减去25分钟即为慢车的出发时间为11小时，由（5+10+15+…+5n）÷60+n≤11的最大整数解可知n＝8，于是可知慢车停靠了8个站之后再行驶小时的时候与快车相遇．
【解答】解：根据题意得，快车行驶的时间为1410÷120小时，
所以，慢车出发的时间为11小时，
由n×111可得最大整数解n＝8
∴慢车停靠了8个站的时间＝8×1+（5+10+15+……．+40）÷60＝11，然后再行驶小时时与快车相遇
∴甲、乙两站相距＝1410+848＝1810
故答案为1810．
【点睛】本题考查了行程问题的数量关系在解实际问题中的运用，并借助不等式的最大整数解解决实际问题，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，再求解．
二．解答题（共3小题，每小题10分）
6．（2019?青羊区校级期末）某社区惠民水果店第一次用615元从龙泉水果批发市场购进甲、乙两种不同品种的苹果，其中甲品种苹果重量比乙品种苹果重量的2倍多15千克，甲、乙两种苹果的进价和售价如下表：（注：获利＝售价﹣进价）
甲
乙
进价（元/千克）
5
8
售价（元/千克）
10
15
（1）惠民水果店第一次购进的甲、乙两种苹果各多少千克？
（2）惠民水果店第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种苹果．其中甲苹果的重量不变，乙苹果的重量是第一次的3倍；甲苹果按原价销售，乙苹果打折销售．第二次甲、乙两种苹果都销售完以后获得的总利润为735元，求第二次乙苹果按原价打几折销售？
（3）惠民水果店发现乙苹果特别好卖，准备再购买一定量乙苹果．并发现相同品质的乙苹果，驷马桥水果批发市场的价格比龙泉水果批发市场的价格便宜，就决定去驷马桥水果批发市场购买，乙苹果价格如下表：
购买苹果（千克）
不超过20千克
20千克以上但不超过40千克
40千克以上
每千克的价格
6元
5元
4元
惠民水果店分两次从驷马桥水果批发市场共购买乙苹果80千克，第二次购买的数量多于第一次购买的数量，且两次购买每千克苹果的单价不相同，共付出352元，请问惠民水果店第一次，第二次分别从驷马桥水果批发市场购买乙苹果多少千克？
【点拨】（1）设乙种苹果x千克，以进价总价为615元为等量关系列方程．
（2）设第二次乙种苹果每千克售价为15y元（y为小数），以总利润为等量关系列方程．
（3）设第一次买乙种苹果a千克，以总进价352元为等量关系列方程．要讨论因a的取值不同而导致的单价不同．
【解答】解：（1）设第一次购进乙种苹果x千克，则甲的件数为（2x+15）千克，
根据题意得：8x+5×（2x+15）＝615．
解得：x＝30
∴2x+15＝75
答：第一次购进乙种苹果30千克，甲种苹果75千克．
（2）设第二次乙苹果售价为每千克15y元，根据题意得：
（10﹣5）×75+（15y﹣8）×30×3＝735
解得：y＝0.8
答：第二次乙种苹果是按原价打8折销售．
（3）设第一次购买a千克苹果，第二次购买（80﹣a）千克苹果．
分三种情况考虑：
①当第一次购买苹果不超过20千克，第二次苹果超过20千克以上但不超过40千克的时候，显然不够80千克，不成立．
②当第一次购买苹果不超过20千克，第二次购买苹果超过40千克，得：
6a+4（80﹣a）＝352
解得：a＝16
∴80﹣a＝80﹣16＝64
③第一次苹果20千克以上但不超过40千克，第二次购买的苹果超过40千克，得：
5a+4（80﹣a）＝352
解得：a＝32
∴80﹣a＝80﹣32＝48
答：第一次购买16千克苹果，第二次购买64千克苹果；或者第一次购买32千克苹果，第二次购买48千克苹果．
【点睛】本题考查了销售问题背景的一元一次方程应用．解题关键是找准等量关系，在第（3）题，对第一次购买重量作分类讨论．
7．（2019?沙坪坝区校级期末）如图，某校初一（2）班组织学生从A地到B地步行野营，匀速前进，该班师生共56人，每8人排成一排，相邻两排之间间隔1米，途中经过一座桥CD，队伍从开始上桥到刚好完全离开桥共用了150秒，当队尾刚好走到桥的一端D处时，排在队尾的游班长发现小蒋还在桥的另一端C处拍照，于是以队伍1.5倍的速度返回去找小萍，同时队伍仍按原速度继续前行，30秒后，小蒋发现游班长返回来找他，便立刻以2.1米/秒的速度向游班长方向行进，小蒋行进40秒后与游班长相遇，相遇后两人以队伍2倍的速度前行追赶队伍．
（1）初一（2）班的队伍长度为 6 米；
（2）求班级队伍行进的速度（列一元一次方程解决问题）；
（3）请问：游班长从D处返回赵小萍开始到他们两人追上队首的刘老师一共用了多少时间？
【点拨】（1）根据题意得出共排成56÷8＝7（排），初一（2）班的队伍长度为（7﹣1）×1＝6（米）；
（2）设班级队伍行进的速度为x米/秒，根据队伍走的路程＝桥长+队伍长，得出方程，解方程即可；
（3）设小蒋与游班长相遇后两人追上队首的刘老师用了y小时，根据两人追队伍走的路程﹣队伍走的路程＝他们与队伍的距离，得出方程，解方程即可得出结果．
【解答】解：（1）∵师生共56人，每8人排成一排，
∴共排成56÷8＝7（排），
∵相邻两排之间间隔1米，
∴初一（2）班的队伍长度为（7﹣1）×1＝6（米），
故答案为：6；
（2）设班级队伍行进的速度为x米/秒，
根据题意得：150x＝1.5x（30+40）+2.1×40+6，
解得：x＝2，
答：班级队伍行进的速度为2米/秒；
（3）设小蒋与游班长相遇后两人追上队首的刘老师用了y小时，
小蒋与游班长的速度为4米/秒，他们与队首的刘老师的距离为1.5×2×70+2×70+6＝356（米），
根据题意得：4y﹣2y＝356，
解得：y＝178，
70+178＝248（秒）；
答：班长从D处返回找小蒋开始到他们两人追上队首的刘老师一共用了248秒．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次方程的解法；根据题意列出方程是解决问题的关键．
8．（2019?福田区期末）如图，AB＝12cm，点C在线段AB上，AB＝3BC，动点P从点A出发，以4cm/s的速度向右运动，到达点B之后立即返回，以4cm/s的速度向左运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度向右运动，到达点B之后立即返回，以1cm/s的速度向左运动．设它们同时出发，运动时间为t秒，当第二次重合时，P、Q两点停止运动．
（1）AC＝ 8 cm，BC＝ 4 cm；
（2）当t＝ 秒时，点P与点Q第一次重合；当t＝ 秒时，点P与点Q第二次重合；
（3）当t为何值时，AP＝PQ？
【点拨】（1）由题目中AB＝12cm，点C在线段AB上，AB＝3BC，可直接求得；
（2）根据运动过程，两点重合时他们走过距离之间的关系列方程即可求得；
（3）满足AP＝PQ，则2AP＝AQ，在整个运动过程中符合题意的位置存在三处，依次分析列出方程即可求得．
【解答】解：（1）∵AB＝12cm，AB＝3BC
∴BC＝4，AC＝8
故答案为：8；4．
（2）设运动时间为t，则AP＝4t，CQ＝t，
由题意，4t﹣t＝8，解得t；
当点P与点Q第二次重合时有：
4t﹣12+8+t＝12，解得t．
故当t秒时，点P与点Q第一次重合；当t秒时，点P与点Q第二次重合．
故答案为：；．
（3）在点P和点Q运动过程中，当AP＝PQ时，存在以下三种情况：
①点P与点Q第一次重合之前，可得：2×4t＝8+t，解得t；
②点P与点Q第一次重合后，P、Q由点B向点A运动过程中，
可得：2×[12﹣（4t﹣12）]＝12﹣（t﹣4），解得t（舍去）；
③当点P运动到点A，继续由点A向点B运动，点P与点Q第二次重合之前，
可得：2×（4t﹣24）＝12﹣（t﹣4），解得t（舍去）．
故当t为秒时，AP＝PQ．
【点睛】本题考查线段的运算，及线段中的动点问题，第一问及第二问是基础题，第三问关键在于找准运动过程中符合题意的位置，找到等量关系列方程求解．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第五章
一元一次方程2一元一次方程应用
B卷培优能力测试
（满分50分）
一．填空题（共5小题，每小题4分）
1．（209?市北区期末）某商场将一件玩具按进价提高50%后标价，销售时按标价打八折销售，结果相对于进价仍获利20元，则这件玩具的进价是
元．
2．（2019?南漳县期末）已知两个完全相同的大长方形，长为a，各放入四个完全一样的白色小长方形后，得到图①、图②，那么，图①中阴影部分的周长与图②中阴影部分的周长的差是
（用含a的代数式表示）．
3．某超市在一楼至二楼间安装了一自动扶梯，以均匀的速度向上行驶，张明与高丽同时从自动扶梯上走到二楼（扶梯本身也在行驶），如果张明与高丽都在匀速运动，且张明每分钟走动的级数是高丽的2倍，已知张明走了27级到达扶梯顶部，而高丽走了18级到达顶部（设张明、高丽每次只跨一级台阶），则扶梯露在外面的部分有
级．
4．（2019?江北区模拟）有一玻璃密封器皿如图①，测得其底面直径为20cm，高20cm，现内装蓝色溶液若干．如图②放置时，测得液面高10cm；如图③放置时，测得液面高16cm；则该玻璃密封器皿总容量为
cm3（结果保留π）
5．（2019?沙坪坝区校级期中）一辆快车和一辆慢车相向而行，快车行驶1410千米时，与慢车相遇，两车同时停止行驶，已知快车从乙站开出，每小时行驶120千米，中途不停靠，快车出发25分钟后慢车从甲站开出，慢车每小时行驶48千米，每行驶1小时到达一个观光站点，第一站点停靠5分钟，第二个站点停靠10分钟，第三个站点停靠15分钟，……，第n个站点停靠5n分钟，则甲、乙两站相距
千米．
二．解答题（共3小题，每小题10分）
6．（2019?青羊区校级期末）某社区惠民水果店第一次用615元从龙泉水果批发市场购进甲、乙两种不同品种的苹果，其中甲品种苹果重量比乙品种苹果重量的2倍多15千克，甲、乙两种苹果的进价和售价如下表：（注：获利＝售价﹣进价）
甲
乙
进价（元/千克）
5
8
售价（元/千克）
10
15
（1）惠民水果店第一次购进的甲、乙两种苹果各多少千克？
（2）惠民水果店第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种苹果．其中甲苹果的重量不变，乙苹果的重量是第一次的3倍；甲苹果按原价销售，乙苹果打折销售．第二次甲、乙两种苹果都销售完以后获得的总利润为735元，求第二次乙苹果按原价打几折销售？
（3）惠民水果店发现乙苹果特别好卖，准备再购买一定量乙苹果．并发现相同品质的乙苹果，驷马桥水果批发市场的价格比龙泉水果批发市场的价格便宜，就决定去驷马桥水果批发市场购买，乙苹果价格如下表：
购买苹果（千克）
不超过20千克
20千克以上但不超过40千克
40千克以上
每千克的价格
6元
5元
4元
惠民水果店分两次从驷马桥水果批发市场共购买乙苹果80千克，第二次购买的数量多于第一次购买的数量，且两次购买每千克苹果的单价不相同，共付出352元，请问惠民水果店第一次，第二次分别从驷马桥水果批发市场购买乙苹果多少千克？
7．（2019?沙坪坝区校级期末）如图，某校初一（2）班组织学生从A地到B地步行野营，匀速前进，该班师生共56人，每8人排成一排，相邻两排之间间隔1米，途中经过一座桥CD，队伍从开始上桥到刚好完全离开桥共用了150秒，当队尾刚好走到桥的一端D处时，排在队尾的游班长发现小蒋还在桥的另一端C处拍照，于是以队伍1.5倍的速度返回去找小萍，同时队伍仍按原速度继续前行，30秒后，小蒋发现游班长返回来找他，便立刻以2.1米/秒的速度向游班长方向行进，小蒋行进40秒后与游班长相遇，相遇后两人以队伍2倍的速度前行追赶队伍．
（1）初一（2）班的队伍长度为
米；
（2）求班级队伍行进的速度（列一元一次方程解决问题）；
（3）请问：游班长从D处返回赵小萍开始到他们两人追上队首的刘老师一共用了多少时间？
8．（2019?福田区期末）如图，AB＝12cm，点C在线段AB上，AB＝3BC，动点P从点A出发，以4cm/s的速度向右运动，到达点B之后立即返回，以4cm/s的速度向左运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度向右运动，到达点B之后立即返回，以1cm/s的速度向左运动．设它们同时出发，运动时间为t秒，当第二次重合时，P、Q两点停止运动．
（1）AC＝
cm，BC＝
cm；
（2）当t＝
秒时，点P与点Q第一次重合；当t＝
秒时，点P与点Q第二次重合；
（3）当t为何值时，AP＝PQ？
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
