中小学教育资源及组卷应用平台
专题06
一元一次方程：1解一元一次方程（B卷能力突破）
B卷培优经典例题
例1：1．（2019?昌江区校级期末）已知方程|x|＝ax+1有一个负根而且没有正根，那么a的取值范围是（ ）
A．a＞﹣1
B．a＝1
C．a≥1
D．非上述答案
【思路点拨】令y＝|x|和y＝ax+1．作出图象即可判断出结论．
【解答】解：如图，
令y＝|x|和y＝ax+1，
而函数y＝ax+1必过点（0，1），
∵方程|x|＝ax+1有一个负根而且没有正根，
∴直线y＝ax+1与函数y＝|x|在第二象限只有交点，
∴a≥1，
故选：C．
【点睛】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，难度适中，关键是根据已知条件列出关于a的不等式．
例2：（2019?方城县期末）已知（m﹣3）x|m|﹣2+6＝0是关于x的一元一次方程．
（1）求m的值；
（2）若|y﹣m|＝3，求出y的值；
（3）若数a满足|a|≤|m|，试化简：|a+m|+|a﹣m|．
【思路点拨】（1）根据一元一次方程的意义和未知数系数不等于0求解；
（2）根据绝对值意义转化为两个方程求解；
（3）确定a的范围，去绝对值合并．
【解答】解：（1），
∴m＝±3，
∵m﹣3≠0，
∴m≠3，
∴m＝﹣3；
（2）|y﹣m|＝3，
即|y+3|＝3，
∴y+3＝3或y+3＝﹣3，
∴y＝0或﹣6；
（3）|a|≤|m|，即|a|≤3，
∴﹣3≤a≤3，
∴a+m≤0，a﹣m≥0，
∴|a+m|+|a﹣m|
＝﹣a﹣m+a﹣m
＝﹣2m＝6．
【点睛】本题考查一元一次方程意义和绝对值意义．确定绝对值内代数式符号是解答关键．
例3：（2019?广丰区期末）有些含绝对值的方程，可以通过讨论去掉绝对值，转化成一元一次方程求解．例如：解方程
x+2|x|＝3
解：当x≥0时，方程可化为：x+2x＝3
解得x＝1，符合题意．
当x＜0时，方程可化为：x﹣2x＝3解得x＝﹣3，符合题意．
所以，原方程的解为：x＝1或x＝﹣3．
仿照上面解法，解方程：x+3|x﹣1|＝7．
【思路点拨】分类讨论：x＜1，x≥1，根据绝对值的意义，可化简绝对值，根据解方程，可得答案．
【解答】解：当x＜1时，方程可化为：3﹣2x＝7
解得x＝﹣2，符合题意．
当x≥1时，方程可化为：x+3x﹣3＝7，
解得x，符合题意．
所以，原方程的解为：x＝﹣2或x．
【点睛】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，分类讨论是解题关键，以防遗漏．
例4：（2019?温江区期末）方程和方程的解相同，求a的值．
【思路点拨】先依据解方程的步骤求出方程的解，将x的值代入方程，求出a的值即可．
【解答】解：解方程，
分母化为整数可得：，
去分母，得：2（17﹣20x）﹣6＝8+10x，
去括号，得：34﹣40x﹣6＝8+10x，
移项、合并同类项，得：﹣50x＝﹣20，
系数化为1，得：x，
根据题意，将x代入方程，得：，
，
，
，
a．
【点睛】本题主要考查解方程的能力，遵循去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等基本步骤是基础，观察方程特点简便计算是关键．
例5：（2019?东台市月考）已知关于x的方程2ax＝（a+1）x+6，则当整数a为何值时，方程的解为正整数？
【思路点拨】解关于x的方程2ax＝（a+1）x+6可得x，要使方程的解为正整数，即必须使为正整数，（a﹣1）应是6的正约数，分析可得：a＝2，3，4，7．
【解答】解：解关于x的方程2ax＝（a+1）x+6，
移项可得：ax﹣x＝6，
即（a﹣1）x＝6，
故其解为x，
要使方程的解为正整数，即必须使为正整数，
则（a﹣1）应是6的正约数，
则a﹣1＝1，2，3，6，
则a＝2，3，4，7．
故a＝2，3，4，7
【点睛】本题考查解一元一次方程的整数解问题，先解方程，把方程的解用未知数表示出来，分析其为整数的情况，可得出答案．
例6：（2019?泌阳县期中）先阅读下列解题过程，然后解答后面两个问题．
解方程：|x+3|＝2．
解：当x+3≥0时，原方程可化为x+3＝2，解得x＝﹣1；
当x+3＜0时，原方程可化为x+3＝﹣2，解得x＝﹣5．
所以原方程的解是x＝﹣1或x＝﹣5．
①解方程：|3x﹣2|﹣4＝0．
②当b为何值时，关于x的方程|x﹣2|＝b+1，（1）无解；（2）只有一个解；（3）有两个解．
【思路点拨】①首先要认真审题，解此题时要理解绝对值的意义，要会去绝对值，然后化为一元一次方程即可求得．
②根据绝对值的性质分类讨论进行解答．
【解答】解：①当3x﹣2≥0时，原方程可化为：3x﹣2＝4，
解得x＝2；
当3x﹣2＜0时，原方程可化为：3x﹣2＝﹣4，
解得x．
所以原方程的解是x＝2或x；
②∵|x﹣2|≥0，
∴当b+1＜0，即b＜﹣1时，方程无解；
当b+1＝0，即b＝﹣1时，方程只有一个解；
当b+1＞0，即b＞﹣1时，方程有两个解
【点睛】本题主要考查含绝对值符号的一元一次方程，解题的关键是根据绝对值的性质将绝对值符号去掉，从而化为一般的一元一次方程求解．
B卷培优能力专题训练
一．选择题（共10小题）
1．（2019?漳浦县期末）若x＝2是关于x的一元一次方程ax﹣b＝1的解，则1﹣4a+2b的值是（ ）
A．2
B．1
C．0
D．﹣1
【思路点拨】根据已知条件与两个方程的关系，可知2a﹣b＝1，即可求出2a﹣b的值，整体代入求值即可．
【解答】解：把x＝2代入ax﹣b＝1，得2a﹣b＝1．
所以1﹣4a+2b＝1﹣2（2a﹣b）＝1﹣2×1＝﹣1．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解的定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
2．若关于x的方程||x﹣3|﹣1|＝a有三个整数解，则a的值是（ ）
A．3
B．2
C．1
D．0
【思路点拨】根据绝对值的性质可得|x﹣3|﹣1＝±a，然后讨论x≥3及x＜3的情况下解的情况，再根据方程有三个整数解可得出a的值．
【解答】解：①若|x﹣3|﹣1＝a，
当x≥3时，x﹣3﹣1＝a，解得：x＝a+4，a≥1；
当x＜3时，3﹣x﹣1＝a，解得：x＝2﹣a；a＞﹣1；
②若|x﹣3|﹣1＝﹣a，
当x≥3时，x﹣3﹣1＝﹣a，解得：x＝﹣a+4，a≤1；
当x＜3时，3﹣x﹣1＝﹣a，解得：x＝a+2，a＜1；
又∵方程有三个整数解，
∴可得：a＝﹣1或1，根据绝对值的非负性可得：a≥0．
即a只能取1．
故选：C．
【点睛】本题考查含绝对值的一元一次方程，难度较大，掌握绝对值的性质及不等式的解集的求法是关键．
3．（2019?滨湖区校级期中）对方程7（3﹣x）﹣5（x﹣3）＝8去括号正确的是（ ）
A．21﹣x﹣5x+15＝8
B．21﹣7x﹣5x﹣15＝8
C．21﹣7x﹣5x+15＝8
D．21﹣x﹣5x﹣15＝8
【思路点拨】根据去括号的计算法则进行计算并作出正确的选择．
【解答】解：由原方程去括号，得
21﹣7x﹣5x+15＝8．
故选：C．
【点睛】本题考查解一元一次方程的解法；解一元一次方程常见的过程有去括号、移项、系数化为1等．
4．（2019?江岸区期末）解方程时，去分母、去括号后，正确结果是（ ）
A．4x+1﹣10x+1＝1
B．4x+2﹣10x﹣1＝1
C．4x+2﹣10x﹣1＝6
D．4x+2﹣10x+1＝6
【思路点拨】方程去分母，去括号得到结果，即可做出判断．
【解答】解：方程去分母得：2（2x+1）﹣（10x+1）＝6，
去括号得：4x+2﹣10x﹣1＝6，
故选：C．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，即可求出解．
5．解方程[（x+1）+4]＝3变形第一步较好的方法是（ ）
A．去分母
B．去括号
C．移项
D．合并同类项
【思路点拨】根据方程特点，可判断出变形的第一步，一般要考虑分母最小公约数的大小．
【解答】解：根据题意可得：先去分母比较简单，
因为去分母后，去括号、移项都会变得比较简单．
故选：A．
【点睛】先去分母，往往可以使数值得到简化，有利于提高计算速度和计算的准确性．但要注意灵活，有的题目不一定要先去分母．
6．（2019?平南县期末）已知|n+2|+（5m﹣3）2＝0，则关于x的方程10mx+4＝3x+n的解是x＝（ ）
A．2
B．﹣2
C．
D．
【思路点拨】利用非负数的性质求出m与n的值，代入方程计算即可求出解．
【解答】解：∵|n+2|+（5m﹣3）2＝0，
∴m，n＝﹣2，
代入方程得：6x+4＝3x﹣2，
移项合并得：3x＝﹣6，
解得：x＝﹣2，
故选：B．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7．（2019?绵阳）当a＝0时，方程ax+b＝0（其中x是未知数，b是已知数）（ ）
A．有且只有一个解
B．无解
C．有无限多个解
D．无解或有无限多个解
【思路点拨】分两种情况进行讨论（1）当a＝0，b＝0时；（2）当a＝0，而b≠0．
【解答】解：当a＝0，b＝0时，方程有无限多个解；
当a＝0，而b≠0时，方程无解．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解的情况，要分情况讨论在判断．
8．（2019?通江县校级期末）若关于x的方程kx﹣2x＝14的解是正整数，则k的整数值有（ ）个．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【思路点拨】先解方程kx﹣2x＝14，再根据解为正整数，即可求得k的值．
【解答】解：把方程kx﹣2x＝14，合并同类项得：（k﹣2）x＝14，
系数化1得：x，
∵解是正整数，
∴k的整数值为3、4，9，16．
故选：D．
【点睛】解一元一次方程的一般步骤是去分母，去括号，移项，合并同类项，移项时要变号，系数化1．根据方程kx﹣2x＝14的解是正整数，确定k的值．
9．满足方程|x﹣1|﹣2|x﹣2|+3|x﹣3|＝4的有理数x有多少个（ ）
A．1
B．2
C．3
D．无数
【思路点拨】根据绝对值的性质，要分四种情况：当x﹣1≥0，x﹣2≥0，x﹣3＜0时，当x﹣1≥0，x﹣2≥0，x﹣3＞0时，当x﹣1≥0，x﹣2＜0，x﹣3＜0时，当x﹣1≤0，x﹣2＜0，x﹣3＜0时进行讨论，化简绝对值，再解出方程即可求出答案．
【解答】解：当x﹣1≥0，x﹣2≥0，x﹣3＜0时，
x﹣1﹣2（x﹣2）+3（3﹣x）＝4，
x＝2，
当x﹣1≥0，x﹣2≥0，x﹣3＞0时，
x﹣1﹣2（x﹣2）+3（x﹣3）＝4，
x＝5，
当x﹣1≥0，x﹣2＜0，x﹣3＜0时，
x﹣1﹣2（2﹣x）+3（3﹣x）＝4
原方程有无数解，
当x﹣1≤0，x﹣2＜0，x﹣3＜0时，
1﹣x﹣2（2﹣x）+3（3﹣x）＝4，
x＝1，
∴满足方程|x﹣1|﹣2|x﹣2|+3|x﹣3|＝4的有理数x有无数个．
故选：D．
【点睛】本题考查含绝对值的一元一次方程，此题较难，解决此题的关键是能够根据x的取值范围进行分情况化简绝对值，然后根据等式是否成立进行判断．
10．（2019?汇川区期末）如果关于x的方程3x﹣5m＝3与方程2x+10＝2的解相同，那么m＝（ ）
A．﹣2
B．﹣3
C．3
D．1
【思路点拨】先求出方程2x+10＝2的解，再把方程的解代入方程3x﹣5m＝3中，求出m．
【解答】解：方程2x+10＝2的解为x＝﹣4，
∵方程3x﹣5m＝3与方程2x+10＝2的解相同，
∴方程3x﹣5m＝3的解为x＝﹣4
当x＝﹣4时，﹣12﹣5m＝3
解得m＝﹣3
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解法及方程的同解的含义．理解同解方程是解决本题的关键．
二．填空题（共10小题）
11．（2019?金堂县期末）已知x＝﹣1是关于x的方程2ax2+bx＝4的一个解，则9﹣4a+2b的值为 1
【思路点拨】根据一元二次方程的定义得到2a﹣b＝4，然后把9﹣4a+2b变形为9﹣2（2a﹣b），再利用整体代入的方法计算．
【解答】解：把x＝﹣1代入方程2ax2+bx＝4得2a﹣b＝4，
所以9﹣4a+2b＝9﹣2（2a﹣b）＝9﹣2×4＝1．
故答案为1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
12．（2019?郑州期末）如果x＝1是方程的解，那么关于y的方程m（y﹣3）﹣2＝m（2y﹣5）的解是 y＝0 ．
【思路点拨】先把x＝1代入关于x的方程求出m的值，再把m的值代入关于y的方程，然后根据一元一次方程的解法，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可得解．
【解答】解：∵x＝1是方程2（m﹣x）＝2x的解，
∴2（m﹣1）＝2×1，
解得m＝1，
∴关于y的方程为y﹣3﹣2＝2y﹣5，
移项得，y﹣2y＝﹣5+2+3，
合并同类项得，﹣y＝0，
系数化为1得，y＝0．
故答案为：y＝0．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解，比较简单，根据方程的解的定义求出m的值是解题的关键，注意移项要变号．
13．（2019?苏州期末）当x＝ 2 时，代数式5x+2的值比11﹣x的值大3．
【思路点拨】根据“代数式5x+2的值比11﹣x的值大3”，得到关于x的一元一次方程，依次去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可得到答案．
【解答】解：根据题意得：
（5x+2）﹣（11﹣x）＝3，
去括号得：5x+2﹣11+x＝3，
移项得：5x+x＝3+11﹣2，
合并同类项得：6x＝12，
系数化为1得：x＝2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，正确掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．
14．（2019?庆云县期末）如果方程（m﹣1）x|m|+2＝0是表示关于x的一元一次方程，那么m的取值是 ﹣1 ．
【思路点拨】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是ax+b＝0（a，b是常数且a≠0），高于一次的项系数是0．据此可得出关于m的方程，继而可求出m的值．
【解答】解：由一元一次方程的特点得，
解得m＝﹣1．
故填：﹣1．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．
15．（2019?峄城区期末）当x＝
时，代数式2x与代数式x﹣3的值相等．
【思路点拨】根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x的值．
【解答】解：根据题意得：2xx﹣3，
去分母得：4x﹣1＝x﹣6，
移项合并得：3x＝﹣5，
解得：x，
故答案为：
【点睛】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．
16．（2019?崇川区校级月考）若关于x的方程3x﹣7＝2x+a的解与方程4x+3a＝7a﹣8的解互为相反数，则a的值为 ．
【思路点拨】用含a的代数式表示出两个方程的解，根据两个方程的解互为相反数得关于a的方程，求解即可．
【解答】解：方程3x﹣7＝2x+a的解为：x＝7+a，
方程4x+3a＝7a﹣8的解为：x＝a﹣2．
因为两个方程的解互为相反数，
所以7+a+a﹣2＝0
解得a．
故答案为：．
【点睛】本题考查了相反数的定义、一元一次方程的解法．理解题意用含a的代数式表示出两个方程的解是解决本题的关键．
17．（2019?衡阳县月考）已知x＝2是关于x的方程2ax+b+5＝0的解，则8a+2b+2027＝ 2017 ．
【思路点拨】把x＝2代入方程，求出4a+b＝﹣5，变形后代入，即可求出答案．
【解答】解：∵x＝2是方程2ax+b+5＝0的解，
∴代入得：4a+b+5＝0，
∴4a+b＝﹣5，
∴8a+2b+2027＝2（4a+b）+2027＝2×（﹣5）+2027＝2017，
故答案为：2017．
【点睛】本题考查了求代数式的值和一元二次方程的解，能够整体代入是解此题的关键．
18．对有理数a、b，规定运算※的意义是：a※b＝a+2b，则方程3x※4＝2的解是 x＝﹣2 ．
【思路点拨】已知等式利用题中的新定义化简，求出解即可．
【解答】解：已知等式利用题中的新定义化简得：3x+8＝2，
移项合并得：3x＝﹣6，
解得：x＝﹣2，
故答案为：x＝﹣2．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．（2019?番禺区期末）已知关于x的方程4ax+5＝﹣3﹣a的解为，则3a+5的值为 ﹣3 ．
【思路点拨】根据方程解的定义，将方程的解代入方程可得关于字母系数a的一元一次方程，从而可求出a的值，然后将其代入求值式即可得到答案．
【解答】解：把x代入方程，得：4a+5＝﹣3﹣a，
解得：a．
∴3a+5＝3×（）+5＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点睛】已知条件中涉及到方程的解，把方程的解代入原方程，转化为关于字母系数的方程进行求解．可把它叫做“有解就代入”．
20．（2019?金牛区校级期中）关于x的方程ax﹣2（x﹣3）＝2x+3的解是整数，则整数a的值为 7，5，3，1 ．
【思路点拨】首先求得方程的解，用a表示出解，进一步利用解是整数求得整数a的数值即可．
【解答】解：ax﹣2（x﹣3）＝2x+3，
解得：x，
∵x是整数，∴整数a的值为7，5，3，1．
故答案为：7，5，3，1．
【点睛】此题考查的是一元一次方程的解，根据x的取值可以判断出a的取值，此题要注意的是x取整数时a的取值．
三．解答题（共10小题）
21．（2019?北海）规定：2!＝2×1；3!＝3×2×1；4!＝4×3×2×1，…，n!＝n×（n﹣1）×（n﹣2）×…×2×1，即称n!为n的阶乘．
（1）计算： 9900 ；
（2）当x＝7是一元二次方程的一个根，求k
的值．
【思路点拨】（1）由于n!＝n×（n﹣1）×（n﹣2）×…×2×1分别求出100!和98!，然后即可求解；
（2）首先利用（1）的规律求出8!，6!然后把x＝7当然方程计算即可求出k．
【解答】解：（1）依题意得9900；
（2）把x＝7
代入中，
得72+7k﹣56＝0，
∴7k＝7，
∴k＝1．
【点睛】此题主要考查了数字变化的规律，也利用了一元二次方程的解，解题时首先正确理解题意，然后根据题目隐含的规律计算即可求解．
22．（2019?富阳市校级月考）已知x＝2是方程x﹣m的根，求代数式（4m2+2m﹣8）﹣（m﹣1）的值．
【思路点拨】把x＝2代入已知方程可以求得m的值，然后将其代入整理后的所求代数式进行求值．
【解答】解：把x＝2代入方程，得2﹣m，
解得
m＝2，
所以
（4m2+2m﹣8）﹣（m﹣1）＝m2m﹣2m+1＝m2﹣1＝22﹣1＝3
即（4m2+2m﹣8）﹣（m﹣1）＝3．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．
23．（2019?盐城校级月考）已知关于x的方程x﹣1＝2（2x﹣1）与x的解互为倒数，求m的值．
【思路点拨】先求出两方程的解，再由倒数的定义即可得出结论．
【解答】解：解方程x﹣1＝2（2x﹣1）得，x，解方程x得，x，
∵方程x﹣1＝2（2x﹣1）与x的解互为倒数，
∴（）＝1，解得m．
【点睛】本题考查的是一元一次方程的解，熟知使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解是解答此题的关键．
24．（2019?景德镇期末）已知关于x的方程2（x+1）﹣m的解比方程5（x﹣1）﹣1＝4（x﹣1）+1的解大2．
（1）求第二个方程的解；
（2）求m的值．
【思路点拨】（1）首先去括号，移项、合并同类项可得x的值；
（2）根据（1）中x的值可得方程2（x+1）﹣m的解为x＝3+2＝5，然后把x的值代入可得关于m的方程，再解即可．
【解答】解：（1）5（x﹣1）﹣1＝4（x﹣1）+1，
5x﹣5﹣1＝4x﹣4+1，
5x﹣4x＝﹣4+1+1+5，
x＝3；
（2）由题意得：方程2（x+1）﹣m的解为x＝3+2＝5，
把x＝5代入方程2（x+1）﹣m得：
2（5+1）﹣m，
12﹣m，
m＝22．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的解，关键是掌握使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．
25．（2019?成都期末）已知x＝3是方程3[（1）]＝2的解，n满足关系式|2n+m|＝1，求m+n的值．
【思路点拨】把x＝3代入方程3[（1）]＝2，求出m的值，把m的值代入关系式|2n+m|＝1，求出n的值，进而求出m+n的值．
【解答】解：把x＝3代入方程3[（1）]＝2，
得：3（2）＝2，
解得：m．
把m代入|2n+m|＝1，
得：|2n|＝1
得：①2n1，②2n1．
解①得n，
解②得n．
∴（1）当m，n时，
m+n；
（2）当m，n时，m+n．
【点睛】考查了一元一次方程的解，本题求m、n的思路是根据某数是方程的解，则可把已知解代入方程的未知数中，使未知数转化为已知数，从而建立起未知系数的方程，通过未知系数的方程求出未知数系数，这种解题方法叫做待定系数法，是数学中的一个重要方法，以后在函数的学习中将大量用到这种方法．
26．（2019?海曙区期末）已知关于x的方程（m+3）x|m+4|+18＝0是一元一次方程，试求：
（1）m的值；
（2）2（3m+2）﹣3（4m﹣1）的值．
【思路点拨】（1）根据一元一次方程的定义求解即可；
（2）根据代数式求值，可得答案．
【解答】解：（1）由题意，得
|m+4|＝1且m+3≠0，
解得m＝﹣5．
（2）当m＝﹣5时，2（3m+2）﹣3（4m﹣1）＝2×（﹣15+2）﹣3（﹣20﹣1）＝﹣26+63＝37．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．
27．（2019?香坊区校级月考）解方程
（1）2x﹣3＝x+1
（2）3x﹣7（x﹣1）＝3﹣2（x+3）
（3）2x2
（4）．
【思路点拨】针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．
【解答】解：（1）移项得到：2x﹣x＝1+3，
x＝4．
（2）去括号得到：3x﹣7x+7＝3﹣2x﹣6，
移项得到：3x﹣7x+2x＝3﹣6﹣7
﹣2x＝﹣10，
x＝5．
（3）两边乘12得到，24x+3﹣15x＝4﹣16x+24，
移项得到：24x﹣15x+16x＝4+24﹣3
25x＝25，
x＝1．
（4）6x﹣3.5x，
15x＝5x﹣7，
10x＝﹣7
x＝﹣0.7．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．
28．如果a、b为定值，关于x的方程2，无论k为何值时，它的根总是2，求a、b的值．
【思路点拨】把x＝2和k的两个不同值代入方程，即可得到一个关于a、b的方程，从而求解．
【解答】解：把x＝2代入方程2得：2，
把k＝0代入方程得：2，解得a＝7，
把k＝1，a＝7代入方程得：2，解得b＝﹣8．
故a的值是7，b的值是﹣8．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的解，本题含有未知的系数．根据已知条件求未知系数的方法叫待定系数法，在以后的学习中，常用此法求函数解析式．
29．（2019?江东区期末）如果a，b为定值时，关于x的方程，无论k为何值时，它的根总是1，求a，b的值．
【思路点拨】先把方程化简，然后把x＝1代入化简后的方程，因为无论k为何值时，它的根总是1，就可求出a、b的值．
【解答】解：方程两边同时乘以6得：
4kx+2a＝12+x﹣bk，
（4k﹣1）x+2a+bk﹣12＝0①，
∵无论为k何值时，它的根总是1，
∴把x＝1代入①，
4k﹣1+2a+bk﹣12＝0，
则当k＝0，k＝1时，可得方程组：，
解得a，b＝﹣4，
当a，b＝﹣4时，无论为k何值时，它的根总是1．
∴a，b＝﹣4．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，理解方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．本题利用方程的解求未知数a、b．
30．（2019?靖江市校级期中）阅读理解：
在解形如3|x﹣2|＝|x﹣2|+4这一类含有绝对值的方程时，我们可以根据绝对值的意义分x＜2和x≥2两种情况讨论：
①当x＜2时，原方程可化为﹣3（x﹣2）＝﹣（x﹣2）+4，解得：x＝0，符合x＜2
②当x≥2时，原方程可化为3（x﹣2）＝（x﹣2）+4，解得：x＝4，符合x≥2
∴原方程的解为：x＝0，x＝4．
解题回顾：本题中2为x﹣2的零点，它把数轴上的点所对应的数分成了x＜2和x≥2两部分，所以分x＜2和两种x≥2情况讨论．
知识迁移：
（1）运用整体思想先求|x﹣3|的值，再去绝对值符号的方法解方程：|x﹣3|+8＝3|x﹣3|；
知识应用：
（2）运用分类讨论先去绝对值符号的方法解类似的方程：|x﹣3|﹣3|x+2|＝x﹣9．
（提示：本题中有两个零点，它们把数轴上的点所对应的数分成了几部分呢？）
【思路点拨】（1）分类讨论：x＜3，x≥3，根据差的绝对值是大数减小数，可化简绝对值，根据解方程，可得答案；
（2）分类讨论：x＜﹣2，﹣2≤x＜3，x≥3，根据差的绝对值是大数减小数，可化简绝对值，根据解方程，可得答案．
【解答】解：（1）①当x＜3时，原方程等价于3﹣x+8＝9﹣3x，解得x＝﹣1，符合x＜3，
②当x≥3时，原方程等价于x﹣3+8＝3x﹣9，解得x＝7，符合x≥3，
∴原方程的解为：x＝﹣1，x＝7；
（2）①当x＜﹣2时，原方程等价于3﹣x+3（x+2）＝x﹣9，解得x＝﹣18，符合x＜﹣2，
②当﹣2≤x＜3，时，原方程等价于价于3﹣x﹣3（x+2）＝x﹣9，解得x，符合﹣2≤x＜3，
③当x≥3时，原方程等价于x﹣3﹣3（x+2）＝x﹣9，解得x＝0，不符合x≥3，
∴原方程的解为：x＝﹣18，x．
【点睛】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，分类讨论是解题关键．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题06
一元一次方程：1解一元一次方程（B卷能力突破）
B卷培优经典例题
例1：1．（2019?昌江区校级期末）已知方程|x|＝ax+1有一个负根而且没有正根，那么a的取值范围是（ ）
A．a＞﹣1
B．a＝1
C．a≥1
D．非上述答案
【思路点拨】令y＝|x|和y＝ax+1．作出图象即可判断出结论．
例2：（2019?方城县期末）已知（m﹣3）x|m|﹣2+6＝0是关于x的一元一次方程．
（1）求m的值；
（2）若|y﹣m|＝3，求出y的值；
（3）若数a满足|a|≤|m|，试化简：|a+m|+|a﹣m|．
【思路点拨】（1）根据一元一次方程的意义和未知数系数不等于0求解；
（2）根据绝对值意义转化为两个方程求解；
（3）确定a的范围，去绝对值合并．
例3：（2019?广丰区期末）有些含绝对值的方程，可以通过讨论去掉绝对值，转化成一元一次方程求解．例如：解方程
x+2|x|＝3
解：当x≥0时，方程可化为：x+2x＝3
解得x＝1，符合题意．
当x＜0时，方程可化为：x﹣2x＝3解得x＝﹣3，符合题意．
所以，原方程的解为：x＝1或x＝﹣3．
仿照上面解法，解方程：x+3|x﹣1|＝7．
【思路点拨】分类讨论：x＜1，x≥1，根据绝对值的意义，可化简绝对值，根据解方程，可得答案．
例4：（2019?温江区期末）方程和方程的解相同，求a的值．
【思路点拨】先依据解方程的步骤求出方程的解，将x的值代入方程，求出a的值即可．
例5：（2019?东台市月考）已知关于x的方程2ax＝（a+1）x+6，则当整数a为何值时，方程的解为正整数？
【思路点拨】解关于x的方程2ax＝（a+1）x+6可得x，要使方程的解为正整数，即必须使为正整数，（a﹣1）应是6的正约数，分析可得：a＝2，3，4，7．
例6：（2019?泌阳县期中）先阅读下列解题过程，然后解答后面两个问题．
解方程：|x+3|＝2．
解：当x+3≥0时，原方程可化为x+3＝2，解得x＝﹣1；
当x+3＜0时，原方程可化为x+3＝﹣2，解得x＝﹣5．
所以原方程的解是x＝﹣1或x＝﹣5．
①解方程：|3x﹣2|﹣4＝0．
②当b为何值时，关于x的方程|x﹣2|＝b+1，（1）无解；（2）只有一个解；（3）有两个解．
【思路点拨】①首先要认真审题，解此题时要理解绝对值的意义，要会去绝对值，然后化为一元一次方程即可求得．
②根据绝对值的性质分类讨论进行解答．
B卷培优能力专题训练
一．选择题（共10小题）
1．（2019?漳浦县期末）若x＝2是关于x的一元一次方程ax﹣b＝1的解，则1﹣4a+2b的值是（ ）
A．2
B．1
C．0
D．﹣1
2．若关于x的方程||x﹣3|﹣1|＝a有三个整数解，则a的值是（ ）
A．3
B．2
C．1
D．0
3．（2019?滨湖区校级期中）对方程7（3﹣x）﹣5（x﹣3）＝8去括号正确的是（ ）
A．21﹣x﹣5x+15＝8
B．21﹣7x﹣5x﹣15＝8
C．21﹣7x﹣5x+15＝8
D．21﹣x﹣5x﹣15＝8
4．（2019?江岸区期末）解方程时，去分母、去括号后，正确结果是（ ）
A．4x+1﹣10x+1＝1
B．4x+2﹣10x﹣1＝1
C．4x+2﹣10x﹣1＝6
D．4x+2﹣10x+1＝6
5．解方程[（x+1）+4]＝3变形第一步较好的方法是（ ）
A．去分母
B．去括号
C．移项
D．合并同类项
6．（2019?平南县期末）已知|n+2|+（5m﹣3）2＝0，则关于x的方程10mx+4＝3x+n的解是x＝（ ）
A．2
B．﹣2
C．
D．
7．（2019?绵阳）当a＝0时，方程ax+b＝0（其中x是未知数，b是已知数）（ ）
A．有且只有一个解
B．无解
C．有无限多个解
D．无解或有无限多个解
8．（20119?通江县校级期末）若关于x的方程kx﹣2x＝14的解是正整数，则k的整数值有（ ）个．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
9．满足方程|x﹣1|﹣2|x﹣2|+3|x﹣3|＝4的有理数x有多少个（ ）
A．1
B．2
C．3
D．无数
10．（2019?汇川区期末）如果关于x的方程3x﹣5m＝3与方程2x+10＝2的解相同，那么m＝（ ）
A．﹣2
B．﹣3
C．3
D．1
二．填空题（共10小题）
11．（2019?金堂县期末）已知x＝﹣1是关于x的方程2ax2+bx＝4的一个解，则9﹣4a+2b的值为
12．（2019?郑州期末）如果x＝1是方程的解，那么关于y的方程m（y﹣3）﹣2＝m（2y﹣5）的解是
．
13．（2019?苏州期末）当x＝
时，代数式5x+2的值比11﹣x的值大3．
14．（2019?庆云县期末）如果方程（m﹣1）x|m|+2＝0是表示关于x的一元一次方程，那么m的取值是
．
15．（2019?峄城区期末）当x＝
时，代数式2x与代数式x﹣3的值相等．
16．（2019?崇川区校级月考）若关于x的方程3x﹣7＝2x+a的解与方程4x+3a＝7a﹣8的解互为相反数，则a的值为
．
17．（2019?衡阳县月考）已知x＝2是关于x的方程2ax+b+5＝0的解，则8a+2b+2027＝
．
18．对有理数a、b，规定运算※的意义是：a※b＝a+2b，则方程3x※4＝2的解是
．
19．（2019?番禺区期末）已知关于x的方程4ax+5＝﹣3﹣a的解为，则3a+5的值为
．
20．（2019?金牛区校级期中）关于x的方程ax﹣2（x﹣3）＝2x+3的解是整数，则整数a的值为
．
三．解答题（共10小题）
21．（2019?北海）规定：2!＝2×1；3!＝3×2×1；4!＝4×3×2×1，…，n!＝n×（n﹣1）×（n﹣2）×…×2×1，即称n!为n的阶乘．
（1）计算：
；
（2）当x＝7是一元二次方程的一个根，求k
的值．
（2019?富阳市校级月考）已知x＝2是方程x﹣m的根，求代数式（4m2+2m﹣8）﹣（m﹣1）的值．
23．（2019?盐城校级月考）已知关于x的方程x﹣1＝2（2x﹣1）与x的解互为倒数，求m的值．
24．（2019?景德镇期末）已知关于x的方程2（x+1）﹣m的解比方程5（x﹣1）﹣1＝4（x﹣1）+1的解大2．
（1）求第二个方程的解；
（2）求m的值．
25．（2019?成都期末）已知x＝3是方程3[（1）]＝2的解，n满足关系式|2n+m|＝1，求m+n的值．
26．（2019?海曙区期末）已知关于x的方程（m+3）x|m+4|+18＝0是一元一次方程，试求：
（1）m的值；
（2）2（3m+2）﹣3（4m﹣1）的值．
27．（2019?香坊区校级月考）解方程
（1）2x﹣3＝x+1
（2）3x﹣7（x﹣1）＝3﹣2（x+3）
（3）2x2
（4）．
28．如果a、b为定值，关于x的方程2，无论k为何值时，它的根总是2，求a、b的值．
29．（2019?江东区期末）如果a，b为定值时，关于x的方程，无论k为何值时，它的根总是1，求a，b的值．
30．（2019?靖江市校级期中）阅读理解：
在解形如3|x﹣2|＝|x﹣2|+4这一类含有绝对值的方程时，我们可以根据绝对值的意义分x＜2和x≥2两种情况讨论：
①当x＜2时，原方程可化为﹣3（x﹣2）＝﹣（x﹣2）+4，解得：x＝0，符合x＜2
②当x≥2时，原方程可化为3（x﹣2）＝（x﹣2）+4，解得：x＝4，符合x≥2
∴原方程的解为：x＝0，x＝4．
解题回顾：本题中2为x﹣2的零点，它把数轴上的点所对应的数分成了x＜2和x≥2两部分，所以分x＜2和两种x≥2情况讨论．
知识迁移：
（1）运用整体思想先求|x﹣3|的值，再去绝对值符号的方法解方程：|x﹣3|+8＝3|x﹣3|；
知识应用：
（2）运用分类讨论先去绝对值符号的方法解类似的方程：|x﹣3|﹣3|x+2|＝x﹣9．
（提示：本题中有两个零点，它们把数轴上的点所对应的数分成了几部分呢？）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
