2020秋沪科版九年级数学上册第21章二次函数与反比例函数单元培优测试卷（Word版 含解析）

2020秋沪科版九年级数学上册第21章二次函数与反比例函数单元培优测试卷
一、选择题（共10题；共40分）
1.反比例函数
经过点
，则下列说法错误的是（???
）
A.????
B.?函数图象分布在第一、三象限
C.?当
时，
随
的增大而增大???D.?当
时，
随
的增大而减小
2.在同一平面直角坐标系中，先将抛物线A：y＝x2﹣2通过左右平移得到抛物线B，再将抛物线B通过上下平移得到抛物线C：y＝x2﹣2x+2，则抛物线B的顶点坐标为（??
）
A.?（﹣1，2）??B.?（1，2）????C.?（1，﹣2）????D.?（﹣1，﹣2）
3.二次函数y＝ax2＋bx＋c
图象如图所示，反比例函数y＝
与一次函数y＝bx＋c在同一坐标系中大致图象是（??
）
A.??B.??C.?D.?
4.如图，点A是反比例函数
图象上的一点，过点A作
轴，垂足为点C
，
D为AC的中点，若
的面积为1，则k的值为（???
）
A.?????B.??????C.?3?????D.?4
5.如图，函数
与函数
的图象相交于点
.若
，则x的取值范围是（??
）
A.?
或
?????B.?
或
C.?
或
???D.?
或
6.如图，抛物线
交x轴于点A，B，交
轴于点C．若点A坐标为
，对称轴为直线
，则下列结论错误的是（???
）
A.二次函数的最大值为
?B.??C.?D.
7.某商人将单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，已知这种商品每提高2元，其销量就要减少10件，为了使每天所赚利润最多，该商人应将销售价（为偶数）提高（??
）
A.?8元或10元???B.?12元???C.?8元????D.?10元
8.已知二次函数
，当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，则关于x的一元二次方程
的两根之积为（???
）
A.?0???B.?????C.??????D.?
9.如图，点A在反比例函数
的图象上，过点A作
轴，垂足为B，交反比例函数
的图象于点C．P为y轴上一点，连接
，
．则
的面积为（???
）
A.?5?????B.?6?????C.?11???????D.?12
10.关于二次函数
的三个结论：①对任意实数m，都有
与
对应的函数值相等；②若3≤x≤4，对应的y的整数值有4个，则
或
；③若抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，则
或
．其中正确的结论是（??
）
A.?①②???????B.?①③????????C.?②③??????D.?①②③
二、填空题（共4题；共20分）
11.如图，点A是反比例函数
图象上的一点，
垂直于x轴，垂足为B．
的面积为6．若点
也在此函数的图象上，则
________．
12.在平面直角坐标系中，点A（﹣2，1），B（3，2），C（﹣6，m）分别在三个不同的象限.若反比例函数y＝
（k≠0）的图象经过其中两点，则m的值为________.
13.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x=1，且经过点P（3，0），则a﹣b+c的值为________．
14.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：
①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③,3a+c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大.⑤
（m为任意实数）其中正确的结论有________.（填序号）
三、解答题（共2题；共16分）
15.已知抛物线
的对称轴为
，
是抛物线上一点，求该抛物线的解析式．
16.如图，直线AB与x轴交于点A(1，0)，与y轴交于点B(0，2)，将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC，反比例函数y=
?(k≠0，x>0)的图象经过点C.
（1）求直线AB和反比例函数y=
?(k≠0，x>0)的解析式；
（2）己知点P是反比例函数y=
(k≠0，x>0)图象上的一个动点，求点P到直线AB距离最短时的坐标.
四，解答题（共2题，共16分）
17.如图，四边形
?为矩形，以点
?为原点建立直角坐标系，点
?在
?轴的负半轴上，点
?在
?轴的正半轴上，已知点
坐标为(
2，4)，反比例函数
图象经过
BC
的中点
，且与
AB
交于点
．
（1）求
?的值；
（2）设直线
?为
，求
的解析式；
（3）直接写出：
>
时，x的取值范围________.
18.已知一次函数
与反比例函数
的图象交于
、
两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求
的面积；
（3）点P在x轴上，当
为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．
五、解答题（共2题，共20分）
19.如图1，抛物线
与
轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点B坐标为
，点C坐标为
．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P为直线
上方抛物线上的一个动点，当
的面积最大时，求点P的坐标；
（3）如图2，点M为该抛物线的顶点，直线
轴于点D，在直线
上是否存在点N，使点N到直线
的距离等于点N到点A的距离？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．
20.如图，二次函数
的图象过
、
、
三点
（1）求二次函数的解析式；
（2）若线段OB的垂直平分线与y轴交于点C，与二次函数的图象在x轴上方的部分相交于点D，求直线CD的解析式；
（3）在直线CD下方的二次函数的图象上有一动点P，过点P作
轴，交直线CD于Q，当线段PQ的长最大时，求点P的坐标．
六、解答题（共12分）
21.如图，在平面直角坐标系
中，反比例函数
的图像经过点
，点B在y轴的负半轴上，
交x轴于点C，C为线段
的中点.
（1）
________，点
的坐标为________；
（2）若点D为线段
上的一个动点，过点D作
轴，交反比例函数图像于点E，求
面积的最大值.
七、解答题（共12分）
22.已知二次函数
的图象与x轴交于
两点，与y轴交于点
，
（1）求二次函数的表达式及A点坐标；
（2）D是二次函数图象上位于第三象限内的点，求点D到直线
的距离取得最大值时点D的坐标；
（3）M是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N．使以
为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点N的坐标（不写求解过程）．
八、解答题（共14分）
23.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c与直线AB相交于A，B两点，其中A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）.
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB，求△PAB面积的最大值；
（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，点D为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E，使以点B，C，D，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由.
答案
一、选择题
1.将点（2,1）代入
中，解得：k=2，A．k=2，不符合题意；
B．k=2﹥0,反比例函数图象分布在第一、三象限，不符合题意；
C．k=2﹥0且x﹥0，函数图象位于第一象限，且y随x的增大而减小，符合题意；
D．k=2﹥0且x﹥0，函数图象位于第一象限，且y随x的增大而减小，不符合题意；
故答案为：C．
2.解：抛物线A：y＝x2﹣2的顶点坐标是（0，﹣2），抛物线C：y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1的顶点坐标是（1，1）.
则将抛物线A向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线C.
所以抛物线B是将抛物线A向右平移1个单位得到的，其解析式为y＝（x﹣1）2﹣2，
所以其顶点坐标是（1，﹣2）.
故答案为：C.
3.解：由题意，得：a＞0，b＜0，c＞0，
∴y＝
的图象在第一、三象限，y＝bx＋c的图象经过第一、二、四象限，
观察各选项可知：只有C选项符合题意.
故答案为：C.
4.点A的坐标为（m，2n），
∴
，
∵D为AC的中点，
∴D（m，n），
∵AC⊥
轴，△ADO的面积为1，
∴
，
∴
，
∴
，
故答案为：D．
5.解：如图所示，直线图象在反比例函数图象之上的x的取值范围为
或
，
故答案为：
或
.
故答案为：D
6.解：抛物线y＝ax2＋bx＋c过点A（?4，0），对称轴为直线x＝?1，
因此有：x＝?1＝?
，即2a?b＝0，因此选项D不符合题意；
当x＝?1时，y＝a?b＋c的值最大，选项A符合题意；
由抛物线的对称性可知，抛物线与x轴的另一个交点为（2，0），
当x＝1时，y＝a＋b＋c＞0，因此选项B符合题意；
抛物线与x轴有两个不同交点，因此b2?4ac＞0，C符合题意；
故答案为：D．
7.解：（1）依题意，得y=（x﹣8）?（100﹣10×
）=﹣x2+190x﹣1200
=﹣5（x﹣19）2+605，﹣5＜0，
∴抛物线开口向下，函数有最大值，
即当x=19时，y的最大值为605，
∵售价为偶数，
∴x为18或20，
当x=18时，y=600，
当x=20时，y=600，
∴x为18或20时y的值相同，
∴商品提高了18﹣10=8（元）或20﹣10=10（元）
故答案为：A．
8.解：∵二次函数
，
当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，
可知二次函数图像的对称轴为直线x=0，即y轴，
则
，
解得：a=-2，
则关于x的一元二次方程
为
，
则两根之积为
，
故答案为：D.
9.解：连接OA和OC，
∵点P在y轴上，则△AOC和△APC面积相等，
∵A在
上，C在
上，AB⊥x轴，
∴S△AOC=S△OAB-S△OBC=6，
∴△APC的面积为6，
故答案为：B.
10.解：∵抛物线的对称轴为
，
∴x1=2+m与x2=2-m关于直线x=2对称，
∴对任意实数m，都有x1=2+m与x2=2-m对应的函数值相等；
故①符合题意；
当x=3时，y=-3a-5，当x=4时，y=-5，
若a＞0时，当3≤x≤4时，-3a-5＜y≤-5，
∵当3≤x≤4时，对应的y的整数值有4个，
∴
，
若a＜0时，当3≤x≤4时，-5≤y＜-3a-5，
∵当3≤x≤4时，对应的y的整数值有4个，
∴
，
故②符合题意；
若a＞0，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，
∴△＞0，25a-20a-5≥0，
∴
，
∴
；
若a＜0，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，
∴△＞0，25a-20a-5≤0，
∴
∴a＜
，
综上所述：当a＜
或a≥1时，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6．
故③符合题意；
故答案为：D．
二、填空题
11.解：
的面积为6．
?
＞
，
?
?
把
代入
?
?
经检验：
符合题意．
故答案为：
12.解：
点
，
，
分别在三个不同的象限，点
在第二象限，
点
一定在第三象限，
在第一象限，反比例函数
的图象经过其中两点，
反比例函数
的图象经过
，
，
，
，
故答案为：-1.
13.
0
由题意可知，抛物线的对称轴为x=1，且经过点P（3，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点是（-1，0），
代入抛物线解析式y=ax2+bx+c中，得a-b+c=0．
故答案为：0．
14.
①③⑤
解：∵抛物线的对称轴为直线x=
=2，
∴b=?4a，即4a+b=0，所以①正确；
∵x=?3时，y<0，
∴9a?3b+c<0，即9a+c<3b，所以②错误；
∵抛物线与x轴的一个交点为(?1,0)，
∴x=?1时，a?b+c=0，
∴a+4a+c=0，
∴3a+c=-2a，
∵a＜0，
∴3a+c=-2a＞0，所以③正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=2，开口向下，
∴当-1＜x<2时，函数值随x增大而增大，所以④错误；
∵b=?4a，
∴
=
，
∴
，∴⑤正确.
故答案为：①③⑤.
解答题
15.解：因为
的对称轴为
，
所以
．解得
．
又因为
是抛物线上一点，
所以
．
解得
．
所以抛物线的解析式为
．
16.
（1）解：将点A(1，0)，点B(0，2)，代入y=mx+b，
?
∴b=2，m=-2，
?
∴y=-2x+2；
?
∵过点C作CD⊥x轴，
∵线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC，
∴△ABO≌△CAD(AAS)，
∴AD=AB=2，CD=OA=1，
∴C(3，1)，
∴k=3，
∴y=
；
（2）解：设与AB平行的直线y=-2x+h，
联立-2x+b=
，
∴-2x2+bx-3=0，
当△=b2-24=0时，b=±2
，此时点P到直线AB距离最短；
∴P(
，
)
17.
（1）解：∵四边形
?为矩形
点
?坐标为(
2，4)
为
BC
的中点
∴点E坐标(－2，2)
∴
即
?
（2）（2）由题意得，点D坐标为(－1，4)，
点E坐标(－2，2)
设
因为
，
，
设直线
?的解析式为
?，
所以
?
解得
?
所以
（3）
解：（3）反比例函数与直线y=2x+6相交于点D(－1，4)
，
E(－2，2)
，
根据图象可知：当-2＜x＜-1时，直线y=2x+6的图象在反比例函数的上边，
∴当-2＜x＜-1时，y2＞y1.
18.
（1）解：将
代入
中，得
，
反比例函数的表达式为
在
的图象上，
，即
将
、
坐标代入
得
，解得：
．
一次函数表达式为：
（2）解：设直线
与
轴交于点C，则点
为
，
．
（3）解：
，
设P（x，0）．
当AO=OP=
时，点
在
轴上，
点
为
或
当AO=AP=
时，
?，
x=-6或0（舍去）
点
为
，
当OP=AP时，
，
；
点
为
综上所述，符合条件的点P的坐标是
，
，
，
．
19.
（1）解：由题意得：
，
解得
，
抛物线的解析式为
（2）解：设点P的坐标为
，过点
作
轴于点H，交
于点G，
点
，
，
直线
的解析式为：
，
点G为
，
．
，
当
时，
最大，此时点
坐标为
．
（3）解：存在点N满足要求．
，
顶点M为
，
直线
的表达式为：
．设直线
与x轴交于点E，则点E为
，
，
．
设满足要求的点N坐标为
，则
．
过点N作
于点G，则
，
，
，而
，
，
整理得
，
解得
．
存在点N满足要求，点N坐标为
或
．
20.
（1）解：把
、
、
代入
得
解得
∴二次函数的解析式为
；
（2）解：如图，∵
，
∴其中点E的坐标为
设直线OB的解析式为y=kx
把
代入得
解得k=
∴直线OB的解析式为y=
x，
∵直线CD垂直平分OB，
∴可设直线CD的解析式为y=-
x+m,
把E
代入得
解得m=
∴直线CD的解析式为y=-
x+
；
（3）解：联立
得到
解得x1=-
,x2=1，
设P的横坐标为t，则P（t,
），
∵过点P作
轴，交直线CD于Q，
∴Q（t，-
t+
）
∴PQ=（-
t+
）-（
）=-
故当t=-
时PQ有最大值
此时P的坐标为（-
，
）．
21.
（1）6；(2,0)
（2）解：设直线
对应的函数表达式为
.
将
，
代入得
，解得
.
所以直线
对应的函数表达式为
.
因为点
在线段
上，可设
，
因为
轴，交反比例函数图像于点E.所以
.
所以
.
所以当a=1时，
面积的最大值为
.
解：把点
代入反比例函数
，得：
，
解得：m=6，
∵A点横坐标为：4，B点横坐标为0，故C点横坐标为：
，
故答案为：6，
；
22.
（1）解：∵二次函数
图像与
轴的交点为B（1，0），与
轴交于点
，
∴将C代入，得：c=-3，则
，
∴方程
对应的两根之积为-3，
又B（1，0），
可得A（-3，0），将A，B两点代入二次函数，得：
，
解得：
，
∴二次函数表达式为：
；
（2）解：当点D到直线
的距离取得最大值时，
∵A（-3，0），
，
设直线AC的表达式为：y=kx+n，，将A和C代入，
，解得：
，
∴直线AC的表达式为y=-x-3，将直线AC向下平移m（m＞0）个单位，得到直线l，
当直线l与二次函数图像只有一个交点时，该交点为点D，此时点D到直线AC的距离最大，
此时直线l的表达式为y=-x-3-m，
联立：
，得：
，
令△=
，解得：m=
，
则解方程：
，得x=
，
∴点D的坐标为（
，
）
（3）解：∵M在抛物线对称轴上，设M坐标为（-1，t），
当OB为平行四边形的边时，
如图1，可知MN和OB平行且相等，
∴点N（-2，t）或（0，t），代入抛物线表达式得：
解得：t=-3，
∴N（-2，-3）或（0，-3）；
当OB为平行四边形对角线时，
线段OB的中点为（
，0），对角线MN的中点也为（
，0），
∵M坐标为（-1，t），
可得点N（2，-t），代入抛物线表达式得：
4+4-3=-t，
解得：t=-5，
∴点N的坐标为（2，-5），
综上：以
为顶点的四边形是平行四边形时，点N的坐标为（-2，-3）或（0，-3）或（2，-5）.
23.
（1）解：将点A、B的坐标代入抛物线表达式得
，解得
，
故抛物线的表达式为：y＝x2+4x﹣1；
（2）解：设直线AB的表达式为：y＝kx+t，则
，解得
，
故直线AB的表达式为：y＝x﹣1，
过点P作y轴的平行线交AB于点H，
设点P（x，x2+4x﹣1），则H（x，x﹣1），
△PAB面积S＝
×PH×（xB﹣xA）＝
（x﹣1﹣x2﹣4x+1）×（0+3）＝﹣
x2﹣
x，
∵
＜0，故S有最大值，当x＝﹣
时，S的最大值为
；
（3）解：抛物线的表达式为：y＝x2+4x﹣1＝（x+2）2﹣5，
则平移后的抛物线表达式为：y＝x2﹣5，
联立上述两式并解得：
，故点C（﹣1，﹣4）；
设点D（﹣2，m）、点E（s，t），而点B、C的坐标分别为（0，﹣1）、（﹣1，﹣4）；
①当BC为菱形的边时，
点C向右平移1个单位向上平移3个单位得到B，同样D（E）向右平移1个单位向上平移3个单位得到E（D），
即﹣2+1＝s且m+3＝t①或﹣2﹣1＝s且m﹣3＝t②，
当点D在E的下方时，则BE＝BC，即s2+（t+1）2＝12+32③，
当点D在E的上方时，则BD＝BC，即22+（m+1）2＝12+32④，
联立①③并解得：s＝﹣1，t＝2或﹣4（舍去﹣4），故点E（﹣1，3）；
联立②④并解得：s＝1，t＝﹣4±
，故点E（1，﹣4
）或（1，﹣4﹣
）；
②当BC为菱形的的对角线时，
则由中点公式得：﹣1＝s﹣2且﹣4﹣1＝m+t⑤，
此时，BD＝BE，即22+（m+1）2＝s2+（t+1）2⑥，
联立⑤⑥并解得：s＝1，t＝﹣3，
故点E（1，﹣3），
综上，点E的坐标为：（﹣1，2）或（1，﹣4
）或（1，﹣4﹣
）或（1，﹣3）.