(共23张PPT)
名师导学
A.
公认的__________称为公理；经过__________的真命题称为定理，每个定理都只能用__________、__________和已经证明为真的命题来证明.
1.
下列说法错误的是
（ ）
A.
所有的命题都是定理
B.
定理是真命题
C.
公理是真命题
D.
“画线段AB=CD”不是命题
真命题
证明
公理
定义
A
B.
演绎推理的过程称为________.
2.
请写出已知、求证，并完成定理“三角形的任意两边之和大于第三边”的证明过程.
已知：如图7-2-1，___________.
求证：__________.
证明
三角形ABC
AB+AC>BC
证明：因为点A不在线段BC上，
由两点之间，线段最短，可知AB+AC>BC.
课堂讲练
典型例题
新知1：公理、定理、证明的概念
【例1】命题“三角形的内角和等于180°”是
（
）
A.
假命题
B.
定义
C.
定理
D.
基本事实
C
模拟演练
1.
下列语句，是定理的为__________，是公理的为__________，是定义的为__________.
（填序号）
①若a=b，b=c，则a=c；②对顶角相等；③全等三角形的对应边相等，对应角相等；④有一个角是直角的三角形叫做直角三角形；⑤两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.
②③⑤
①
④
【例2】下列关于“证明”的说法正确的是（ ）
A.
“证明”是一种命题
B.
“证明”是一种定理
C.
“证明”是一种推理过程
D.
“证明”就是举例说明
C
典型例题
模拟演练
2.
下列说法正确的是
（ ）
A.
经过证明为正确的真命题叫做公理
B.
假命题不是命题
C.
要证明一个命题是假命题，只要举一个反例，即举一个具备命题的条件，而不具备命题结论的命题即可
D.
要证明一个命题是真命题，只要举一个例子，说明它正确即可
C
新知2：证明过程
【例3】写出下面命题的已知、求证，并完成证明过程.
命题：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：“等角对等边”）.
已知：如图7-2-2，
__________________.
求证：__________.
在△ABC中，∠B=∠C
AB=AC
典型例题
证明：如答图7-2-2，过点A作AD⊥BC于点D，∴∠ADB=∠ADC=90°（垂直的定义）.
∵在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD（AAS）.
∴AB=AC（全等三角形对应边相等）.
3.
如图7-2-3，给出三个等量关系：①AD=BC；
②∠D=∠C；③∠DAB=∠CBA，请你以其中两个为条件，另一个为结论，写出所有真命题（写成“已知……求证……”的形式），并选择其中一个加以证明.
模拟演练
解：真命题有两个.
（1）已知：AD=BC，∠DAB=∠CBA.
求证：∠D=∠C.
（2）已知：∠D=∠C，∠DAB=∠CBA.
求证：AD=BC.
对（1）进行证明.
证明：在△ABD和△BAC中，
∴△ABD≌△BAC（SAS）.
∴∠D=∠C（全等三角形对应角相等）.
分层训练
【A组】
1.
下列叙述错误的是
（ ）
A.
所有的命题都有条件和结论
B.
所有的命题都是定理
C.
所有的定理都是命题
D.
所有的公理都是真命题
B
2.
下列说法正确的是
（ ）
A.
“对顶角相等”是定义
B.
“在直线AB上取一点C”是命题
C.
“整体大于部分”是公理
D.
“同位角相等”是定理
C
3.
下面关于公理和定理的联系说法不正确的是
（
）
A.
公理和定理都是真命题
B.
公理就是定理，定理也是公理
C.
公理和定理都可以作为推理论证的依据
D.
公理的正确性不需证明，定理的正确性需证明
B
4.
某工程队在修建兰定高速公路时，有时需将弯曲的道路改直，根据什么公理可以说明这样做能缩短路程？
（ ）
A.
直线的公理
B.
直线的公理或线段最短公理
C.
线段最短公理
D.
平行公理
C
【B组】
5.
已知任意三角形两边之和大于第三边，有一△ABC的三条边长a，b，c满足a2-ac+bc=b2，判断这个三角形的形状，并证明．
解：△ABC为等腰三角形．证明如下.
由已知，得a2-b2=ac-bc，
所以（a+b）（a-b）=c（a-b）.
所以（a-b）（a+b-c）=0.
因为a，b，c是△ABC的三边长，
所以a+b-c＞0.
所以a-b=0.
所以a=b.
所以△ABC为等腰三角形．
6.
如图7-2-4，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC，BD相交于点O，用所学公理、定理、定义证明：（1）△ABC≌△ADC；（2）OB=OD.
证明：（1）在△ABC和△ADC中，
∴△ABC≌△ADC（SSS）.
（2）由（1）知△ABC≌△ADC，
∴∠BCA=∠DCA（全等三角形对应角相等）.
在△BCO和△DCO中，
∴△BCO≌△DCO（SAS）.
∴OB=OD（全等三角形对应边相等）.
【C组】
7.
判断下列命题的真假，并加以说明或证明（写出已知、求证及证明过程）：
（1）x2-4xy+4y2+1＞1；
（2）有两条边对应相等，且相等的一条边上的中线也相等，这样的两个三角形全等.
解：（1）假命题，理由如下.
∵x2-4xy+4y2+1=（x-2y）2+1，
∴当x=2y，即x-2y=0时，x2-4xy+4y2+1=1.
故（1）是假命题.
（2）真命题，证明如下.
已知：如答图7-2-3，在△ABC和△DEF中，AB=DE，BC=EF，AN是BC上的中线，DM是EF上的中线，且AN=DM.
求证：△ABC≌△DEF.
证明：∵BC=EF，AN是BC上的中线，DM是EF上的中线，
∴BN=
BC,EM=
EF.
∴BN=EM.
在△ABN和△DEM中，
∴△ABN≌△DEM（SSS）.
∴∠B=∠E.
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SAS）.(共28张PPT)
名师导学
A.
对名词和术语的含义加以描述，作出明确的规定，即给出它们的__________；判断一件事情的句子，叫做__________.
1.
阅读下列句子并填空：①同角的补角相等；②有一个内角是钝角的三角形叫做钝角三角形；③如果∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90°，那么∠1=∠3，∠2=∠4；④0是偶数；⑤若a2=b2，则a=b.
其中定义是__________，命题是__________________.
（填序号）
定义
命题
②
①②③④⑤
B.
一般地，每个命题都由__________和__________两部分组成.
命题通常可以写成“如果……那么……”的形式，其中“如果”引出的部分是__________，“那么”引出的部分是__________.
2.
命题“等角的补角相等”写成“如果……那么……”的形式为________________________________________________________________.
条件
结论
条件
结论
如果两个角分别是两个相等角的补角，那么这两个角相等
C.
正确的命题称为__________，不正确的命题称为__________.
可以通过举__________来说明一个命题是假命题.
3.
阅读下列语句：①对顶角相等；②同位角相等；③画∠AOB的平分线OC；④这个角等于30°吗？在这些语句中，属于真命题的是__________（填序号）.
4.
对于命题“如果∠1+∠2=90°，那么∠1=∠2”，能说明它是假命题的反例是___________________
________________________.
真命题
假命题
反例
①
∠1=70°，∠2=20°
（合理即可）
课堂讲练
典型例题
新知1：定义与命题的概念
【例1】下列语句属于定义的是
（ ）
A.
直角都相等
B.
作已知角的平分线
C.
连接两点的线段的长度，叫做这两点间的距离
D.
两点之间，线段最短
C
模拟演练
1.
下列描述不属于定义的是
（ ）
A.
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B.
正三角形是特殊三角形
C.
三条线段首尾顺次连接得到的图形是三角形
D.
含有未知数的等式叫做方程
B
【例2】下列语句是命题的为
（ ）
A.
作直线AB的垂线
B.
同角的余角相等吗？
C.
延长线段AO到点C，使OC=OA
D.
两直线相交，只有一个交点
D
典型例题
模拟演练
2.
下列语句是命题的为
（ ）
①两点之间，线段最短；②画两条平行的直线；③过直线外一点作已知直线的垂线；④如果两个角的和是90°，那么这两个角互余.
A.
①②
B.
③④
C.
②③
D.
①④
D
新知2：命题的结构
【例3】下列各语句中，哪些是命题，哪些不是命题？是命题的，请先将它改写为“如果……那么……”的形式，再指出命题的条件和结论.
①同号两数的和一定不是负数；
②若x=2，则1-5x=0；
③延长线段AB至点C，使点B是AC的中点；
④互为倒数的两个数的积为1.
典型例题
解：①是命题，改写为如果两个数同号，那么这两个数的和一定不是负数.
条件是两个数同号，结论是这两个数的和一定不是负数.
②是命题，改写为如果x=2，那么1-5x=0.
条件是x=2，结论是1-5x=0.
③不是命题.④是命题，改写为如果两个数互为倒数，那么这两个数的积为1.条件是两个数互为倒数，结论是这两个数的积为1.
模拟演练
3.
指出下列命题的条件和结论.
（1）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行；
（2）如果∠1=∠2，∠2=∠3，那么∠1=∠3；
（3）锐角小于它的余角；
（4）三边分别相等的两个三角形全等.
解：（1）条件是两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，结论是这两条直线平行.
（2）条件是∠1=∠2，∠2=∠3，结论是∠1=∠3.
（3）条件是一个角是锐角，结论是这个角小于它的余角.
（4）条件是两个三角形的三条边分别相等，结论是这两个三角形全等.
新知3：真命题、假命题、反例的概念
【例4】下列命题：①有公共顶点和一条公共边的两个角一定是邻补角；②两平行线间垂线段最短；③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；④相等的角是对顶角；⑤等角的余角相等.其中假命题有
（ ）
A.
0个
B.
1个
C.
2个
D.
3个
C
典型例题
模拟演练
4.
下列命题是真命题的为
（ ）
A.
如果一个数的平方等于这个数本身，那么这个数一定是0
B.
如果一个数的平方根等于这个数本身，那么这个数一定是0
C.
如果一个数的算术平方根等于这个数本身，那么这个数一定是0
D.
如果一个数的立方根等于这个数本身，那么这个数一定是0
B
【例5】说明命题“两个锐角的和是锐角”是假命题，举的反例是__________________________
____________________________________.
若α=50°，β=60°，则
α+β＞90°（合理即可）
典型例题
模拟演练
5.
说明命题“x＞-4，则x2＞16”是假命题的一个反例可以是x=__________________________.
-3（合理即可）
分层训练
【A组】
1.
下列描述不属于定义的是
（ ）
A．单项式和多项式统称整式
B．有公共端点的两条射线组成的图形叫做角
C．两点之间的所有连线中，线段最短
D．由几个方程组成的一组方程叫做方程组
C
2.
下列语句是命题的有
（ ）
①两点之间线段最短；②不平行的两条直线有一个交点；③x与y的和等于0吗？④对顶角不相等；⑤互补的两个角不相等；⑥作线段AB.
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
D
3.
下列选项中a的值，可以作为命题“a2＞4，
则a＞2”是假命题的反例的是
（ ）
A.
a=3
B.
a=2
C.
a=-3
D.
a=-2
C
4.
下列命题是假命题的是
(
)
A.
锐角小于90°
B.
一个平角等于两个直角
C.
若aD.
若a2≠b2，则a≠b
C
【B组】
5.
下列举反例说明“一个角的余角大于这个角”是假命题，其中错误的是
(
)
A.
设这个角是45°，它的余角是45°，但45°=45°
B.
设这个角是30°，它的余角是60°，但30°<60°
C.
设这个角是60°，它的余角是30°，但30°<60°
D.
设这个角是50°，它的余角是40°，但40°<50°
B
6.
命题“互补的角是同旁内角”是真命题吗？如果是，说明理由；如果不是，请举出一个反例.
（要求：画出图形，并用相应的文字语言或符号语言说明理由或表述所举反例）
解：假命题.
反例：如答图7-2-1，
∠1与∠2是邻补角，
∠1与∠2互补，但是
它们不是同旁内角.
7.
写出下列命题的条件和结论：
（1）若a＞0，b＞0，则ab＞0；
（2）同角的补角相等.
解：（1）若a＞0，b＞0，则ab＞0的条件是a＞0，b＞0，结论是ab＞0.
（2）同角的补角相等的条件是两个角是同角的补角，结论是它们相等.
【C组】
8.
判断下列命题是真命题还是假命题.若是假命题，举出一个反例.
（1）如果点P到两定点A，B的距离之和等于A,B之间的距离，那么点P是AB的中点；
（2）若∠AOB=2∠AOC，则OC是∠AOB的平分线；
（3）如果一个数能被2整除，那么这个数也能被4整除.
解：（1）如果点P到两定点A，B的距离之和等于A，B之间的距离，那么点P是AB的中点是假命题.反例：如点P到两定点A，B的距离之和等于A，B之间的距离，点P在线段AB上，但不是AB的中点.
（2）若∠AOB=2∠AOC，则OC是∠AOB的平分线是假命题.反例：如OC在∠AOB的外面，∠AOB=2∠AOC，但OC不是∠AOB的平分线.
（3）如果一个数能被2整除，那么这个数也能被4整除是假命题.反例：如2能被2整除，但2不能被4整除.
9.
已知命题“若n是自然数，则代数式（3n+1）（3n+2）的值是3的倍数”.
（1）写出命题的条件和结论；
（2）判断这个命题是真命题还是假命题，并说明理由.
解：（1）命题的条件是n是自然数，结论是代数式（3n+1）（3n+2）的值是3的倍数.
（2）假命题.
理由如下.
因为（3n+1）（3n+2）
=9n2+6n+3n+2
=9n2+9n+3-1
=3（3n2+3n+1）-1，
又n为自然数，
所以3（3n2+3n+1）-1不是3的倍数.
所以这个命题是假命题.
