(共26张PPT)
名师导学
A.
三角形内角和定理的推论1：三角形的一个外角等于_______
__________________.
1.
如图7-5-14，已知∠ACD=130°，∠B=20°，则∠A的度数是
（ ）
A.
110°
B.
30°
C.
150°
D.
90°
和它不
相邻的两个内角的和
A
B.
三角形内角和定理的推论2：三角形的一个外角大于_______
___________________.
2.
如图7-5-15，D是线段AC上一点，连接BD，则∠A与∠1的大小关系是：∠A_________∠1.
（填“＞”“＜”或“＝”）
任何一
个和它不相邻的内角
<
课堂讲练
典型例题
新知1：三角形内角和定理的推论1
【例1】如图7-5-16，△ABC中，点D在BC延长线上，则下列结论一定成立的是
（ ）
A.
∠1=∠A+∠B
B.
∠1=∠2+∠A
C.
∠1=∠2+∠B
D.
∠2=∠A+∠B
A
模拟演练
1.
将一副直角三角板如图7-5-17放置，使两直角边重合，则∠α的度数为
（ ）
A.
75°
B.
105°
C.
135°
D.
165°
D
典型例题
新知2：三角形内角和定理的推论2
【例2】如图7-5-18，∠A，∠1，∠2的大小关系是
（
）
A.
∠A＞∠1＞∠2
B.
∠2＞∠1＞∠A
C.
∠A＞∠2＞∠1
D.
∠2＞∠A＞∠1
B
模拟演练
2.
如图7-5-19,点P是△ABC内一点，连接BP并延长交AC于点D，连接PC，则图中∠1，∠2，∠A的大小关系是
（ ）
A.
∠A＞∠2＞∠1
B.
∠A＞∠1＞∠2
C.
∠2＞∠1＞∠A
D.
∠1＞∠2＞∠A
D
典型例题
新知3：三角形内角和定理的推论的运用
【例3】如图7-5-20,在△ABC中，∠ADB=100°，∠C=80°，∠BAD=
∠DAC，
BE平分∠ABC，求∠BED的度数.
解：∵∠ADB=100°，∠C=80°，
∴∠DAC=∠ADB-∠C=100°-80°=20°.
∵∠BAD=
∠DAC，∴∠BAD=
×20°=10°.
在△ABD中，∠ABD=180°-∠ADB-∠BAD
=180°-100°-10°=70°.
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=
∠ABC
=
×70°=35°.
∴∠BED=∠BAD+∠ABE=10°+35°=45°.
模拟演练
3.
已知：如图7-5-21，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，F是AD上一点，FE的延长线交BC的延长线于点G.
求证：
（1）∠EGH＞∠ADE；
（2）∠EGH=∠ADE+∠A+∠AEF.
证明：（1）∵∠EGH是△FBG的外角，
∴∠EGH＞∠B.
又∵DE∥BC，
∴∠B=∠ADE.
∴∠EGH＞∠ADE.
（2）∵∠BFE是△AFE的外角，
∴∠BFE=∠A+∠AEF.
∵∠EGH是△BFG的外角，
∴∠EGH=∠B+∠BFE.
∴∠EGH=∠B+∠A+∠AEF.
又∵DE∥BC，∴∠B=∠ADE.
∴∠EGH=∠ADE+∠A+∠AEF.
分层训练
【A组】
1.
如图7-5-22，已知△ABC中，∠B=∠DAC，则∠BAC和∠ADC的关系是
（ ）
A.
∠BAC＜∠ADC
B.
∠BAC=∠ADC
C.
∠BAC＞∠ADC
D.
不能确定
B
2.
如图7-5-23，在△ABC中，∠A=78°，∠ACD是△ABC的一个外角，∠EBC=
∠ABC，
∠ECD=
∠ACD，则∠E的度数为
（ ）
A.
22°
B.
26°
C.
28°
D.
30°
B
3.
如图7-5-24，l1∥l2，则下列式子值为180°的是
（ ）
A.
α+β+γ
B.
α+β-γ
C.
β+γ-α
D.
α-β+γ
B
4.
如图7-5-25，下列结论：①∠A＞∠ACD；②∠AED＞∠B+∠D；③∠B+∠ACB＜180°；④∠HEC＞∠B.
其中正确的是__________（填序号）.
②③④
【B组】
5.
如图7-5-26，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的结果为
（
）
A.
90°
B.
180°
C.
360°
D.
无法确定
B
6.
如图7-5-27，直线a∥b，在△DCB中，AB与DC垂直，点A在线段BC上，直线b经过点C.
若∠1=73°-∠B，求∠2的度数.
解：∵∠1=73°-∠B，
∴∠1+∠B=73°.
由三角形的外角性质可得∠3=∠1+∠B，
∴∠3=73°.
∵AB与DC垂直,∴∠ACD=90°.
∵a∥b，∴∠3+∠2+∠ACD=180°.
∴∠2=180°-∠3-∠ACD=180°-73°-90°=17°.
7.
如图7-5-28，E为BA延长线上一点，F为CA延长线上一点，AD平分∠EAC.
（1）图中△ABC的外角有哪几个？
（2）若∠B=∠C，求证：AD∥BC.
（1）解：△ABC的外角有∠FAB，∠EAC.
（2）证明：∵AD平分∠EAC，
∴∠EAD=12∠EAC.
∵∠EAC是△ABC的外角，
∴∠EAC=∠B+∠C.
∴∠EAC=2∠B.
∴∠EAD=∠B.
∴AD∥BC.
【C组】
8.
如图7-5-29，AC平分∠DCE，且与BE的延长线交于点A.
（1）如果∠A=35°，∠B=30°，那么∠BEC=__________（填度数）；
（2）小明经过改变∠A，∠B的度数进行多次探究，得出∠A，∠B，∠BEC三个角之
间存在固定的数量关系，
请你用一个等式表示
出这个关系，并进行证明.
100°
解：（2）关系式为∠BEC=2∠A+∠B.
证明：∵AC平分∠DCE，
∴∠ACD=∠ACE.
∵∠BEC=∠A+∠ACE=∠A+∠ACD，
∠ACD=∠A+∠B，
∴∠BEC=∠A+∠A+∠B=2∠A+∠B.
9.
已知：如图7-5-30，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，F是AD上一点，FE的延长线交BC的延长线于点G.
求证：
（1）∠EGH＞∠ADE；
（2）∠EGH=∠ADE+∠A+∠AEF.
证明：（1）∵∠EGH是△FBG的外角，
∴∠EGH＞∠B.
又∵DE∥BC，∴∠B=∠ADE.
∴∠EGH＞∠ADE.
（2）∵∠BFE是△AFE的外角，
∴∠BFE=∠A+∠AEF.
∵∠EGH是△BFG的外角，
∴∠EGH=∠B+∠BFE.
∴∠EGH=∠B+∠A+∠AEF.
又∵DE∥BC，∴∠B=∠ADE.
∴∠EGH=∠ADE+∠A+∠AEF.(共24张PPT)
名师导学
A.
三角形内角和定理：三角形的内角和等于__________.
1.
在△ABC中，∠A=60°，∠B=40°，则∠C=__________.
180°
80°
课堂讲练
典型例题
新知1：三角形内角和定理
【例1】已知：如图7-5-1，在△ABC中，∠A=60°，∠C=70°，点D，E分别在AB和AC上，且DE∥BC，
则∠ADE的度数是
（
）
A.
40°
B.
50°
C.
60°
D.
70°
B
模拟演练
1.
如图7-5-2，三直线两两相交于点A，B，C，CA⊥CB，∠1=30°，则∠2的度数为
（ ）
A.
50°
B.
60°
C.
70°
D.
80°
B
新知2：三角形内角和定理的简单运用
【例2】在△ABC中，∠B=∠A-30°，∠C=∠A+30°，求∠A的度数，并判断△ABC的形状.
解：由已知，得∠B=∠A-30°，∠C=∠A+30°，又∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A+∠A-30°+∠A+30°＝180°.
∴∠A=60°.
∴∠B=30°，∠C=90°.
∴△ABC是直角三角形.
典型例题
模拟演练
2.
如图7-5-3，已知∠1=20°，∠2=25°，∠A=50°，求∠BDC的度数.
解：∵∠1=20°，∠2=25°，∠A=50°，
∴∠DBC+∠DCB
=180°-20°-25°-50°=85°.
在△BCD中，
∠BDC=180°-（∠DBC+∠DCB）
=180°-85°=95°.
新知3：三角形内角和定理的综合运用
【例3】如图7-5-4，BO，CO分别是△ABC中∠ABC，∠ACB的平分线，试用三角形内角和定理证明：∠BOC=90°+
∠A.
典型例题
证明：∵BO，CO分别是△ABC中∠ABC，∠ACB的平分线(已知)，
∴∠OBC=
∠ABC，
∠OCB=
∠ACB(角平分线的定义).
∵在△BOC中，∠OBC+∠OCB+∠BOC=180°(三角形内角和定理)，∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)
=180°-
(∠ABC+∠ACB).
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A(三角形内角和定理)，∴∠BOC=180°-
(∠ABC+∠ACB)
=90°+
∠A(等量代换).
模拟演练
3.
如图7-5-5，在△ABC中，∠CAE=20°，∠C=40°，∠CBD=30°.
（1）求∠AFB的度数；
（2）若∠BAF=2∠ABF，
求∠BAF的度数.
解：（1）∵∠C=40°，∠CAE=20°，
∴∠AEC=180°-∠C-∠CAE=120°.
∴∠AEB=180°-∠AEC=60°.
∵∠CBD=30°，
∴∠BFE=180°-∠CBD-∠AEB=90°.
∴∠AFB=180°-∠BFE=90°.
（2）∵∠BAF=2∠ABF，∠AFB=90°，
∴3∠ABF=90°.
∴∠ABF=30°.
∴∠BAF=60°.
分层训练
【A组】
1.
如图7-5-6，将一块直角三角板DEF放置在锐角三角形ABC上，使得该三角板的两条直角边DE，DF恰好分别经过点B，C.若∠A=50°，则∠ABD+∠ACD的值为
（ ）
A.
60°
B.
50°
C.
40°
D.
30°
C
2.如图7-5-7，AB∥CD，AD和BC相交于点O，∠A=25°，∠COD=80°，则∠C的度数是
（ ）
A.
65°
B.
75°
C.
85°
D.
105°
B
3.
如果三角形的两个内角的和是85°，那么这个三角形是
（ ）
A.
钝角三角形
B.
直角三角形
C.
锐角三角形
D.
不能确定
A
4.
如图7-5-8，△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，且∠B=40°，∠C=60°，则∠ADE的度数为（ ）
A.
80°
B.
30°
C.
40°
D.
50°
C
【B组】
5.
如图7-5-9所示是由线段AB，CD，DF，BF，CA组成的平面图形，∠D=28°，则∠A+∠B+∠C+∠F的度数为
（ ）
A.
62°
B.
152°
C.
208°
D.
236°
C
6.
如图7-5-10，已知AB∥CD，EF与AB，CD分别相交于点E，F，∠BEF与∠EFD的平分线相交于点P，求证：EP⊥FP.
证明：∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD=180°.
又∵EP，FP分别是∠BEF，∠EFD的平分线，
∴∠PEF=
∠BEF，∠EFP=
∠EFD.
∴∠PEF+∠EFP=
（∠BEF+∠EFD）=90°.
∴∠P=180°-（∠PEF+∠EFP）
=180°-90°=90°.
∴EP⊥FP.
7.
如图7-5-11，△ABC中，∠A=30°，∠B=70°，CE平分∠ACB交AB于点E，CD⊥AB于点D，DF⊥CE于点F，求∠CDF的度数.
解：∵∠A=30°，∠B=70°，
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=80°.
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=
∠ACB=40°.
∵CD⊥AB，
∴∠CDA=90°.
∴∠ACD=180°-∠A-∠CDA=60°.
∴∠ECD=∠ACD-∠ACE=20°.
∵DF⊥CE，
∴∠CFD=90°.
∴∠CDF=180°-∠CFD-∠ECD=70°.
【C组】
8.
如图7-5-12，在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC=60°，∠C=70°，求∠DAE，∠BOA的度数.
解：∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°.∵∠C=70°，
∴∠CAD=180°-90°-70°=20°.
∵∠BAC=60°，AE是∠BAC的平分线，
∴∠EAC=∠BAE=30°.
∴∠EAD=∠EAC-∠CAD=30°-20°=10°.
∵∠BAC=60°,∠C=70°，
∴∠ABC=180°-∠BAC-∠C=50°.
∵BF是∠ABC的平分线，∴∠ABO=25°.
∴∠BOA=180°-∠BAO-∠ABO
=180°-30°-25°=125°.
故∠DAE，∠BOA的度数分别是10°，125°.
9.
如图7-5-13，在折纸活动中，小李制作了一张△ABC的纸片，点D，E分别在边AB，AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，点A与A′重合．
（1）若∠B=50°，∠C=60°，求∠A的度数；
（2）若∠1+∠2=130°，
求∠A的度数．
解：（1）∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=180°-（∠B+∠C）
=180°-（50°+60°）=70°．
（2）∵△A′DE是△ABC翻折变换而成，
∴∠A′ED=∠AED，∠A′DE=∠ADE，∠A′=∠A.
∴∠AED+∠ADE=∠A′ED+∠A′DE=180°-∠A.
∴∠1+∠2=360°-2（180°-∠A）=2∠A.
∵∠1+∠2=130°,
∴∠A=12×130°=65°．
