人教版八年级数学上册12.3角平分线的性质(1)课件(共29张PPT)

角平分线的性质与判定
1．如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E，已知PE＝3，则点P到AB的距离是( )
A
A．3 B．4 C．5 D．6
预习检测
2．如图，PC⊥OA，PD⊥OB，当PC＝PD时，Rt△OPC≌Rt△ ( )，∴∠POC＝∠ ．
OPD
HL
POD
3．如图，∠AOB＝70°，QC⊥OA于点C，QD⊥OB于点D.若QC＝QD，则∠AOQ＝ ．
35°
复习提问
1、角平分线的概念
一条射线
把一个角
分成两个相等的角，
这条射线叫做这个角的平分线。
o
B
C
A
1
2
复习提问
2、点到直线距离:
从直线外一点
到这条直线的垂线段
的长度，
叫做点到直线的距离。
O
P
A
B
我的长度
1.应用全等三角形的知识理解角平分线的性质和判定
2.会利用尺规作一个角的角平分线
3.在利用尺规作图的过程中培养学生的动手操作能力
课堂目标
尺规作角的平分线
观察领悟作法，探索思考证明方法：
A
Ｂ
Ｏ
Ｍ
Ｎ
Ｃ
画法：
　　１．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ．
　　２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于 1/2 ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠ＡＯＢ的内部交于Ｃ．
３．作射线ＯＣ．
射线ＯＣ即为所求．
问题引导下的再学习
A
Ｂ
Ｍ
Ｎ
Ｃ
为什么OC是角平分线呢？

Ｏ
想一想：
已知：OM=ON，MC=NC。
求证：OC平分∠AOB。
证明：在△OMC和△ONC中，
OM=ON，
MC=NC，
OC=OC，
∴ △OMC≌ △ONC（SSS）
∴∠MOC=∠NOC
即：OC平分∠AOB
A
B
O
将∠AOB对折,再折出一个直角三角形(以第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得出什么结论?
可以看到,第一条折痕是∠AOB的平分线OC,第二次折叠形成的两条折痕PD,PE是角的平分线上一点到∠AOB两边的距离,这两个距离相等.
折一折
探究1：
∟
A
O
E
B
C
P
D
∟
∟
归纳：角平分线的性质
定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等
用符号语言表示为：
A
O
B
P
E
D
1
2
∵ ∠1= ∠2
PD ⊥OA ，PE ⊥OB
∴PD=PE
(角的平分线上的点到
角的两边的距离相等)
推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。
角平分线的性质
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
B
A
D
O
P
E
C
定理应用所具备的条件：
（1）角的平分线；
（2）点在该平分线上；
（3）垂直距离。
定理的作用：
证明线段相等。
∵ 如图，AD平分∠BAC（已知）
∴ = ，( )
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
BD CD
（×）
判断：
跟踪练习
∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴ = ，( )
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
BD CD
（×）
∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴ = ，（ ）
DB
DC
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
√
不必再证全等
如图，由 于点 D ， 于点 E，PD= PE ， 可以得到什么结论 ？
OB
PE
^
PD
^
OA
角的内部到角的两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上。
B
A
D
O
P
E
角平分线的判定的应用书写格式：
OP 是 的平分线
PD= PE
\
（到一个角的
两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上）
∵

D
E
O
P
A
B
例 已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P。求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上
∴PD=PE
（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）
同理 PE=PF.
∴ PD=PE=PF.
即点P到边AB、BC、 CA的距离相等
A
B
C
M
N
P
D
E
F
怎样找三角形内到三角形三边距离相等的点？
角平分线的判定
角平分线的性质：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
角平分线的判定：到一个角的两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上。
B
A
D
O
P
E
C
\
PD = PE
OP 是 的平分线
∵
∵
\
OP 是 的平分线
PD = PE
用途：证线段相等
用途：判定一条射线是角平分线
练一练
填空：
(1). ∵∠1= ∠2,DC⊥AC, DE⊥AB
∴___________
(___________________________________________)
(1). ∵DC⊥AC ,DE⊥AB ,DC=DE
∴__________
(_ ______________________________________________)
A
C
D
E
B
1
2
∠1= ∠2
DC=DE
到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。
在角平分线上的点到角的两边的距离相等
在△ABC中， ∠ C=90 ° ，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，BC＝7，DE＝3.
求BD的长。
E
D
C
B
A
当堂训练
如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，且BE＝CF。
求证：AD是△ABC的角平分线。
A
B
C
E
F
D
1已知：如图，BE⊥AC于E， CF⊥AB于F，BE、CF相交于D， BD=CD 。
求证： AD平分∠BAC 。
A
B
C
F
E
D
达标训练
2已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE交点F,CF=BF,
求证:点F在∠A的平分线上.
A
A
A
A
A
A
A
D
N
E
B
F
M
C
A
1、画一个已知角的角平分线；
2、角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
3、角平分线的判定结论：
角的内部到角的两边的距离相等的点，
在角的平分线上。
课堂小结
作业
课时练必做
拓展创新选做
A
N
B
C
P
M
3.如图，△ABC的角的平分线BM，
CN相交于点P.求证：点P到三边AB，BC，
CA的距离相等.
想一想，点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么位置关系？
4.直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有: ( )
A.一处 B. 两处
C.三处 D.四处
5.如图所示，PB⊥AB，PC⊥AC，且PB=PC，D是AP上一点。
求证： ∠BDP= ∠CDP