2019-2020学年陕西省西安市蓝田县高一下学期期末数学试卷 （Word解析版）

2019-2020学年陕西省西安市蓝田县高一第二学期期末数学试卷
一、选择题（共12小题）.
1．某县为了传承中华优秀传统文化，组织了一次全县600名学生参加的“中华经典诵读”大赛．为了解本次大赛的选手成绩，随机抽取了其中50名选手的成绩进行统计分析．在这个问题中，数字50是（　　）
A．样本 B．总体 C．样本容量 D．个体
2．在下列各图中，相关关系最强的是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列叙述随机事件的频率与概率的关系中，说法正确的是（　　）
A．频率就是概率
B．频率是随机的，与试验次数无关
C．概率是稳定的，与试验次数无关
D．概率是随机的，与试验次数有关
4．已知cosα＝，则cos2α等于（　　）
A． B． C．﹣ D．﹣
5．下列事件中，随机事件的个数为（　　）
①连续两次抛掷一枚骰子，两次都出现2点向上；
②13个人中至少有两个人生肖相同；
③某人买彩票中奖；
④在标准大气压下，水加热到90℃会沸腾．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．某超市收银台排队等候付款的人数及其相应概率如下：
排队人数 0 1 2 3 4 ≥5
概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04
则至少有两人排队的概率为（　　）
A．0.16 B．0.26 C．0.56 D．0.74
7．如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，，则用向量表示为（　　）
A． B．
C． D．
8．PM2.5是衡量空气质量的重要指标，我国采用世卫组织的最宽值限定值，即PM2.5日均值在35μg/m3以下，空气质量为一级，在35～75μg/m3，空气质量为二级，超过75μg/m3为超标．如图是某地6月1日至10日的PM2.5（单位：μg/m3）的日均值，则下列说法错误的是（　　）
A．这10天中PM2.5日均值最低的一天是6月1日
B．从1 日到6日PM2.5日均值逐渐升高
C．这10天中有2天空气质量超标
D．这10天中PM2.5日均值的中位数是43
9．一组数据的平均数为m，方差为n，将这组数据的每个数都加上a（a＞0）得到一组新数据，则下列说法正确的是（　　）
A．这组新数据的平均不变
B．这组新数据的平均数为am
C．这组新数据的方差为a2n
D．这组新数据的方差不变
10．将编号为001，002，003，…，300的300个产品，按编号从小到大的顺序均匀的分成若干组，采用每小组选取的号码间隔一样的系统抽样方法抽取一个样本，若第一组抽取的编号是003，第二组抽取的编号是018，则样本中最大的编号应该是（　　）
A．283 B．286 C．287 D．288
11．某农业科学研究所分别抽取了试验田中的海水稻以及对照田中的普通水稻各10株，测量了它们的根系深度（单位：cm），得到了如图所示的茎叶图，其中两竖线之间表示根系深度的十位数，两边分别是海水稻和普通水稻根系深度的个位数，则下列结论中不正确的是（　　）
A．海水稻根系深度的中位数是45.5
B．普通水稻根系深度的众数是32
C．海水稻根系深度的平均数大于普通水稻根系深度的平均数
D．普通水稻根系深度的方差小于海水稻根系深度的方差
12．函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是（　　）
A．函数f（x）的图象可由y＝Asinωx的图象向左平移个单位得到
B．函数f（x）的图象关于直线对称
C．函数f（x）在区间上单调递增
D．函数f（x）图象的对称中心为（k∈Z）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知扇形AOB的圆心角∠AOB＝，弧长为2π，则该扇形的面积为　 　．
14．利用计算机产生0～1之间的均匀随机数x，则事件“7x﹣3≥0”发生的概率为　 　．
15．已知a＝sin78°，b＝cos10°，c＝tan55°，则a，b，c的大小关系为　 　．
16．蟋蟀鸣叫声可以说是大自然的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率P（每分钟鸣叫的次数）与气温T（单位：℃）有着很大的关系．某观测人员根据如表中的观测数据计算出P关于T的线性回归方程＝5.2T﹣168，则如表中k的值为　 　．
T（℃） 38 41 42 39
P（次数/分钟） 29 44 k 36
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知函数f（x）＝．
（Ⅰ）化简f（x）；
（Ⅱ）若f（α）＝﹣3，求tan（α+）的值．
18．某学校因为寒假延期开学，根据教育部停课不停学的指示，该学校组织学生线上教学，高一年级在线上教学一个月后，为了了解线上教学的效果，在线上组织数学学科考试，随机抽取50名学生的成绩（满分150分，且抽取的学生成绩都在[95，145]内）并制成频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；
（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计这50名同学的数学平均成绩．（同一组中的数据以该组区间的中点值作代表）
19．设，为两个不共线的向量，若＝+λ，＝2﹣．
（1）若（+）∥共线，求实数λ的值；
（2）若，是夹角为的单位向量，且⊥，求实数λ的值．
20．已知某校甲、乙、丙三个兴趣小组的学生人数分别为36，24，12．现采用分层抽样的方法从中抽取6人，进行睡眠质量的调查．
（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个兴趣小组的学生中分别抽取多少人？
（Ⅱ）现从6人中随机抽取2人做进一步的身体检查，求抽取的2人来自同一兴趣小组的概率．
21．某产品在3﹣7月份销售量与利润的统计数据如表：
月份 3 4 5 6 7
销售量x（单位：万件） 3 6 4 7 8
利润y（单位：万元） 19 34 26 41 46
（1）从这5个月的利润中任选2个值，分别记为m，n，求事件“m，n均小于45”的概率；
（2）已知销售量x与利润y大致满足线性相关关系，请根据前4个月的数据，求出y关于x的线性回归方程；
（3）若由线性回归方程得到的利润的估计数据与真实数据误差不超过2万元，则认为得到的利润估计是理想的．请用表格中7月份的数据检验由（2）中回归方程所得的该月的利润的估计数据是否理想？
参考公式：＝，a＝﹣b．
22．已知函数f（x）＝2sinωxcosωx+2cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）当x∈[0，]时，函数g（x）＝f（x）﹣2m+1恰有两个不同的零点，求实数m的取值范围．
参考答案
一、选择题（共12小题）.
1．某县为了传承中华优秀传统文化，组织了一次全县600名学生参加的“中华经典诵读”大赛．为了解本次大赛的选手成绩，随机抽取了其中50名选手的成绩进行统计分析．在这个问题中，数字50是（　　）
A．样本 B．总体 C．样本容量 D．个体
【分析】由题意，根据用样本的数字特征估计总体的数字特征的方法，得出结论．
解：某县为了传承中华优秀传统文化，组织了一次全县600名学生参加的“中华经典诵读”大赛．
为了解本次大赛的选手成绩，随机抽取了其中50名选手的成绩进行统计分析．
在这个问题中，数字50是样本容量，
故选：C．
2．在下列各图中，相关关系最强的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据在散点图中，样本点成带状分布这两个变量具有较强的线性相关关系，由此判断即可．
解：对于A，图中各点成带状分布，这组变量具有较强的线性相关关系；
对于B、C、D，图中所示的散点图中，样本点成片状分布，
组中两个变量的线性相关关系相对较弱些．
故选：A．
3．下列叙述随机事件的频率与概率的关系中，说法正确的是（　　）
A．频率就是概率
B．频率是随机的，与试验次数无关
C．概率是稳定的，与试验次数无关
D．概率是随机的，与试验次数有关
【分析】频率是随机的，概率是唯一不变的值．
解：频率是随机的，随实验而变化，但概率是唯一确定的一个值．
故选：C．
4．已知cosα＝，则cos2α等于（　　）
A． B． C．﹣ D．﹣
【分析】直接利用二倍角的公式的应用求出结果．
解：已知cosα＝，则．
故选：C．
5．下列事件中，随机事件的个数为（　　）
①连续两次抛掷一枚骰子，两次都出现2点向上；
②13个人中至少有两个人生肖相同；
③某人买彩票中奖；
④在标准大气压下，水加热到90℃会沸腾．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用随机事件的定义直接判断．
解：①连续两次抛掷一枚骰子，两次都出现2点向上，是随机事件；
②13个人中至少有两个人生肖相同是必然事件；
③某人买彩票中奖是随机事件；
④在标准大气压下，水加热到90℃会沸腾是不可能事件．
故选：B．
6．某超市收银台排队等候付款的人数及其相应概率如下：
排队人数 0 1 2 3 4 ≥5
概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04
则至少有两人排队的概率为（　　）
A．0.16 B．0.26 C．0.56 D．0.74
【分析】利用互斥事件概率计算公式直接求解．
解：由某超市收银台排队等候付款的人数及其相应概率表，得：
至少有两人排队的概率为：
P＝1﹣P（X＝0）﹣P（X＝1）
＝1﹣0.1﹣0.16
＝0.74．
故选：D．
7．如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，，则用向量表示为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】由已知结的合向量加法的三角形法则及向量共线定理即可求解．
解：由题意可得，＝＝＝，
＝＝．
故选：A．
8．PM2.5是衡量空气质量的重要指标，我国采用世卫组织的最宽值限定值，即PM2.5日均值在35μg/m3以下，空气质量为一级，在35～75μg/m3，空气质量为二级，超过75μg/m3为超标．如图是某地6月1日至10日的PM2.5（单位：μg/m3）的日均值，则下列说法错误的是（　　）
A．这10天中PM2.5日均值最低的一天是6月1日
B．从1 日到6日PM2.5日均值逐渐升高
C．这10天中有2天空气质量超标
D．这10天中PM2.5日均值的中位数是43
【分析】根据频率分布折线图，分别判断选项中的命题是否正确即可．
解：根据频率分布折线图知，
这10天中PM2.5日均值最低的一天是6月1日，为32μg/m3，所以A正确；
从1 日到6日PM2.5日均值是先升高后降低，再升高，所以B错误；
这10天中有2天空气质量超标，分别是第6天和第7天，所以C正确；
这10天中PM2.5日均值从小到大排列为：30，32，34，40，41，45，48，60，78，80；
其中位数是×（41+45）＝43，所以D正确．
故选：B．
9．一组数据的平均数为m，方差为n，将这组数据的每个数都加上a（a＞0）得到一组新数据，则下列说法正确的是（　　）
A．这组新数据的平均不变
B．这组新数据的平均数为am
C．这组新数据的方差为a2n
D．这组新数据的方差不变
【分析】考查平均数和方差的性质，基础题．
解：设这一组数据为X＝（a1，…an），
由E（X+a）＝E（X）+a，
D（X+a）＝D（X），
故选：D．
10．将编号为001，002，003，…，300的300个产品，按编号从小到大的顺序均匀的分成若干组，采用每小组选取的号码间隔一样的系统抽样方法抽取一个样本，若第一组抽取的编号是003，第二组抽取的编号是018，则样本中最大的编号应该是（　　）
A．283 B．286 C．287 D．288
【分析】先求样本间隔，然后计算抽查样本容量，结合系统抽样的定义进行求解即可．
解：样本间隔为18﹣3＝15，
即抽取样本数为300÷15＝20，
则最大的样本编号为3+15×19＝288，
故选：D．
11．某农业科学研究所分别抽取了试验田中的海水稻以及对照田中的普通水稻各10株，测量了它们的根系深度（单位：cm），得到了如图所示的茎叶图，其中两竖线之间表示根系深度的十位数，两边分别是海水稻和普通水稻根系深度的个位数，则下列结论中不正确的是（　　）
A．海水稻根系深度的中位数是45.5
B．普通水稻根系深度的众数是32
C．海水稻根系深度的平均数大于普通水稻根系深度的平均数
D．普通水稻根系深度的方差小于海水稻根系深度的方差
【分析】将数据从小到大排序，然后根据中位数，众数，平均数，方差的知识求解．
解：海水稻根系深度的中位数是 A正确
普通水稻根系深度的众数是32 B正确
海水稻根系深度的平均数45，普通水稻根系深度的平均35 C正确
普通水稻数据比较分散，海水稻数据比较集中，所以普通水稻根系深度的方差大于海水稻根系深度的方差，故错误．
故选：D．
12．函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是（　　）
A．函数f（x）的图象可由y＝Asinωx的图象向左平移个单位得到
B．函数f（x）的图象关于直线对称
C．函数f（x）在区间上单调递增
D．函数f（x）图象的对称中心为（k∈Z）
【分析】根据题意求出解析式，然后判断选项，根据难度判断ABD，如果有正确选项，则选择，如果没有，则选B．
解：由图象可知A＝2，f（0）＝1，
∵f（0）＝2sinφ＝1，且，
∴，
∴f（x）＝2sin（ωx+），
∵f（）＝0且为单调递减时候零点，
∴，k∈Z，
∴，k∈Z，
由图象知 ，
∴ω＜，
又∵ω＞0，
∴ω＝2，
∴f（x）＝2sin（2x+），
∵函数f（x）的图象可由y＝Asinωx的图象向左平移个单位得，
∴A错，
令2x+＝，k∈Z，对称轴为x＝，则B错，
令2x+＝2kπ，k∈Z，则x＝kπ﹣，则D对，
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知扇形AOB的圆心角∠AOB＝，弧长为2π，则该扇形的面积为　6π　．
【分析】根据弧长公式先求出半径，结合扇形的面积公式进行求解即可．
解：扇形的圆心角为，
则半径R＝＝6，
则扇形的面积S＝×2π×6＝6π，
故答案为：6π
14．利用计算机产生0～1之间的均匀随机数x，则事件“7x﹣3≥0”发生的概率为　　．
【分析】求满足事件“7x﹣3＜0”发生的x的范围，利用数集的长度比求概率．
解：由7x﹣3≥0，解得：x≥，
故满足条件的概率p＝＝，
故答案为：．
15．已知a＝sin78°，b＝cos10°，c＝tan55°，则a，b，c的大小关系为　c＞b＞a　．
【分析】判断a，b，c的范围，结合三角函数值的大小进行比较即可．
解：因为a＝sin78°＝cos12°＜cos10°＝b，
即a＜b＜1，
又因为c＝tan55°＞tan45°＝1，
即c＞b＞a，
故答案为：c＞b＞a．
16．蟋蟀鸣叫声可以说是大自然的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率P（每分钟鸣叫的次数）与气温T（单位：℃）有着很大的关系．某观测人员根据如表中的观测数据计算出P关于T的线性回归方程＝5.2T﹣168，则如表中k的值为　51　．
T（℃） 38 41 42 39
P（次数/分钟） 29 44 k 36
【分析】计算样本中心点，根据线性回归方程恒过样本中心点，列出方程，解之即可．
解：由表可知，
气温的平均值＝＝40；频率的平均值＝＝．
∴样本的中心点为（40，），
将其代入线性回归方程，有＝5.2×40﹣168，解得k＝51．
故答案为：51．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知函数f（x）＝．
（Ⅰ）化简f（x）；
（Ⅱ）若f（α）＝﹣3，求tan（α+）的值．
【分析】（I）由已知结合诱导公式进行化简即可；
（II）由已知结合两角和的正切公式即可求解．
解：（I）f（x）＝．
＝，
＝，
＝，
＝﹣，
（II）因为f（α）＝﹣＝﹣3，
∴tanα＝2，
tan（）＝＝﹣3
18．某学校因为寒假延期开学，根据教育部停课不停学的指示，该学校组织学生线上教学，高一年级在线上教学一个月后，为了了解线上教学的效果，在线上组织数学学科考试，随机抽取50名学生的成绩（满分150分，且抽取的学生成绩都在[95，145]内）并制成频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；
（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计这50名同学的数学平均成绩．（同一组中的数据以该组区间的中点值作代表）
【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图中小矩形所有面积之和为1，能求出a．
（Ⅱ）根据频率分布直方图，能估计这50名同学的数学平均成绩．
解：（Ⅰ）由频率分布直方图得：
（0.004+a+0.028+0.032+0.016）×10＝1，
解得a＝0.02．
（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计这50名同学的数学平均成绩为：
100×0.004×10+110×0.02×10+120×0.028×10+130×0.032×10+140×0.016×10＝123.6．
19．设，为两个不共线的向量，若＝+λ，＝2﹣．
（1）若（+）∥共线，求实数λ的值；
（2）若，是夹角为的单位向量，且⊥，求实数λ的值．
【分析】（1）根据题意，分析可得+＝3+（λ﹣1），又由向量平行的判断方法可以设（+）＝k，即3+（λ﹣1）＝k（2﹣），进而可得，解可得λ的值，即可得答案；
（2）根据题意，求出?的值，由向量垂直的判断方法可得?＝（+λ）?（2﹣）＝22﹣λ2+（2λ﹣1）?＝2﹣2λ+＝0，进而计算可得答案．
解：（1）根据题意，＝+λ，＝2﹣．则+＝3+（λ﹣1），
若（+）∥共线，则设（+）＝k，即3+（λ﹣1）＝k（2﹣），
则有，解可得λ＝﹣；
（2）根据题意，，是夹角为的单位向量，则?＝﹣；
若⊥，则?＝（+λ）?（2﹣）＝22﹣λ2+（2λ﹣1）?＝2﹣2λ+＝0，
解可得λ＝；
故实数λ的值为．
20．已知某校甲、乙、丙三个兴趣小组的学生人数分别为36，24，12．现采用分层抽样的方法从中抽取6人，进行睡眠质量的调查．
（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个兴趣小组的学生中分别抽取多少人？
（Ⅱ）现从6人中随机抽取2人做进一步的身体检查，求抽取的2人来自同一兴趣小组的概率．
【分析】（Ⅰ）利用分层抽样的的性质直接求解．
（Ⅱ）现从6人中随机抽取2人做进一步的身体检查，基本事件总数n＝＝15，抽取的2人来自同一兴趣小组包含的基本事件个数m＝＝4，由此能求出抽取的2人来自同一兴趣小组的概率．
解：（Ⅰ）某校甲、乙、丙三个兴趣小组的学生人数分别为36，24，12．
现采用分层抽样的方法从中抽取6人，进行睡眠质量的调查．
应从甲兴趣小组的学生中抽取：6×＝3人，
从乙兴趣小组的学生中抽取：6×＝2人，
从丙兴趣小组的学生中抽取：6×＝1人．
（Ⅱ）现从6人中随机抽取2人做进一步的身体检查，
基本事件总数n＝＝15，
抽取的2人来自同一兴趣小组包含的基本事件个数m＝＝4，
∴抽取的2人来自同一兴趣小组的概率p＝．
21．某产品在3﹣7月份销售量与利润的统计数据如表：
月份 3 4 5 6 7
销售量x（单位：万件） 3 6 4 7 8
利润y（单位：万元） 19 34 26 41 46
（1）从这5个月的利润中任选2个值，分别记为m，n，求事件“m，n均小于45”的概率；
（2）已知销售量x与利润y大致满足线性相关关系，请根据前4个月的数据，求出y关于x的线性回归方程；
（3）若由线性回归方程得到的利润的估计数据与真实数据误差不超过2万元，则认为得到的利润估计是理想的．请用表格中7月份的数据检验由（2）中回归方程所得的该月的利润的估计数据是否理想？
参考公式：＝，a＝﹣b．
【分析】（1）写出基本事件总数，选择m，n均小于45”的事件数，由古典概型概率计算公式求概率；
（2）利用公式求出与的值，即可得到y关于x的线性回归方程；
（3）将第7个月的数据带入线性回归方程，计算y值与真实数据的误差不超过2万元，即可得结论．
解：（1）所有的基本事件为（19，34），（19，26），（19，41），（19，46），（34，26），（34，41），（34，46），
（26，41），（26，46），（41，46）共10个．
记“m，n均小于45”为事件A，则事件A包含的基本事件为（19，34），（19，26），（19，41），（34，26），（34，41），（26，41）共6个．
∴P（A）＝；
（2）由前4个月的数据可得，＝5，＝30，
＝652，＝110．
∴＝，
．
∴线性回归方程为＝5.2x+4；
（3）由题意得，当x＝8时，＝45.6，|45.6﹣46|＝0.4＜2．
故利用（2）中的回归方程所得的第5个月的利润估计数据是理想的．
22．已知函数f（x）＝2sinωxcosωx+2cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）当x∈[0，]时，函数g（x）＝f（x）﹣2m+1恰有两个不同的零点，求实数m的取值范围．
【分析】（Ⅰ）利用辅助角公式进行化简，结合周期求出ω的值，然后利用单调性进行求解即可．
（Ⅱ）根据函数与方程之间的关系进行转化，作出三角函数的图象，利用数形结合进行求解即可．
解：（Ⅰ）f（x）＝2sinωxcosωx+2cos2ωx＝sin2ωx+1+cos2ωx＝1+2sin（2ωx+），
∵f（x）的最小正周期为
∴T＝，得ω＝3，
则f（x）＝1+2sin（6x+），
由2kπ+≤6x+≤2kπ+，k∈Z，
得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，
即f（x）的单调递减区间是[kπ+，kπ+]，k∈Z．
（Ⅱ）由g（x）＝f（x）﹣2m+1＝0得1+2sin（6x+）﹣2m+1＝0，
得2sin（6x+）＝2m﹣2，即sin（6x+）＝m﹣1，
当x∈[0，]时，6x+∈[，]，
设t＝6x+，则t∈[，]，
作出y＝sint的图象如图：
当t＝时，y＝sint＝，
要使sin（6x+）＝m﹣1有两个根，
则m﹣1＜1，
得≤m＜2，
即实数m的取值范围是[，2）．