沪科版九年级上册数学专题训练
小专题(二) 二次函数的综合应用
【专题概述】
二次函数的综合应用是安徽省中考的高频考点,主要是与代数、几何、实际问题情境三个方面相结合考查.
【专题训练】
类型1 二次函数与代数综合
二次函数与代数相结合的常见题型:求抛物线与坐标轴的交点坐标;结合抛物线的位置判断系数a,b,c的取值范围;利用抛物线与x轴的交点情况判断判别式的取值范围;二次函数上动点问题等.掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键.
1.已知二次函数y=x2-(m+2)x-m-5(m为常数).
(1)求证:不论m为何值,该函数的图象与x轴总有两个不同公共点;
(2)当m取什么值时,该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方?
类型2 二次函数与几何综合
二次函数与几何相结合考查的题型:三角形、四边形的某一个或多个顶点在抛物线上,求该几何图形的顶点坐标、面积(最值)等.解答此类问题的关键是结合二次函数的性质及相应的几何图形的性质,一般是构造直角三角形求解.
2.如图,二次函数y=ax2+bx的图象经过点A(2,4)与B(6,0).
(1)求a,b的值;
(2)C是该二次函数图象上A,B两点之间的一个动点,横坐标为x(23.如图,已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A(-3,0)和B(0,3).
(1)求此抛物线和直线AB的函数表达式.
(2)P是直线AB上方的抛物线上一个动点(不与点A,B重合),过点P作x轴的垂线,
垂足为F,交直线AB于点E,作PD⊥AB于点D.动点P在什么位置时,△PDE的面积最大?求出面积的最大值,并求出此时点P的坐标.
类型3 利用二次函数解决实际问题
二次函数的实际应用常考的题型有:几何图形面积最优化问题、销售利润最优化问题;桥梁涵洞问题;体育运动问题;方案设计问题.利用二次函数解决实际问题时,要注意数形结合,建立平面直角坐标系,构建二次函数模型,应用二次函数的性质来解决实际问题.
(1)销售利润问题
4.某超市销售一种商品,成本每千克40元,规定每千克售价不低于成本,且不高于80元.经市场调查,每天的销售量y(千克)与每千克售价x(元)满足一次函数关系,部分数据如下表:
售价x(元/千克)
50
60
70
销售量y(千克)
100
80
60
(1)求y与x之间的函数表达式;
(2)设商品每天的总利润为W元,求W与x之间的函数表达式(利润=收入-成本);
(3)试说明(2)中总利润W随售价x的变化而变化的情况,并指出售价为多少元时获得最大利润,最大利润是多少?
(2)体育问题
5.如图,排球运动员站在点O处练习发球,将球从点O正上方2
m的A处发出,把球看成点,其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与点O的水平距离为9
m,高度为2.43
m,球场的边界距点O的水平距离为18
m.
(1)当h=2.6时,求y与x的关系式.(不要求写出自变量x的取值范围)
(2)当h=2.6时,球能否越过球网?球会不会出界?请说明理由.
(3)若球一定能越过球网,又不出边界,求h的取值范围.
(3)分段函数问题
6.某超市以每件20元的价格新进一批商品,经市场调研发现:该商品每天的销售量y(件)与销售价格x(元/件,20≤x≤60)的关系如图所示.
(1)试确定y与x之间的函数表达式(写出自变量的取值范围);
(2)若超市一天销售该商品的利润为w元,写出w(元)与商品的售价x(元/件)之间的函数表达式;
(3)求(2)中当销售价格x定为多少时,一天的利润w最大,最大利润是多少?
参考答案
1.解:(1)当y=0时,x2-(m+2)x-m-5=0.
Δ=[-(m+2)]2-4(-m-5)=m2+8m+24=(m+4)2+8,无论m取何值,(m+4)2+8>0,
所以关于x的一元二次方程x2-(m+2)x-m-5=0总有两个不相等的实数根,
所以不论m为何值,该函数的图象与x轴总有两个不同公共点.
(2)当x=0时,y=-m-5,即该函数的图象与y轴交点的纵坐标是-m-5.
当-m-5>0时,解得m<-5,即m<-5时,该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方.
2.解:(1)a=-,b=3.
(2)过点A作x轴的垂线,垂足为D(2,0),连接CA,CB,CD,过点C作CE⊥AD,CF⊥x轴,垂足分别为E,F.
S△OAD=OD·AD=×2×4=4;
S△ACD=AD·CE=×4×(x-2)=2x-4;
S△BCD=BD·CF=×4×=-x2+6x.
∴S=S△OAD+S△ACD+S△BCD=4+2x-4-x2+6x=-x2+8x,∴S关于x的函数表达式为S=-x2+8x(2∵S=-x2+8x=-(x-4)2+16,
∴当x=4时,四边形OACB的面积S有最大值,最大值为16.
3.解:(1)所求抛物线的函数表达式为y=-x2-2x+3.
所求直线AB的函数表达式为y=x+3.
(2)∵A(-3,0),B(0,3),∴OA=OB=3,∴△AOB是等腰直角三角形,∴∠BAO=45°.
∵PF⊥x轴,∴∠AEF=90°-45°=45°,
又∵PD⊥AB,∴△PDE是等腰直角三角形,∴PE越大,△PDE的面积越大.
设点P(m,-m2-2m+3),∴点E(m,m+3),∴PE=-m2-2m+3-(m+3)=-(-3∵-1<0,∴抛物线开口向下,
∴当m=-时,PE有最大值,此时△PDE的面积最大,最大面积为PD2=PE2=,此时点P的坐标为.
4.解:(1)y=-2x+200(40≤x≤80).
(2)根据题意,得W=y·(x-40)=(-2x+200)(x-40)=-2x2+280x-8000(40≤x≤80).
(3)由(2)可知W=-2(x-70)2+1800,所以当40≤x≤70时,利润W随着x的增大而增大;当70所以当x=70时,利润W取得最大值,最大值为1800元.
5.解:(1)当h=2.6时,y=a(x-6)2+2.6,
∵点(0,2)在该抛物线上,∴2=a(0-6)2+2.6,解得a=-,∴y与x的关系式是y=-(x-6)2+2.6.
(2)球能越过球网,球会出界.
理由:当x=9时,y=-×(9-6)2+2.6=2.45>2.43,∴球能越过球网.
当y=0时,-(x-6)2+2.6=0,解得x1=6+2>18,x2=6-2(舍去),∴球会出界.
(3)∵点(0,2)在y=a(x-6)2+h的图象上,∴2=a(0-6)2+h,a=,函数可写成y=(x-6)2+h.
由球能越过球网,得x=9时,y=+h>2.43, ①
由球不出边界,得x=18时,y=8-3h≤0, ②
联立①②解得h≥,∴h的取值范围是h≥.
6.解:(1)y=
(2)当20≤x≤30时,w=(x-20)(20x-200)=20x2-600x+4000;
当30综上,w=
(3)当20≤x≤30时,w=20x2-600x+4000=20(x-15)2-500,抛物线开口向上.x>15时,y随x的增大而增大,又∵20≤x≤30,∴当x=30时,w最大值=20×(30-15)2-500=4000;
当30综上所述,当定价为45元/件时,一天的利润w最大,最大值为6250元.沪科版九年级上册数学专题训练
小专题(六) 巧求锐角三角函数值
【专题概述】
求锐角的三角函数值除用定义直接求解外,我们还可以采用设参数、等角转换、添作辅助线的方法求解.
【专题训练】
类型1 巧设参数求锐角三角函数值
当直接求三角函数值较困难,我们可以设参数x,用含x的代数式表示相应的边,然后运用三角函数的定义求解.
1.若a,b,c是△ABC中∠A,∠B,∠C的对边,且a∶b∶c=1∶,则cos
B的值为
(
)
A.
B.
C.
D.
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,sin
B=,则tan
B=?
.?
3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分线交BC于点E,EF⊥AB于点F,F恰好是AB的三等分点(AF>BF).
(1)求证:AC=AF;
(2)求tan
∠CAE的值.
类型2 利用等角转换求锐角三角函数值
当直接求一个锐角的三角函数值比较困难时,我们可以用它相等的角进行转化,然后用教材上的定义求解.
4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=1.6,BC=1.2,CD⊥AB,垂足为D,则tan
∠BCD的值是?
.?
5.如图,已知直线l1∥l2∥l3∥l4,相邻两条平行直线间的距离都是1,如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上,则sin
α=?
.?
类型3 借助网格求锐角三角函数值
解答此类问题时,先利用勾股定理求出格点线段的长,再根据三角函数的定义求解.
6.如图所示,在4×8的矩形网格中,每个小正方形的边长都为1,△ABC的三个顶点都在格点上,则tan
∠BAC的值为
(
)
A.
B.1
C.
D.
7.如图,在正方形网格中,∠AOB如图放置,则cos
∠AOB的值为
(
)
A.
B.2
C.
D.
8.如图,△ABC的三个顶点都在正方形网格的格点上,则sin∠ACB的值为?
.?
类型4 巧添辅助线求锐角三角函数值
求半角的三角函数值,通常是延长线段构造等腰三角形得到半角关系;求2倍角的三角函数值,通常作线段的垂直平分线得到2倍的角,再根据三角函数的定义求解.
9.如图,AD是△ABC的中线,tan
B=,cos
C=,AC=.
(1)求BC的长;
(2)求∠ADC的正弦值.
10.小明同学对一个角的倍角的三角函数值是否具有关系产生了浓厚的兴趣,进行了一些研究.
(1)初步尝试:我们知道:tan
60°=?
,tan
30°=?
.?
发现结论:tan
A 2tan
∠A.(填“=”或“≠”)?
(2)实践探究:如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=1,求tan∠A的值.小明想构造包含∠A的直角三角形:延长CA至D,使得DA=AB,连接BD,所以得到∠D=∠A,即转化为求∠D的正切值.
请按小明的思路进行余下的求解.
(3)拓展延伸:如图2,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,tan
A=.
①tan
2A=?
;?
②求tan
3A的值.
参考答案
1.
(B)
2.?
3.解:(1)∵∠C=90°,∴EC⊥AC.
∵AE平分∠BAC,EF⊥AB,∴EC=EF.
在Rt△ACE和Rt△AFE中,EC=EF,AE=AE,
∴Rt△ACE≌Rt△AFE,∴AC=AF.
(2)∵F是AB的一个三等分点(AF>BF),
∴设BF=x,AF=2x,∴AC=2x,AB=3x.
在Rt△ABC中,由勾股定理,得BC=x.
∵tan
B=,∴在Rt△EFB中,EF=BF·tan
B=,∴CE=EF=,∴tan
∠CAE=.
4.?
5.?
6.
(A)
7.
(D)
8.?
9.解:(1)作AH⊥BC于点H.
在Rt△ACH中,∵cos
C=,AC=,
∴CH=1,AH==1,
在Rt△ABH中,∵tan
B=,
∴BH=5,∴BC=BH+CH=6.
(2)∵BD=CD,∴CD=3,DH=2,AD=.
在Rt△ADH中,sin
∠ADH=.
∴∠ADC的正弦值为.
10.
(1)? ?
发现结论: ≠
解:(2)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=1,
∴AB=,∴AD=AB=,
∴∠D=∠ABD,∴∠BAC=2∠D,CD=AD+AC=2+,∴tan
∠A=tan
∠D=-2.
(3)①提示:如图,作AB的垂直平分线交AC于点E,连接BE.∴∠BEC=2∠A,AE=BE,∠A=∠ABE.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,tan
A=,∴BC=1,AB=.设AE=x,∴EC=3-x.在Rt△BCE中,x2=(3-x)2+1,解得x=,即AE=BE=,EC=,∴tan
2A=tan
∠BEC=.
②如图,作BM交AC于点M,使∠MBE=∠EBA,∴∠BMC=∠A+∠MBA=3∠A.
设EM=y,∴CM=EC-EM=-y.
∵∠MBE=∠EBA,∴△ABM∽△BEM,∴,即,即,∴BM=y.
在Rt△MBC中,BM2=CM2+BC2,即+1,整理,得117y2+120y-125=0,
解得y1=,y2=-(不合题意,舍去),
即EM=,CM=.
∴tan
3A=tan
∠BMC=.沪科版九年级上册数学专题训练
小专题(三) 用反比例函数中k的几何意义求解面积问题
【专题概述】
反比例函数的比例系数k具有一定的几何意义,|k|等于反比例函数图象上任意一点向两坐标轴所作垂线段与坐标轴所围成的矩形的面积.在反比例函数的图象中,涉及三角形或矩形的面积时,常用比例系数k的几何意义求解.
【专题训练】
类型1 反比例函数的比例系数k与面积的关系
1.如图,过反比例函数y=(x<0)图象上的一点A作AB⊥x轴于点B,连接AO.若S△AOB=2,则k的值是
(
)
A.2
B.-2
C.4
D.-4
2.如图,点P在反比例函数y=的图象上,PA⊥x轴于点A,则△PAO的面积为
(
)
A.1
B.2
C.4
D.6
3.如图所示,A是反比例函数y=图象上的一点,过点A作AB⊥x轴,垂足为B,C为y轴上的一点,连接AC,BC.若△ABC的面积为5,则k的值为
(
)
A.5
B.-5
C.10
D.-10
类型2 已知面积求反比例函数表达式
4.如图,点A,B在反比例函数y=(x>0)的图象上,点C,D在反比例函数y=(k>0)的图象上,AC∥BD∥y轴.已知点A,B的横坐标分别为1,2,△OAC与△ABD的面积之和为,则k的值为(
)
A.4
B.3
C.2
D.
5.如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD的顶点A,B在反比例函数y=(k>0,x>0)的图象上,横坐标分别为1,4,对角线BD∥x轴.若菱形ABCD的面积为,则k的值为
(
)
A.
B.
C.4
D.5
6.如图,在平面直角坐标系中,过点M(0,2)的直线l与x轴平行,且直线l分别与反比例函数y=(x>0)和y=(x<0)的图象交于点P,Q,连接OP,OQ.
(1)求点P的坐标;
(2)若△POQ的面积为8,求k的值.
7.如图,在平面直角坐标系中,A(a,0),B(0,b)是矩形OACB的两个顶点.定义:如果双曲线y=经过AC的中点D,那么双曲线y=为矩形OACB的中点双曲线.
(1)若a=3,b=2,请判断y=是否为矩形OACB的中点双曲线?并说明理由.
(2)若y=是矩形OACB的中点双曲线,E是矩形OACB与中点双曲线y=的另一个交点,连接OD,OE,四边形ODCE的面积S=4,试求出k的值.
类型3 利用反比例函数中k的几何意义求面积
8.如图,菱形ABCD的边AD与x轴平行,A,B两点的横坐标分别为1和3,反比例函数y=的图象经过A,B两点,则菱形ABCD的面积是
(
)
A.4
B.4
C.2
D.2
9.如图,A(a,b)是双曲线y=(x>0)上的一点,P是x轴负半轴上的一个动点,AC⊥y轴于点C,过点A作AD⊥x轴于点D,连接AP交y轴于点B.
(1)△PAC的面积是
;?
(2)当a=2,点P的坐标为(-2,0)时,求△ABC的面积.
类型4 利用反比例函数中k的几何意义和对称性求面积
10.如图是由四条曲线围成的广告标志,建立平面直角坐标系,双曲线函数表达式分别为y=-,y=.现用四根钢条固定这四条曲线.这种钢条加工成矩形产品按面积计算,每单位面积25元,请你帮助工人师傅计算一下,所需钢条一共花多少钱?
类型5 利用反比例函数中k的几何意义和三角形面积求最值
11.如图,在平面直角坐标系中,反比例函数y=(x>0)的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB,BC分别相交于M,N两点,△OMN的面积为10.若动点P在x轴上,求PM+PN的最小值.
参考答案
1.
(D)
2.
(A)
3.
(D)
4.
(B)
5.
(D)
6.解:(1)∵M(0,2),PQ∥x轴,∴点P的纵坐标是2.
把y=2代入y=,得x=3,∴点P的坐标是(3,2).
(2)∵M(0,2),∴OM=2.
∵△POQ的面积为8,∴×PQ×2=8,解得PQ=8.
∵点P的坐标是(3,2),∴PM=3,
∴QM=8-3=5,∴点Q的坐标是(-5,2),
把点Q的坐标代入y=,得k=-10.
7.解:(1)是.
理由:∵a=3,b=2,∴点A的坐标为(3,0),点B的坐标为(0,2),∴点C的坐标为(3,2),∴AC的中点坐标为(3,1).
当x=3时,y==1,∴AC的中点在双曲线y=的图象上,∴y=是矩形OACB的中点双曲线.
(2)∵点D,E在双曲线y=的图象上,
∴S△OBE=k,S△OAD=k.
∵四边形ODCE的面积S=4,∴矩形OACB的面积=k+4.
∵y=是矩形OACB的中点双曲线,
设点D(m,n),∴mn=k,C(m,2n),
∴矩形OACB的面积为2mn=2k,
∴2k=k+4,∴k=4.
8.
(A)
9.
(1) 4
解:(2)∵a=2,∴b=4,∴AC=2,AD=4,点A的坐标为(2,4).
设直线AP的表达式为y=kx+b,
∴解得
∴直线AP的表达式为y=x+2,
∴点B的坐标为(0,2),∴S△ABC=AC·BC=×2×2=2.
10.解:由反比例函数图象的对称性可知,坐标系将矩形ABCD分成四个全等的小矩形.因为A为y=的图象上的任意一点,所以S矩形AEOH=6,所以S矩形ABCD=4×6=24,所以总费用为25×24=600(元).
答:所需钢条一共花600元钱.
11.解:∵正方形OABC的边长是6,
∴点M的横坐标和点N的纵坐标为6,
∴M,N,∴BN=6-,BM=6-.
∵△OMN的面积为10,
∴6×6-×6××2-=10,
解得k=24,∴M(6,4),N(4,6).
作点M关于x轴的对称点M',连接NM'交x轴于点P,则NM'即为PM+PN的最小值.
∵AM=AM'=4,∴BM'=10,BN=2,
∴NM'==2,即PM+PN的最小值为2.沪科版九年级上册数学专题训练
小专题(四) 相似三角形的基本模型
【专题概述】
几何图形大多数由基本图形复合而成,因此熟悉三角形相似的基本图形,有助于快速、准确识别相似三角形,从而顺利找到解题思路和方法.
【专题训练】
类型1 A型及其变形
如图1,DE∥BC,则△ADE∽△ABC;如图2,∠AED=∠B,则△ADE∽△ACB.
1.如图,在锐角△ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,AG⊥BC于点G,AF⊥DE于点F,∠EAF=∠GAC.
(1)求证:△ADE∽△ABC;
(2)若AD=3,AB=5,求的值.
类型2 X型及其变形
如图1,AB∥CD,则△ABE∽△DCE;如图2,∠A=∠D或∠B=∠C,则△ABE∽△DCE.
2.如图,在△ABC中,AB=8,BC=4,CA=6,CD∥AB,BD是∠ABC的平分线,BD交AC于点E.
(1)求证:BC=CD;
(2)求AE的长.
类型3 M型及其变形
如图所示,∠B=∠ACE=∠D.由∠B=∠ACE=∠D可得∠BAC=∠DCE,因此△ABC∽△CDE.若AC=CE,则△ABC≌△CDE.
3.如图,已知AE
平分∠BAC,.
(1)求证:∠E=∠C;
(2)若AB=9,AD=5,DC=3,求BE的长.
4.如图,在平行四边形ABCD中,过点B作BE⊥CD,垂足为点E,连接AE,F为AE上一点,且∠BFE=∠C.
(1)求证:△ABF∽△EAD;
(2)若AE=4,∠BAE=30°,求AB的长.
类型4 旋转型及其变形
如图,若∠BAD=∠CAE,∠ADE=∠B,则△ADE绕点A旋转一定角度后与△ABC构成A字型的相似三角形,即△ADE∽△ABC.
5.如图,在等腰△ABC中,AB=AC,点M,N分别是BC,AC边上的点(M,N不与点B,C重合),且∠1=∠B.
(1)求证:∠BAM=∠CMN.
(2)若AB=5,BC=8,
①当BM=时,MN与AB是否平行?若平行,请证明;若不平行,请说明理由.
②当△AMN为等腰三角形时,求BM的长.
6.如图1,在四边形ABCD中,E,F分别是AB,CD的中点,过点E作AB的垂线,过点F作CD的垂线,两垂线交于点G,连接GA,GB,GC,GD,EF,若∠AGD=∠BGC.
(1)求证:AD=BC;
(2)求证:△AGD∽△EGF;
(3)如图2,若AD,BC所在直线互相垂直,求的值.
参考答案
1.解:(1)∵AF⊥DE,AG⊥BC,
∴∠AFE=90°,∠AGC=90°,
∴∠AEF=90°-∠EAF,∠C=90°-∠GAC,
又∵∠EAF=∠GAC,∴∠AEF=∠C,
又∵∠DAE=∠BAC,∴△ADE∽△ABC.
(2)∵△ADE∽△ABC,∴∠ADE=∠B,
又∵∠AFD=∠AGB=90°,∴△AFD∽△AGB,
∴,∵AD=3,AB=5,∴.
2.解:(1)∵BD是∠ABC的平分线,
∴∠ABD=∠DBC.
∵CD∥AB,
∴∠ABD=∠BDC,
∴∠DBC=∠BDC,
∴BC=CD.
(2)∵CD∥AB,∴△ABE∽△CDE,∴.
∵AB=8,CD=BC=4,∴,∴AE=2CE,
又∵AE+CE=AC=6,∴AE=4.
3.解:(1)∵AE
平分∠BAC,∴∠BAE=∠EAC.
又∵,∴,
∴△ABE∽△ADC,∴∠E=∠C.
(2)∵△ABE∽△ADC,
∴,即,解得BE=.
4.解:(1)∵AD∥BC,∴∠C+∠ADE=180°.
∵∠BFE=∠C,∠AFB+∠BFE=180°,
∴∠AFB=∠EDA.
∵AB∥DC,∴∠BAE=∠AED,
∴△ABF∽△EAD.
(2)∵AB∥CD,BE⊥CD,∴∠ABE=90°.
∵AE=4,∠BAE=30°,∴BE=2,
∴AB==2.
5.解:(1)∵∠1+∠CMN=∠B+∠BAM,∠1=∠B,
∴∠BAM=∠CMN.
(2)①MN∥AB.
理由:∵,∠B=∠B,
∴△ABM∽△CBA,∠BAM=∠C=∠1,∴MN∥AB.
②当AM=AN时,∠1=∠MNA,
∴点N与C重合,不合题意,应舍去;
当MA=MN时,△ABM≌△MCN,AB=MC=5,
∴BM=8-5=3;
当AN=MN时,∵△ABC∽△MCA,
∴,∴MC=,∴BM=.
综上所述,当△AMN是等腰三角形时,BM的长为3或.
6.解:(1)∵GE是AB的垂直平分线,
∴GA=GB,同理GD=GC.
在△AGD和△BGC中,∵GA=GB,∠AGD=∠BGC,GD=GC,
∴△AGD≌△BGC,∴AD=BC.
(2)∵∠AGD=∠BGC,∴∠AGB=∠DGC.
在△AGB和△DGC中,,∠AGB=∠DGC,
∴△AGB∽△DGC.
∴,∠AGE=∠DGF,
∴∠AGD=∠EGF,∴△AGD∽△EGF.
(3).沪科版九年级上册数学专题训练
小专题(五) 相似三角形的辅助线添作技巧
【专题概述】
本专题主要通过添加适当的辅助线构造相似三角形,运用相似三角形的知识来解决数学问题.添作辅助线的方法有:添作平行线、添作垂线、连接线段等.
【专题训练】
类型1 巧添平行线求线段的比
解决此类问题时,一般通过添作的平行线得到成比例线段,然后将已知线段的长或线段之间的关系代入求解.
1.如图,已知△ABC,延长BC到点D,使CD=BC,取AB的中点F,连接FD交AC于点E,求的值.
类型2 巧添平行线证明成比例线段
解决此类问题时,一般通过添作平行线,得到相似三角形,进而得到成比例线段,然后利用比例的性质,进行比例的变形,证得比例式成立.
2.如图,已知△ABC的边AB上有一点D,边BC的延长线上有一点E,且AD=CE,DE交AC于点F.求证:AB·DF=BC·EF.
类型3 巧连线段证明线段的倍分关系
解决此类问题时,连接线段构造相似三角形,得到成比例线段,利用线段之间的关系证得结论.
3.如图,在正方形ABCD中,M为AD的中点,以M为顶点作∠BMN=∠MBC,MN交CD于点N.
求证:DN=2NC.
类型4 巧连线段证明线段的垂直关系
解决此类问题时,连接线段构造相似三角形,得到相等的角,通过等角之间的转化证得结论.
4.如图,折叠矩形ABCD的一边AD,使点D落在BC边的点F处(AE为折痕,点E在CD上),在AD上截取DG,使DG=CF.求证:
(1)△ABF∽△FCE;
(2)BD⊥GE.
类型5 巧作延长线求面积
解决此类问题,通过延长线段构造相似三角形,利用相似三角形的性质求得几何图形的面积.
5.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠BCD的平分线CH⊥AB于点H,BH=3AH,且四边形AHCD的面积为21,求△HBC的面积.
类型6 巧添垂线段求线段的长
解决此类问题,通过添作垂线段,构造相似三角形,得到成比例线段,再把已知线段的长代入求解.
6.如图,矩形ABCD的边长AD=3,AB=2,E为AB的中点,点F在边BC上,且BF=2FC,AF分别与DE,DB相交于点M,N,求MN的长.
类型7 巧添垂线段求线段的比
解决此类问题,通过添作垂线段,构造相似三角形,得到成比例线段,再把已知线段的长或线段的比代入求解.
7.如图,在△ABC中,AB=AC,E,F,G分别是BC,AB,AC上的点,∠FEG=2∠B.
(1)求证:∠BFE=∠AGE;
(2)若,求的值.
类型8 巧添垂线段证明成比例线段
解决此类问题,通过添作垂线段,构造相似三角形,得到成比例线段,再通过相等线段或相等线段的比的转换证得结论.
8.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,P是AB上一点,Q是PC上一点(不是中点),MN过点Q且MN⊥CP,交AC,BC于点M,N.
求证:PA∶PB=CM∶CN.
参考答案
1.解:过点F作FM∥AC,交BC于点M.
∵F为AB的中点,∴M为BC的中点,FM=AC.
∵FM∥AC,∴△FMD∽△ECD,∴,
∴EC=FM=AC=AC,
∴.
2.证明:作DG∥BC交AC于点G,∴△ADG∽△ABC,△DGF∽△ECF,∴.
∵AD=CE,∴,
∴,∴AB·DF=BC·EF.
3.证明:延长MN,BC交于点E,连接MC.设AB=2a,则AM=a,BM=a.
由△BAM≌△CDM,得BM=MC,且∠BCM=∠CBM=∠BMN,∴△BMC∽△BEM,
∴,即,
∴BE=a,∴CE=BE-BC=a-2a=a.
∵四边形ABCD为正方形,
∴∠D=∠DCB=90°,即∠D=∠NCE=90°.
∵∠DNM=∠CNE,∴△MDN∽△ECN,
∴=2,即DN=2NC.
4.证明:(1)∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABF=∠C=∠ADC=90°,∴∠BAF+∠BFA=90°.
由折叠的性质可得∠AFE=∠ADC=90°,
∴∠CFE+∠BFA=90°,
∴∠BAF=∠CFE,∴△ABF∽△FCE.
(2)由(1)知,又∵EF=DE,AF=AD,FC=GD,∴.
又∵∠BAD=∠GDE=90°,∴△BAD∽△GDE,
∴∠ADB=∠DEG.
又∵∠ADB+∠BDC=90°,∴∠DEG+∠BDC=90°,
∴BD⊥GE.
5.解:延长BA,CD交于点P.
∵CH⊥AB,CH平分∠BCD,
∴CB=CP,且BH=PH.
∵BH=3AH,∴PA∶AB=1∶2,∴PA∶PB=1∶3.
∵AD∥BC,∴△PAD∽△PBC,∴S△PAD∶S△PBC=1∶9.
∵S△PCH=S△PBC,∴S△PAD∶S四边形AHCD=2∶7.
∵S四边形AHCD=21,∴S△PAD=6,∴S△PBC=54,
∴S△HBC=S△PBC=27.
6.解:过点F作FH⊥AD于点H,交ED于点O,∴FH=AB=2.
∵BF=2FC,BC=AD=3,∴BF=AH=2,FC=HD=1,
∴AF==2.
∵OH∥AE,∴,
∴OH=AE=,∴OF=FH-OH=2-.
∵AE∥FO,∴△AME∽△FMO,∴,∴AM=AF=.
∵AD∥BF,∴△AND∽△FNB,
∴,∴AN=AF=,
∴MN=AN-AM=.
7.解:(1)∵2∠B+∠A=180°,∴∠FEG+∠A=180°,∴∠BFE=∠AGE.
(2)过点E作EM⊥AB于点M,作EN⊥AC于点N,∴△EMF∽△ENG,∴.易证△EBM∽△ECN,
∴,∴.
8.证明:过点P作PE⊥AC于点E,PF⊥CB于点F,则四边形CEPF为矩形,∴PF∥EC,PF=EC.
∵∠A=∠B=45°,∴Rt△AEP∽Rt△PFB,
∴AP∶PB=PE∶PF.
∵EC=PF,∴. ①
∵CP⊥MN,∴∠QCN+∠QNC=90°.
又∵∠QCN+∠QCM=90°,∴∠MCQ=∠QNC,
∴Rt△PEC∽Rt△MCN,∴,即. ②
由①②得PA∶PB=CM∶CN.沪科版九年级上册数学专题训练
小专题(一) 二次函数的图象和性质的综合应用
【专题概述】
二次函数的图象和性质是安徽中考必考内容之一,主要考查二次函数与其他函数图象共存问题、二次函数的图象和性质综合、二次函数图象与系数的关系、二次函数表达式的确定、与二次函数的图象和性质有关的新定义和探究性问题等,试题以选择题、填空题和解答题形式呈现,难度在中等或中等以上.掌握二次函数的图象和性质是解答此类问题的关键.
【专题训练】
类型1 二次函数与其他函数图象共存问题
解答此类问题的常用方法是:先由其中一个函数的图象,结合函数图象的性质确定字母系数的取值或取值范围,再确定另一个函数的大致图象,从而作出正确的判断.
1.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么一次函数y=ax-bc的图象大致是
(
)
2.在同一平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+b与一次函数y=bx+a的图象可能是
(
)
类型2 二次函数图象与字母系数的关系
解答此类问题,要弄清楚几种关系:a决定了抛物线的开口方向;a,b共同决定抛物线对称轴的位置;c决定抛物线与y轴的交点位置;b2-4ac决定抛物线与x轴的交点情况等.
3.如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于两点(x1,0),(2,0),其中00;③a+2b+4c>0;④<-4.其中正确结论的个数是
(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
类型3 二次函数表达式的确定
待定系数法是确定二次函数表达式的常用方法.一般地,已知抛物线经过的三个点的坐标,常设为一般式y=ax2+bx+c;已知抛物线的顶点和抛物线经过的另一个点的坐标,常设为顶点式y=a(x+h)2+k;已知抛物线与x轴的交点坐标和抛物线经过的另一个点的坐标,常设为交点式y=a(x-x1)(x-x2),有时也会结合平移或翻折等知识来求二次函数的表达式.
4.已知某二次函数的图象与x轴的两个交点A,B关于直线x=-1对称,且AB=6,顶点在函数y=2x的图象上,求这个二次函数的表达式.
5.如图,△OAB的边OA在x轴上,其中点B的坐标为(3,4),且OB=BA.
(1)求经过A,B,O三点的抛物线的表达式;
(2)将(1)中的抛物线沿x轴平移,设A,B的对应点分别为点A',B'.若四边形ABB'A'为菱形,求平移后的抛物线的表达式.
类型4 与二次函数的图象和性质有关的新定义题
解答此类问题的关键是读懂“新定义”的意义.
6.我们规定:若抛物线的顶点在坐标轴上,则称该抛物线为“数轴函数”.例如抛物线y=x2和y=(x-2)2都是“数轴函数”.
(1)抛物线y=x2-4x+4和抛物线y=x2-6x是“数轴函数”吗?请说明理由.
(2)若抛物线y=2x2+4mx+m2+16是“数轴函数”,求该抛物线的表达式.
类型5 与二次函数的图象和性质有关的分类讨论探究
解答此类问题时,要画出所有符合条件的图形,再用分类讨论的方法逐一求解,防止漏解.
7.如图,已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(1,0),B(3,0),与y轴交于点C.
(1)求二次函数的表达式;
(2)若P为抛物线上的一点,F为对称轴上的一点,且以A,B,P,F为顶点的四边形为平行四边形,求点P的坐标.
参考答案
1.
(A)
2.
(C)
3.
(C)
4.解:由题可知,抛物线与x轴交于点(-4,0),(2,0),顶点的横坐标为-1.
∵顶点在函数y=2x的图象上,
∴y=2×(-1)=-2,∴顶点坐标为(-1,-2).
设二次函数的表达式为y=a(x+1)2-2,
把(2,0)代入,得0=9a-2,解得a=,
∴y=(x+1)2-2=x2+x-.
5.解:(1)y=-x(x-6)=-x2+x.
(2)∵点B的坐标为(3,4),点A的坐标为(6,0),
∴BA==5.
∵四边形ABB'A'为菱形,∴BB'=BA=5.
①若抛物线沿x轴向右平移,则B'(8,4),
∴平移后抛物线的表达式为y=-(x-8)2+4;
②若抛物线沿x轴向左平移,则B'(-2,4),
∴平移后抛物线的表达式为y=-(x+2)2+4.
综上所述,平移后的抛物线的表达式为y=-(x-8)2+4或y=-(x+2)2+4.
6.解:(1)抛物线y=x2-4x+4是“数轴函数”,抛物线y=x2-6x不是“数轴函数”.
理由:∵y=x2-4x+4=(x-2)2,∴抛物线的顶点坐标为(2,0),在x轴上,∴抛物线y=x2-4x+4是“数轴函数”.
∵y=x2-6x=(x-3)2-9,∴抛物线的顶点坐标为(3,-9),在第四象限,∴抛物线y=x2-6x不是“数轴函数”.
(2)y=2x2+4mx+m2+16=2(x+m)2-m2+16,顶点坐标为(-m,-m2+16).
由于抛物线y=2x2+4mx+m2+16是“数轴函数”,分两种情况:①当顶点在x轴上时,-m2+16=0,m=±4,抛物线的表达式为y=2x2+16x+32或y=2x2-16x+32;
②当顶点在y轴上时,-m=0,m=0,抛物线的表达式为y=2x2+16.
综上,抛物线的表达式为y=2x2+16x+32或y=2x2-16x+32或y=2x2+16.
7.解:(1)用交点式得函数表达式为y=(x-1)(x-3)=x2-4x+3.
(2)①当AB为平行四边形的一条边时,如图1,
则AB=PF=2,由(1)知y=x2-4x+3=(x-2)2-1,则对称轴为直线x=2.
当点P在对称轴右侧时,点P的坐标为(4,3);当点P在对称轴左侧时,即点C的位置,点P的坐标为(0,3).
②当AB是四边形的对角线时,如图2,
则AB和PF的交点坐标为(2,0),∴点P的坐标为(2,-1).
综上,点P的坐标为(4,3)或(0,3)或(2,-1).
