2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义

(共20张PPT)
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
已知两个非零向量 和 ，作 ， ，
则∠AOB= θ(0 ≤θ≤180 )叫做向量 与 的夹角.
θ
O
A
B
当θ= 0 时， 与 同向；
当θ= 180 时， 与 反向；
当θ= 90 时， 与 垂直，记作 。
通过平移
变成共起点！
　　　　如图，等边三角形中，求
（1）AB与AC的夹角；
（2）AB与BC的夹角。
A
B
C
练一练
探究（一）:平面向量数量积的背景与含义
W＝︱F︱︱s︱cosθ
思考1：如图，一个物体在力F的作用下产生位移s，且力F与位移s的夹角为θ，那么力F所做的功W是多少？
θ
s
F
思考2：功是一个标量，它由力和位移两个向量所确定，数学上，我们把“功”称为向量F与s “数量积”.一般地，对于非零向量a与b的数量积是指什么？
即平面向量数量积的物理意义是力在一定位移下所作的功
)
(
或内积
已知两个非零向量 和 ，我们把数量
a
cos
|
||
|
b
q
a
b
叫做 与 的数量积
a
b
)
(
或点积
其中，q 是 的夹角
O
B
A
O
规定:零向量与任一向量的数量积为0。
向量b在 a方向上的投影
向量a在b方向上的投影
思考3：根据投影的概念，数量积a·b=︱a|︱b︱cosθ的几何意义如何？
数量积 等于 的模与 在 方向上的投影
的乘积。
思考4：向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？
注意：
数量积
a · b =| a || b |cos



注意公式变形，知三求一.

“ · ”不能省略，也不能写成“×”

一种新的运算
由向量数量积的定义，试完成下面问题：
注：常记 为 。
0
≤
证明向量
垂直的依据
求模的依据
求向量夹角的依据
探究（二）：平面向量数量积的性质
探究（三）：平面向量数量积的运算律
思考5: 我们学过了实数乘法的那些运算律？这些 运算律对向量是否也适用？
的结果是实数
与 共线的向量
的结果是实数
与 共线的向量
如图可知：
例 2：求证：
的夹角为
的夹角为
不共线，k为何值时
时
b
是非零向量
与
1.已知：
a
的结果还是一个向量 （ ）
a
b
·
（1）
（2） （ ）
a
2
|
|
=
a
·
a
（3） （ ）
（4） （ ）
（5） （ ）
（6） （ ）
×
√
×
√
√
×
2、判断下列说法的正误，并说明理由
错误
正确
正确
小结
1.数量积的定义及其几何意义
2.数量积的性质
3.数量积的运用
作业：
P108 A组
1，2 ，3，6， 7