2.2.3向量的数乘运算

(共16张PPT)
向量的加法的三角形法则
向量的加法(平行四边形法则)
如图,已知向量a和向量b,作向量a+b.
a
作法:
在平面中任取一点o,
过O作OA= a
过O作OB= b
o
a
A
b
B
b
以OA,OB为边作
平行四边形
则对角线
OC= a+b
a+b
C
向量的减法
实际背景
试作出： a+a+a 和 (-a)+(-a)+(-a)
已知非零向量 a （如图）
a
a
a
a
O
A
B
C
-a
-a
-a
P
Q
M
N
相同向量相加以后，
和的长度与方向有什么变化？
向量的数乘运算的定义：
(2) 当λ>0时,λa的方向与a方向相同；
当λ<0时,λa的方向与a方向相反；
特别地，当λ=0或a=0时, λa=0
(1) 根据定义，求作向量3(2a)和(6a) (a为非零向量)，并进行比较。
(2) 已知向量 a,b，求作向量2(a+b)和2a+2b，并进行比较。
=
向量的数乘运算满足如下运算律：
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。
对于任意的向量 以及任意实数 恒有
例题分析
例1 计算
（1）（－3）×4a； （2）3（a＋b）－2（a－b）－a；
（3）（2a＋3b－c）－（3a－2b＋c）.
对于向量 a (a≠0), b ，以及实数λ。
问题1：如果 b=λa ,
那么，向量a与b是否共线？
问题2：如果 向量a与b共线
那么，b=λa ？
向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是
有且只有一个实数λ，使得 b=λa
例2 如图，已知AD=3AB，DE=3BC，
试判断AC与AE是否共线。
2b
3b
a
b
O
例3 如图，已知任意两个非零向量a， b，试作 =a＋b， =a＋2b，
=a＋3b.你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？
a
b
A
B
C
如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB中点，点
N在线段BD上，且有BN= BD，求证：M、N、C
三点共线。
提示：设AB = a BC = b
则MN= … = a + b
MC= … = a+ b
小结回顾
一、①λa 的定义及运算律
②向量共线定理 (a≠0)
b=λa 向量a与b共线
二、定理的应用：
1. 证明 向量共线
2. 证明 三点共线: AB=λBC A,B,C三点共线
3. 证明 两直线平行:
AB=λCD AB∥CD
AB与CD不在同一直线上
直线AB∥直线CD
课本 :
P91 第 9题（3）（4）
P92 第 4题
复 习
例题讲解
小结回顾
引入练习
新课讲解
定理讲解
课堂练习