（必修4） 2.2.1向量的加法运算及其几何意义

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普通高中课程标准实验教科书（必修4）数学第二章第二节
2.2.1向量的加法运算及其几何意义
(一)复习引入
1．向量的概念及表示方法？
２．什么叫相等向量？
３．什么叫共线向量？
问题1 两个实数能进行加法运算，那么，
向量是否也能进行加法运算？
探究一：向量加法的几何运算法则
思考1：如图，某人从点A到点B，再从点B改变方向到点C，则两次位移的和可用哪个向量表示？由此可得什么结论？
A
B
C
●
●
E
O
●
●
E
O
●
●
E
O
F1
F2
F
F1
F2
C
F
F1+F2=F
图1
图2
思考2：图1表示橡皮条在两个力F1和F2的作用下，沿MC方向伸长了EO；图2表示橡皮条在一个力F的作用下，沿相同方向伸长了相同长度.从力学的观点分析，力F与F1、F2之间的关系如何？
A
C
2.它们之们有联系吗
1.两种方法做出的结果一样吗
a
b
a
b
B
a + b
a
b
B
O
A
C
a + b
上述分析表明，两个向量可以相加，并且两个向量的和还是一个向量.一般地，求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
思考3：任意给出两个向量a 与 b.
如何定义 呢？
b
b
a
b
a
三 角 形 法 则:
平行四边形法则:
A
C
2.它们之们有联系吗
1.两种方法做出的结果一样吗
a
b
a
b
B
a + b
a
b
B
O
A
C
a + b
b
思考3：任意给出两个向量a 与 b.
如何定义 呢？
向量的加法：
b
a
B
b
a+b
a
A
首尾顺次相连
O
三角形法则
b
a
A
a
a
a
a
a
a
a
a
b
b
b
B
b
a
D
a
C
b
a+b
作法:(1)在平面内任取一点A；
(2)以点A为起点以向量a、b为邻边作平行 四边形ABCD.即AD＝BC＝a,AB=DC=b ；
（3）则以点A为起点的对角线AC＝a+b.
2、向量加法的平行四边形法则
注意起点相同.共线向量不适用
三角形法则：首尾相接连端点；
平行四边形法则：起点相同连对角.
思考4：用三角形法则和平行四边形法则求作两个向量的和向量，你能归纳一下其作图特点吗？
思考5：对于两个非零共线向量，如何求出他们
的和向量？
2、方向相反
a
a
b
b
A
B
B
A
C
C
AC = a + b
AC = a + b
a
b
1、方向相同
b
a
思考：
1.若两向量互为相反向量,则它们的和为什么
2.零向量和任一向量 的和为什么
探究二：向量加法的代数运算性质
3：若向量a与b同向，则向量a＋b的方向如何？
若向量a与b反向，则向量a＋b的方向如何？
A
B
C
ｂ
a＋b
a
a
ｂ
a＋b
a
ｂ
a＋b
|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a与b同向时取等号；
|a＋b|≥||a|－|b||，当且仅当a与b反向时取等号.
思考4：考察下列各图，|a＋b|与|a|＋|b|的大小关系如何？|a＋b|与|a|－|b|的大小关系如何？
b
a
b
a
+
a
b
b
a
+
b
a
c
+
a
b
+
(
)
a
+
b
c
+
(
)
,
.
a
如图，已知 , , ，请作出
b　
c
a
b
+
a
b
+
c
b
+
,
,
b
a
c
c
思考5
向量加法的运算律
交换律：
结合律：
思考6： 等于什么向量？
等于什么向量？
１.化简
练一练
２.根据图示填空
A
B
D
E
C
例 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输.如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.
（1）使用向量表示江水速度、船速以及船的实际航行的速度；
（2）求船实际航行速度的大小与方向.
A
C
数学应用
数学应用
解:如图,设用向量 表示船向垂直于对岸的速度,用向量 表示水流的速度
答:船实际行驶速度的大小为4km/h,方向与水流速度间的夹角 .
以AC,AB为邻边作平行四边形,则 就是船实际行驶的速度
课后思考
如图，一艘船从 A点出发能以
的速度垂直
向对岸的方向行驶，同时河水以２km/h的速度
向东流,求船的航向及速度大小。
课堂小结：
向量加法的定义
向量加法的运算律
三角形法则
平行四边形法则
向量加法的运算
作业：
P84练习：3，4.（做书上）
P91习题2.2A组：1，2，3.