1.1.1任意角

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1.1.1任意角
教学目标
1.理解任意角的概念；
2.学会建立直角坐标系讨论任意角，判断象限角，掌握终边相同角的集合的书写。
教学重、难点：
1．判断已知角所在象限；
2．终边相同的角的书写。
初中对角的定义是什么？
O
A
B
角α终边
角α始边
O
A
B
α
　　（1）由具有公共端点的两条射线所组成的图形．
　　（2）一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所组成的图形．
顶点
初中所学角的范围是什么？
0°~360°（即0°≤α＜360°）和周角．
有比360°更大的角吗？
　　跳水中有“转体720°”（转体2周）、体操中有“转体1080°”（转体3周）等这样的动作名称．而旋转的方向也有顺时针和逆时针的不同，右下角两个齿轮的旋转方向相反，那么他们旋转所成的角也有不同的方向．
⑴“旋转”形成角
一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角α．
旋转开始时的射线OA叫做角α的始边，旋转终止的射线OB叫做角α的终边，射线的端点O叫做角α的顶点．
知识探究（一）：角的概念的推广
逆时针
顺时针
定义：
正角：按逆时针方向旋转形成的角
负角：按顺时针方向旋转形成的角　
零角：射线不作旋转时形成的角
任意角
记法：角 或 ，可简记为
注意：
1：角的正负由旋转方向决定
2：角可以任意大小，绝对值大小由旋转次数及终边位置决定
练习：如果你的手表慢了20分钟，或快了1.25小时，你应该将分钟分别旋转多少度才能将时间校准？
－120°，450°.
O
x
y
第一象限角
第二象限角
第三象限角
第四象限角
　　y轴负半轴上的角
　　角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.
　　x轴负半轴上的角
　　x轴正半轴上的角
　　y轴正半轴上的角
知识探究（二）：象限角与轴线角的概念：
要点
1)置角的顶点于原点
2)始边重合于X轴的非负半轴
终边落在第几象限
就是第几象限角
坐标轴上的角：（轴线角）
练习1：下列各角：-50°，405°，210°, -200°，－450°分别是第几象限的角？
－50°
x
y
o
x
y
o
210°
－450°
x
y
o
405°
x
y
o
－200°
x
y
o
练习2：
1、锐角是第几象限的角？
2、第一象限的角是否都是锐角？举例说明
3、小于90°的角都是锐角吗？
答：锐角是第一象限的角。
答：第一象限的角并不都是锐角。
答：小于90°的角并不都是锐角，它也有可能是零角或负角。
思考1：锐角与第一象限的角是什么逻辑关系？钝角与第二象限的角是什么逻辑关系？直角与轴线角是什么逻辑关系？
思考2：第二象限的角一定比第一象限的角大吗？
注意：象限角只能反映角的终边所在象限，不能反映角的大小.
思考3：在直角坐标系中，135°角的终边在什么位置？终边在该位置的角一定是135°吗？
x
y
o
知识探究（三）：终边相同的角
思考1：－32°，-392°，328°是第几象限的角？这些角有什么内在联系？
－32°
－392°
x
y
o
328°
x
y
o
300
3900
-3300
3900=300+3600
-3300=300-3600
=300+1x3600
=300 -1x3600
300 =300+0x3600
300+2x3600 , 300－2x3600
300+3x3600 , 300－3x3600
… , … ,
与300终边相同的角的一般形式为300＋K·3600，K ∈ Z
思考2：与300角终
边相同的角有多
少个？这些角与
300角在数量上
相差多少？
与 终边相同的角的一般形式为
＋K · 3600，K ∈ Z
注:（1） K ∈ Z
（2） 是任意角
（3）K·360°与 之间是“+”号，如K·360°-30 °，应看成K·360 °+（-30 ° ）
（4）终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍
例1、在0到360度范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角？
（1）-120°（2）640 °（3） -950 ° 12'
解（1）-120°=-360 °+240 °
所以与-120 °角终边相同的角是240 °角，它是第三象限角。
例题分析
（2）640°=360°+280°
所以与640°角终边相同的角是280°角，它是第四象限角。
（3）-950°12’ = -3×360°+129°48'
所以与-950°12’ 角终边相同的角是129°48 ’ 角，它是第二象限角。
小结：在0到360度内找与已知角终边相同的角，方法是：用所给角除以360 ° ， 所给角是正的：按通常的除法进行；所给角是负的：角度除以360 ° ，商是负数，它的绝对值应比被除数为其相反数时相应的商大1，以便使余数为正值。
例2　写出终边落在Y轴上的角的集合。
终边落在坐标轴上的情形
x
y
o
00
900
1800
2700
+K · 3600
+K ·3600
+K· 3600
+K· 3600
或3600＋K ·3600
例2　写出终边落在y轴上的角的集合。
解：终边落在ｙ轴正半轴上的角的集合为
S1={β| β=900+K 3600,K∈Z}
终边落在ｙ轴负半轴上的角的集合为
S2={β| β=2700+K 3600,K∈Z}
所以　终边落在ｙ轴上的角的集合为
S=S1∪S2
={β| β=900+K 3600,K∈Z}
∪{β| β=2700+K 3600,K∈Z}
={β| β=900+1800 的偶数倍}
∪{β| β=900+1800 的奇数倍}
={β| β=900+1800 的整数倍}　　
={β| β=900+K 1800 ，K∈Z}
={β| β=900+2K 1800,K∈Z}
∪{β| β=900+1800+2K 1800,K∈Z}
={β| β=900+2K 1800,K∈Z}
∪{β| β=900+（2K+1）1800 ，K∈Z}
小结：1 终边在x轴正半轴、负半轴，y轴正半轴、负半轴上的角的表示
x轴正半轴：α= k·360°，k∈Z ； x轴负半轴：α= 180°＋k·360°，k∈Z ；
y轴正半轴：α= 90°＋k·360°，k∈Z ； y轴负半轴：α= 270°＋k·360°，k∈Z .
2 终边在x轴、y轴上的角的集合的表示：
终边在x轴上：S={α|α=k·180°，k∈Z}；终边在y轴上：S={α|α=90°＋k·180°， k∈Z}.
思考：第一、二、三、四象限的角的集合分别如何表示？
第一象限：S={α | k·360°<α<
90°＋k·360°，k∈Z}；
第二象限：S={α | 90°＋k·360°<α<
180°＋k·360°，k∈Z}；
第三象限：S={α | 180°＋k·360°<α<
270°＋k·360°，k∈Z}；
第四象限：S={α | －90°＋k·360°<
αx
y
o
x
y
o
x
y
o
x
y
o
x
y
o
S={α|α=45°＋k·180°，k∈Z}.
－315°，-135°，45°，225°，405°，585°.
例3 写出终边在直线y=x上的角的集合S，并把S中适合不等式-360°≤ ＜720°的元素写出来.
小结：
1.任意角
的概念
正角：射线按逆时针方向旋转形成的角
负角：射线按顺时针方向旋转形成的角
零角：射线不作旋转形成的角
1)置角的顶点于原点
2)始边重合于X轴的非负半轴
2.象限角
终边落在第几象限就是第几象限角
3 . 终边与 角ａ相同的角
＋K·3600，K∈Z
4：在0到360度内找与已知角终边相同的角，方法是：用所给角除以3600。 所给角是正的：按通常的除法进行；所给角是负的：角度除以3600，商是负数，它的绝对值应比被除数为其相反数时相应的商大1，以便使余数为正值。
5：判断一个角是第几象限角，方法是： 所给角 改写成 ： 0+k ·3600 ( K∈Z,00≤ 0＜3600)的形式， 0在第几象限 就是第几象限角
课后作业
阅读教材P.2-P.5；　　
教材P.5练习第1-5题；　　
教材P.9习题1.1第1、2、3、4题.
思考题．已知 角是第三象限角，
则2 ， 各是第几象限角？
　　2．若角α与β的终边关于x轴对称，则两个角有怎样的关系？
答：α＋β=k· 360°，k∈Z．
　　若角α与β的终边关于y轴对称呢？
O
x
y
β
α