《勾股定理》同步练习以及竞赛试题
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文档简介
勾股定理
学习目标
1、经历探索数格子的方法发现勾股定理，并利用拼图的方法论证勾股定理的存在。
2、结合具体的情境，理解和掌握“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”。
3、探索和实际操作掌握勾股定理在实际生活中的应用。
重点、难点
重点：是对勾股定理的理解，以及运用勾股定理去解决一些相关的实际问题。
难点：是勾股定理的探索和验证过程中，进一步体会数形结合的思想，学习中应注意加辅助线的方法。
参考例题
［例1］如下图所示，△ABC中，AB=15 cm，AC=24 cm，∠A=60°，求BC的长.
分析：△ABC是一般三角形，若要求出BC的长，只能将BC置于一个直角三角形中.
解：过点C作CD⊥AB于点D
在Rt△ACD中，∠A=60°
∠ACD=90°－60°=30°
AD=AC=12(cm)
CD2=AC2－AD2=242－122=432，
DB=AB－AD=15－12=3.
在Rt△BCD中，
BC2=DB2+CD2=32+432=441
BC=21 cm.
评注：本题不是直角三角形，而要解答它必须构造出直角三角形，用勾股定理来解.
［例2］如下图，A、B两点都与平面镜相距4米，且A、B两点相距6米，一束光线由A射向平面镜反射之后恰巧经过B点.
求B点到入射点的距离.
分析：此题要用到勾股定理，全等三角形，轴对称及物理上的光的反射的知识.
解：作出B点关于CD的对称点B′，连结AB′，交CD于点O，则O点就是光的入射点.
因为B′D=DB.
所以B′D=AC.
∠B′DO=∠OCA=90°，
∠B′=∠CAO
所以△B′DO≌△ACO(SSS)
则OC=OD=AB=×6=3米.
连结OB，在Rt△ODB中，OD2+BD2=OB2
所以OB2=32+42=52，即OB=5(米).
所以点B到入射点的距离为5米.
评注：这是以光的反射为背景的一道综合题，涉及到许多几何知识，由此可见，数学是学习物理的基础.
1.探索勾股定理（一）
在两千多年前我国古算术上记载有“勾三股四弦五”.你知道它的意思吗？
它的意思是说：如果一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4个长度单位，那么它的斜边的长一定是5个长度单位，而且3、4、5这三个数有这样的关系：32+42=52.
（1）请你动动脑筋，能否验证这个事实呢？该如何考虑呢？
（2）请你观察下列图形，直角三角形ABC的两条直角边的长分别为AC=7，BC=4，请你研究这个直角三角形的斜边AB的长的平方是否等于42+72？
附：探索勾股定理优化设计
勾股定理是平面几何中的一个重要定理，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，把形的特征——三角形中一个角是直角，转化成数量关系——三边之间满足。利用它可以解决直角三角形中的许多计算问题，是解直角三角形的主要根据之一。它在理论上有重要的地位，在实际中有很大的用途，因而这一节课的教学就显得相当重要。
对“勾股定理”的教学，笔者做如下的设计：
一、复习性导语，自然引入(时间：7—8分钟)
我们知道，任意三角形的三条边必须满足定理：三角形的两边之和大于第三边。对于等腰三角形和等边三角形的边，除满足三边关系定理外，它们还分别存在着两边相等和三边相等的特殊关系。那么对于直角三角形的边，除满足三边关系定理外，它们之间也存在着特殊的关系，这就是我们这一节要研究的问题：勾股定理。
这一段导语的目的是，既复习旧知识：三角形两边之和大于第三边，又很自然地引出新问题：勾股定理。这时，让学生带着问题去阅读课文的第一、二自然段。
二、拼图证明，直观易懂(时间：13—15分钟)
勾股定理的证明方法很多，采用哪种方法直观易懂地使定理得到证明，是本节课教学的难点，为解决这个难点，我们设计这样一则填空题：
用两直角边是a、b，斜边是c的四个全等直角三角形拼成图1。
观察图形并思考、填空：
1．拼成的图中有_______个正方形，______个直角三角形。
2．图中大正方形的边长为_______，小正方形的边长为_______。
3．图中大正方形的面积为_______，小正方形的面积为_______，四个直角三角形的面积为_______。
4．从图中可以看到大正方形的面积等于小正方形的面积与四个直角三角形的面积之和，于是可列等式为_______，将等式化简、整理，得_______。
学生讨论、回答，教师及时点拨，并适时引导，使学生正确地完成填空题。
对于勾股定理的证明，我们没有采用教师讲解的方法去完成，而是设计了一组思考填空题，让学生在思考、填空的过程中完成该定理的证明。
勾股定理的证明是本节的难点，教科书采用将八个全等的直角三角形拼成两个图形的方法进行证明，既繁琐，又费时。笔者所采用的证明方法，在初二学生目前所学的有限知识中，是一种较简便的证明方法，比教科书上介绍的证明方法省时易懂。
三、精选练习，掌握应用(时间：20—22分钟)
勾股定理的应用是本节教学的重点，一定要让学生熟练地掌握在直角三角形中已知两边求第三边的方法，为此，可设计下列三组具有梯度性的练习：
练习1(填空题)
已知在Rt△ABC中，∠C=90°。
①若a=3，b=4，则c=________；
②若a=40，b=9，则c=________；
③若a=6，c=10，则b=_______；
④若c=25，b=15，则a=________。
⑤若∠A=30°，则BC=______，AC=_______；
⑥若∠A=45°，则BC=______，AC=_______。
练习2(填空题)
已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10。
1、已知在Rt△ABC中，∠C=90°。①若a=3，b=4，则c=________；
②若a=40，b=9，则c=________；③若a=6，c=10，则b=_______；
④若c=25，b=15，则a=________。
练习3
已知等边三角形ABC的边长是6cm。求：
(1)高AD的长；
(2)△ABC的面积。
练习1是在学生刚刚了解了勾股定理的内容后，已知两边求第三边的练习。这时应提醒学生注意：∠C=90°，则c是斜边，边a、b是直角边。以便学生正确运用勾股定理求第三边。
练习2是学生在初步掌握了在直角三角形中已知两边求第三边的方法以后，有所提高的一组练习，既要用到30°直角三角形和45°直角三角形的性质，又要用到勾股定理。
练习3综合性较强，它既要结合图形的性质，又要用到勾股定理和三角形的面积公式。
这三组练习紧紧围绕本节的重点而设置，学生完成这三组练习后，对勾股定理的应用就有了较深刻的认识，在学了四边形和一元二次方程后，应用范围将逐步扩大。
竞赛辅导：勾股定理与应用
勾股定理 直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即
a2+b2=c2．
勾股定理逆定理 如果三角形三边长a，b，c有下面关系：
a2+b2=c2
那么这个三角形是直角三角形．
早在3000年前，我国已有“勾广三，股修四，径阳五”的说法．
关于勾股定理，有很多证法，在我国它们都是用拼图形面积方法来证明的．下面的证法1是欧几里得证法．
证法1 如图2-16所示．在Rt△ABC的外侧，以各边为边长分别作正方形ABDE，BCHK，ACFG，它们的面积分别是c2，a2，b2．下面证明，大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和．
过C引CM∥BD，交AB于L，连接BG，CE．因为
AB=AE，AC=AG，∠CAE=∠BAG，
所以△ACE≌△AGB(SAS)．而
所以 SAEML=b2． ①
同理可证 SBLMD=a2． ②
①+②得
SABDE=SAEML+SBLMD=b2+a2，
即 c2=a2+b2．
证法2 如图2-17所示．将Rt△ABC的两条直角边CA，CB分别延长到D，F，使AD=a，BF=b．完成正方形CDEF(它的边长为a+b)，又在DE上截取DG=b，在EF上截取EH=b，连接AG，GH，HB．由作图易知
△ADG≌△GEH≌△HFB≌△ABC，
所以
AG=GH=HB=AB=c，
∠BAG=∠AGH=∠GHB=∠HBA=90°，
因此，AGHB为边长是c的正方形．显然，正方形CDEF的面积等于正方形AGHB的面积与四个全等的直角三角形(△ABC，△ADG，△GEH，△HFB)的面积和，即
化简得 a2+b2=c2．
证法3 如图2-18．在直角三角形ABC的斜边AB上向外作正方形ABDE，延长CB，自E作EG⊥CB延长线于G，自D作DK⊥CB延长线于K，又作AF， DH分别垂直EG于F，H．由作图不难证明，下述各直角三角形均与Rt△ABC全等：
△AFE≌△EHD≌△BKD≌△ACB．
设五边形ACKDE的面积为S，一方面
S=SABDE+2S△ABC， ①
另一方面
S=SACGF+SHGKD+2S△ABC． ②
由①，②
所以 c2=a2+b2．
关于勾股定理，在我国古代还有很多类似上述拼图求积的证明方法，我们将在习题中展示其中一小部分，它们都以中国古代数学家的名字命名．
利用勾股定理，在一般三角形中，可以得到一个更一般的结论．
定理 在三角形中，锐角(或钝角)所对的边的平方等于另外两边的平方和，减去(或加上)这两边中的一边与另一边在这边(或其延长线)上的射影的乘积的2倍．
证 (1)设角C为锐角，如图2-19所示．作AD⊥BC于D， 则CD就是AC在BC上的射影．在直角三角形ABD中，
AB2=AD2+BD2， ①
在直角三角形ACD中，
AD2=AC2-CD2， ②
又
BD2=(BC-CD)2， ③
②，③代入①得
AB2=(AC2-CD2)+(BC-CD)2
=AC2-CD2+BC2+CD2-2BC·CD
=AC2+BC2-2BC·CD，
即
c2=a2+b2-2a·CD． ④
(2)设角C为钝角，如图2-20所示．过A作AD与BC延长线垂直于D，则CD就是AC在BC(延长线)上的射影．在直角三角形ABD中，
AB2=AD2+BD2， ⑤
在直角三角形ACD中，
AD2=AC2-CD2， ⑥
又
BD2=(BC+CD)2， ⑦
将⑥，⑦代入⑤得
AB2=(AC2-CD2)+(BC+CD)2
=AC2-CD2+BC2+CD2+2BC·CD
=AC2+BC2+2BC·CD，
即
c2=a2+b2+2a·cd． ⑧
综合④，⑧就是我们所需要的结论
特别地，当∠C=90°时，CD=0，上述结论正是勾股定理的表述：
c2=a2+b2．
因此，我们常又称此定理为广勾股定理(意思是勾股定理在一般三角形中的推广)．
由广勾股定理我们可以自然地推导出三角形三边关系对于角的影响．在△ABC中，
(1)若c2=a2+b2，则∠C=90°；
(2)若c2＜a2+b2，则∠C＜90°；
(3)若c2＞a2+b2，则∠C＞90°．
勾股定理及广勾股定理深刻地揭示了三角形内部的边角关系，因此在解决三角形(及多边形)的问题中有着广泛的应用．
例1 如图2-21所示．已知：在正方形ABCD中，∠BAC的平分线交BC于E，作EF⊥AC于F，作FG⊥AB于G．求证：AB2=2FG2．
分析 注意到正方形的特性∠CAB=45°，所以△AGF是等腰直角三角形，从而有AF2=2FG2，因而应有AF=AB，这启发我们去证明△ABE≌△AFE．
证 因为AE是∠FAB的平分线，EF⊥AF，又AE是△AFE与△ABE的公共边，所以
Rt△AFE≌Rt△ABE(AAS)，
所以 AF=AB． ①
在Rt△AGF中，因为∠FAG=45°，所以
AG=FG，
AF2=AG2+FG2=2FG2． ②
由①，②得
AB2=2FG2．
说明 事实上，在审题中，条件“AE平分∠BAC”及“EF⊥AC于F”应使我们意识到两个直角三角形△AFE与△ABE全等，从而将AB“过渡”到AF，使AF(即AB)与FG处于同一个直角三角形中，可以利用勾股定理进行证明了．
例2 如图2-22所示．AM是△ABC的BC边上的中线，求证：AB2+AC2=2(AM2+BM2)．
证 过A引AD⊥BC于D(不妨设D落在边BC内)．由广勾股定理，在△ABM中，
AB2=AM2+BM2+2BM·MD． ①
在△ACM中，
AC2=AM2+MC2-2MC·MD． ②
①+②，并注意到MB=MC，所以
AB2+AC2=2(AM2+BM2)． ③
如果设△ABC三边长分别为a，b，c，它们对应边上的中线长分别为ma，mb，mc，由上述结论不难推出关于三角形三条中线长的公式．
推论 △ABC的中线长公式：
说明 三角形的中线将三角形分为两个三角形，其中一个是锐角三角形，另一个是钝角三角形(除等腰三角形外)．利用广勾股定理恰好消去相反项，获得中线公式．①′，②′，③′中的ma，mb，mc分别表示a，b，c边上的中线长．
例3 如图2-23所示．求证：任意四边形四条边的平方和等于对角线的平方和加对角线中点连线平方的4倍．
分析 如图2-23所示．对角线中点连线PQ，可看作△BDQ的中线，利用例2的结论，不难证明本题．
证 设四边形ABCD对角线AC，BD中点分别是Q，P．由例2，在△BDQ中，
即
2BQ2+2DQ2=4PQ2+BD2． ①
在△ABC中，BQ是AC边上的中线，所以
在△ACD中，QD是AC边上的中线，所以
将②，③代入①得
=4PQ2+BD2，
即
AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2．
说明 本题是例2的应用．善于将要解决的问题转化为已解决的问题，是人们解决问题的一种基本方法，即化未知为已知的方法．下面，我们再看两个例题，说明这种转化方法的应用．
例4 如图2-24所示．已知△ABC中，∠C=90°，D，E分别是BC，AC上的任意一点．求证：AD2+BE2=AB2+DE2．
分析 求证中所述的4条线段分别是4个直角三角形的斜边，因此考虑从勾股定理入手．
证 AD2=AC2+CD2，BE2=BC2+CE2，所以
AD2+BE2=(AC2+BC2)+(CD2+CE2)=AB2+DE2
例5 求证：在直角三角形中两条直角边上的中线的平方和的4倍等于斜边平方的5倍．
如图2-25所示．设直角三角形ABC中，∠C=90°，AM，BN分别是BC，AC边上的中线．求证：
4(AM2+BN2)=5AB2．
分析 由于AM，BN，AB均可看作某个直角三角形的斜边，因此，仿例4的方法可从勾股定理入手，但如果我们能将本题看成例4的特殊情况——即M，N分别是所在边的中点，那么可直接利用例4的结论，使证明过程十分简洁．
证 连接MN，利用例4的结论，我们有
AM2+BN2=AB2+MN2，
所以 4(AM2+BN2)=4AB2+4MN2． ①
由于M，N是BC，AC的中点，所以
所以 4MN2=AB2． ②
由①，②
4(AM2+BN2)=5AB2．
说明 在证明中，线段MN称为△ABC的中位线，以后会知道中位线的基本性质：“MN∥AB且MN=图2-26所示．MN是△ABC的一条中位线，设△ABC的面积为S．由于M，N分别是所在边的中点，所以S△ACM=S△BCN，两边减去公共部分△CMN后得S△AMN=S△BMN，从而AB必与MN平行．又S△ABM=高相同，而S△ABM=2S△BMN，所以AB=2MN．
练习十一
1．用下面各图验证勾股定理(虚线代表辅助线)：
(1)赵君卿图(图2-27)；
(2)项名达图(2-28)；
(3)杨作枚图(图2-29)．
2．已知矩形ABCD，P为矩形所在平面内的任意一点，求证：PA2+PC2=PB2+PD2．
(提示：应分三种情形加以讨论，P在矩形内、P在矩形上、P在矩形外，均有这个结论．)
3．由△ABC内任意一点O向三边BC，CA，AB分别作垂线，垂足分别是D，E，F．求证：
AF2+BD2+CE2=FB2+DC2+EA2．
4．如图2-30所示．在四边形ADBC中，对角线AB⊥CD．求证：AC2+BD2=AD2+BC2．它的逆定理是否成立？证明你的结论．
5．如图2-31所示．从锐角三角形ABC的顶点B，C分别向对边作垂线BE，CF．求证：
BC2=AB·BF+AC·CE．
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学习目标
1、经历探索数格子的方法发现勾股定理，并利用拼图的方法论证勾股定理的存在。
2、结合具体的情境，理解和掌握“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”。
3、探索和实际操作掌握勾股定理在实际生活中的应用。
重点、难点
重点：是对勾股定理的理解，以及运用勾股定理去解决一些相关的实际问题。
难点：是勾股定理的探索和验证过程中，进一步体会数形结合的思想，学习中应注意加辅助线的方法。
参考例题
［例1］如下图所示，△ABC中，AB=15 cm，AC=24 cm，∠A=60°，求BC的长.
分析：△ABC是一般三角形，若要求出BC的长，只能将BC置于一个直角三角形中.
解：过点C作CD⊥AB于点D
在Rt△ACD中，∠A=60°
∠ACD=90°－60°=30°
AD=AC=12(cm)
CD2=AC2－AD2=242－122=432，
DB=AB－AD=15－12=3.
在Rt△BCD中，
BC2=DB2+CD2=32+432=441
BC=21 cm.
评注：本题不是直角三角形，而要解答它必须构造出直角三角形，用勾股定理来解.
［例2］如下图，A、B两点都与平面镜相距4米，且A、B两点相距6米，一束光线由A射向平面镜反射之后恰巧经过B点.
求B点到入射点的距离.
分析：此题要用到勾股定理，全等三角形，轴对称及物理上的光的反射的知识.
解：作出B点关于CD的对称点B′，连结AB′，交CD于点O，则O点就是光的入射点.
因为B′D=DB.
所以B′D=AC.
∠B′DO=∠OCA=90°，
∠B′=∠CAO
所以△B′DO≌△ACO(SSS)
则OC=OD=AB=×6=3米.
连结OB，在Rt△ODB中，OD2+BD2=OB2
所以OB2=32+42=52，即OB=5(米).
所以点B到入射点的距离为5米.
评注：这是以光的反射为背景的一道综合题，涉及到许多几何知识，由此可见，数学是学习物理的基础.
1.探索勾股定理（一）
在两千多年前我国古算术上记载有“勾三股四弦五”.你知道它的意思吗？
它的意思是说：如果一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4个长度单位，那么它的斜边的长一定是5个长度单位，而且3、4、5这三个数有这样的关系：32+42=52.
（1）请你动动脑筋，能否验证这个事实呢？该如何考虑呢？
（2）请你观察下列图形，直角三角形ABC的两条直角边的长分别为AC=7，BC=4，请你研究这个直角三角形的斜边AB的长的平方是否等于42+72？
附：探索勾股定理优化设计
勾股定理是平面几何中的一个重要定理，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，把形的特征——三角形中一个角是直角，转化成数量关系——三边之间满足。利用它可以解决直角三角形中的许多计算问题，是解直角三角形的主要根据之一。它在理论上有重要的地位，在实际中有很大的用途，因而这一节课的教学就显得相当重要。
对“勾股定理”的教学，笔者做如下的设计：
一、复习性导语，自然引入(时间：7—8分钟)
我们知道，任意三角形的三条边必须满足定理：三角形的两边之和大于第三边。对于等腰三角形和等边三角形的边，除满足三边关系定理外，它们还分别存在着两边相等和三边相等的特殊关系。那么对于直角三角形的边，除满足三边关系定理外，它们之间也存在着特殊的关系，这就是我们这一节要研究的问题：勾股定理。
这一段导语的目的是，既复习旧知识：三角形两边之和大于第三边，又很自然地引出新问题：勾股定理。这时，让学生带着问题去阅读课文的第一、二自然段。
二、拼图证明，直观易懂(时间：13—15分钟)
勾股定理的证明方法很多，采用哪种方法直观易懂地使定理得到证明，是本节课教学的难点，为解决这个难点，我们设计这样一则填空题：
用两直角边是a、b，斜边是c的四个全等直角三角形拼成图1。
观察图形并思考、填空：
1．拼成的图中有_______个正方形，______个直角三角形。
2．图中大正方形的边长为_______，小正方形的边长为_______。
3．图中大正方形的面积为_______，小正方形的面积为_______，四个直角三角形的面积为_______。
4．从图中可以看到大正方形的面积等于小正方形的面积与四个直角三角形的面积之和，于是可列等式为_______，将等式化简、整理，得_______。
学生讨论、回答，教师及时点拨，并适时引导，使学生正确地完成填空题。
对于勾股定理的证明，我们没有采用教师讲解的方法去完成，而是设计了一组思考填空题，让学生在思考、填空的过程中完成该定理的证明。
勾股定理的证明是本节的难点，教科书采用将八个全等的直角三角形拼成两个图形的方法进行证明，既繁琐，又费时。笔者所采用的证明方法，在初二学生目前所学的有限知识中，是一种较简便的证明方法，比教科书上介绍的证明方法省时易懂。
三、精选练习，掌握应用(时间：20—22分钟)
勾股定理的应用是本节教学的重点，一定要让学生熟练地掌握在直角三角形中已知两边求第三边的方法，为此，可设计下列三组具有梯度性的练习：
练习1(填空题)
已知在Rt△ABC中，∠C=90°。
①若a=3，b=4，则c=________；
②若a=40，b=9，则c=________；
③若a=6，c=10，则b=_______；
④若c=25，b=15，则a=________。
⑤若∠A=30°，则BC=______，AC=_______；
⑥若∠A=45°，则BC=______，AC=_______。
练习2(填空题)
已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10。
1、已知在Rt△ABC中，∠C=90°。①若a=3，b=4，则c=________；
②若a=40，b=9，则c=________；③若a=6，c=10，则b=_______；
④若c=25，b=15，则a=________。
练习3
已知等边三角形ABC的边长是6cm。求：
(1)高AD的长；
(2)△ABC的面积。
练习1是在学生刚刚了解了勾股定理的内容后，已知两边求第三边的练习。这时应提醒学生注意：∠C=90°，则c是斜边，边a、b是直角边。以便学生正确运用勾股定理求第三边。
练习2是学生在初步掌握了在直角三角形中已知两边求第三边的方法以后，有所提高的一组练习，既要用到30°直角三角形和45°直角三角形的性质，又要用到勾股定理。
练习3综合性较强，它既要结合图形的性质，又要用到勾股定理和三角形的面积公式。
这三组练习紧紧围绕本节的重点而设置，学生完成这三组练习后，对勾股定理的应用就有了较深刻的认识，在学了四边形和一元二次方程后，应用范围将逐步扩大。
竞赛辅导：勾股定理与应用
勾股定理 直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即
a2+b2=c2．
勾股定理逆定理 如果三角形三边长a，b，c有下面关系：
a2+b2=c2
那么这个三角形是直角三角形．
早在3000年前，我国已有“勾广三，股修四，径阳五”的说法．
关于勾股定理，有很多证法，在我国它们都是用拼图形面积方法来证明的．下面的证法1是欧几里得证法．
证法1 如图2-16所示．在Rt△ABC的外侧，以各边为边长分别作正方形ABDE，BCHK，ACFG，它们的面积分别是c2，a2，b2．下面证明，大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和．
过C引CM∥BD，交AB于L，连接BG，CE．因为
AB=AE，AC=AG，∠CAE=∠BAG，
所以△ACE≌△AGB(SAS)．而
所以 SAEML=b2． ①
同理可证 SBLMD=a2． ②
①+②得
SABDE=SAEML+SBLMD=b2+a2，
即 c2=a2+b2．
证法2 如图2-17所示．将Rt△ABC的两条直角边CA，CB分别延长到D，F，使AD=a，BF=b．完成正方形CDEF(它的边长为a+b)，又在DE上截取DG=b，在EF上截取EH=b，连接AG，GH，HB．由作图易知
△ADG≌△GEH≌△HFB≌△ABC，
所以
AG=GH=HB=AB=c，
∠BAG=∠AGH=∠GHB=∠HBA=90°，
因此，AGHB为边长是c的正方形．显然，正方形CDEF的面积等于正方形AGHB的面积与四个全等的直角三角形(△ABC，△ADG，△GEH，△HFB)的面积和，即
化简得 a2+b2=c2．
证法3 如图2-18．在直角三角形ABC的斜边AB上向外作正方形ABDE，延长CB，自E作EG⊥CB延长线于G，自D作DK⊥CB延长线于K，又作AF， DH分别垂直EG于F，H．由作图不难证明，下述各直角三角形均与Rt△ABC全等：
△AFE≌△EHD≌△BKD≌△ACB．
设五边形ACKDE的面积为S，一方面
S=SABDE+2S△ABC， ①
另一方面
S=SACGF+SHGKD+2S△ABC． ②
由①，②
所以 c2=a2+b2．
关于勾股定理，在我国古代还有很多类似上述拼图求积的证明方法，我们将在习题中展示其中一小部分，它们都以中国古代数学家的名字命名．
利用勾股定理，在一般三角形中，可以得到一个更一般的结论．
定理 在三角形中，锐角(或钝角)所对的边的平方等于另外两边的平方和，减去(或加上)这两边中的一边与另一边在这边(或其延长线)上的射影的乘积的2倍．
证 (1)设角C为锐角，如图2-19所示．作AD⊥BC于D， 则CD就是AC在BC上的射影．在直角三角形ABD中，
AB2=AD2+BD2， ①
在直角三角形ACD中，
AD2=AC2-CD2， ②
又
BD2=(BC-CD)2， ③
②，③代入①得
AB2=(AC2-CD2)+(BC-CD)2
=AC2-CD2+BC2+CD2-2BC·CD
=AC2+BC2-2BC·CD，
即
c2=a2+b2-2a·CD． ④
(2)设角C为钝角，如图2-20所示．过A作AD与BC延长线垂直于D，则CD就是AC在BC(延长线)上的射影．在直角三角形ABD中，
AB2=AD2+BD2， ⑤
在直角三角形ACD中，
AD2=AC2-CD2， ⑥
又
BD2=(BC+CD)2， ⑦
将⑥，⑦代入⑤得
AB2=(AC2-CD2)+(BC+CD)2
=AC2-CD2+BC2+CD2+2BC·CD
=AC2+BC2+2BC·CD，
即
c2=a2+b2+2a·cd． ⑧
综合④，⑧就是我们所需要的结论
特别地，当∠C=90°时，CD=0，上述结论正是勾股定理的表述：
c2=a2+b2．
因此，我们常又称此定理为广勾股定理(意思是勾股定理在一般三角形中的推广)．
由广勾股定理我们可以自然地推导出三角形三边关系对于角的影响．在△ABC中，
(1)若c2=a2+b2，则∠C=90°；
(2)若c2＜a2+b2，则∠C＜90°；
(3)若c2＞a2+b2，则∠C＞90°．
勾股定理及广勾股定理深刻地揭示了三角形内部的边角关系，因此在解决三角形(及多边形)的问题中有着广泛的应用．
例1 如图2-21所示．已知：在正方形ABCD中，∠BAC的平分线交BC于E，作EF⊥AC于F，作FG⊥AB于G．求证：AB2=2FG2．
分析 注意到正方形的特性∠CAB=45°，所以△AGF是等腰直角三角形，从而有AF2=2FG2，因而应有AF=AB，这启发我们去证明△ABE≌△AFE．
证 因为AE是∠FAB的平分线，EF⊥AF，又AE是△AFE与△ABE的公共边，所以
Rt△AFE≌Rt△ABE(AAS)，
所以 AF=AB． ①
在Rt△AGF中，因为∠FAG=45°，所以
AG=FG，
AF2=AG2+FG2=2FG2． ②
由①，②得
AB2=2FG2．
说明 事实上，在审题中，条件“AE平分∠BAC”及“EF⊥AC于F”应使我们意识到两个直角三角形△AFE与△ABE全等，从而将AB“过渡”到AF，使AF(即AB)与FG处于同一个直角三角形中，可以利用勾股定理进行证明了．
例2 如图2-22所示．AM是△ABC的BC边上的中线，求证：AB2+AC2=2(AM2+BM2)．
证 过A引AD⊥BC于D(不妨设D落在边BC内)．由广勾股定理，在△ABM中，
AB2=AM2+BM2+2BM·MD． ①
在△ACM中，
AC2=AM2+MC2-2MC·MD． ②
①+②，并注意到MB=MC，所以
AB2+AC2=2(AM2+BM2)． ③
如果设△ABC三边长分别为a，b，c，它们对应边上的中线长分别为ma，mb，mc，由上述结论不难推出关于三角形三条中线长的公式．
推论 △ABC的中线长公式：
说明 三角形的中线将三角形分为两个三角形，其中一个是锐角三角形，另一个是钝角三角形(除等腰三角形外)．利用广勾股定理恰好消去相反项，获得中线公式．①′，②′，③′中的ma，mb，mc分别表示a，b，c边上的中线长．
例3 如图2-23所示．求证：任意四边形四条边的平方和等于对角线的平方和加对角线中点连线平方的4倍．
分析 如图2-23所示．对角线中点连线PQ，可看作△BDQ的中线，利用例2的结论，不难证明本题．
证 设四边形ABCD对角线AC，BD中点分别是Q，P．由例2，在△BDQ中，
即
2BQ2+2DQ2=4PQ2+BD2． ①
在△ABC中，BQ是AC边上的中线，所以
在△ACD中，QD是AC边上的中线，所以
将②，③代入①得
=4PQ2+BD2，
即
AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2．
说明 本题是例2的应用．善于将要解决的问题转化为已解决的问题，是人们解决问题的一种基本方法，即化未知为已知的方法．下面，我们再看两个例题，说明这种转化方法的应用．
例4 如图2-24所示．已知△ABC中，∠C=90°，D，E分别是BC，AC上的任意一点．求证：AD2+BE2=AB2+DE2．
分析 求证中所述的4条线段分别是4个直角三角形的斜边，因此考虑从勾股定理入手．
证 AD2=AC2+CD2，BE2=BC2+CE2，所以
AD2+BE2=(AC2+BC2)+(CD2+CE2)=AB2+DE2
例5 求证：在直角三角形中两条直角边上的中线的平方和的4倍等于斜边平方的5倍．
如图2-25所示．设直角三角形ABC中，∠C=90°，AM，BN分别是BC，AC边上的中线．求证：
4(AM2+BN2)=5AB2．
分析 由于AM，BN，AB均可看作某个直角三角形的斜边，因此，仿例4的方法可从勾股定理入手，但如果我们能将本题看成例4的特殊情况——即M，N分别是所在边的中点，那么可直接利用例4的结论，使证明过程十分简洁．
证 连接MN，利用例4的结论，我们有
AM2+BN2=AB2+MN2，
所以 4(AM2+BN2)=4AB2+4MN2． ①
由于M，N是BC，AC的中点，所以
所以 4MN2=AB2． ②
由①，②
4(AM2+BN2)=5AB2．
说明 在证明中，线段MN称为△ABC的中位线，以后会知道中位线的基本性质：“MN∥AB且MN=图2-26所示．MN是△ABC的一条中位线，设△ABC的面积为S．由于M，N分别是所在边的中点，所以S△ACM=S△BCN，两边减去公共部分△CMN后得S△AMN=S△BMN，从而AB必与MN平行．又S△ABM=高相同，而S△ABM=2S△BMN，所以AB=2MN．
练习十一
1．用下面各图验证勾股定理(虚线代表辅助线)：
(1)赵君卿图(图2-27)；
(2)项名达图(2-28)；
(3)杨作枚图(图2-29)．
2．已知矩形ABCD，P为矩形所在平面内的任意一点，求证：PA2+PC2=PB2+PD2．
(提示：应分三种情形加以讨论，P在矩形内、P在矩形上、P在矩形外，均有这个结论．)
3．由△ABC内任意一点O向三边BC，CA，AB分别作垂线，垂足分别是D，E，F．求证：
AF2+BD2+CE2=FB2+DC2+EA2．
4．如图2-30所示．在四边形ADBC中，对角线AB⊥CD．求证：AC2+BD2=AD2+BC2．它的逆定理是否成立？证明你的结论．
5．如图2-31所示．从锐角三角形ABC的顶点B，C分别向对边作垂线BE，CF．求证：
BC2=AB·BF+AC·CE．
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