4.2 一次函数与正比例函数（知识清单+经典例题+夯实基础+提优特训+中考链接）

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北师大版八年级数学上册第四章一次函数
4.2
一次函数与正比例函数
【知识清单】
一、一次函数和正比例函数的概念:
一般地，若两个变量x，y间的关系可以表示成y=kx+b(k，b为常数，k≠0)的形式，则称y
是x的一次函数(x为自变量，y为因变量).
特别地，当一次函数y=kx+b中的b=0时(即y=kx)(k为常数，k≠0)，称y是x的正比例函数.
二、根据条件列一次函数关系式：
(1)认真审题，理解题意；(2)找出等量关系，确定等量关系；(3)写出一次函数的关系式；(4)注意自变量的取值范围.
【经典例题】
【例题】甲、乙两地相距36千米，某人从甲地以每小时6千米的速度走了t小时到达丙地，并继续向乙地前进.
(1)试分别确定甲、丙两地距离s1(千米)及丙、乙两地距离s2(千米)与时间t(时)之间的函数关系；
(2)它们是什么函数？
(3)说出每个函数的变量和常量.
【考点】一次函数和正比例函数的概念．
【分析】(1)根据路程、速度、时间三者之间的关系找出等量关系，列出等式即可；
(2)根据一次函数和正比例函数的一般形式“y=kx+b(kb≠0)”，“y=kx(k≠0)”作出判断得
出答案．
【解答】(1)
s1=6t；
s2=366t；
(2)
s1=6t是正比例函数；s2=366t是一次函数．
(3)
s1=6t，变量是t、s；t是自变量、s是因变量；常量是6；
s2=366t变量是t、s；t是自变量、s是因变量；常量是36、6.
【点评】正确理解题意，根据题目中的等量关系列出函数关系式，依据函数概念对一次函数和正比例函数的一般形式作出正确判断是解题关键．
例题2、(1)已知y=(3a12)x+5a，若它分别是一次函数和正比例函数时，求a的值；
(2)已知是一次函数，求出m的值并写出函数解析式.
【考点】一次函数定义.
【分析】(1)根据一次函数的一般形式可得y=(3a12)x+5a，3a12≠0即可；若y=(3a12)x+5a是正比例函数就需要3a12≠0，4a=0即可；
(2)根据一次函数的一般形式可得中的，m4≠0，解出m的即可.
【解答】(1)若y=(3a12)x+5a是一次函数，
则有3a12≠0，即m≠4；
若y=(3a12)x+5a是正比例函数，
则有3a12≠0，5a=0
即a=5.
(2)∵是一次函数，
∴，
解得，.
∴函数解析式为y=8x+14.
【点评】此题主要考查了一次函数和正比例函数的概念，利用函数的定义正确确定参数的取值是解决问题的关键.各个量所满足的条件是：一次函数满足；正比例函数满足，的两个条件.自变量的次数一定是1.
【夯实基础】
1、下列函数中，是一次函数的是
(　　)
A．y=kx+b??
B．y=5x2
C．y=x-1+3??
?D．
2、函数y=(62m)x+5n20是正比例函数的条件是
(
)
A．m≠3??
B．n=4
C．m≠3且n=4??
?D．m、n为任意实数
3、将一次函数中，化成形式，则k、b的值为(
)
A．4、7
B．4、7
C．4、7
D．4、7
4、已知一次函数y1=kx3与y2=3x5k，当x=4时，2y1=3y2，则y=2kx3k正确的是
(　　)
A．y=12x18
B．y=12x18
C．y=12x+18
D．y=12x+18
5、(1)若y=(6m224)x2+(63m)x(m为常数)是正比例函数，则m的值为
______．
(2)
把一个长16cm、宽8cm的长方形的长减少xcm，宽不变，长方形的面积为y(单位：cm2)．宽
不变，长方形的面积y(单位：cm2).则y与x之间的函数关系式是
，其中自
变量的取值范围是
.
6、(1)
电话每台月租费21元，市区内电话(三分钟以内)每次0.18元，若某台电话每次通话均不
超过3分钟，则每月应缴费y(元)与市内电话通话次数x之间的函数关系式是
.
(2)
点P是边长为12cm正方形ABCD的DC边上一动点，设CP的长为xcm，则△APD的面
积y与x(0.
7、(1)
已知函数y=(m3)x
(m29)，当m________
时，它是一次函数；当m________
时，
它是正比例函数.
(2)函数①y=(1)x5；②y=3x10；③y=；④y=π0+6x；⑤y=(x+1)(x1)中，是一次函数的序号为
．
8、某人购进一批小饰品到夜市上零售，已知卖出的小饰品x(个)与销售的金额y(元)的关系如下表：
x(个)
1
2
3
4
5
6
…
y(元)
2+0.2
4+0.4
6+0.6
8+0.8
10+1
12+1.2
…
(1)y与x的函数关系式是____________，它是
函数；
(2)该商贩要想销售的金额达到280元，至少卖出多少件小饰品？
9、将长为32cm，宽为16cm的长方形白纸，按如图所示的方法黏合起来，粘合部分的宽为4cm；
(1)求7张白纸粘合的长度；
(2)设xcm张白纸粘合的总长度为ycm，写出y与x之间的函数关系式；(3)并求当粘合后的总长度为956cm时，一共用了多少张纸.
?
【提优特训】
10、函数y=是一次函数，a、b应满足的条件是(
)
A．a=3且b≠0
B．a=3且b≠0
C．a=3，b为任意实数
D．a=3
11、下列说法中错误的是(　　)
A．y6=7x是一次函数
B．一次函数一定是正比例函数
C．函数y=x-15是一次函数
D．y=x212不是函数
12、已知k、b均为不等于0的常数，yb与kx成正比例，则y是x的(　　)
A．一次函数
B．成正比例函数
C．不是函数
D．无法判断
13、某种储蓄的月利率是0.21%，存入5000元本金后，则本息和y元与所存月数x之间函数关
系式为(
)
A．y=0.21x+5000
B．y=0.21%x+5000
C．y=10.5x+5000
D．y=105x+5000
14、已知函数y=3x27，当x1=2时，相对应的函数值y1=____；当x2=时，相对应的函数值y2=____；当x3=a时，相对应的函数值y3=
．反过来，当y=5时，自变量x=______．
15、定义(a，b)(a、b为常数)为一次函数的y=ax+b的特征数，如(3，4)为一次函数的y=ax+b的特征数，则y=3x+4；若点P(2，3)在第一象限，OP绕着原点O顺时针旋转90°，得到P点的对应点，则以点的坐标为特征数的函数表达式为
.
16、(1)如果y=kx(k≠0)的自变量增加5，函数值相应地减少15，则k=
；
(2)等式4x+12y=6确定了y与x的函数关系，用自变量x的代数式表示y的形式
是
，它是
函数.
17、如图，若O是△ABC的内角的平分线交点，∠A=y°，∠BOC=x°，求y与x函数关系式，并指出自变量x的取值范围．
自变量x的取值范围是：(018、某民营企业生产的产品每件出厂价为70元，成本价为30元，在生产过程中，需要有地方储存，有两种储存方案提供给工厂选择：
方案一：在自己工厂里储存，每件费用1元，并且每月储备库的设备损耗为42000元．
方案二：工厂租借储备库储存，每件费用为8元．
设工厂每月生产x件产品，每月利润为y元，
(1)分别写出依据方案一和方案二储存产品时，y与x的关系式；
(2)如果你是该企业的负责人，如何根据企业的生产实际选择产品储存方案？
【中考链接】
19、(2020?模拟)
甲乙两地相距28千米，某人从甲地到乙地匀速行走需要走4个小时，途中需在P处休息一次，分别求出P到甲地距离和P到乙地距离与时间t时的函数关系式，并说明它们各是什么函数.
20、(2020?模拟)
用56cm长的绳子围成矩形ABCD，
设AB=xm，矩形ABCD的面积为S(m2)，
(1)求S关于x的函数解析式及x的取值范围；
(2)写出下面表格中与x相对应的S的值.
x
…
11
12
13
14
15
16
17
…
S
…
…
(3)猜一猜，当x为何值时，S的值最大？
参考答案
1、B
2、C
3、D
4、A
5、(1)
2，(2)y=8x+128，06、(1)
y=0.18x+21、(2)
y=6x+12
7、(1)m≠3，m=3
(2)①④
10、C
11、A
12、A
13、C
14、5，11，3a27，±2
15、y=3x2
16、(1)
3
(2)
，一次
8、某人购进一批小饰品到夜市上零售，已知卖出的小饰品x(个)与销售的金额y(元)的关系如下表：
x(个)
1
2
3
4
5
6
…
y(元)
2+0.2
4+0.4
6+0.6
8+0.8
10+1
12+1.2
…
(1)y与x的函数关系式是____________，它是
函数；
(2)该商贩要想销售的金额达到280元，至少卖出多少件小饰品？
解：(1)根据题意，得y=2x+0.2x=2.2x，它是一次函数；
(2)令y=360，
则360=2.2x，解得x≈127.3，
答：至少卖出128件小饰品.
9、将长为32cm，宽为16cm的长方形白纸，按如图所示的方法黏合起来，粘合部分的宽为4cm；
(1)求7张白纸粘合的长度；
(2)设xcm张白纸粘合的总长度为ycm，写出y与x之间的函数关系式；(3)并求当粘合后的总长度为956cm时，一共用了多少张纸.
?
解：(1)7张白纸粘合的长度
=(71)×(324)+32
=200(cm)；
(2)x张白纸粘合的总长度
y=(x1)(324)+32
即y与x之间的函数关系式是：y=28x+4；
(3)当y=956时，956=28x+4，
解得x=34(张)
.
17、如图，若O是△ABC的内角的平分线交点，∠A=y°，∠BOC=x°，求y与x函数关系式，并指出自变量x的取值范围．
解：∵O是△ABC的内角的平分线交点，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=∠ABC+∠ACB
=(∠ABC+∠ACB)，
在△OBC中，x=180°
(∠OBC+∠OCB)
=180°(∠ABC+∠ACB)，
在△ABC中，y=180°
(∠ABC+∠ACB)
=180°(∠ABC+∠ACB)，
∴x=180°(∠ABC+∠ACB)，
=180°(180°y)
=180°90°+y
=90°+y.
∴y与x函数关系式为：y=2x180°.
自变量x的取值范围是：(018、某民营企业生产的产品每件出厂价为70元，成本价为30元，在生产过程中，需要有地方储存，有两种储存方案提供给工厂选择：
方案一：在自己工厂里储存，每件费用1元，并且每月储备库的设备损耗为42000元．
方案二：工厂租借储备库储存，每件费用为8元．
设工厂每月生产x件产品，每月利润为y元，
(1)分别写出依据方案一和方案二储存产品时，y与x的关系式；
(2)如果你是该企业的负责人，如何根据企业的生产实际选择产品储存方案？
解：(1)方案一：
y1=70x30x(x×1+42000)
=39x42000；
方案二：
y2=70x30x8x
=32x；
(2)根据题意可得：
当y1=y2时，
则32x=39x46000，
解得：x=6000，
当x>6000时，
39x46000＞32x，
当x<6000时，
3946000<32x，
故当工厂每月生产6000件产品时，两种储存方案利润相同，
当超过6000件时，方案一利润大，当低于6000件时，方案二利润大．
19、(2020?模拟)
甲乙两地相距28千米，某人从甲地到乙地匀速行走需要走4个小时，途中需在P处休息一次，分别求出P到甲地距离和P到乙地距离与时间t时的函数关系式，并说明它们各是什么函数.
解：根据题意这个人的速度是28÷4=7，即每小时7千米，
这个人的行走时间t小时，
那么P点离甲地距离=7t，这是正比例函数；
距离乙地距离=287t，这是一次函数.
20、(2020?模拟)
用56cm长的绳子围成矩形ABCD，
设AB=xm，矩形ABCD的面积为S(m2)，
(1)求S关于x的函数解析式及x的取值范围；
(2)写出下面表格中与x相对应的S的值.
x
…
11
12
13
14
15
16
17
…
S
…
187
192
195
196
195
192
187
…
(3)猜一猜，当x为何值时，S的值最大？
?
解：(1)由题意得：S=x?()=x2+28x．
(2)x=11时，S=187，
x=12时，S=192，
x=13时，S=195，
x=14时，S=196，
x=15时，S=195，
x=16时，S=192，
x=17时，S=187．
故答案分别为187，192，195，196，195，192，187．
(3)猜想：x=14时，S的值最大为196．
第20题图
第17题图
第20题图
第17题图
第9题图
第9题图
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