人教版八年级数学上册教案 第十一章 三角形

第十一章
三角形
课题：三角形的边
1．认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形．了解三角形的分类．
2．掌握判断三条线段可否构成一个三角形的方法．
3．通过度量三角形的边长，理解三角形三边间的不等关系．
重点：理解三角形三关系．
难点：三角形三边的运用．
一、情景导入，感受新知
三角形是一种最常见的几何图形，[投影]如古埃及金字塔，香港中银大夏，交通标志等等，处处都有三角形的形象．
那么什么叫做三角形呢？
二、自学互研，生成新知
【自主探究】
(一)阅读教材P2思考之前部分，完成下面的内容：
归纳：1.三角形：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．
2．边：如图，线段AB、BC、CA是三角形的边．
3．顶点：点A、B、C是三角形的顶点．
4．内角：相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角．
5．三角形的读法：如图，顶点是A、B、C的三角形，记作△ABC，读作“三角形ABC”．
(二)阅读教材P2思考至P3探究之前部分，完成下面的内容：
归纳：1.三角形按边的关系可以如下分类：
2．在等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰之间的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角．
【合作探究】
1．下列说法正确的是(　B　)
A．所有的等腰三角形都是锐角三角形
B．等边三角形属于等腰三角形
C．不存在既是钝角三角形又是等腰三角形的三角形
D．一个三角形有两个锐角，则一定是锐角三角形
2．以下长度的三条线段为边，哪些可以构成三角形，哪些不能构成三角形？
(1)6，8，10　　　　　　　(2)3，8，11
(3)3，4，11 (4)长度比为4：6：7
由学生抢答完成，再由教师总结归纳。
①明了学情：观察了解学生是否会判断三条线段能否构成三角形．
②差异指导：根据学情对学生进行分层指导．
③生生互助：同桌间，小组内交流讨论．
三、典例剖析，运用新知
【合作探究】
例：用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形．
(1)如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？
(2)能围成有一边长度为4cm的等腰三角形吗？为什么？
分析：(1)等腰三角形三边的长是多少？若设底边长为 xcm，则腰长是多少？(2)“边长为4 cm”是什么意思？
解：(1)设底边长为 xcm，则腰长为2xcm.
x＋2x＋2x＝18
解得：x＝3.6
所以。三边长分别为3.6cm，7.2cm，7.2cm.
(2)如果长为4cm的边为底边，设腰长为 xcm，则4＋2x＝18.
解得 x＝7.
如果长为4cm的边为腰，设底边长为 xcm，则2×4＋x＝18.
解得 x＝10.
因为4＋4＜10，出现两边的和小于第三边的情况，所以不能围成腰长是4cm的等腰三角形．
由上讨论可知，可以围成底边长是4cm的等腰三角形．
①明了学情：学生小组合作解决，教师巡查全班，了解学生的困惑．
②差异指导：根据学情，适时对学生进行指导、点拨．
③生生互助：小组内交流合作，相互解疑释难．
四、课堂小结，回顾新知
1．三角形及有关概念．
2．三角形的分类：
三角形
3．三角形三边关系及其应用．
五、检测反馈、落实新知
1．△ABC中，AB＝AC＝2BC，若BC＝6，则周长为30°．
2．已知三角形两边分别为2和7，第三边c的取值范围是5＜c＜9．
3．等腰三角形的两边长为2cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是12cm．
4．如图三角形的个数是(　D　)
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
六、课后作业：巩固新知
课题：三角形的高、中线与角平分线
1．掌握三角形的高、中线、重心与角平分线．
2．准确画出三角形的高、中线与角平分线．
重点：三角形的高、中线与角平分线的特征．
难点：三角形的高、中线与角平分线的应用．
一、情景导入，感受新知
问题1：如图，已知△ABC，画它的三条高．
问题2：如何画线段AB的中点？
问题3：如何画∠ACB的角平分线？
二、自学互研，生成新知
【自主探究】
(一)阅读教材P4标题11.1.2下第1段话，完成下面的内容：
(1)从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．如图，在△ABC中，AD⊥BC，点D是垂足，AD是△ABC的一条高．
(2)准备一个锐角三角形的纸片．你能画出这个三角形的三条高吗？你能用折纸的方法得到它们吗？这三条高分别位于三角形的什么位置？三角形的边上？内部？外部？
归纳：锐角三角形的高都在三角形的内部；钝角三角形的高有两条在三角形的外部；直角三角形的高有两条恰好是三角形的两条直角边．
(二)阅读教材P4标题11.1.2下第2段话～P5第1段话，完成下面的内容：
归纳：在三角形中，连接一个顶点与它对边的中点的线段，叫做这个三角形的中线．三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．
(三)阅读教材P5练习前的最后一段话，完成下面的内容：
问题：准备一个三角形纸片ABC，按图所示的方法折叠，展开后，折痕BD把∠ABC分成∠1和∠2两部分．观察∠1和∠2有什么关系？线段BD又属于△ABC的什么线呢？
①明了学情：观察学生动手操作，了解学生操作中的错误作法．
②差异指导：提醒学生利用工具正确操作．
③生生互助：让学生观察、讨论、经历知识的发展形成过程．
三、典例剖析，运用新知
【合作探究】
例1：画△ABC边上的高，正确的是(　　)．
解：根据高的画法可知，画△ABC的BC边上的高，即过点A作BC边的垂线，故选C.
例2：在△ABC中，AD为BC边的中线，若△ABD与△ADC的周长差为为3，AB＝9，则AC＝________．
解：∵AD为BC边上的中线，∴BD＝CD，∵△ABD与△ADC的周长差＝(AB＋AD＋BD)－(AC＋AD＋CD)＝AB－AC，∵△ABD与△ADC的周长差为3，AB＝8，∴8－AC＝3，解得AC＝5.故答案为：5.
①明了学情：观察学生在解答时出现的错误，了解学生对本节知识的理解情况．
②差异指导：巡视全班，适时对有困难的学生给予提示．
③生生互助：学生小组内交流，相互解疑释难，体验发现快乐．
四、课堂小结，回顾新知
师生合作共同完成下表：
三角形的
重要线段
意义
图形
表示法
三角形
的高线
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段
1.AD是△ABC的BC上的高线．
2．AD⊥BC于D.
3．∠ADB＝∠ADC＝90°.
三角形
的中线
三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段
1.AE是△ABC的BC上的中线．
2．BE＝EC＝BC.
续表：
三角形
的重心
三角形三条中线的交点
CF、AD、BE分别是△ABC的AB、BC、AC的中线.
三角形的
角平分线
三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段
1.AM是△ABC的∠BAC的平分线．
2．∠1＝∠2＝∠BAC.
五、检测反馈，落实新知
1．在下列各图的△ABC中，正确画出AC边上的高的图形是(C)
2．能把三角形的面积分成两个相等部分的三角形中的线段是(A)
A．中线　　　　　　　　B．高
C．角平分线 D．以上三种情况都正确
3．如图所示，CD是△ABC的中线，AC＝9cm，BC＝3cm，那么△ACD和△BCD的周长差是__6__cm.
,(第3题图))　　　,(第4题图))
4．如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是(　A　)
A．85° B．80°
C．75° D．70°
课后作业：巩固新知
课题：三角形的稳定性
1．让学生知道三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性．
2．让学生理解三角形的稳定性和四边形的不稳定性．
重点：了解三角形的稳定性在生产、生活中的实际应用．
难点：准确使用三角形的稳定性于生产、生活之中．
一、情景导入，感受新知
盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常在窗框上斜钉一根木条，为什么要这样做呢？
二、自学互研，生成新知
【自主探究】
阅读教材P6“探究”～P7，完成下面的内容：
1．如教材P6图11.1－7(1)将三根木条用钉子钉成一个三边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？
答：不改变，这说明三角形具有稳定性．
2．如教材P6图11.1－7(2)，将四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？
答：改变，这说明四边形没有稳定性．
3．如教材P6图11.1－7(3)，在四边形木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后再扭动它，这时木架的形状还会改变吗？你从这个例子知道怎样防止四边形的不稳定性？
答：不改变．我们可以通过将四边形变成三角形来防止四边形的不稳定性．
归纳：三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性．
①明了学情：学生自主探究，老师巡查全班，了解学生自主学习情况．
②差异指导：根据学情对学困生适时点拨．
③生生互助：对感到困惑的地方，同桌交流讨论．
三、典例剖析，运用新知
【合作探究】
1．下列图形具有稳定性的是(　C　)
A．长方形　　　　　　　　　 　　B．菱形
C．钝角三角形 D．等腰梯形
2．下列图形具有稳定性的有(　C　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
3．下列图形哪些具有稳定性？对不具有稳定性的图形，请适当地添加线段，使之具有稳定性．
图形1、4、6具有稳定性．
4．如图，说说哪些应用了三角形的稳定性，哪些应用了四边形的不稳定性．
　　　　
　　　　　
解：应用了三角形稳定性的有：钢架桥、起重机、屋顶钢架；应用了四边形不稳定性的有：活动滑门．
①明了学情：学生先自主完成，老师巡视全班，了解学生对“三角形的稳定性”理解情况．
②差异指导：对学生感到困惑的地方分层给予点拨．
③生生互助：先独做，然后小组交流讨论促进学生对新知理解与应用．
四、课堂小结，回顾新知
问题1：本节课你学习了什么？
问题2：本节课你有哪些收获？
问题3：通过今天的学习，你想进一步探究的问题是什么？
五、检测反馈，落实新知
1．如图，为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条，这样做的道理是三角形具有(　A　)
A．稳定性　　　　　B．全等性
C．灵活性　　　　　D．对称性
2．下列图形中，不具有稳定性的是(　B　)
3．如图所示，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是(　A　)
A．三角形的稳定性　　　　B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
,第3题图)　　　　,第4题图)
4．工人师傅在安装木制门框时，为防止变形常常像图中所示，钉上两条斜拉的木条，这样做的原理是根据三角形的稳定 性．
六、课后作业：巩固新知
课题：三角形的内角和
1．探索并掌握三角形内角和定理．
2．学会运用三角形内角和定理．
重点：三角形内角和定理．
难点：三角形内角和定理的推导过程．
一、情景导入，感受新知
在小学我们已经知道任意一个三角形三个内角的和等于180°，你还记得是怎么发现这个结论的吗？请大家利用手中的三角形纸片进行探究．
图1、图2、图3、图4是利用剪图、拼图的方法得到的．图5是利用折叠的方法得到的．学生可能有其他的剪拼图的方法．
二、自学互研，生成新知
【自主探究】
阅读教材P11～P12“三角形内角和定理……”之前部分，看图，完成下面的内容：
把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处，如图用量角器量出∠BCD的度数，可得到∠A＋∠B＋∠ACB＝180°.[投影]
已知：△ABC(如图)．
求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.
证明：如图，过点A作直线l，使l∥BC.
∵l∥BC，
∴∠2＝∠4(两直线平行，内错角相等)．
同理∠3＝∠5.
∵∠1，∠4，∠5组成平角，
∴∠1＋∠4＋∠5＝180°(平角定义)．
∴∠1＋∠2＋∠3＝180°(等量代换)．
【合作探究】
你还能想出其他解法吗？
也可以在三角形的一边上任取一点，然后过这一点分别作另外两边的平行线，这样也可证出定理．
证明：如图，在BC上任取一点D，过点D分别作DE∥AB交AC于E，DF∥AC交AB于F.
∴∠BDF＝∠C(两直线平行，同位角相等)．
∴∠EDC＝∠B(两直线平行，同位角相等)．
∴∠EDF＝∠A(平行四边形的对角相等)．
∵∠BDF＋∠EDF＋∠EDC＝180°(1平角＝180°)，
∴∠A＋∠B＋∠C＝180°(等量代换)．
①明了学情：学生自主探究，教师巡视全班，了解学生的疑惑．
②差异指导：根据学情，对学生进行分层指导．
③生生互助：学生先自主学习，在同桌或小组内交流．
三、典例剖析，运用新知
【合作探究】
例：如图是A、B、C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向，从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？
分析怎样能求出∠ACB的度数？
根据三角形内角和定理，只需求出∠CAB和∠CBA的度数即可，∠CAB等于多少度？怎样求∠CBA的度数？
解：∠CAB＝∠BAD－∠CAD＝80°－50°＝30°.
∵AD∥BE，∴∠BAD＋∠ABE＝180°，
∴∠ABE＝180°－∠BAD＝180°－80°＝100°，
∴∠ABC＝∠ABE－∠EBC＝180°－40°＝60°，
∴∠ACB＝180°－∠ABC－∠CAB＝180°－60°－30°＝90°.
①明了学情：学生小组内交流讨论，教师巡视全班．
②差异指导 ：对学生存在疑惑的地方，引导学生解决．
③生生互助：学生小组内交流讨论，互相释疑解惑．
四、课堂小结，回顾新知
1．本节课学习了哪些主要内容？
2．为什么要用推理的方法证明“三角形的内角和等于180°”？
3．你是怎么找到三角形内角和定理的证明思路的？
4．你是如何探索直角三角形的性质与判定的？它们是怎么叙述的？它们有什么区别与联系？
五、检测反馈，落实新知
1．如图，在△ABC中，∠A＝90°，点D在AC边上，DE∥BC，若∠1＝155°，则∠B的度数为65°．
第1题图
　　　　　第2题图
2．如图，∠A＝40°，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝280°．
3．如图，点E是△ABC中AC边上的一点，过E作ED⊥AB，垂足为D.若∠1＝∠2，则△ABC是直角三角形吗？为什么？
解：△ABC是直角三角形．理由如下：
∵ED⊥AB，
∴∠ADE＝90°，△ADE是直角三角形，
∴∠1＋∠A＝90°.
又∵∠1＝∠2，∴∠2＋∠A＝90°.
∴△ABC是直角三角形．
六、课后作业：巩固新知
(见学生用书)
课题：直角三角形
1．了解直角三角形两个锐角的关系．
2．掌握直角三角形的判定．
重点：直角三角形两个锐角的关系及直角三角形的判定．
一、情景导入，感受新知
内角三兄弟之争
在一个直角三角形里往着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结，可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了……”“为什么？”老二很纳闷．
同学们，你们知道其中的道理吗？
二、自学互研，生成新知
【自主探究】
(一)阅读教材P13，完成下面的内容：
1．直角三角形的两个锐角有什么关系？
2．直角三角形如何表示？
如图，∠C＝∠D＝90°，AD，BC相交于点E，∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？
解：在Rt△ACE中，∠CAE＝90°－∠AEC.
在Rt△BDE中，∠DBE＝90°－∠BED.
∵∠AEC＝∠BED，
∴∠CAE＝∠DBE.
(二)阅读教材P14，完成下面的内容：
1．在一个三角形中，若有两个角互余，则这两个角之和为90°，由三角形内角和定理，第三个角的度数为：180°－90°＝90°，所以该三角形为直角三角形．
2．如图，∠C＝90°，∠1＝∠2，△ADE是直角三角形吗？为什么？
解：△ADE是直角三角形．证明：略．
①明了学情：学生自主探究，教师巡视全班，了解学生的困惑．
②差异指导：根据学情，对学生的困惑，适时点拨．
③生生互助：小组或同桌交流，相互释疑解惑．
三、典例剖析，运用新知
【合作探究】
例1：如图，将两个完全相同的直角三角形叠放，使一个三角形的锐角顶点与另一个三角形的直角顶点重合，另外B，C，D三点在一条直线上．请问：重叠部分的三角形是直角三角形吗？为什么？
解：是直角三角形．
理由如下：
根据题意可知，∠A＝∠EBD，∠A＋∠ACB＝90°，
∴∠EBD＋∠ACB＝90°.
∴∠BFC＝90°.
∴△BFC是直角三角形．
例2：根据下列条件，判断△ABC是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形？
(1)∠A＝∠B，∠C＝40°；
(2)∠B＝∠C＝30°；
(3)∠A＝75°，∠B＝15°.
解：(1)∵∠A＋∠B＋∠C＝180°(三角形内角和定理)，∠C＝40°，∠A＝∠B，∴∠A＝∠B＝＝＝70°，∴△ABC中的最大角为70°.∴△ABC是锐角三角形．
(2)在△ABC中，∠A＝180°－∠B－∠C＝180°－30°－30°＝120°，∴△ABC中最大角是120°，∴△ABC是钝角三角形．
(3)在△ABC中，∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－75°－15°＝90°，∴△ABC中最大角为90°.∴△ABC是直角三角形．
①明了学情：学生自主探究，教师巡视全班，了解学生的困惑．
②差异指导：根据学情，对学生的困惑，适时点拨．
③生生互助：小组或同桌交流，相互释疑解惑．
四、课堂小结，回顾新知
1．直角三角形两锐角的关系：__互余__．
2．直角三角形的判定方法：__证明有一个内角为90°__．
五、检测反馈，落实新知
1．如图，直线a⊥直线c，若∠1＝70°，则∠2＝(　C　)
A．70°　　　B．110°　　　C．20°　　　D．30°
第1题图
　　　　　第2题图
2．如图，AB∥CD，DB⊥BC，∠1＝40°，则∠2的度数是(　B　)
A．40° B．50° C．60° D．140°
3．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B＝70°，∠C＝30°.
(1)求∠BAE和∠DAE的度数．
(2)若∠C－∠B＝α(∠C＞∠B)，求∠DAE的度数．(用含α的代数式表示)
解：(1)如图，∵在△ABC中，∠B＝70°，∠C＝30°，∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－70°－30°＝80°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠BAC＝×80°＝40°；∵AD⊥BC，∠B＝70°，∴∠BAD＝90°－∠B＝90°－70°＝20°，∵∠BAE＝40°，∴∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝40°－20°＝20°.
(2)∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝(180°－∠B－∠C)，∵AD⊥BC，∴∠BAD＝90°－∠B，∴∠DAE＝∠BAD－∠BAE＝(90°－∠B)－(180°－∠B－∠C)＝(∠C－∠B)＝α.
六、课后作业：巩固新知
课题：三角形的外角
1．引导学生探索并了解三角形外角的性质．
2．让学生学会用学过的定理证明此性质．
重点：三角形外角的性质和三角形外角和．
难点：三角形外角性质和定理的探究及应用．
一、情景导入，感受新知
[投影1]如图，△ABC的三个内角是什么？它们有什么关系？
是∠A、∠B、∠C，它们的和是180°.
若延长BC到D，则∠ACD是什么角？这个角与△ABC的三个内角有什么关系？
二、自学互研，生成新知
【自主探究】
(一)阅读教材P14标题11.2.2下的内容，完成下面的内容：
1．什么是三角形的外角？三角形的外角与相邻内角有什么位置关系和数量关系？
2．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，则△ABC的外角∠BCD＝110°．
(二)合作探究
直接根据图示填空：
(1)∠α＝100°；(2)∠α＝60°；(3)∠α＝35°．
2.
如图，已知DE分别交△ABC的边AB、AC于D、E，交BC的延长线于F，∠B＝67°，∠ACB＝74°，∠AED＝48°，求∠BDF的度数．
解：∠BDF的度数是87°.
三、典例剖析，运用新知
【合作探究】
例1：课件展示教材第15页例4：如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多么？
解法一：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠BAE＝∠2＋∠3，∠CBF＝∠1＋∠3，∠ACD＝∠1＋∠2.所以∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝2(∠1＋∠2＋∠3)．由∠1＋∠2＋∠3＝180°，得∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝2×180°＝360°.
解法二：∵∠BAE＋∠1＝180°，∠CBF＋∠2＝180°，∠ACD＋∠3＝180°，∴∠BAE＋∠1＋∠CBF＋∠2＋∠ACD＋∠3＝180°×3＝540°.又∵∠1＋∠2＋∠3＝180°，∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝540°－180°＝360°.
归纳：三角形的外角和为__360°__．
例2：如图所示，△ABC中，BD、CD分别是∠ABC、∠ACB的外角平分线，∠A＝100°，求∠D的度数．
解：∵BD平分∠FBC，∴∠FBC＝2∠2，同理∠ECB＝2∠3，又∵∠FBC＝∠A＋∠ACB，∠ECB＝∠A＋∠ABC，∴∠FBC＋∠ECB＝∠A＋∠ACB＋∠A＋∠ABC，2∠2＋2∠3＝∠A＋180°.又∵∠A＝100°，∴∠2＋∠3＝140°，∴∠D＝180°－∠2－∠3＝40°.
①明了学情：学生合作探究，教师巡视全班．
②差异指导：对学习有困难的学生适时点拨．
③生生互助：学生小组合作，同桌、同组间交流、讨论，相互释疑解惑．
四、课堂小结，回顾新知
1．本节课所学的知识是三角形的外角性质．
2．本节课所学到的数学思想方法是：数形结合法．
3．本节课所运用到的方法是：实践探究．
五、检测反馈
1．如图，AB∥CD，∠A＝60°，若∠C＝∠E，则∠C＝20°．
2．如图，写出∠α的度数．
(1)∠α＝65°，(2)∠α＝70°，(3)∠α＝48°．
3．如图，在△ABC中，∠A＝60°，BD、CE分别是AC、AB上的高，H是BD、CE的交点，求∠BHC的度数．
解：在△ACE中，∠ACE＝90°－∠A＝90°－60°＝30°.
而∠BHC是△HDC的外角，
所以∠BHC＝∠HDC＋∠ACE＝90°＋30°＝120°.
六、课后作业：巩固新知
课题：多边形
1．了解多边形及其相关概念，感悟类比方法的价值．
2．让学生学会判断一个图形是否是凸多边形．
重点：了解多边形及其概念，理解正多边形及其概念．
难点：获得将多边形分割成三角形来解决问题的思路，确定分割后的三角形个数．
一、情景导入，感受新知
1．什么是三角形？怎样表示？
2．什么是三角形的边，角以及外角？
3．投影：图形见教材第19页图．
师：你能从投影里找出几个由一些线段围成的图形吗？
师生活动：上面三图让学生边看边议．在学生议论的基础上，老师给以总结，这些线段围成的图形有何特性？
(1)它们在同一平面内．
(2)它们是由不在同一条直线上的几条线段首尾顺次相接组成的．
这些图形中有三角形、四边形、五边形、六边形、八边形、那么什么叫做多边形呢？
前面我们已经研究过三角形的有关概念、性质，那么多边形的概念和性质是什么呢？它们和三角形中的有关概念和性质是否有相似之处呢？让我们一起来探究一下．
二、自学互研，生成新知
【自主探究】
(一)阅读教材P19～P20，完成下面的内容：
归纳：1.多边形：在同一平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．
2．n边形：如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形．
3．多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角．
4．多边形的外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角．
5．多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
6．凸多边形：画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形．
(二)阅读教材P20最后一段内容，完成下面的内容：
归纳：正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．
【合作探究】
仔细思考，完成下表．
名称
四边形
五边形
六边形
n边形
图形
从一个顶点出发所能作的对角线条数
1
2
3
n－3
过一个顶点的对角线把多边形分成的三角形的个数
2
3
4
n－2
图形的对角线总条数
2
5
9
　　归纳：从n边形的一个顶点可以作(n－3)条对角线，所以n边形中共有n(n－3)条对角线．
三、典例剖析，运用新知
【合作探究】
例1：有一根长为32cm的铁丝，请你按下列要求，弯成一个长方形或正方形，并分别计算它们的面积：
(1)长为10cm，宽为6cm；
(2)长为9cm，宽为7cm；
(3)长为8cm，宽为8cm.
你会发现在长与宽的变化过程中，其面积有什么规律？根据这一规律，请将总长为100m的篱笆围成一个面积尽可能大的长方形或正方形．
解：(1)面积为60cm2；(2)面积为63cm2；(3)面积为64cm2.随着长与宽的差越来越小，其面积越来越大；将100m的篱笆围成一个边长为25m的正方形，其面积最大，约为625m2.
例2：一个正多边形的一个内角的度数比相邻外角的6倍还多12°，求这个正多边形的内角和．
解：设这个正多边形的一个外角的度数为x，根据题意得180°－x＝6x＋12°，解得x＝24°，所以这个正多边形数＝360°÷24°＝15，所以这个正多边形的内角和＝(15－2)×180°＝2340°.
四、课堂小结，回顾新知
1．在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．
2．多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角．
3．连接不相邻两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
4．凸多边形与凹边形．
5．各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．
五、检测反馈，落实新知
1．四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，十边形有35条对角线．
2．下列图形中不可能是正多边形的是(　D　)
A．三角形　　B．正方形　　C．四边形　　D．梯形
3．一个多边形共有9条对角线，那么这个多边形的边数是(　B　)
A．5 B．6 C．7 D．8
课后作业：巩固新知
课题：多边形的内角和
1．通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式．
2．学会应用多边形的内角和与外角和公式进行有关计算．
重点：多边形的内角和及外角和公式．
难点：多边表内角和公式的推导及其运用．
一、情景导入，感受新知
1．我们知道三角形的内角和为180°．
2．我们还知道，正方形的四个角都等于90°，那么它的内角和为360°，同样长方形的内角和也是360°.
3．正方形和长方形都是特殊的四边形，其内角和为360°，那么一般的四边形的内角和为多少呢？多边形的内角和又是多少呢？
二、自学互研，生成新知
【自主探究】
(一)阅读教材P21～P22，完成下面的内容：
思考几个问题：
(1)从四边形的一个顶点出发可以引几条对角线？它们将四边形分成几个三角形？那么四边形的内角和等于多少度？
答：可以引一条对角线，将四边形分成两个三角形，所以四边形的内角和为360°.
(2)从五边形一个顶点出发可以引几条对角线？它们将五边形分成几个三角形？那么五边形的内角和为多少度？
答：可以引两条对角线，将五边形分成3个三角形，所以五边形内角和为540°.
【合作探究】
从n边形的一个顶点出发，可以引几条对角线？它们将n边形分成几个三角形？n边形的内角和等于多少度？
答：可以引(n－3)条对角线，将n边形分成(n－2)个三角形，内角和度数为(n－2)·180°.
归纳：设多边形的边数为n，则n边形的内角和等于(n－2)·180°．
补充例题：求十五边形内角和的度数．
1．教师提出问题，学生思考后分组活动．
2．教师深入小组，参与小组活动，及时了解学生探索的情况．
3．让学生归纳借助辅助线将五边形分割成三角形的不同分法．
4．探究五边形的边数与所分割的三角形个数间的关系，进而得出五边形内角和与边数的关系．
5．根据以上分割三角形的方法，引导学生归纳n边形内角和公式及不同公式间的联系，指明为了书写整齐，便于记忆，我们选择(n－2)×180°这个公式．
(二)阅读教材P22～P23回答下列问题：
1．n边形的每一个外角与它相邻的内角之和是多少度？
答：180°.
2．n边形的内角和与外角和加起来等于多少度？
答：n·180°.
3．n边形的内角和公式是(n－2)·180°，所以n边形的外角和等于n·180°－(n－2)·180°＝360°．
三、典例剖析，运用新知
[投影6]例1：如图一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？
如图，已知四边形ABCD中，∠A＋∠C＝180°，求∠B与∠D的关系．
分析∠A、∠B、∠C、∠D有什么关系？
解：∵∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝(4－2)×180°＝360°，∠A＋∠C＝180°，
∴∠B＋∠D＝360°－(∠A＋∠C)＝180°.
这就是说，如果四边形一组对角互补，那么另一组对角也互补．
[投影7]例2：如图，在六边形的每个顶点各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和．六边形的外角和等于多少？
如图，已知∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6分别为六边形ABCDEF的外角，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6的值．
分析多边形的一个外角同与它相邻的内角有什么关系？六边形的外角和是多少度？
解：∵∠1＋∠BAF＝180°，∠2＋∠ABC＝180°，∠3＋∠BCD＝180°，∠4＋∠CDE＝180°，∠5＋∠DEF＝180°，∠6＋∠EFA＝180°，
∴∠1＋∠BAF＋∠2＋∠ABC＋∠3＋∠BCD＋∠4＋∠CDE＋∠5＋∠DEF＋∠6＋∠EFA＝6×180°.
又∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝4×180°，
∴∠BAF＋∠ABC＋∠BCD＋∠CDE＋∠DEF＋∠EFA＝6×180°－4×180°＝360°.
这就是说，六边形的外角和为360°.
①明了学情：学生独立完成，教师巡视全班．
②差异指导：组织学生观察、类比、推理，有针对性进行分层点拨．
③生生互助：学生先在小组内交流，然后全班展示．
四、课堂小结，回顾新知
1．这节课我们主要探究学习了两个知识点：多边形的内角和与外角和公式．
2．通过这节课的学习，我们还要积累一些解题经验．想一想，在哪些方面可以积累一些经验呢？
生：在探究时，多边形的问题可以转化为三角形问题来解决．
师：利用多边形的内角和公式可以解决什么问题？
生：可以解决多边形的内角和及边数．
师：利用多边形的外角和可以解决什么问题？
生：可以解决多边形的内角和及边数．
师：能吗？
生：正多边形的．
五、检测反馈、落实新知
1．求下列图形中x的值．
解：(1)如图知，该图为五边形．内角和为(5－2)×180°＝540°，60°＋4x°＝540°，x°＝120°，x＝120；(2)如图，该图形为五边形，内角和为(5－2)×180°＝540°，150°＋135°＋60°＋(180°－60°)＋x°＝540°，∴x°＝75°.
2．某多边形的内角和与外角的和为2160°，求此多边形的边数．
解：设此多边形数为n.(n－2)×180°＋360°＝2160°，n＝12，∴此多边形有12条边．
3．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B，∠C＝∠D，试判断AB与CD的位置关系并说明理由．
解：AB与CD平行．理由：在四边形ABCD中，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°，∵∠A＝∠B，∠C＝∠D，∴2(∠A＋∠D)＝360°，2(∠B＋∠C)＝360°.∴∠A＋∠D＝∠B＋∠C＝180°，∴AB∥CD.
第3题图
　　　　　第4题图
4．如图，在四边形ABCD中，∠A与∠C的两边互相垂直，且∠C与∠A相差58°，求这两个角的度数．
解：在四边形ABCD中，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°，∵∠D＝∠B＝90°，∴∠A＋∠C＋180°＝360°.又∵∠C＝∠A＋58°，∴2∠A＋58°＋180°＝360°.∴∠A＝61°，∠C＝119°.
六、课后作业：巩固新知
(见学生用书)
第十一章小结与复习
1．让学生进一步理解并掌握三角形及三角形的重要线段的概念．
2．让学生进一步掌握三角形的三边间的关系．
3．让学生学会利用三角形的内角和定理及外角公式计算角度．
重点：熟练掌握三角形的三条重要线段．
难点：会灵活运用内角和定理及外角公式计算角度．
一、情景导入，感受新知
本章知识网构图：
二、自学互研，生成新知
【自主探究】
1．如图，三角形的个数是(　B　)
A．4　　　　　　　　　B．5
C．6 D．7
2．以下列各组线段为边，能组成三角形的是(　B　)
A．1cm，2cm，4cm B．8cm，6cm，4cm
C．12cm，5cm，6cm D．2cm，3cm，6cm
3．三角形一个外角小于与它相邻的内角，这个三角形是(　C　)
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．不能确定
4．下面各角能成为某多边形的内角和的是(　C　)
A．430° B．4343°
C．4320° D．4360°
5．如图，一个任意的五角星，它的五个角的和为(　C　)
A．50° B．100°
C．180° D．200°
第5题图
　　　第6题图
6．如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的外角，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝70°，则∠AED的度数是(　D　)
A．110° B．108°
C．105° D．100°
三、典例剖析，运用新知
例1：如图，三角形纸片ABC中，∠A＝60°，∠B＝75° ，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，若∠1＝20° ，则∠2的度数为________．
分析：由三角形内角和定理得∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－65°－75°＝40°，折叠以后，变成了四边形，因四边形的内角 和为360°，故∠AED＋∠BDE＝360°－∠A－∠B＝220°，在△CDE中，∠CDE＋∠CED＝180°－∠C＝180°－40°＝140°，所以∠2＝220°－140°－∠1＝60°.
例2：如图所示，BE与CD相交于点A，CF为∠BCD的平分线，EF为∠BED的平分线．
(1)试探求∠F与∠B、∠D间有何种等量关系．
(2)EF与FC能垂直吗？说明理由．
(3)若∠B∶∠D∶∠F＝2∶x∶3，求x的值．
解：(1)∠D＋∠B＝2∠F.
∵EF平分∠BED，CF平分∠BCD，
∴∠1＝∠BED，∠2＝∠BCD.
而∠EMC＝∠D＋∠BED，∠EMC＝∠F＋∠BCD，
∴∠D＋∠BED＝∠F＋∠BCD，①
同理可得：∠B＋∠BCD＝∠F＋∠BED.②
①＋②，得∠D＋∠B＝2∠F.
(2)能，若EF与FC垂直，即∠F＝90°，
则∠B＋∠D＝180°.
也就是说，如果∠D与∠B互补，则EF⊥FC.
(3)∵∠B∶∠D∶∠F＝2∶x∶3.
∴设∠B＝2m，∠D＝xm.∠F＝3m.
由(1)得xm＋2m＝2×3m，
∴x＝4.
例3：阅读下面的问题及解答：
如图(1)，△ABC中∠ABC、∠ACB的角平分线交于O点，则∠BOC＝90°＋∠A＝×180°＋∠A，如图(2)，△ABC中∠ABC、∠ACB的三等分线交于O1、O2，则∠BO1C＝×180°＋∠A，∠BO2C＝×180°＋∠A.根据以上信息：
(1)你能猜想出它的规律？n等分时[内部有(n－1)个点]，∠BO1C＝________，∠BOn－1C＝________(用含n的代数式表示)．
(2)根据你的猜想，当n＝4时说明∠BO2C的度数成立．
解：(1)当n＝2时，∠BOC＝×180°＋∠A，当n＝3时，∠BO1C＝×180°＋∠A，∠BO2C＝×180°＋∠A.
由此可见，系数分母即是n，∠BO1C的系数的第一个分子是n－1，第二分子是1.由此可猜想∠BO1C＝×180°＋∠A.同理：
∠BOn－1C＝×180°＋∠A.
(2)当n＝4时，代入所猜想的公式得∠BO2C＝×180°－∠A.另外，在△BO2C中，由三角形内角和定理得∠BO2C＝180°－(∠O2BC＋∠O2CB)＝180°－(∠ABC＋∠ACB)＝180°－(180°－∠A)＝×180°＋∠A.结果与猜想一致
例4：一个多边形从某一个顶点出发截取一个角后，所形成的多边形的内角和是2520°，求原多边形的边数．
解：设原多边形是n边形，分成两种情况讨论：(1)若截线不经过多边形的另一个顶点，则新多边形仍是n边形(如图(1))，由题设得(n－2)·180°＝2520°.解得n＝16；(2)若截线经过多边形的顶点，则新多边形(n－1)边形(如图(2))，由题设得(n－1－2)·180°＝2520°.解得n＝17，综上n＝16或17.
四、课堂小结，回顾新知
1．三角形三边之间的关系
2．三角形三个内角之间的关系
3．n边形的n个内角之间的关系
4．n边形的外角和与n之间的关系
五、检测反馈、落实新知
1．如图，已知∠1＝20°，∠2＝25°，∠A＝35°，则∠BDC的度数为(　A　)
A．80°　　　　　　　B．60°
C．120° D．45°
2．在△ABC中，BC边不动，点A竖直向上运动，∠A越小，∠B，∠C越来越大，若∠A减小α度，∠B增加β度，∠C增加γ度，则α、β、γ三者之间的等量关系是α＝β＋γ．
3．AD和BE是△ABC的高，H是AD与BE的交点或它们延长线的交点，若BH＝AC，则∠ABC为(　D　)
A．30° B．45°
C．135° D．45°或135°
4．把一副三角板按如图所示的方式放置，则两条斜边所形成的钝角∠α＝165°．
5．等腰三角形一个外角等于80°，则这个三角形的内角分别为100°、40°、40°．
六、课后作业：巩固新知