人教版数学八年级上册 12.3 角的平分线的性质 同步练习（Word版 含答案）

(
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
)
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
12.3
角的平分线的性质
一、选择题
1.已知△ABC内一点M,如果点M到两边AB、BC的距离相等,那么点M(??
)
A.?在AC边的高上????????B.?在AC边的中线上????????C.?在∠ABC的平分线上????????D.?在AC边的垂直平分线上
2.如图，
平分
，
，
，垂足分别为
、
，若
，则
(???
)
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
3.如图，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.若S△ABC=12，DF=2，AC=3，则AB的长是（??
）
A.?2???????????????????????????????????????????B.?4???????????????????????????????????????????C.?7???????????????????????????????????????????D.?9
4.现要在一块三角形的草坪上建一凉亭供大家休息,要使凉亭到草坪三条边的距离相等,凉亭的位置应选在（????
）
A.?△ABC的三条中线的交点?????????????????????????????????????B.?△ABC三边的垂直平分线的交点
C.?△ABC三条角平分线的交点??????????????????????????????????D.?△ABC三条高所在直线的交点
5.如图，△AOB的外角∠CAB，∠DBA的平分线AP，BP相交于点P，PE⊥OC于E，PF⊥OD于F，下列结论：(1)PE=PF；(2)点P在∠COD的平分线上；(3)
∠APB=90°-∠O，其中正确的有（
???）
A.?0个???????????????????????????????????????B.?1个???????????????????????????????????????C.?2个???????????????????????????????????????D.?3个
6.如图，在△ABC中，∠A=64°，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1
，
得∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2
，
得∠A2；……：∠An-1BC与∠An-1CD的平分线交于点An
，
要使∠An的度数为整数，则n的最大值为(???
)
A.?4???????????????????????????????????????????B.?5???????????????????????????????????????????C.?6???????????????????????????????????????????D.?7
7.如图，在
中，
，以顶点
为圆心，适当长为半径画弧，分别交
于点
，再分别以点
为圆心，大于
的长为半径面弧，两弧交于点
，作射线
交边
于点
，若
，则
的面积是（?
）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
8.已知△ABC
，
(1)如图①，若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠P＝90°＋
∠A；(2)如图②，若P点是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，则∠P＝90°－∠A；(3)如图③，若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠P＝90°－
∠A.上述说法正确的个数是(???
)
?
A.?0个???????????????????????????????????????B.?1个???????????????????????????????????????C.?2个???????????????????????????????????????D.?3个
二、填空题
9.如图，在
中，
是边
上的高，
平分
，交
于点
，
，
，则
的面积为________.
10.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于
MN的长半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是________.
11.如图，
平分
于
于
，
若
，则
________.
12.如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为30、40、50．其三条角平分线交于点O，则S△ABO
：S△BCO
：S△CAO
=________。
13.如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥BC，垂足为E.△ABC的面积为21，AB=8，BC=6，则DE的长为________.
14.如图，R△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AE与AC的中线BD交于点F，P为CE中点，连结PF，若CP=2，S△BFP=15，则AB的长度为________。
15.如图，AB丄CD于点E,且AB
=
CD
=
AC,若点I是三角形ACE的角平分线的交点，点F是BD的中点.下列结论：①∠AIC=
135°;②BD
=
BI,③S△AIC
=
S△BID
；④IF⊥AC.其中正确的是________（填序号）.
16.如图，在∠AOB
的边
OA、OB
上取点
M、N，连接
MN，P
是△MON
外角平分线的交点，
若
MN=2，S△PMN=2，S△OMN=7．则△MON
的周长是________；
三、解答题
17.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB、DF⊥AC，垂足分别为E、F，且BE=CF．
求证：AB=AC．
18.如图，在
中，∠ABC的平分线与∠ACE平分线相交于点D，
.求∠BAD的度数.
19.如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，垂足为D，BE平分∠ABC．∠A=30°，∠ACB=126°。
求∠DBE的度数。
20.如图，在△ABC中，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．
（1）求证：∠EFA=90°-
∠B；
（2）若∠B=60°，求证：EF=DF．
21.如图（a），∠DAB+∠ABC+∠BCE=360°
（1）求证：AD∥CE
（2）如图（b），AG、CG分别平分∠BAD、∠BCE，BF∥AG交GC的延长线于F，判断∠ABC与∠F的数量关系，并证明；
（3）如图（c），AN平分∠HAB，BP平分∠ABC，BQ∥AN，CM平分∠BCT交BQ的反向延长线于M，①
的值不变，②
的值不变；其中只有一个结论正确，请择一证明．
答案
一、选择题
1.
C
2.
B
3.
D
4.
C
5.
C
6.
C
7.
B
8.
C
二、填空题
9.
5
10.
30
11.
2
12.
3：4：5
13.
3
14.
15
15.
①
16.
11
三、解答题
17.证明：∵AD平分∠EAD，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∵在Rt△AED与Rt△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD，
∴AE=AF，
∵BE=CF，
∴AB=AC.
18.
∵∠ABC的平分线BM与△ACB的外角∠ACE的平分线CD相交于点D，
∴∠DCE=
∠ACE，∠DBC=
∠ABC，
∵∠DCE是△BCD的外角，
∴∠BDC=∠DCE-∠DBC=
∠ACE-
∠ABC=
（∠BAC+∠ABC）-
∠ABC=
（∠BAC+
∠ABC-
∠ABC）=
∠BAC，
∵∠BDC=20°，
∴∠BAC=2×20°=40°，
过D点分别作DE⊥BE交于E点，DG⊥AC交于G点，DF⊥BF交BA的延长线于F点，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，
∴DE=DF，DE=DG，
∴DF
=DG；
在Rt△DGA与Rt△DFA中，
∵DF
=DG，DA=DA，
∴Rt△DGA≌Rt△DFA（HL），
∴∠DAG=∠DAF，
又∵∠BAC=40°，
∴∠CAF=140°，
∴∠CAD=70°，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD
=110°.
19.
解：在△ABC中，∵∠A=30°，∠ACB=126°，
∴∠ABC=180°-∠A-∠ACB=24°，
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=
∠ABC=12°，
∵BD是AC边上的高，∴∠ADB=90°，
在Rt△ADB中，∠ABD=90°-∠A=60°，
∴∠DBE=∠ABD-∠ABE=48°，故∠DBE的度数是48°．
20.
（1）证明：∵∠BAC+∠BCA=180°-∠B，
又∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴∠FAC=
∠BAC，∠FCA=
∠BCA，
∴∠FAC+∠FCA=
×（180°-∠B）=90°-
∠B，
∵∠EFA=∠FAC+∠FCA，
∴∠EFA=90°-
∠B．
（2）证明：如图，过点F作FG⊥BC于G，作FH⊥AB于H，作FM⊥AC于M．
∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴FG=FH=FM，
∵∠EFH+∠DFH=120°，
∠DFG+∠DFH=360°-90°×2-60°=120°，
∴∠EFH=∠DFG，
在△EFH和△DFG中，
，
∴△EFH≌△DFG（AAS），
∴EF=DF．
21.
（1）解：过B作BF∥AD，
则∠DAB+∠ABF=180°，
∵∠DAB+∠ABC+∠BCE=360°，
∴∠FBC+∠BCE=360°﹣180°=180°，
∴BF∥CE，
∴AD∥CE.
（2）解：∠ABC=2∠F
证明：过点G作GH∥AD，
则GH∥AD∥CE，
∴∠DAG=∠AGH，∠HGC=∠GCE，
∵AG、CG分别平分∠BAD、∠BCE，
∴∠AGC=
（∠DAB+∠BCE），
∵∠DAB+∠ABC+∠BCE=360°，
∴
（∠DAB+∠ABC+∠BCE）=180°，
即∠AGC+
∠ABC=180°，
∵AG∥BF，
∴∠F+∠AGC=180°，
∴∠ABC=2∠F.
（3）解：②
的值不变．
证明：由上面结论可得，∠ABC=∠HAB+∠TCB，
又∵AN平分∠HAB，BP平分∠ABC，CM平分∠BCT，
∴∠ABP=∠NAB+∠MCB，
∵BQ∥AN，
∴∠NAB=∠ABQ，
∴∠QBP=
∠ABP=
∠CBP=
∠BCT=∠MCB，
∵∠QBC是△BCM的外角，
∴∠QBC=∠M+∠MCB，
∴∠M=∠QBC﹣∠MCB=∠QBC﹣∠QBP=∠PBC=
∠ABC，
即
的值为
．