2019-2020学年山东省聊城市阳谷县八年级下学期期末数学试卷 （word版，解析版）

2019-2020学年山东聊城市阳谷县八年级第二学期期末数学试卷
一、选择题（共12小题）.
1．随着国民经济快速发展，我国涌现出一批规模大、效益高的企业，如大疆、国家核电、华为、凤凰光学等，以上四个企业的标志是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列实数中，无理数的个数是（　　）
①0.333；②；③；④π；⑤6.18118111811118……
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．下列式子不正确的是（　　）
A．＝4a2 B．?＝5
C．＝＝ D．﹣＝
4．在数轴上，点A，B表示的数互为相反数，若点A在点B的左侧，且AB＝2，则点A，点B表示的数分别是（　　）
A．﹣， B．，﹣ C．0，2 D．﹣2，2
5．已知y是x的一次函数，下表列出了部分y与x的对应值：
x ﹣1 0 1 2
y ﹣2 ﹣1 0 a
则a的值为（　　）
A．﹣2 B．1 C．2 D．3
6．若a＞0，b＜0，a+b＞0，则a，b，﹣a，﹣b按照从小到大的顺序用“＜”连接起来，正确的是（　　）
A．﹣a＜b＜﹣b＜a B．a＞﹣b＞b＞﹣a C．b＜﹣a＜﹣b＜a D．﹣a＜﹣b＜b＜a
7．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式不成立的是（　　）
A．a﹣5＞b﹣5 B．﹣a＞﹣b C．6a＞6b D．a﹣b＞0
8．若＝a，＝b，则的值用a、b可以表示为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，?ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC．若AB＝4，AC＝6，则BD的长为（　　）
A．11 B．10 C．9 D．8
10．如图，正方形ABCD的面积为8，菱形AECF的面积为4，则EF的长是（　　）
A．4 B． C．2 D．1
11．如图，已知正比例函数y1＝kx与一次函数y2＝﹣x+b的图象交于点P．下面有四个结论：
①k＞0；②b＞0；③当x＞0时，y1＞0；④当x＜﹣2时，kx＞﹣x+b．其中正确的是（　　）
A．①③ B．②③ C．③④ D．①④
12．有如下按规律排列的数表，将这些数计算出来，并按原数表中的顺序排列得到一串数列：1，，，，2，，，，3，5，……
那么5是这串数列中的第几个数．（　　）
A．10 B．13
C．10或13 D．第5行第3个数
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分）
13．代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝mx﹣2与直线l2：y＝x+n相交于点P，则关于x，y的二元一次方程组的解是　 　．
15．如图，?ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M．如果△CDM的周长为8，那么?ABCD的周长是　 　．
16．如图，每个小正方形的边长为1，在△ABC中，点A，B，C均在格点上，点D为AB的中点，则线段CD的长为　 　．
17．将含有30°角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，OB在x轴上，将三角板绕原点O顺时针旋转75°，若OA＝4，则点A的对应点A′的坐标为　 　．
18．如图所示，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为　 　．
三、解答题（本大题共9个小题，满分78分，应写出必要的文字说明和解题步骤）.
19．如图，在正方形网格中，将格点△ABC绕某点顺时针旋转角α（0°＜α＜180°）得到格点△A1B1C1，点A与点A1，点B与点B1，点C与点C1是对应点．
（1）请通过画图找到旋转中心，将其标记为点O；
（2）直接写出旋转角α的度数．
20．（1）当a＝15时，求代数式﹣+的值．
（2）已知x﹣1＝，求代数式（x+1）2﹣4（x+1）+4的值．
21．解不等式组：
（1）．
（2），并写出这个不等式的所有整数解．
22．为保障疫情防控期间武汉蔬菜供应，2020年1月份山东寿光首批350吨蔬菜无偿捐给武汉，现有A、B两种型号的汽车调用．已知A型汽车每辆可装蔬菜20吨，B型汽车每辆可装15吨，在每辆汽车不超载的情况下，要把这350吨蔬菜一次性装运完，并且A型汽车确定要用8辆，问至少调用B型车多少辆？
23．如图，?ABCD中，E，F为对角线AC上的两点，且BE∥DF；求证：AE＝CF．
24．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AD＝3，A（，0），B（2，0），直线y＝kx+b（k≠0）经过B，D两点．
（1）求直线y＝kx+b（k≠0）的表达式；
（2）若直线y＝kx+b（k≠0）与y轴交于点M，求△CBM的面积．
25．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝8，AD＝6，折叠纸片使AD边落在对角线BD上，点A落在点A′处，折痕为DG，求AG的长．
26．现代互联网技术的厂泛应用，催生了快递行业的高速发展．小明计划给朋友快递一部分物品，经了解甲、乙两家快递公司比较合适，甲公司表示：快递物品不超过1千克的，按每千克22元收费；超过1千克，超过的部分按每千克15元收费，乙公司表示：按每千克16元收费，另加包装费3元．设小明快递物品x千克．
（1）当x＞l时，请分別直接写出甲、乙两家快递公司快递该物品的费用y（元）与x（千克）之间的函数关系式；
（2）在（1）的条件下，小明选择哪家快递公司更省钱？
27．我们规定：一组邻边相等且对角互补的四边形叫作“完美四边形”．
（1）在①平行四边形，②菱形，③矩形，④正方形中，一定为“完美”四边形的是　 　（请填序号）；
（2）在“完美”四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，连接AC．
①如图1，求证：AC平分∠BCD；
小明通过观察、实验，提出以下两种想法，证明AC平分∠BCD：
想法一：通过∠B+∠D＝180°，可延长CB到E，使BE＝CD，通过证明△AEB≌△ACD，从而可证AC平分∠BCD；
想法二：通过AB＝AD，可将△ACD绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△AEB，可证C，B，E三点在一条直线上，从而可证AC平分∠BCD．
请你参考上面的想法，帮助小明证明AC平分∠BCD；
②如图2，当∠BAD＝90°，用等式表示线段AC，BC，CD之间的数量关系，并证明．
参考答案
一、选择题（共12小题）.
1．随着国民经济快速发展，我国涌现出一批规模大、效益高的企业，如大疆、国家核电、华为、凤凰光学等，以上四个企业的标志是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．
解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、是中心对称图形，故本选项正确；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、不是中心对称图形，故本选项错误．
故选：B．
2．下列实数中，无理数的个数是（　　）
①0.333；②；③；④π；⑤6.18118111811118……
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，结合选项，找出无理数的个数即可．
解：根据无理数的三种形式可得，③，④π，⑤6.18118111811118…是无理数，共3个，
故选：C．
3．下列式子不正确的是（　　）
A．＝4a2 B．?＝5
C．＝＝ D．﹣＝
【分析】利用二次根式的性质对A、C进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的加减法对D进行判断．
解：A、原式＝4a2，所以A选项的计算正确；
B、原式＝＝5，所以B选项的计算正确；
C、原式＝＝（a＞0），所以C选项的计算正确；
D、与﹣不能合并，所以D选项的计算不正确．
故选：D．
4．在数轴上，点A，B表示的数互为相反数，若点A在点B的左侧，且AB＝2，则点A，点B表示的数分别是（　　）
A．﹣， B．，﹣ C．0，2 D．﹣2，2
【分析】根据相反数的定义即可求解．
解：由A、B表示的数互为相反数，且AB＝2，点A在点B的左边，得
点A、B表示的数是﹣，．
故选：A．
5．已知y是x的一次函数，下表列出了部分y与x的对应值：
x ﹣1 0 1 2
y ﹣2 ﹣1 0 a
则a的值为（　　）
A．﹣2 B．1 C．2 D．3
【分析】利用待定系数法即可求得函数的解析式，然后把x＝2代入解析式即可求得a的值．
解：设一次函数的表达式为y＝kx+b．
代入（1，0），（0，﹣1）两点，得：
∴．
解得：．
∴一次函数表达式为y＝x﹣1．
把（2，a）代入y＝x﹣1，解得a＝1．
故选：B．
6．若a＞0，b＜0，a+b＞0，则a，b，﹣a，﹣b按照从小到大的顺序用“＜”连接起来，正确的是（　　）
A．﹣a＜b＜﹣b＜a B．a＞﹣b＞b＞﹣a C．b＜﹣a＜﹣b＜a D．﹣a＜﹣b＜b＜a
【分析】由题意可知|a|＞|b|，再根据有理数的大小比较法则比较即可．
解：∵a＞0，b＜0，a+b＞0，，
∴|a|＞|b|，如图，
∴﹣a＜b＜﹣b＜a．
故选：A．
7．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式不成立的是（　　）
A．a﹣5＞b﹣5 B．﹣a＞﹣b C．6a＞6b D．a﹣b＞0
【分析】根据数轴判断出a、b的正负情况以及绝对值的大小，然后解答即可．
解：由图可知，b＜0＜a，且|b|＜|a|，
∴a﹣5＞b﹣5，﹣a＜﹣b，6a＞6b，a﹣b＞0，
∴关系式不成立的是选项B．
故选：B．
8．若＝a，＝b，则的值用a、b可以表示为（　　）
A． B． C． D．
【分析】，化简即可．
解：＝．
故选：C．
9．如图，?ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC．若AB＝4，AC＝6，则BD的长为（　　）
A．11 B．10 C．9 D．8
【分析】利用平行四边形的性质可知AO＝3，在Rt△ABO中利用勾股定理可得BO＝5，则BD＝2BO＝10．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BD＝2BO，AO＝OC＝3．
在Rt△ABO中，利用勾股定理可得BO＝＝5．
∴BD＝2BO＝10．
故选：B．
10．如图，正方形ABCD的面积为8，菱形AECF的面积为4，则EF的长是（　　）
A．4 B． C．2 D．1
【分析】连接AC，根据正方形ABCD的面积为8，求得AC＝4，根据菱形的面积，即可得到结论．
解：连接AC，
∵正方形ABCD的面积为8，
∴AC＝4，
∵菱形AECF的面积为4，
∴EF＝＝2，
故选：C．
11．如图，已知正比例函数y1＝kx与一次函数y2＝﹣x+b的图象交于点P．下面有四个结论：
①k＞0；②b＞0；③当x＞0时，y1＞0；④当x＜﹣2时，kx＞﹣x+b．其中正确的是（　　）
A．①③ B．②③ C．③④ D．①④
【分析】根据正比例函数和一次函数的性质判断即可．
解：∵直线y1＝kx经过第一、三象限，
∴k＞0，故①正确；
∵y2＝﹣x+b与y轴交点在负半轴，
∴b＜0，故②错误；
∵正比例函数y1＝kx经过原点，且y随x的增大而增大，
∴当x＞0时，y1＞0；故③正确；
当x＜﹣2时，正比例函数y1＝kx在一次函数y2＝﹣x+b图象的下方，即kx＜﹣x+b，故④错误．
故选：A．
12．有如下按规律排列的数表，将这些数计算出来，并按原数表中的顺序排列得到一串数列：1，，，，2，，，，3，5，……
那么5是这串数列中的第几个数．（　　）
A．10 B．13
C．10或13 D．第5行第3个数
【分析】观察阅读材料中的规律，确定出所求即可．
解：5═，则5是第4行第4个数或第5行第3个数，
即5是这串数列中的第10或13个数．
故选：C．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分）
13．代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是　x≥1　．
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
解：∵在实数范围内有意义，
∴x﹣1≥0，
解得x≥1．
故答案为：x≥1．
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝mx﹣2与直线l2：y＝x+n相交于点P，则关于x，y的二元一次方程组的解是　　．
【分析】关于x、y的二元一次方程组的解即为直线l1：y＝mx﹣2与直线l2：y＝x+n的交点P（1，2）的坐标．
解：∵直线l1：y＝mx﹣2与直线l2：y＝x+n相交于点P（1，2），
∴关于x、y的二元一次方程组的解是．
故答案为．
15．如图，?ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M．如果△CDM的周长为8，那么?ABCD的周长是　16　．
【分析】根据题意，OM垂直平分AC，所以MC＝MA，因此△CDM的周长＝AD+CD，可得平行四边形ABCD的周长．
解：∵ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
∵OM⊥AC，
∴AM＝MC．
∴△CDM的周长＝AD+CD＝8，
∴平行四边形ABCD的周长是2×8＝16．
故答案为16．
16．如图，每个小正方形的边长为1，在△ABC中，点A，B，C均在格点上，点D为AB的中点，则线段CD的长为　　．
【分析】利用勾股定理的逆定理证明∠ACB＝90°，再利用直角三角形斜边中线的性质即可解决问题．
解：∵AC＝2，BC＝3，AB＝，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∵AD＝DB，
∴CD＝AB＝，
故答案为．
17．将含有30°角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，OB在x轴上，将三角板绕原点O顺时针旋转75°，若OA＝4，则点A的对应点A′的坐标为　（，）　．
【分析】根据旋转的性质将三角板绕原点O顺时针旋转75°，OA＝4，再根据等腰直角三角形的性质即可求点A的对应点A′的坐标．
解：如图，
将三角板绕原点O顺时针旋转75°得△A′OB′，
∴OA′＝OA＝4，
∵∠AOB＝30°，
∴∠BOA′＝75°﹣30°＝45°，
作A′C⊥OB于点C，
∴∠A′CO＝90°，
∴∠OA′C＝45°，
∴OC＝A′C＝OA′?＝2．
所以点A的对应点A′的坐标为（2，﹣2）．
故答案为：（2，﹣2）．
18．如图所示，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为　4　．
【分析】先求得正方形的边长，依据等边三角形的定义可知BE＝AB＝4，连结BP，依据正方形的对称性可知PB＝PD，则PE+PD＝PE+BP．由两点之间线段最短可知：当点B、P、E在一条直线上时，PE+PD有最小值，最小值为BE的长．
解：连结BP．
∵四边形ABCD为正方形，面积为16，
∴正方形的边长为4．
∵△ABE为等边三角形，
∴BE＝AB＝4．
∵四边形ABCD为正方形，
∴△ABP与△ADP关于AC对称．
∴BP＝DP．
∴PE+PD＝PE+BP．
由两点之间线段最短可知：当点B、P、E在一条直线上时，PE+PD有最小值，最小值＝BE＝4．
故答案为：4．
三、解答题（本大题共9个小题，满分78分，应写出必要的文字说明和解题步骤）.
19．如图，在正方形网格中，将格点△ABC绕某点顺时针旋转角α（0°＜α＜180°）得到格点△A1B1C1，点A与点A1，点B与点B1，点C与点C1是对应点．
（1）请通过画图找到旋转中心，将其标记为点O；
（2）直接写出旋转角α的度数．
【分析】（1）连接CC1、AA1，再分别作两线段的中垂线，两中垂线的交点即为所求；
（2）连接CO、C1O，结合网格特点可得旋转角∠COC1＝α＝90°．
解：（1）如图所示，点O即为所求；
（2）如图所示，∠COC1＝α＝90°．
20．（1）当a＝15时，求代数式﹣+的值．
（2）已知x﹣1＝，求代数式（x+1）2﹣4（x+1）+4的值．
【分析】（1）直接把a的值代入化简得出答案；
（2）直接利用完全平方公式将原式变形进而把已知代入得出答案．
解：（1）当a＝15时，原式＝﹣+
＝3﹣5+6
＝4；
（2）（x+1）2﹣4（x+1）+4
＝（x+1﹣2）2
＝（x﹣1）2，
∵x﹣1＝，
∴原式＝（）2
＝3．
21．解不等式组：
（1）．
（2），并写出这个不等式的所有整数解．
【分析】（1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，从而得出所有整数解．
解：（1）解不等式3（x﹣2）＜2x﹣2，得：x＜4，
解不等式＜x，得：x＞，
则不等式组的解集为＜x＜4；
（2）解不等式5x﹣1≤3（x+1），得：x≤2，
解不等式﹣2x＜1，得：x＞﹣，
则不等式组的解集为﹣＜x≤2，
所以不等式组的整数解为0、1、2．
22．为保障疫情防控期间武汉蔬菜供应，2020年1月份山东寿光首批350吨蔬菜无偿捐给武汉，现有A、B两种型号的汽车调用．已知A型汽车每辆可装蔬菜20吨，B型汽车每辆可装15吨，在每辆汽车不超载的情况下，要把这350吨蔬菜一次性装运完，并且A型汽车确定要用8辆，问至少调用B型车多少辆？
【分析】设调用B型汽车x辆，根据8辆A汽车的装货物的吨数+B汽车装货物的吨数≥350吨，由此列出不等式，求出x的值即可得出答案．
解：设调用B型汽车x辆，
由题意，得20×8+15x≥350．
解得x≥12.6．
又∵x是正整数，
∴x最小值＝13．
答：至少调用B型车13辆．
23．如图，?ABCD中，E，F为对角线AC上的两点，且BE∥DF；求证：AE＝CF．
【分析】根据已知条件利用AAS来判定△ADF≌△CBE，从而得出AE＝CF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，AD∥CB．
∴∠BCE＝∠DAF．
∵BE∥DF，
∴∠AFD＝∠CEB
在△CDF和△ABE中，，
∴△CDF≌△ABE（AAS），
∴CE＝AF，
∴AE＝CF．
24．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AD＝3，A（，0），B（2，0），直线y＝kx+b（k≠0）经过B，D两点．
（1）求直线y＝kx+b（k≠0）的表达式；
（2）若直线y＝kx+b（k≠0）与y轴交于点M，求△CBM的面积．
【分析】（1）利用矩形的性质，得出点D坐标，进一步利用待定系数法求得函数解析式；
（2）由三角形的面积公式解答．
解：（1）由矩形ABCD的边AD＝3，A（，0），B（2，0），
可得D（，3），C（2，3）．
把B（2，0），D（，3）代入y＝kx+b（k≠0）得，
．
解得：．
∴直线表达式为：y＝﹣2x+4．
（2）连接CM．
∵B（2，0），
∴OB＝2．
∴S△BCM＝?BC?OB＝×3×2＝3．
25．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝8，AD＝6，折叠纸片使AD边落在对角线BD上，点A落在点A′处，折痕为DG，求AG的长．
【分析】折叠的性质得∠BA′G＝∠DA′G＝∠A＝90°，A′D＝AD＝6，由勾股定理得BD＝＝10，得出A′B＝4，设AG＝A′G＝x，则GB＝8﹣x，由勾股定理得出方程，解方程即可得出结果．
解：∵矩形ABCD折叠后AD边落在BD上，
∴∠BA′G＝∠DA′G＝∠A＝90°，
∵AB＝8，AD＝6，
∴A′D＝6，BD＝＝＝10，
∴A′B＝4，
设AG＝A′G＝x，则GB＝8﹣x，
由勾股定理得：x2+42＝（8﹣x）2，
解得：x＝3，
∴AG＝3．
26．现代互联网技术的厂泛应用，催生了快递行业的高速发展．小明计划给朋友快递一部分物品，经了解甲、乙两家快递公司比较合适，甲公司表示：快递物品不超过1千克的，按每千克22元收费；超过1千克，超过的部分按每千克15元收费，乙公司表示：按每千克16元收费，另加包装费3元．设小明快递物品x千克．
（1）当x＞l时，请分別直接写出甲、乙两家快递公司快递该物品的费用y（元）与x（千克）之间的函数关系式；
（2）在（1）的条件下，小明选择哪家快递公司更省钱？
【分析】（1）根据题意可以得到甲、乙两家快递公司快递该物品的费用y（元）与x（千克）之间的函数关系式；
（2）根据题意和（1）中的函数解析式，可以列出相应的不等式，从而可以解答本题．
解：（1）由题意可得，
y甲＝22+15（x﹣1）＝15x+7，
y乙＝16x+3；
（2）x＞1时，令y甲＜y乙，
即15x+7＜16x+3
解得：x＞4，
令y甲＝y乙，
即15x+7＝16x+3，
解得：x＝4，
令y甲＞y乙，
即15x+7＞16x+3，
解得：x＜4，
综上可知：当1＜x＜4时，选乙快递公司省钱；当x＝4时，选甲、乙两家快递公司快递费一样多；当x＞4时，选甲快递公司省钱．
27．我们规定：一组邻边相等且对角互补的四边形叫作“完美四边形”．
（1）在①平行四边形，②菱形，③矩形，④正方形中，一定为“完美”四边形的是　④　（请填序号）；
（2）在“完美”四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，连接AC．
①如图1，求证：AC平分∠BCD；
小明通过观察、实验，提出以下两种想法，证明AC平分∠BCD：
想法一：通过∠B+∠D＝180°，可延长CB到E，使BE＝CD，通过证明△AEB≌△ACD，从而可证AC平分∠BCD；
想法二：通过AB＝AD，可将△ACD绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△AEB，可证C，B，E三点在一条直线上，从而可证AC平分∠BCD．
请你参考上面的想法，帮助小明证明AC平分∠BCD；
②如图2，当∠BAD＝90°，用等式表示线段AC，BC，CD之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）由“完美四边形”定义可求解；
（2）①想法一：由“SAS”可证△ADC≌△ABE，可得∠ACD＝∠AEB，AC＝AE，由等腰三角形的性质可得结论；
想法二：由旋转的性质可得∠ADC＝∠ABE，∠ACD＝∠AEB，AC＝AE，可证点C，B，E在一条直线上，由等腰三角形的性质可得结论；
②延长CB使BE＝CD，连接AE，由①可得△ACE为等腰三角形，由∠BAD＝90°，可证△ACE为等腰直角三角形，即可得解．
解：（1）由“完美四边形”的定义可得正方形是“完美四边形”．
故答案为：④
（2）
①想法一：延长CB使BE＝CD，连接AE
∵∠ADC+∠ABC＝180°，∠ABE+∠ABC＝180°，
∴∠ADC＝∠ABE
∵AD＝AB，
∴△ADC≌△ABE（SAS）
∴∠ACD＝∠AEB，AC＝AE
∴∠ACB＝∠AEB．
∴∠ACD＝∠ACB．
即AC平分∠BCD4
想法二：将△ACD绕点A顺时针旋转，使AD边与AB边重合，得到△ABE，
∴△ADC≌△ABE．
∴∠ADC＝∠ABE；
∠ACD＝∠AEB；
AC＝AE．
∵∠ADC+∠ABC＝180°，
∴∠ABE+∠ABC＝180°．
∴点C，B，E在一条直线上．
∵AC＝AE，
∴∠ACB＝∠AEB
∴∠ACD＝∠ACB
即AC平分∠BCD
②BC+CD＝AC
理由如下：
延长CB使BE＝CD，连接AE，
由 ①得△ACE为等腰三角形．
∵∠BAD＝90°，
∴∠EAC＝90°
∴CE2＝2AC2，
∴．
∴BC+CD＝AC．