2019-2020学年湖南省衡阳市八年级下学期期末数学试卷 （word版，解析版）

2019-2020学年湖南省衡阳市八年级第二学期期末数学试卷
一、选择题（共12小题）.
1．分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≠2 B．x≠﹣2 C．x＝2 D．x＝﹣2
2．在平面直角坐标系中，点（﹣3，2）所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．若方程＝2+有增根，则a的值为（　　）
A．a＝﹣4 B．a＝4 C．a＝3 D．a＝2
4．直线y＝2x﹣1不经过的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．若点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
6．化简÷的结果是（　　）
A．x+3 B．x﹣3 C．3﹣x D．﹣6x
7．下列命题是真命题的是（　　）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线互相垂直的四边形是正方形
8．有一组数据：1，3，3，4，5，这组数据的众数为（　　）
A．1 B．3 C．4 D．5
9．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝7，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE＝3，则AB的长为（　　）
A．2 B． C．3 D．4
10．如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC＝，则折痕CE的长为（　　）
A．2 B． C． D．3
11．某工程队铺设一条480米的景观路，开工后，由于引进先进设备，工作效率比原计划提高50%，结果提前4天完成任务．若设原计划每天铺设x米，根据题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
12．如图，正方形ABCD中，点E在BC的延长线上，AE平分∠DAC，则下列结论：
（1）∠E＝22.5°；（2）∠AFC＝112.5°；（3）∠ACE＝135°；（4）AC＝CE；（5）AD：CE＝1：．
其中正确的有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
二．填空题（共18分）
13．计算：＝　 　．
14．已知函数y＝﹣x+3，当x＝　 　时，函数值为0．
15．某种流感病毒的直径是0.0000085cm，这个数据用科学记数法表示为　 　cm．
16．九年级学生在进行跳远训练时，甲、乙两同学在相同条件下各跳10次，统计得他们的平均成绩都是5.68米，甲的方差为0.3，乙的方差为0.4，那么成绩较为稳定的是　 　（填“甲”或“乙”）．
17．如图，在菱形ABCD中，AC＝6cm，BD＝8cm，则菱形ABCD的高AE为　 　cm．
18．如图，已知双曲线y＝（x＞0）经过矩形OABC边AB的中点F，交BC于点E，且四边形OEBF的面积为6，则k＝　 　．
三、解答题（共66分）
19．计算：（π﹣2016）0+（）﹣1﹣×|﹣3|
20．解分式方程：+＝2．
21．先化简：÷（﹣），再从﹣2＜x＜3的范围内选取一个你喜欢的x值代入求值．
22．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，过点D分别作DE∥AC、DF∥AB，分别交AB、AC于点E、F．求证：四边形AEDF是菱形．
23． 为了了解某居民区10000户家庭丢弃废旧塑料袋的情况，某环保组织在今年6月5日（世界环境日）这一天随机抽样调查了该小区50户家庭丢弃塑料袋的情况，制成如下统计表和条形统计图（如图）（均不完整）．
每户丢弃废旧塑料袋（个） 频数（户） 频率
3 5 0.1
4 20 0.4
5 　 　 　 　
6 10 0.2
合计 50 1
（1）将统计表和条形统计图补充完整；
（2）求抽样的50户家庭这天丢弃废旧塑料袋的平均个数；
（3）根据抽样数据，估计该居民区10000户家庭这天丢弃的废旧塑料的个数．
24．如图，直线y＝x+b分别交x轴、y轴于点A、C，点P是直线AC与双曲线y＝在第一象限内的交点，PB⊥x轴，垂足为点B，且OB＝2，PB＝4．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求△APB的面积．
25．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，连接DE交AC于点F．
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．
（3）在（2）的条件下，若AB＝AC＝2，求正方形ADCE周长．
26．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的AB边在x轴上，AB＝3，AD＝2，经过点C的直线y＝x﹣2与x轴、y轴分别交于点E、F．
（1）求点D的坐标；
（2）问直线y＝x﹣2上是否存在点P，使得△PDC为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在平面直角坐标系内确定点M，使得以点M、D、C、E为顶点的四边形是平行四边形，请写出点M的坐标．
参考答案
一、选择题（共12小题）.
1．分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≠2 B．x≠﹣2 C．x＝2 D．x＝﹣2
解：根据题意得：x﹣2≠0，
解得：x≠2．
故选：A．
2．在平面直角坐标系中，点（﹣3，2）所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解：点（﹣3，2）所在的象限在第二象限．
故选：B．
3．若方程＝2+有增根，则a的值为（　　）
A．a＝﹣4 B．a＝4 C．a＝3 D．a＝2
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根得到x﹣4＝0，求出x的值，代入整式方程计算即可求出a的值．
解：去分母得：x＝2（x﹣4）+a，
由分式方程有增根，得到x﹣4＝0，即x＝4，
把x＝4代入整式方程得：a＝4．
故选：B．
4．直线y＝2x﹣1不经过的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据题目中的函数解析式和一次函数的性质可以解答本题．
解：∵y＝2x﹣1，k＝2＞0，b＝﹣1，
∴该函数经过第一、三、四象限，不经过第二象限，
故选：B．
5．若点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，把三个点的坐标分别代入解析式计算出y1、y3、y2的值，然后比较大小即可．
解：∵点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，
∴y1＝2，y2＝﹣2，y3＝﹣，
∴y2＜y3＜y1．
故选：B．
6．化简÷的结果是（　　）
A．x+3 B．x﹣3 C．3﹣x D．﹣6x
【分析】原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．
解：原式＝?
＝x﹣3．
故选：B．
7．下列命题是真命题的是（　　）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线互相垂直的四边形是正方形
【分析】根据平行线四边形的判定方法对A进行判定；根据矩形的判定方法，对角线相等的平行四边形是矩形，则可对B进行判定；根据菱形的判定方法，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，则可对C进行判定；根据正方形的判定方法，对角线互相垂直的矩形是正方形，则可对对D进行判定．
解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以A选项为真命题；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，所以B选项为假命题；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以C选项为假命题；
D、对角线互相垂直的矩形是正方形，所以D选项为假命题．
故选：A．
8．有一组数据：1，3，3，4，5，这组数据的众数为（　　）
A．1 B．3 C．4 D．5
【分析】根据众数的概念求解．
解：这组数据中3出现的次数最多，
故众数为3．
故选：B．
9．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝7，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE＝3，则AB的长为（　　）
A．2 B． C．3 D．4
【分析】由平行四边形的性质可得AD∥BC，AB＝CD，可得∠DCE＝∠BCE＝∠DEC，可得DE＝DC＝AB，即可求AB的值．
解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，AB＝CD，
∴∠DEC＝∠BCE
∵CE平分∠BCD
∴∠DCE＝∠BCE
∴∠DEC＝∠DCE
∴DE＝CD
∵AD＝7，AE＝3，
∴DE＝4
∴AB＝CD＝DE＝4，
故选：D．
10．如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC＝，则折痕CE的长为（　　）
A．2 B． C． D．3
【分析】由点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，可求得∠BAC＝30°，继而可得∠BCE＝30°，继而求得折痕CE的长．
解：∵点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，
∴AC＝2OC＝2BC，∠B＝90°，∠ACE＝∠BCE，
∴sin∠BAC＝，
∴∠BAC＝30°，
∴∠ACB＝90°﹣∠BAC＝60°，
∴∠BCE＝30°，
∴CE＝
故选：A．
11．某工程队铺设一条480米的景观路，开工后，由于引进先进设备，工作效率比原计划提高50%，结果提前4天完成任务．若设原计划每天铺设x米，根据题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】关键描述语是：“提前了4天完成任务”；等量关系为：原计划用时﹣实际用时＝4，根据等量关系列式．
解：原计划用时，而实际工作效率提高后，
所用时间为．
方程应该表示为：．
故选：C．
12．如图，正方形ABCD中，点E在BC的延长线上，AE平分∠DAC，则下列结论：
（1）∠E＝22.5°；（2）∠AFC＝112.5°；（3）∠ACE＝135°；（4）AC＝CE；（5）AD：CE＝1：．
其中正确的有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【分析】AE平分∠DAC，AC是对角线，所以∠E＝22.5°；∠AFC＝112.5°；∠ACE＝135°；AC＝CE；均正确，而只有（5）无法确定．
解：在正方形ABCD中，∵AE平分∠DAC，AC是对角线，
∴∠CAF＝∠E，∴AC＝CE，
∴∠E＝∠FAD＝，
∠AFC＝∠E+90°＝112.5°
∠ACE＝90°+45°＝135°，
∵AC＝CE，
∴AD：CE＝1：．
故选：A．
二．填空题（共18分）
13．计算：＝　1　．
【分析】因为分式的分母相同，所以只要将分母不变，分子相加即可．
解：＝．故答案为1．
14．已知函数y＝﹣x+3，当x＝　3　时，函数值为0．
【分析】令y＝0得到关于x的方程，从而可求得x的值．
解：当y＝0时，﹣x+3＝0，
解得：x＝3．
故答案为：3．
15．某种流感病毒的直径是0.0000085cm，这个数据用科学记数法表示为　8.5×10﹣6　cm．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：0.0000085＝8.5×10﹣6．
故答案为：8.5×10﹣6．
16．九年级学生在进行跳远训练时，甲、乙两同学在相同条件下各跳10次，统计得他们的平均成绩都是5.68米，甲的方差为0.3，乙的方差为0.4，那么成绩较为稳定的是　甲　（填“甲”或“乙”）．
【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
解：∵甲的方差为0.3，乙的方差为0.4，0.3＜0.4，
∴成绩较为稳定的是甲．
故答案为：甲．
17．如图，在菱形ABCD中，AC＝6cm，BD＝8cm，则菱形ABCD的高AE为　　cm．
【分析】首先根据菱形的对角线互相垂直平分，再利用勾股定理，求出BC的长是多少；然后再结合△ABC的面积的求法，求出菱形ABCD的高AE是多少即可．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC、BD互相垂直平分，
∴BO＝BD＝×8＝4（cm），CO＝AC＝×6＝3（cm），
在△BCO中，由勾股定理，可得
BC＝＝＝5（cm）
∵AE⊥BC，
∴AE?BC＝AC?BO，
∴AE＝＝＝（cm），
即菱形ABCD的高AE为 cm．
故答案为：．
18．如图，已知双曲线y＝（x＞0）经过矩形OABC边AB的中点F，交BC于点E，且四边形OEBF的面积为6，则k＝　6　．
【分析】利用反比例函数图象上点的坐标，设F（a，），则根据F点为AB的中点得到B（a，），然后根据反比例函数系数k的几何意义，利用矩形ABCO的面积＝S△OCE+S△AOF+S四边形OEBF得到k+k+6＝a?，再解关于k的方程即可．
解：设F（a，），则B（a，），
因为矩形ABCO的面积＝S△OCE+S△AOF+S四边形OEBF，
所以k+k+6＝a?，
解得k＝6．
故答案为6．
三、解答题（共66分）
19．计算：（π﹣2016）0+（）﹣1﹣×|﹣3|
【分析】根据零指数幂、负整数指数幂的意义和绝对值的意义计算．
解：原式＝1+3﹣2×3
＝1+3﹣6
＝﹣2．
20．解分式方程：+＝2．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解：去分母得：x+1+2x2﹣2x＝2x2﹣2，
解得：x＝3，
经检验x＝3是分式方程的解．
21．先化简：÷（﹣），再从﹣2＜x＜3的范围内选取一个你喜欢的x值代入求值．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，确定出x的值，代入计算即可求出值．
解：原式＝÷＝?＝，
当x＝2时，原式＝4（x≠﹣1，0，1）．
22．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，过点D分别作DE∥AC、DF∥AB，分别交AB、AC于点E、F．求证：四边形AEDF是菱形．
【分析】根据平行四边形的定义得出四边形AEDF是平行四边形，再求出AE＝DE，根据菱形的判定推出即可．
【解答】证明：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD．
∵DE∥AC，
∴∠EDA＝∠CAD，
∴∠EDA＝∠BAD，
∴AE＝DE，
∴四边形AEDF是菱形．
23． 为了了解某居民区10000户家庭丢弃废旧塑料袋的情况，某环保组织在今年6月5日（世界环境日）这一天随机抽样调查了该小区50户家庭丢弃塑料袋的情况，制成如下统计表和条形统计图（如图）（均不完整）．
每户丢弃废旧塑料袋（个） 频数（户） 频率
3 5 0.1
4 20 0.4
5 　15　 　0.3　
6 10 0.2
合计 50 1
（1）将统计表和条形统计图补充完整；
（2）求抽样的50户家庭这天丢弃废旧塑料袋的平均个数；
（3）根据抽样数据，估计该居民区10000户家庭这天丢弃的废旧塑料的个数．
【分析】（1）用总人数减去其他小组的人数即可得家庭丢弃塑料袋为5的小组的频数，除以总人数即可得到该组的频率；
（2）用加权平均数计算丢弃废旧塑料袋的平均个数即可；
（3）用样本的平均数估计总体的平均数即可．
解：（1）统计表和条形统计图补充如下：
家庭丢弃塑料袋是5个的：50﹣5﹣20﹣10＝15，频率为：15÷50＝0.3，，
（2）抽样的50户家庭这天丢弃废旧塑料袋的平均个数是：＝＝4.6（个）．
（3）∵样本数据的平均数是4.6，
∴该居民区10000户家庭这天丢弃的废旧塑料的平均个数是4.6．
于是4.6×10000＝46000（个），
∴该居民区10000户家庭这天丢弃的废旧塑料的个数是46000个．
24．如图，直线y＝x+b分别交x轴、y轴于点A、C，点P是直线AC与双曲线y＝在第一象限内的交点，PB⊥x轴，垂足为点B，且OB＝2，PB＝4．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求△APB的面积．
【分析】（1）由OB，PB的长，及P在第一象限，确定出P的坐标，根据P为反比例函数与直线的交点，得到P在反比例函数图象上，故将P的坐标代入反比例解析式中，即可求出k的值；
（2）根据待定系数法求得直线AC的解析式，令y＝0求出对应x的值，即为A的横坐标，确定出A的坐标，即可求得AB，然后根据三角形的面积公式求得即可．
解：（1）∵OB＝2，PB＝4，且P在第一象限，
∴P（2，4），
由P在反比例函数y＝上，
∴k＝2×4＝8，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）∵P（2，4）在直线y＝x+b上，
∴4＝+b，解得b＝3，
∴直线y＝x+3，
令y＝0，解得：x＝﹣6；
∴A（﹣6，0），
∴OA＝6，
∴AB＝8，
∴S△APB＝AB?PB＝×8×4＝16．
25．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，连接DE交AC于点F．
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．
（3）在（2）的条件下，若AB＝AC＝2，求正方形ADCE周长．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，可得∠CAD＝∠BAC，根据等式的性质，可得∠CAD+∠CAE＝（∠BAC+∠CAM）＝90°，根据垂线的定义，可得∠ADC＝∠CEA，根据矩形的判定，可得答案；
（2）根据等腰直角三角形的性质，可得AD与CD的关系，根据正方形的判定，可得答案；
（3）根据勾股定理，可得AD的长，根据正方形周长公式，可得答案．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，
∴∠CAD＝∠BAC．
∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
∴∠CAE＝∠CAM．
∵∠BAC与∠CAM是邻补角，
∴∠BAC+∠CAM＝180°，
∴∠CAD+∠CAE＝（∠BAC+∠CAM）＝90°．
∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC＝∠CEA＝90°，
∴四边形ADCE为矩形；
（2）∠BAC＝90°且AB＝AC时，四边形ADCE是一个正方形，
证明：∵∠BAC＝90°且AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠CAD＝∠BAC＝45°，∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝∠CAD＝45°，
∴AD＝CD．
∵四边形ADCE为矩形，
∴四边形ADCE为正方形；
（3）解：由勾股定理，得
＝AB，AD＝CD，
即AD＝2，
AD＝2，
正方形ADCE周长4AD＝4×2＝8．
26．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的AB边在x轴上，AB＝3，AD＝2，经过点C的直线y＝x﹣2与x轴、y轴分别交于点E、F．
（1）求点D的坐标；
（2）问直线y＝x﹣2上是否存在点P，使得△PDC为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在平面直角坐标系内确定点M，使得以点M、D、C、E为顶点的四边形是平行四边形，请写出点M的坐标．
【分析】（1）设点C的坐标为（m，2），根据一次函数图象上点的坐标特征，代入直线解析式求解即可得到m的值，再根据矩形的长求出OA，然后写出点D的坐标即可．
（2）根据直线解析式求出△EBC为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠CEB＝∠ECB＝45°，再根据平行线的性质可得∠DCE＝∠CEB＝45°，然后判断出△PDC只能是以P、D为直角顶点的等腰直角三角形，再分①∠D＝90°时，根据点P的横坐标与点D的横坐标相等，利用直线解析式求解即可；②∠DPC＝90°时，作DC的垂直平分线与直线y＝x﹣2的交点即为点P2，求出点P的横坐标，再代入直线解析式计算即可得解．
（3）根据平行四边形平行且对边相等，分DE、CE是对角线时，点M在x轴上，求出OM的长度，然后写出点M的坐标，CD是对角线时，求出平行四边形的中心的坐标，再求出点E关于中心的对称点，即为点M．
解：（1）设点C的坐标为（m，2），
∵点C在直线y＝x﹣2上，
∴2＝m﹣2，
∴m＝4，
即点C的坐标为（4，2），
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝2，
∴点D的坐标为（1，2）．
（2）存在．
∵△EBC为等腰直角三角形，
∴∠CEB＝∠ECB＝45°，
又∵DC∥AB，
∴∠DCE＝∠CEB＝45°，
∴△PDC只能是以P、D为直角顶点的等腰直角三角形，
如图，①当∠D＝90°时，延长DA与直线y＝x﹣2交于点P1，
∵点D的坐标为（1，2），
∴点P1的横坐标为1，
把x＝1代入y＝x﹣2得，y＝﹣1，
∴点P1（1，﹣1）；
②当∠DPC＝90°时，作DC的垂直平分线与直线y＝x﹣2的交点即为点P2，
所以，点P2的横坐标为＝，
把x＝代入y＝x﹣2得，y＝，
所以，点P2（，），
综上所述，符合条件的点P的坐标为（1，﹣1）或（，）．
（3）当y＝0时，x﹣2＝0，
解得x＝2，
∴OE＝2，
∵以点M、D、C、E为顶点的四边形是平行四边形，
∴若DE是对角线，则EM＝CD＝3，
∴OM＝EM﹣OE＝3﹣2＝1，
此时，点M的坐标为（﹣1，0），
若CE是对角线，则EM＝CD＝3，
OM＝OE+EM＝2+3＝5，
此时，点M的坐标为（5，0），
若CD是对角线，则平行四边形的中心坐标为（，2），
设点M的坐标为（x，y），
则＝，＝2，
解得x＝3，y＝4，
此时，点M的坐标为（3，4），
综上所述，点M的坐标为（﹣1，0）或（5，0）或（3，4）．