(共20张PPT)
MYKONGLONG(共27张PPT)
《 》
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MYKONGLONG(共54张PPT)
直接证明与间接证明
2
.
2
①
②
②
①
③
④
③
④
⑤
②
③
⑤
②
①
①
②
①
②
③
③
某,米
MYKONGLONG(共34张PPT)
O(共15张PPT)
第二章 推理与证明复习小结
推理与证明
推理
证明
合情推理
演绎推理
直接证明
数学归纳法
间接证明
比较法
类比推理
归纳推理
分析法
综合法
反证法
知识结构
证
为
数
为
数
证
一.综合法
证
为
数
为
数
证
证
证明:
要证
只需证
只需证
只需证
只需证
因为
成立.
所以
成立.
二.分析法
三:反证法
问题一:
求证:两条相交直线有且只有一个交点.
注:1.结论中的有且只有(有且仅有)形式出现,
是唯一性问题,常用反证法
2.有且只有的反面包含1)不存在;2)至少两个.
问题二:求证一元二次方程至多
------有两个不相等的实根.
注:所谓至多有两个,就是不可能有三个,要证“至多有两个不相等的实根”只要证明它的反面“有三个不相等的实根”不成立即可.
问题:如图;已知L1、L2
是异面直线且
A、B∈
L1,C、D∈
L2,,
求证;AC,SD也是异面直线.
a
C
D
A
B
L1
L2
五.归纳、类比、猜想、证明
例:平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,证明交点的个数f(n)等于n(n-1)/2.
证:(1)当n=2时,两条直线的交点只有1个,又f(2)=2?(2-1)/2=1,因此,当n=2时命题成立.
(2)假设当n=k(k≥2)时命题成立,就是说,平面内满足
题设的任何k条直线的交点个数f(k)等于k(k-1)/2.
以下来考虑平面内有k+1条直线的情况.任取其中
的1条直线,记作l.由归纳假设,除l以外的其他k条直线的交点个数f(k)等于k(k-1)/2.
另外,因为已知任何两条直线不平行,所以直线l必与平面内其他k条直线都相交,有k个交点.
又因为已知任何三条直线不过同一点,所以上面的k个交点两两不相同,且与平面内其他的k(k-1)/2个
交点也两两不相同.
从而平面内交点的个数是
k(k-1)/2+k=k[(k-1)+2]/2
=(k+1)[(k+1)-1]/2.
这就是说,当n=k+1时,k+1条直线的交点个数为:
f(k+1)=(k+1)[(k+1)-1]/2.
根据(1)、(2)可知,命题对一切大于1的正整数都成立.
说明:用数学归纳法证明几何问题,重难点是处理好当
n=k+1时利用假设结合几何知识证明命题成立.
注:在上例的题设条件下还可以有如下二个结论:
(1)设这n条直线互相分割成f(n)条线段或射线,
---则:
f(n)=n2.
(2)这n条直线把平面分成(n2+n+2)/2个区域.
练习1:凸n边形有f(n)条对角线,则凸n+1边形的对角线
------的条数f(n+1)=f(n)+_________.
n-1
练习2:设有通过一点的k个平面,其中任何三个平面或
三个以上的平面不共有一条直线,这k个平面将
空间分成f(k)个区域,则k+1个平面将空间分成
f(k+1)=f(k)+__________个区域.
2k
１:平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,
证明这n条直线把平面分成f(n)＝(n2+n+2)/2个区域.
作业：
