人教版数学八年级上册第15章 分式章节复习课件(共37张PPT)

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一、分式
1.分式的概念：
一般地，如果A、B都表示整式，且B中含有字母，那么称 为分式.其中A叫做分式的分子，B为分式的分母.
2.分式有意义的条件：
对于分式 ：
当_______时分式有意义；
当_______时无意义.
B≠0
B=0
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3.分式值为零的条件：
当___________时，分式 的值为零.
A=0且 B≠0
4.分式的基本性质：
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5.分式的约分：
约分的定义
根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．
最简分式的定义
分子与分母没有公因式的式子，叫做最简分式
注意：分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得的结果成为最简分式或整式.
知识梳理
约分的基本步骤
(1)若分子﹑分母都是单项式，则约去系数的最大公约数，并约去相同字母的最低次幂；
(2)若分子﹑分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子﹑分母所有的公因式．
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6.分式的通分：
分式的通分的定义
根据分式的基本性质，使分子、分母同乘适当的整式（即最简公分母），把分母不相同的分式变成分母相同的分式，这种变形叫分式的通分.
最简公分母
为通分先要确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，叫做最简公分母.
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二、分式的运算
1.分式的乘除法则：
2.分式的乘方法则：
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3.分式的加减法则：
(1)同分母分式的加减法则：
(2)异分母分式的加减法则：
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4.分式的混合运算：
先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的.
计算结果要化为最简分式或整式．
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三、分式方程
1.分式方程的定义
分母中含未知数的方程叫做分式方程.
2.分式方程的解法
(1)在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程.
(2)解这个整式方程.
(3)把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则须舍去.
知识梳理
3.分式方程的应用
列分式方程解应用题的一般步骤
(1)审:清题意，并设未知数；
(2)找:相等关系；
(3)列:出方程；
(4)解:这个分式方程；
(5)验:根（包括两方面 :?是否是分式方程的根； ?是否符合题意）；
(5)写:答案.
知识梳理
【例1】 如果分式 的值为0，那么x的值为 .
考点解析
分式的有关概念
1
【解析】 如果分式的值为0，则分子等于0且分母不为0.
解：根据分式的值为0可得：
X2-1=0且x+1≠0
解得：x=1.
【点睛】分式有意义的条件是分母不为0，分式无意义的条件是分母的值为0；分式的值为0的条件是：分子为0而分母不为0.
1
2.如果分式 的值为零，则a的值为 .
1.若分式 无意义，则a的值 .
迁移应用
【解析】 如果分式无意义，则分母等于0.
-3
2
解：根据分式的值为0可得：
????-2=0且a+2≠0
解得：a=2.
?
【例2】如果把分式　　　中的x和y的值都扩大为原来的3倍，则分式的值（　　）
A.扩大为原来的3倍　 B.不变　
C.缩小为原来的　 D.缩小为原来的
考点解析
分式的性质及有关计算
2
B
【解析】 因为????????????????+????????=????????????(????+????)=????????+????，所以把分式中的x和y的值都扩大为原来的3倍，分式的值不变.
?
3.下列变形正确的是( )
迁移应用
C
【例3】已知x= ,y= ，求 值.
【解析】本题中给出字母的具体取值，因此要先化简分式再代入求值.
考点解析
解原式=
当x=1-2，y=1+2时，原式=
?
【点睛】对于一个分式，如果给出其中字母的取值，我们可以先将分式进行化简，再把字母取值代入，即可求出分式的值.但对于某些分式的求值问题，却没有直接给出字母的取值，而只是给出字母满足的条件，这样的问题较复杂，需要根据具体情况选择适当的方法.
4.先化简，再求值： 再从－4＜x＜4的范围内选取一个合适的整数x代入求值.
解析：先计算括号里的减法运算，再把除法运算转化成乘法运算，进行约分化简，最后从x的取值范围内选取一数值代入即可．
迁移应用
【点睛】把分式化成最简分式是解题的关键，通分、因式分解和约分是基本环节，注意选数时，要求分母不能为0.
迁移应用
【例4】
考点解析
解析：由已知发现a与1????互为倒数，可以得到a2+1????2的值，对所要求的代数式分子分母同时除以a2，然后整体代入即可求出答案.
?
解:由已知可得：a2+1????2=（????+1????）2?2=25-2=23.
对代数式分子分母同时除以a2，得：
1????2+1+1????2=123+1=124
?
【点睛】利用x和1????互为倒数的关系，沟通已知条件与所求未知代数式的关系，可以使一些分式求值问题的思路豁然开朗，使解题过程简洁．
?
5.已知x2-5x+1=0,求出 的值.
迁移应用
解:对已知进行变形，等号两边同时除以x可得：x+1????=5.
根据完全平方公式变形，得：
?
【例5】解方程
解： 方程两边乘x(x-3),得
2x=3x-9.
解得
x=9.
检验：当x=9时，x(x-3) ≠0.
所以，原分式方程的解为x=9.
分式方程的解法
3
解： 方程两边乘(x-1)(x+2),得
x(x+2)-(x-1)(x+2)=3.
解得
x=1.
检验：当x=1时， (x-1)(x+2) =0, 因此x=1不是原分式方程的解.
所以，原分式方程无解.
考点解析
【点睛】解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
D
7. 要把方程 化为整式方程，方程两边可以同乘以（ ）
A. 3y-6 B. 3y
C. 3 (3y-6) D. 3y (y-2)
6.下列关于x的方程中，是分式方程的是(　　)
A. B.
C. D.
D
迁移应用
8.解方程：
解：去分母，得
解得
检验：把 代入
所以原方程的解为
迁移应用
根据分式方程的解的情况求参数
4
考点解析
【例6】
关于x的方程 的解是正数，则a的取值范围是____________．
解析：去分母得2x＋a＝x－1，解得x＝－a－1，
∵关于x的方程 的解是正数，
∴x＞0且x≠1，
∴－a－1＞0且－a－1≠1，
解得a＜－1且a≠－2，
∴a的取值范围是a＜－1且a≠－2.
【点睛】求出方程的解(用未知字母表示)，然后根据解的正负性，列关于未知字母的不等式求解，特别注意分母不能为0.
a＜－1且a≠－2
迁移应用
9.若关于x的分式方程 有非负数解，则a的取值范围是_______．
解：分式方程去分母得：2x=3a-4（x-1），
移项合并得：6x=3a+4，
解得：x=3????+46，
∵分式方程的解为非负数，
∴ 3????+46?≥0且3????+46?-1≠0，
解得：a≥-43且a≠23．
?
解：去分母，得-3（x+1）+a（x-1）=8，
∵原方程有增根，
∴最简公分母（1-x）（x+1）=0，
解得x=1或-1，
当x=1时，-6=8，这是不可能的．
当x=-1时，-2a=8，此时a=-4．
由此可得方程的增根为-1.
若 有增根，则这个方程的增根是_______．
【例7】

考点解析
10.若关于x的方程 有增根，则m的值是_______．
解：方程两边都乘以（x-2）得，
2-x-m=2（x-2），
∵分式方程有增根，
∴x-2=0，
解得x=2，
∴2-2-m=2（2-2），
解得m=0．
迁移应用
若关于x的分式方程 无解，求m的值．
【例8】
解析：先把分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论求解：一元一次方程无解与分式方程有增根．
解：方程两边都乘以(x＋2)(x－2)得2(x＋2)＋mx＝3(x－2)，
即(m－1)x＝－10.
①当m－1＝0时，此方程无解，此时m＝1；
②方程有增根，则x＝2或x＝－2，
当x＝2时，代入(m－1)x＝－10得(m－1)×2＝－10，m＝－4；
当x＝－2时，代入(m－1)x＝－10得(m－1)×(－2)＝－10，解得m＝6，
∴m的值是1，－4或6.
考点解析
11.已知关于x的方程 无解，求m的值．
解：去分母，整理得
（m+3）x=4m+8，①
由于原方程无解，故有以下两种情况：
（1）方程①无实数根，即m+3=0，
而4m+8≠0，此时m=-3．
（2）方程①的根是增根，增根是x=3，把x=3代入方程①解得m=1．
因此，m的值为-3或1．
迁移应用
【例9】从广州到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍．
(1)求普通列车的行驶路程；
解析：(1)根据高铁的行驶路程是400千米和普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍，两数相乘即可；
分式方程的应用
5
考点解析
解：
400×1.3=520（千米）
(2)若高铁的平均速度(千米/时)是普通列车平均速度(千米/时)的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，求高铁的平均速度．
解析：设普通列车的平均速度是x千米/时，根据高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，列出分式方程，然后求解即可．
考点解析
解：设普通列车的平均速度是x千米/时，那么高铁的平均速度2.5x千米/时，依题意得：
解得
x=120.
经检验，x=120是原方程的根.
由x＝120得2.5x=300.
答：高铁的平均速度300千米/时.
12.农机厂到距工厂15千米的向阳村检修农机，一部分人骑自行车先走，过了40分钟，其余人乘汽车去，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车的3倍，求两车的速度.
解：设自行车的速度为x千米/时，那么汽车的速度是3x千米/时，依题意得：
解得
x=15.
经检验，x=15是原方程的根.
由x＝15得3x=45.
答：自行车的速度是15千米/时，汽车的速度是45千米/时.
迁移应用
【例10】抗洪抢险时，需要在一定时间内筑起拦洪大坝，甲队单独做正好按期完成，而乙队由于人少，单独做则超期3个小时才能完成．现甲、乙两队合作2个小时后，甲队又有新任务，余下的由乙队单独做，刚好按期完成．求甲、乙两队单独完成全部工程各需多少小时？
解析：设甲队单独完成需要x小时，则乙队需要(x＋3)小时，根据等量关系“甲工效×2＋乙工效×甲队单独完成需要时间＝1”列方程．
考点解析
解：设甲队单独完成需要x小时，则乙队需要(x＋3)小时．
由题意得 .
解得x＝6.
经检验x＝6是方程的解．∴x＋3＝9.
答：甲单独完成全部工程需6小时，乙单独完成全部工程需9小时．
解决工程问题的思路方法：各部分工作量之和等于1，常从工作量和工作时间上考虑相等关系．
考点解析
13.某厂一个车间计划在一定时间内加工560个零件，在加工120个零件后，改进了操作技术，每天能多加工15个零件，结果比原计划提前3天完成任务．求改进操作技术后每天加工的零件个数．
解：设改进操作技术后每天加工x个零件，则原来每天加工（x-15）个零件，根据题意列方程得，
即：x2-15x-2200=0．
解得：x1=55，x2=-40（舍去）．
答：改进技术后每天加工55个．
迁移应用