人教版数学九年级上册22.1.2 二次函数y=ax?＋k的图象和性质课件(共22张)

(共22张PPT)
学习目标
会画二次函数y=ax2+k的图象.掌握二次函数y=ax2+k的性质并会应用.
理解y=ax?与
y=ax?+k之间的联系.
探究：画出二次函数
y=2x?
,
y=2x2+1
，y=2x2-1的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点坐标、顶点高低、函数最值、函数增减性.
x
…
–1.5
–1
–0.5
0
0.5
1
1.5
…
y=2x2+1
…
…
y=2x2
…
4.5
2
0.5
0
0.5
2
4.5
…
y=2x2-1
…
…
3.5
1
-0.5
1
-0.5
-1
3.5
5.5
1.5
3
1.5
1
3
5.5
知识精讲
x
y
O
－2
2
2
4
6
4
－4
8
y=2x2+1
y=2x2
y=2x2-1
观察上述图象，说说它有哪些特征.
知识精讲
根据图象回答下列问题:
(1)图象的形状都是
.
(2)三条抛物线的开口方向_______;
(3)对称轴都是__________
(4)
从上而下顶点坐标分别是
_____________________
抛物线
向上
y轴
(
0,0)
(
0，1)
(
0,-1)
(5)顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最小值分别为_______、_______﹑________；
(6)
函数的增减性都相同：当x＞0(对称轴右侧)时_______________，当x＜0时(对称轴左侧)
____________________.
低
小
y=0
y=
-1
y=1
y随x增大而增大
y随x增大而减小
知识精讲
练一练：画出二次函数
，
，
的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点坐标、顶点高低、函数最值、函数增减性.
y
-2
-2
4
2
2
-4
x
0
知识精讲
根据图象回答下列问题:
(1)图象的形状都是
；
(2)三条抛物线的开口方向_______;
(3)对称轴都是__________；
(4)
从上而下顶点坐标分别是
_____________________
抛物线
向下
y轴
(
0,0)
(
0，2)
(
0,-2)
(5)顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最大值分别为______、_______﹑________
(6)
函数的增减性都相同：当x＞0(对称轴右侧)时_______________，当x＜0时(对称轴左侧)
____________________.
高
大
y=0
y=
-2
y=2
y随x增大而增大
y随x增大而减小
知识精讲
二次函数y=ax2+k（a
≠
0）的性质
y=ax2+k
a＞0
a＜0
开口方向
向上
向下
对称轴
y轴
y轴
顶点坐标
（0,k）
（0,k）
最值
当x=0时，y最小值=k
当x=0时，y最大值=k
增减性
当x＜0时，y随x的增大而减小；x＞0时，y随x的增大而增大.
当x＞0时，y随x的增大而减小；x＜0时，y随x的增大而增大.
知识精讲
例1
已知二次函数y＝ax2+c,当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x＝x1+x2时，其函数值为________.
【分析】由二次函数y＝ax2+c图象的性质可知，x1，x2关于y轴对称，即x1+x2＝0.把x＝0代入二次函数表达式求出纵坐标为c.
c
【点睛】二次函数y＝ax2+c的图象关于y轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，函数值相等的两点的对应横坐标互为相反数．
x
y
O
－2
2
2
4
6
4
－4
8
典例解析
解析式
y=2x2
y=2x2+1
y=2x2-1
+1
-1
点的坐标
函数对应值表
4.5
-1.5
3.5
5.5
-1
2
1
3
x
…
…
y=2x2-1
…
…
y=2x2
…
…
y=2x2+1
…
…
x
2x2
2x2-1
(x,
)
(x,
)
(x,
)
2x2-1
2x2
2x2+1
从数的角度探究
2x2+1
知识精讲
4
x
y
O
－2
2
2
4
6
－4
8
10
－2
y
=
2x2＋1
y
=
2x2－1
可以发现，把抛物线y=2x2
向
平移1个单位长度，就得到抛物线
；把抛物线
y=2x2
向
平移1个单位长度，就得到抛物线
y=2x2-1.
下
y=2x2+1
上
从形的角度探究
知识精讲
二次函数y=ax2+k的图象可以由
y=ax2
的图象平移得到：
当k
>
0
时,向上平移k个单位长度得到.
当k
<
0
时,向下平移-k个单位长度得到.
二次函数y=ax2
与y=ax2+k（a
≠
0）的图象的关系
上下平移规律：
平方项不变，常数项上加下减.
知识精讲
二次函数y＝－3x2＋1的图象是将(　　)
A．抛物线y＝－3x2向左平移3个单位得到
B．抛物线y＝－3x2向左平移1个单位得到
C．抛物线y＝3x2向上平移1个单位得到
D．抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到
【分析】二次函数y＝－3x2＋1的图象是将抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到的．故选D.
D
针对练习
思考：
1.画抛物线y=ax2+k的图象有几步？
2.抛物线y=ax2+k
中的a决定什么？怎样决定的？k决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？
第一种方法：平移法，两步即第一步画y=ax2的图象，再向上（或向下）平移︱k
︱单位.
第二种方法：描点法，三步即列表、描点和连线.
a决定开口方向和大小；k决定顶点的纵坐标.
知识精讲
例2
如图，抛物线y＝x2－4与x轴交于A、B两点，点P为抛物线上一点，且S△PAB＝4，求P点的坐标．
解：抛物线y＝x2－4，令y＝0，得到x＝2或－2，
即A点的坐标为(－2，0)，B点的坐标为(2，0)，
∴AB＝4.
∵S△PAB＝4，设P点纵坐标为b，
∴
×4|b|＝4，∴|b|＝2，即b＝2或－2.
当b＝2时，x2－4＝2，解得x＝±
，
此时P点坐标为(
，2)，(－
，2)；
当b＝－2时，x2－4＝－2，解得x＝±
，
此时P点坐标为(
，2)，(－
，2)．
典例解析
1.抛物线y=2x2向下平移4个单位，就得到抛物线
．　　
2.填表：
y
=
2x2－４
函数
开口方向
顶点
对称轴
有最高（低）点
y
=
３x2
y
=
3x2＋1
y
=
-4x2－5
向上
向上
向下
（0,0）
(0,1)
(0,-5)
y轴
y轴
y轴
有最低点
有最低点
有最高点
达标检测
3.已知（m,n)在y=ax2+a（a不为0）的图象上，(-m,n)
___（填“在”或“不在”）y=ax2+a（a不为0）的图象上.
4.若y=x2+（k-2）的顶点是原点，则k____；若顶点位于x轴上方，则k____；若顶点位于x轴下方，则k
.
在
=2
>2
<2
达标检测
5.不画函数y=-x2和y=-x2+1的图象回答下面的问题：
（1）抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线y=-x2.
（2）函数y=-x2+1，当x
时，
y随x的增大而减小；当x____时，函数y有最大值，最大值y是
，其图象与y轴的交点坐标是
，与x轴的交点坐标是
.
（3）试说出抛物线y=x2-3的开口方向、对称轴和顶点坐标.
向下平移1个单位.
>0
=0
1
(0,1)
(-1,0),(1,0)
开口方向向上，对称轴是y轴，顶点坐标（0，-3）.
达标检测
6.在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋k和二次函数y＝ax2＋k的图象大致为(　　)
D
【点睛】熟记一次函数y＝kx＋b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质(开口方向、对称轴、顶点坐标等)是解决问题的关键．
达标检测
7.对于二次函数y=(m+1)xm2-m+3,当x>0时y随x的增大而增大，则m=____.
8.已知二次函数y=(a-2)x2+a2-2的最高点为（0，2）,则a=____.
9.抛物线y=ax2+c与x轴交于A（-2,0）﹑B两点，与y轴交于点C(0，-4),则三角形ABC的面积是_______.
2
-2
8
达标检测
小结梳理