2020-2021学年冀教版数学九年级上册 第25章 图形的相似 易错题汇编（附解析）

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第25章《图形的相似》
易错题汇编
一．选择题（共10小题）
1．下列每组的两个图形不是位似图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．已知，则的值为（　　）
A．
B．
C．2
D．
3．△ABC∽△DEF，且相似比为2：1，△ABC的面积为8，则△DEF的面积为（　　）
A．2
B．4
C．8
D．16
4．若四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，AB与A′B′，AD与A′D′分别是对应边，AB＝8cm，A′B′＝6cm，AD＝5cm，则A′D′等于（　　）
A．cm
B．cm
C．cm
D．cm
5．如图，下列条件不能使△ADE∽△ABC的是（　　）
A．∠ADE＝∠B
B．DE∥BC
C．
D．
6．如图，已知矩形ABCD的顶点A，D分别落在x轴、y轴上，OD＝2OA＝6，AD：AB＝3：1，则点C的坐标是（　　）
A．（2，7）
B．（3，7）
C．（3，8）
D．（4，8）
7．如图，在坐标系中，以A（0，2）为位似中心，在y轴右侧作△ABC放大2倍后的位似图形△AB'C'，若C的对应点C'的坐标为（m，n），则点C的坐标为（　　）
A．（m，n+3）
B．（m，n﹣3）
C．（m，n+2）
D．（m，n﹣2）
8．如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ADE＝∠EFC，AD：BD＝5：3，CF＝6，则DE的长为（　　）
A．6
B．8
C．10
D．12
9．如图，菱形ABCD中，点M，N在AC上，ME⊥AD，NF⊥AB．若NF＝NM＝2，ME＝3，则AN＝（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
10．如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，点F为BC边上一点，连接AF交DE于点G，则下列结论中一定正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
二．填空题（共8小题）
11．若＝≠0，则　
　．
12．如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC＝∠ACB，AD＝2，BD＝6，则边AC的长为　
　．
13．如图，在△ABC与△ADE中，，要使△ABC与△ADE相似，还需要添加一个条件，这个条件是　
　．
14．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，CM是∠BCD的平分线，且CM⊥AB，M为垂足，AM＝AB．若四边形ABCD的面积为，则四边形AMCD的面积是　
　．
15．如图所示，正方形ABCD边长是2，BE＝CE，MN＝1，线段MN的端点M、N分别在CD、AD上滑动，当DM＝　
　时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似．
16．如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB＝2米，BP＝3米，PD＝12米，那么该古城墙的高度CD是　
　米．
17．如图，已知点P是边长为4的正方形ABCD内的一点，且PB＝3，BF⊥BP，若在射线BF有一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，那么BM＝　
　．
18．如图，在平面直角坐标系中，等腰△OBC的边OB在x轴上，OB＝CB，OB边上的高CA与OC边上的高BE相交于点D，连接OD，AB＝，∠CBO＝45°，在直线BE上求点M，使△BMC与△ODC相似，则点M的坐标是　
　．
三．解答题（共2小题）
19．如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F，，AC＝14；
（1）求AB、BC的长；
（2）如果AD＝7，CF＝14，求BE的长．
20．如图，点D为△ABC内部一点，点E、F、G分别为线段AB、AC、AD上一点，且EG∥BD，GF∥DC
（1）求证：EF∥BC；
（2）时，求的值（S△EFG表示△EFG的面积，S△BCD表示△BCD的面积）
试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列每组的两个图形不是位似图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
解：对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形．
据此可得A、C、D三个图形中的两个图形都是位似图形；
而B的对应顶点的连线不能相交于一点，故不是位似图形．
故选：B．
2．已知，则的值为（　　）
A．
B．
C．2
D．
解：设＝k，则a＝2k，b＝3k，c＝4k．
所以＝＝，
故选：B．
3．△ABC∽△DEF，且相似比为2：1，△ABC的面积为8，则△DEF的面积为（　　）
A．2
B．4
C．8
D．16
解：∵△ABC∽△DEF，相似比为2：1，
∴△ABC与△DEF大面积比为4：1，
∵△ABC的面积为8，
∴△DEF的面积为2，
故选：A．
4．若四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，AB与A′B′，AD与A′D′分别是对应边，AB＝8cm，A′B′＝6cm，AD＝5cm，则A′D′等于（　　）
A．cm
B．cm
C．cm
D．cm
解：∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，AB与A′B′，AD与A′D′分别是对应边，
∴＝，
∵AB＝8cm，A′B′＝6cm，AD＝5cm，
∴＝，
则A′D′＝．
故选：B．
5．如图，下列条件不能使△ADE∽△ABC的是（　　）
A．∠ADE＝∠B
B．DE∥BC
C．
D．
解：∵∠A＝∠A，
A、如果∠ADE＝∠B，可得△ADE∽△ABC（有两个对应角相等的三角形相似）；
B、如果DE∥BC，可得△ADE∽△ABC（平行于三角形一边的直线截三角形另两边或另两边的延长线所得的三角形与原三角形相似）；
C、如果，可得△ADE∽△ABC（对应边成比例且夹角相等的三角形相似）；
D、两组边的夹角不是∠A，所以不能使△ADE∽△ABC．
故选：D．
6．如图，已知矩形ABCD的顶点A，D分别落在x轴、y轴上，OD＝2OA＝6，AD：AB＝3：1，则点C的坐标是（　　）
A．（2，7）
B．（3，7）
C．（3，8）
D．（4，8）
解：过C作CE⊥y轴于E，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB，∠ADC＝90°，
∴∠ADO+∠CDE＝∠CDE+∠DCE＝90°，
∴∠DCE＝∠ADO，
∴△CDE∽△ADO，
∴，
∵OD＝2OA＝6，AD：AB＝3：1，
∴OA＝3，CD：AD＝，
∴CE＝OD＝2，DE＝OA＝1，
∴OE＝7，
∴C（2，7），
故选：A．
7．如图，在坐标系中，以A（0，2）为位似中心，在y轴右侧作△ABC放大2倍后的位似图形△AB'C'，若C的对应点C'的坐标为（m，n），则点C的坐标为（　　）
A．（m，n+3）
B．（m，n﹣3）
C．（m，n+2）
D．（m，n﹣2）
解：过点A作x轴的平行线DD′，作CD⊥DD′于D，作C′D′⊥DD′于D′，
设C（x，y），
则CD＝y﹣2、AD＝﹣x，C′D′＝2﹣n，AD′＝m，
∵△ABC与△AB′C′的位似比为2：1，
∴＝＝，即＝＝，
解得：x＝﹣m，y＝﹣n+3，
∴点C的坐标为（﹣m，﹣n+3），
故选：A．
8．如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ADE＝∠EFC，AD：BD＝5：3，CF＝6，则DE的长为（　　）
A．6
B．8
C．10
D．12
解：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B．
∵∠ADE＝∠EFC，
∴∠B＝∠EFC，
∴BD∥EF，
∵DE∥BF，
∴四边形BDEF为平行四边形，
∴DE＝BF．
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝＝，
∴BC＝DE，
∴CF＝BC﹣BF＝DE＝6，
∴DE＝10．
故选：C．
9．如图，菱形ABCD中，点M，N在AC上，ME⊥AD，NF⊥AB．若NF＝NM＝2，ME＝3，则AN＝（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
解：在菱形ABCD中，∠1＝∠2，
又∵ME⊥AD，NF⊥AB，
∴∠AEM＝∠AFN＝90°，
∴△AFN∽△AEM，
∴＝，
即＝，
解得AN＝4．
故选：B．
10．如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，点F为BC边上一点，连接AF交DE于点G，则下列结论中一定正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，△AEG∽△ACF，△AGD∽△AFB，＝，故B错误．
∴＝，＝＝，＝，
∴A错误，C正确，D错误．
故选：C．
二．填空题（共8小题）
11．若＝≠0，则　1　．
解：∵＝，
∴a＝，
∴＝＝＝1，
故答案为：1．
12．如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC＝∠ACB，AD＝2，BD＝6，则边AC的长为　4　．
解：∵AD＝2，BD＝6，
∴AB＝AD+DB＝8，
∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB，
∴△ADC∽△ACB，
∴，
∴AC2＝AB×AD＝16
∴AC＝4，
故答案为：4．
13．如图，在△ABC与△ADE中，，要使△ABC与△ADE相似，还需要添加一个条件，这个条件是　∠B＝∠E　．
解：添加条件：∠B＝∠E；
∵，∠B＝∠E，
∴△ABC∽△AED，
故答案为：∠B＝∠E．
14．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，CM是∠BCD的平分线，且CM⊥AB，M为垂足，AM＝AB．若四边形ABCD的面积为，则四边形AMCD的面积是　1　．
解：如图所示：延长BA、CD，交点为E．
∵CM平分∠BCD，CM⊥AB，
∴MB＝ME，
又∵AM＝AB，
∴BM＝2AM．EM＝2AM，
∴AM＝AE，
∴AE＝AB，
∴AE＝BE，
∵AD∥BC，
∴△EAD∽△EBC，
∴＝，
∴S四边形ADCB＝S△EBC＝，
∴S△EBC＝，
∴S△EAD＝×＝，
∴S四边形AMCD＝S△EBC﹣S△EAD＝﹣＝1，
故答案为：1．
15．如图所示，正方形ABCD边长是2，BE＝CE，MN＝1，线段MN的端点M、N分别在CD、AD上滑动，当DM＝　或　时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似．
解：∵正方形ABCD边长是2
∴BE＝CE＝1，∠B＝∠D＝90°
∴在Rt△ABE中，AE＝＝
第一种情况：当△ABE∽△MDN时，AE：MN＝AB：DM，即：1＝2：DM，∴DM＝；
第二种情况：当△ABE∽△NDM时，AE：MN＝BE：DM，即：1＝1：DM，∴DM＝．
所以DM＝或．
16．如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB＝2米，BP＝3米，PD＝12米，那么该古城墙的高度CD是　8　米．
解：由题意可得：∠APE＝∠CPE，
∴∠APB＝∠CPD，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABP＝∠CDP＝90°，
∴△ABP∽△CDP，
∴＝，
∵AB＝2米，BP＝3米，PD＝12米，
∴＝，
CD＝8米，
故答案为：8．
17．如图，已知点P是边长为4的正方形ABCD内的一点，且PB＝3，BF⊥BP，若在射线BF有一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，那么BM＝　3，　．
解：∵∠ABC＝∠FBP＝90°
∴∠ABP＝∠CBF
当△ABP∽△MBC时，BM：AB＝BC：BP，得BM＝4×4÷3＝；
当△ABP∽△CBM时，BM：BP＝CB：AB，得BM＝4×3÷4＝3
18．如图，在平面直角坐标系中，等腰△OBC的边OB在x轴上，OB＝CB，OB边上的高CA与OC边上的高BE相交于点D，连接OD，AB＝，∠CBO＝45°，在直线BE上求点M，使△BMC与△ODC相似，则点M的坐标是　（1，﹣1）或（﹣，）　．
解：∵OB＝CB，OB边上的高CA与OC边上的高BE相交于点D，AB＝，∠CBO＝45°，
∴AB＝AC＝，OD＝CD，∠BOC＝＝67.5°，
在Rt△BAC中，BC＝＝2，
∴OB＝2，
∴OA＝OB﹣AB＝2﹣，
在Rt△OAC中，OC＝＝2，
在Rt△OAD中，OA2+AD2＝OD2，
（2﹣）2+AD2＝（﹣AD）2，
解得：AD＝2﹣，
∴OA＝AD，∠DOA＝45°，
∴OD＝CD＝2﹣2，
在Rt△BAD中，BD＝＝2，
①如图1，△BMC∽△CDO时，过M点作MF⊥AB于F，
＝，即＝，
解得BM＝，
∵MF⊥AB，CA是OB边上的高，
∴MF∥DA，
∴△BMF∽△BDA，
∴＝＝，即＝＝，
解得BF＝1，MF＝﹣1，
∴OF＝OB﹣BF＝1，
∴点M的坐标是（1，﹣1）；
②如图2，△BCM∽△CDO时，过M点作MF⊥AB于F，
＝，即＝，
解得BM＝2，
∵MF⊥AB，CA是OB边上的高，
∴MF∥DA，
∴△BMF∽△BDA，
∴＝＝，即＝＝，
解得BF＝2+，MF＝，
∴OF＝BF﹣OB＝，
∴点M的坐标是（﹣，）．
综上所述，点M的坐标是（1，﹣1）或（﹣，）．
故答案为：（1，﹣1）或（﹣，）．
三．解答题（共2小题）
19．如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F，，AC＝14；
（1）求AB、BC的长；
（2）如果AD＝7，CF＝14，求BE的长．
解：（1）∵AD∥BE∥CF，
∴，
∴，
∵AC＝14，∴AB＝4，
∴BC＝14﹣4＝10；
（2）过点A作AG∥DF交BE于点H，交CF于点G，如图所示：
又∵AD∥BE∥CF，AD＝7，
∴AD＝HE＝GF＝7，
∵CF＝14，
∴CG＝14﹣7＝7，
∵BE∥CF，
∴，
∴BH＝2，
∴BE＝2+7＝9．
20．如图，点D为△ABC内部一点，点E、F、G分别为线段AB、AC、AD上一点，且EG∥BD，GF∥DC
（1）求证：EF∥BC；
（2）时，求的值（S△EFG表示△EFG的面积，S△BCD表示△BCD的面积）
解：（1）∵EG∥BD，
∴＝，
∵GF∥DC，
∴＝，
∴＝，
∴EF∥BC；
（2）∵EF∥BC，
∴∠AEF＝∠ABC，
∵EG∥BD，
∴∠AEG＝∠ABD，
∴∠AEF﹣∠AEG＝∠ABC﹣∠AED，即∠GEF＝∠DBC，
同理可得，∠GEF＝∠DBC，
∴△EGF∽△BDC，
∵＝，
∴＝，
∴＝（）2＝．
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