2020-2021学年冀教版数学九年级上册 第26章 解直角三角形 易错题汇编（附解析）

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第26章
解直角三角形
易错题汇编
一．选择题（共10小题）
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝1，那么∠B的余弦值为（　　）
A．
B．
C．
D．
2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝26°，BC＝5．若用科学计算器求边AC的长，则下列按键顺序正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
3．如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A＝35°，则直角边BC的长是（　　）
A．msin35°
B．mcos35°
C．
D．
4．如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道（B、C在同一水平面上）．为了测量B、C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则B、C两地之间的距离为（　　）
A．100m
B．50m
C．50m
D．m
5．如图，在观测站O处测得船A和灯塔B分别位于正东方向和北偏东60°方向，灯塔B位于船A的北偏东15°方向4海里处，若船A向正东航行，则船A离灯塔B的最近距离是（　　）
A．（+）海里
B．2海里
C．（+1）海里
D．2海里
6．如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cosα＝，则小车上升的高度是（　　）
A．5米
B．6米
C．6.5米
D．12米
7．如图，甲、乙二人同时从A地出发，甲沿北偏东50°方向行走200m后到达B地，并立即向正东方向走去，乙沿北偏东70°方向行走，二人恰好在C地相遇，则B、C两地的距离为（　　）
A．100m
B．150m
C．200m
D．无法确定
8．如图，已知45°＜∠A＜90°，则下列各式成立的是（　　）
A．sinA＝cosA
B．sinA＞cosA
C．sinA＞tanA
D．sinA＜cosA
9．如图，在莲花山滑雪场滑雪，需从山脚下乘缆车上山，缆车索道与水平线所成的角为32°，缆车速度为每分钟50米，从山脚下A到达山顶B缆车需要16分钟，则山的高度BC为（　　）
A．800?sin32°
B．
C．800?tan32°
D．
10．如图，为测量某物体AB的高度，在D点测得A点的仰角为30°，朝物体AB方向前进20米，到达点C，再次测得点A的仰角为60°，则物体AB的高度为（　　）
A．10米
B．10米
C．20米
D．米
二．填空题（共6小题）
11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，则sin＝　
　．
12．小明沿着坡度i为1：的直路向上走了50m，则小明沿垂直方向升高了　
　m．
13．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足是E，DE＝6，sinA＝，则菱形ABCD的周长是　
　．
14．如图，?ABCD中，AE⊥BD于E，∠EAC＝30°，AE＝3，则AC的长等于　
　．
15．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，AC＝6米，则树高BC为　
　米（用含α的代数式表示）．
16．荆州市滨江公园旁的万寿宝塔始建于明嘉靖年间，周边风景秀丽．现在塔底低于地面约7米，某校学生测得古塔的整体高度约为40米．其测量塔顶相对地面高度的过程如下：先在地面A处测得塔顶的仰角为30°，再向古塔方向行进a米后到达B处，在B处测得塔顶的仰角为45°（如图所示），那么a的值约为　
　米（≈1.73，结果精确到0.1）．
三．解答题（共4小题）
17．计算题“
（1）；
（2）．
18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线与BC，AB的交点分别为D，E．
（1）若AD＝10，sin∠ADC＝，求AC的长和tanB的值；
（2）如图，若∠B＝a，AD＝BD＝1，则可以利用该图求出sin2a与a的三角函数之间的等量关系（用sina和cosa的值表示）．
19．随着航母编队的成立，我国海军日益强大．2018年4月12日，中央军委在南海海域隆重举行海上阅兵，在阅兵之前我军加强了海上巡逻，如图，我军巡逻舰在某海域航行到A处时，该舰在观测点P的南偏东45°的方向上，且与观测点P的距离PA为400海里；巡逻舰继续沿正北方向航行一段时间后，到达位于观测点P的北偏东30°方向上的B处，问此时巡逻舰与观测点P的距离PB为多少海里？（参考数据：≈1.414，≈1.732，结果精确到1海里）．
20．衡阳市城市标志来雁塔坐落在衡阳市雁峰公园内，如图，为了测量来雁塔的高度，在E处用高为1.5米的测角仪AE，测得塔顶C的仰角为30°，再向塔身前进10.4米，又测得塔顶C的仰角为60°，求来雁塔的高度．（结果精确到0.1米）
试题解析
一．选择题（共10小题）
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝1，那么∠B的余弦值为（　　）
A．
B．
C．
D．
解；由勾股定理得BC＝＝＝，
cos∠B＝＝，
故选：A．
2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝26°，BC＝5．若用科学计算器求边AC的长，则下列按键顺序正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
解：由tan∠B＝，得
AC＝BC?tanB＝5×tan26．
故选：D．
3．如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A＝35°，则直角边BC的长是（　　）
A．msin35°
B．mcos35°
C．
D．
解：sin∠A＝，
∵AB＝m，∠A＝35°，
∴BC＝msin35°，
故选：A．
4．如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道（B、C在同一水平面上）．为了测量B、C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则B、C两地之间的距离为（　　）
A．100m
B．50m
C．50m
D．m
解：根据题意得：∠ABC＝30°，AC⊥BC，AC＝100m，
在Rt△ABC中，BC＝＝＝100（m）．
故选：A．
5．如图，在观测站O处测得船A和灯塔B分别位于正东方向和北偏东60°方向，灯塔B位于船A的北偏东15°方向4海里处，若船A向正东航行，则船A离灯塔B的最近距离是（　　）
A．（+）海里
B．2海里
C．（+1）海里
D．2海里
解：如图，作BD⊥OC于D，则船A离灯塔B的最近距离是BD的长．作AE⊥OB于E．
在直角△ABE中，∵∠AEB＝90°，∠ABE＝∠BAD﹣∠AOB＝75°﹣30°＝45°，AB＝4，
∴AE＝BE＝AB＝2．
在直角△AOE中，∵∠AEO＝90°，∠AOE＝30°，
∴OE＝＝＝2，
∴OB＝OE+BE＝2+2．
在直角△BOD中，∵∠ODB＝90°，∠BOD＝30°，
∴BD＝OB＝+．
故选：A．
6．如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cosα＝，则小车上升的高度是（　　）
A．5米
B．6米
C．6.5米
D．12米
解：如图AC＝13，作CB⊥AB，
∵cosα＝＝，
∴AB＝12，
∴BC＝＝＝5，
∴小车上升的高度是5m．
故选：A．
7．如图，甲、乙二人同时从A地出发，甲沿北偏东50°方向行走200m后到达B地，并立即向正东方向走去，乙沿北偏东70°方向行走，二人恰好在C地相遇，则B、C两地的距离为（　　）
A．100m
B．150m
C．200m
D．无法确定
解：延长CB交y轴于E．
∵∠AEB＝90°，∠EAB＝50°，
∴∠EBA＝40°，
∵∠EAC＝70°，
∴∠BAC＝20°，
∵∠EBA＝∠BAC+∠C，
∴∠C＝∠BAC＝20°，
∴BA＝BC＝200m，
故选：C．
8．如图，已知45°＜∠A＜90°，则下列各式成立的是（　　）
A．sinA＝cosA
B．sinA＞cosA
C．sinA＞tanA
D．sinA＜cosA
解：∵45°＜∠A＜90°，
∴AC＜BC，
sinA＝，cosA＝，tanA＝，
∴cosA＜sinA＜tanA，
故选：B．
9．如图，在莲花山滑雪场滑雪，需从山脚下乘缆车上山，缆车索道与水平线所成的角为32°，缆车速度为每分钟50米，从山脚下A到达山顶B缆车需要16分钟，则山的高度BC为（　　）
A．800?sin32°
B．
C．800?tan32°
D．
解：如图，作BC⊥AC，垂足为C．
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∠BAC＝32°，AB＝50×16＝800（米），
sin∠BAC＝，
∴BC＝sin∠BAC?AB＝800?sin32°．
故选：A．
10．如图，为测量某物体AB的高度，在D点测得A点的仰角为30°，朝物体AB方向前进20米，到达点C，再次测得点A的仰角为60°，则物体AB的高度为（　　）
A．10米
B．10米
C．20米
D．米
解：∵在直角三角形ADB中，∠D＝30°，
∴＝tan30°
∴BD＝＝AB
∵在直角三角形ABC中，∠ACB＝60°，
∴BC＝＝AB
∵CD＝20
∴CD＝BD﹣BC＝AB﹣AB＝20
解得：AB＝10．
故选：A．
二．填空题（共6小题）
11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，则sin＝　　．
解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，
∴sinA＝，
∴∠A＝60°，
∴sin＝sin30°＝，
故答案为：．
12．小明沿着坡度i为1：的直路向上走了50m，则小明沿垂直方向升高了　25　m．
解：如图，过点B作BE⊥AC于点E，
∵坡度：i＝1：，
∴tan∠A＝1：＝，
∴∠A＝30°，
∵AB＝50m，
∴BE＝AB＝25（m）．
∴他升高了25m．
故答案为：25．
13．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足是E，DE＝6，sinA＝，则菱形ABCD的周长是　40　．
解：已知如图DE⊥AB，垂足是E，
所以△AED为直角三角形，
则得：sinA＝，
即：＝，
∴AD＝10，
∴菱形ABCD的周长为：10×4＝40．
故答案为：40．
14．如图，?ABCD中，AE⊥BD于E，∠EAC＝30°，AE＝3，则AC的长等于　4　．
解：∵在直角△AOE中，cos∠EAC＝，
∴OA＝＝＝2，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝2OA＝4．
故答案是：4．
15．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，AC＝6米，则树高BC为　6tanα　米（用含α的代数式表示）．
解：过点B作BC⊥AC于点C，
在Rt△ABC中，
∵AC＝6，∠A＝α，
∴BC＝ACtanα＝6tanα．
故答案为：6tanα
16．荆州市滨江公园旁的万寿宝塔始建于明嘉靖年间，周边风景秀丽．现在塔底低于地面约7米，某校学生测得古塔的整体高度约为40米．其测量塔顶相对地面高度的过程如下：先在地面A处测得塔顶的仰角为30°，再向古塔方向行进a米后到达B处，在B处测得塔顶的仰角为45°（如图所示），那么a的值约为　24.1　米（≈1.73，结果精确到0.1）．
解：如图，设CD为塔身的高，延长AB交CD于E，则CD＝40，DE＝7，
∴CE＝33，
∵∠CBE＝45°＝∠BCE，∠CAE＝30°，
∴BE＝CE＝33，
∴AE＝a+33，
∵tanA＝，
∴tan30°＝，即33＝a+33，
解得a＝33（﹣1）≈24.1，
∴a的值约为24.1米，
故答案为：24.1．
三．解答题（共4小题）
17．计算题“
（1）；
（2）．
解：（1）原式＝1+﹣3＝﹣；
（2）原式＝+1﹣+1﹣＝．
18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线与BC，AB的交点分别为D，E．
（1）若AD＝10，sin∠ADC＝，求AC的长和tanB的值；
（2）如图，若∠B＝a，AD＝BD＝1，则可以利用该图求出sin2a与a的三角函数之间的等量关系（用sina和cosa的值表示）．
解：（1）在Rt△ACD中，∵sin∠ADC＝＝，
而AD＝10，
∴AC＝8；
∴CD＝＝6，
∵AB的垂直平分线与BC，AB的交点分别为D，E，
∴DB＝DA＝10，
∴BC＝CD+DB＝16，
在Rt△ABC中，tanB＝＝＝；
（2）∵DA＝DB，
∴∠DAB＝∠B＝α，
∴∠ADC＝2∠B＝2α，
∵sin∠ADC＝，
∴AC＝sin2α，
在Rt△BDE中，∵cosB＝，
∴BE＝cosα，
∴AB＝2BE＝2cosα，
在Rt△ABC中，∵sinB＝，
∴AC＝ABsinB，
∴sin2α＝2cosα?sinα．
19．随着航母编队的成立，我国海军日益强大．2018年4月12日，中央军委在南海海域隆重举行海上阅兵，在阅兵之前我军加强了海上巡逻，如图，我军巡逻舰在某海域航行到A处时，该舰在观测点P的南偏东45°的方向上，且与观测点P的距离PA为400海里；巡逻舰继续沿正北方向航行一段时间后，到达位于观测点P的北偏东30°方向上的B处，问此时巡逻舰与观测点P的距离PB为多少海里？（参考数据：≈1.414，≈1.732，结果精确到1海里）．
解：在△APC中，∠ACP＝90°，∠APC＝45°，则AC＝PC．
∵AP＝400海里，
∴由勾股定理知，AP2＝AC2+PC2＝2PC2，即4002＝2PC2，
故PC＝200海里．
又∵在直角△BPC中，∠PCB＝90°，∠BPC＝60°，
∴PB＝＝2PC＝400≈566（海里）．
答：此时巡逻舰与观测点P的距离PB约为566海里．
20．衡阳市城市标志来雁塔坐落在衡阳市雁峰公园内，如图，为了测量来雁塔的高度，在E处用高为1.5米的测角仪AE，测得塔顶C的仰角为30°，再向塔身前进10.4米，又测得塔顶C的仰角为60°，求来雁塔的高度．（结果精确到0.1米）
解：如图，由题意∠CAB＝30°，∠CBD＝60°，DF＝AE＝1.5米
∵∠CBD＝∠CAB+∠ACB，
∴∠ACB＝∠CAB＝30°，
∴AB＝BC＝10.4米，
在Rt△CBD中，CD＝BC?sin60°＝10.4?≈9.0米，
∴来雁塔的高度＝CD+DF＝9.0+1.5＝10.5米．
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