2020-2021学年冀教版数学九年级上册 第28章 圆 易错题汇编（附解析）

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第28章
圆
易错题汇编
一．选择题（共10小题）
1．如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段的OM的长的取值范围是（　　）
A．3≤OM≤5
B．4≤OM≤5
C．3＜OM＜5
D．4＜OM＜5
2．如图OA＝OB＝OC且∠ACB＝30°，则∠AOB的大小是（　　）
A．40°
B．50°
C．60°
D．70°
3．在Rt△ABC中，斜边AB＝4，∠B＝60°．将△ABC绕点B按顺时针方向旋转60°，顶点C运动的路线长是（　　）
A．
B．
C．π
D．
4．如图，点A、O、D以及点B、O、C分别在一条直线上，则圆中弦的条数是（　　）
A．2条
B．3条
C．4条
D．5条
5．如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOB＝72°，则∠ACB等于（　　）
A．28°
B．54°
C．18°
D．36°
6．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝30°，⊙O的半径为5，若点P是⊙O上的一点，在△ABP中，PB＝AB，则PA的长为（　　）
A．5
B．
C．5
D．5
7．如图，已知BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上，＝，∠AOB＝60°，则∠BDC的度数是（　　）
A．20°
B．25°
C．30°
D．40°
8．如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在⊙O上，若∠BCD＝40°，则∠ABD的度数为（　　）
A．40°
B．50°
C．80°
D．90°
9．如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，已知cos∠CDB＝，BD＝5，则OH的长度为（　　）
A．
B．
C．1
D．
10．如图，正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内画半圆，所围成的图形（阴影部分）的面积为（　　）
A．πa2﹣a2
B．2πa2﹣a2
C．πa2﹣a2
D．a2﹣πa2
二．填空题（共7小题）
11．如图，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，D，E为斜边AB上的两个点，且BD＝BC，AE＝AC，则△DCE的外接圆的半径是　
　．
12．如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，且AB＝16，OC＝10，则CD的长是　
　．
13．如图，半径OA＝2cm，圆心角为90°的扇形OAB中，C为的中点，D为OB的中点，则图中阴影部分的面积为　
　cm2．
14．如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心、以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形．若等边三角形的边长为a，则勒洛三角形的周长为　
　．
15．如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∠ABD＝60°，CD＝2，则阴影部分的面积为　
　．
16．如图，将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°到矩形A′B′CD′的位置，AB＝2，AD＝4，则阴影部分的面积为　
　．
17．如图，点P是四边形ABCD外接圆上任意一点，且不与四边形顶点重合，若AD是⊙O的直径，AB＝BC＝CD．连接PA、PB、PC，若PA＝a，则点A到PB和PC的距离之和AE+AF＝　
　．
三．解答题（共3小题）
18．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，D在弧AB上，连CD交AB于点E，B是弧CD的中点，求证：∠B＝∠BEC．
19．如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．
（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；
（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE＝4米时，是否要采取紧急措施？
20．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣3，1），C（﹣1，4）．
（1）将△ABC沿x轴正方向平移3个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点B1坐标．
（2）将△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2，请在图中画出△A2BC2，并写出点C2坐标．
试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段的OM的长的取值范围是（　　）
A．3≤OM≤5
B．4≤OM≤5
C．3＜OM＜5
D．4＜OM＜5
解：如图，连接OA，作OM⊥AB于M，
∵⊙O的直径为10，
∴半径为5，
∴OM的最大值为5，
∵OM⊥AB于M，
∴AM＝BM，
∵AB＝6，
∴AM＝3，
在Rt△AOM中，OM＝＝＝＝4；
此时OM最短，
当OM是半径时最长，OM＝5．
所以OM长的取值范围是4≤OM≤5．
故选：B．
2．如图OA＝OB＝OC且∠ACB＝30°，则∠AOB的大小是（　　）
A．40°
B．50°
C．60°
D．70°
解：由OA＝OB＝OC，得到以O为圆心，OA长为半径的圆经过A，B及C，
∵圆周角∠ACB与圆心角∠AOB都对，且∠ACB＝30°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝60°．
故选：C．
3．在Rt△ABC中，斜边AB＝4，∠B＝60°．将△ABC绕点B按顺时针方向旋转60°，顶点C运动的路线长是（　　）
A．
B．
C．π
D．
解：∵在Rt△ABC中，斜边AB＝4，∠B＝60°，
∴BC＝AB?cosB＝4×＝2，
∴顶点C运动的路线长是：＝．
故选：B．
4．如图，点A、O、D以及点B、O、C分别在一条直线上，则圆中弦的条数是（　　）
A．2条
B．3条
C．4条
D．5条
解：图中的弦有AB，BC，CE共三条，
故选：B．
5．如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOB＝72°，则∠ACB等于（　　）
A．28°
B．54°
C．18°
D．36°
解：根据圆周角定理可知，
∠AOB＝2∠ACB＝72°，
即∠ACB＝36°，
故选：D．
6．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝30°，⊙O的半径为5，若点P是⊙O上的一点，在△ABP中，PB＝AB，则PA的长为（　　）
A．5
B．
C．5
D．5
解：连接OA、OB、OP，
∵∠C＝30°，
∴∠APB＝∠C＝30°，
∵PB＝AB，
∴＝，
∴∠PAB＝∠APB＝30°
∴∠ABP＝120°，
∵PB＝AB，
∴OB⊥AP，AD＝PD，
∴∠OBP＝∠OBA＝60°，
∵OB＝OA，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝5，
则Rt△PBD中，PD＝cos30°?PB＝×5＝，
∴AP＝2PD＝5，
故选：D．
7．如图，已知BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上，＝，∠AOB＝60°，则∠BDC的度数是（　　）
A．20°
B．25°
C．30°
D．40°
解：∵＝，∠AOB＝60°，
∴∠BDC＝∠AOB＝30°．
故选：C．
8．如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在⊙O上，若∠BCD＝40°，则∠ABD的度数为（　　）
A．40°
B．50°
C．80°
D．90°
解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°；
又∵∠DAB＝∠DCB＝40°（同弧所对的圆周角相等）
∴∠ABD＝90°﹣∠DAB＝90°﹣40°＝50°．
故选：B．
9．如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，已知cos∠CDB＝，BD＝5，则OH的长度为（　　）
A．
B．
C．1
D．
解：连接OD，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，
∴AB⊥CD，
∴∠OHD＝∠BHD＝90°，
∵cos∠CDB＝＝，BD＝5，
∴DH＝4，
∴BH＝＝3，
设OH＝x，则OD＝OB＝x+3，
在Rt△ODH中，由勾股定理得：x2+42＝（x+3）2，
解得：x＝，
∴OH＝；
故选：D．
10．如图，正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内画半圆，所围成的图形（阴影部分）的面积为（　　）
A．πa2﹣a2
B．2πa2﹣a2
C．πa2﹣a2
D．a2﹣πa2
解：x和y如图所示，则
解得4x＝πa2﹣a2，即阴影部分的面积为πa2﹣a2．
故选：C．
二．填空题（共7小题）
11．如图，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，D，E为斜边AB上的两个点，且BD＝BC，AE＝AC，则△DCE的外接圆的半径是　2　．
解：设∠DCE＝x，∠ACD＝y，则∠ACE＝x+y，∠BCE＝90°﹣∠ACE＝90°﹣x﹣y，
∵AE＝AC，
∴∠ACE＝∠AEC＝x+y，
∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠BCD＝∠BCE+∠DCE＝90°﹣x﹣y+x＝90°﹣y，
在△DCE中，∵∠DCE+∠CDE+∠DEC＝180°，
∴x+（90°﹣y）+（x+y）＝180°，
解得x＝45°，
∴∠DCE＝45°，
∵AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝10，
∵AE＝AC＝6，BD＝BC＝8，
∴DE＝4，又∠DCE＝45°，
如图，作直径CH，连接HE，
∴∠CEH＝90°，又∠CHE＝∠DCE＝45°，CE＝4，
∴CH＝4，
即△DCE的外接圆的直径4，
∴△DCE的外接圆的半径为2．
12．如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，且AB＝16，OC＝10，则CD的长是　4　．
解：连接OA，
设CD＝x，
∵OA＝OC＝10，
∴OD＝10﹣x，
∵OC⊥AB，
∴由垂径定理可知：AB＝16，
由勾股定理可知：102＝82+（10﹣x）2
∴x＝4，
∴CD＝4，
故答案为：4
13．如图，半径OA＝2cm，圆心角为90°的扇形OAB中，C为的中点，D为OB的中点，则图中阴影部分的面积为　（π﹣）　cm2．
解：连接CO，易得∠COB＝45°．
作CE⊥OB于点E，
那么CE＝CO×sin45°＝．
阴影部分面积＝S扇形BOC﹣S△OCD＝﹣×1×＝（π﹣）．
14．如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心、以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形．若等边三角形的边长为a，则勒洛三角形的周长为　πa　．
解：如图．∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝CA＝a，
∴的长＝的长＝的长＝＝，
∴勒洛三角形的周长为×3＝πa．
故答案为πa．
15．如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∠ABD＝60°，CD＝2，则阴影部分的面积为　　．
解：连接OD．
∵CD⊥AB，
∴CE＝DE＝CD＝，
故S△OCE＝S△ODE，即可得阴影部分的面积等于扇形OBD的面积，
又∵∠ABD＝60°，
∴∠CDB＝30°，
∴∠COB＝60°，
∴OC＝2，
∴S扇形OBD＝＝，即阴影部分的面积为．
故答案为：．
16．如图，将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°到矩形A′B′CD′的位置，AB＝2，AD＝4，则阴影部分的面积为　π﹣2　．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝4，CD＝AB＝2，∠BCD＝∠ADC＝90°，
∴CE＝BC＝4，
∴CE＝2CD，
∴∠DEC＝30°，
∴∠DCE＝60°，
由勾股定理得：DE＝2，
∴阴影部分的面积是S＝S扇形CEB′﹣S△CDE＝﹣×2×2＝，
故答案为：．
17．如图，点P是四边形ABCD外接圆上任意一点，且不与四边形顶点重合，若AD是⊙O的直径，AB＝BC＝CD．连接PA、PB、PC，若PA＝a，则点A到PB和PC的距离之和AE+AF＝　a　．
解：如图，连接OB、OC．
∵AD是直径，AB＝BC＝CD，
∴＝＝，
∴∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝60°，
∴∠APB＝∠AOB＝30°，∠APC＝∠AOC＝60°，
在Rt△APE中，∵∠AEP＝90°（AE是A到PB的距离，AE⊥PB），
∴AE＝AP?sin30°＝a，
在Rt△APF中，∵∠AFP＝90°，
∴AF＝AP?sin60°＝a，
∴AE+AF＝a．
故答案为a．
三．解答题（共3小题）
18．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，D在弧AB上，连CD交AB于点E，B是弧CD的中点，求证：∠B＝∠BEC．
证明：∵B是弧CD的中点，
∴＝，
∴∠BCE＝∠BAC，
∵∠BEC＝180°﹣∠B﹣∠BCE，∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠B，
∴∠BEC＝∠ACB，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠B＝∠BEC．
19．如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．
（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；
（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE＝4米时，是否要采取紧急措施？
解：（1）连结OA，
由题意得：AD＝AB＝30（米），OD＝（r﹣18）
在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2＝302+（r﹣18）2，
解得，r＝34（米）；
（2）连结OA′，
∵OE＝OP﹣PE＝30米，
∴在Rt△A′EO中，由勾股定理得：A′E2＝A′O2﹣OE2，即：A′E2＝342﹣302，
解得：A′E＝16（米）．
∴A′B′＝32（米）．
∵A′B′＝32＞30，
∴不需要采取紧急措施．
20．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣3，1），C（﹣1，4）．
（1）将△ABC沿x轴正方向平移3个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点B1坐标．
（2）将△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2，请在图中画出△A2BC2，并写出点C2坐标．
解：（1）如图，△A1B1C1为所作，点B1坐标为（0，1）；
（2）如图，△A2BC2为所作，点C2坐标为（0，﹣1）．
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