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第1章有理数1.5有理数的乘方（中考真题专练）
一、单选题
1．（2020·内蒙古中考真题）2020年初，国家统计局发布数据，按现行国家农村贫困标准测算，截至2019年末，全国农村贫困人口减少至551万人，累计减少9348万人．将9348万用科学记数法表示为（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·陕西中考真题）2019年，我国国内生产总值约为990870亿元，将数字990870用科学记数法表示为（ ）
A．9.9087×105
B．9.9087×104
C．99.087×104
D．99.087×103
3．（2020·湖北宜昌?）我国渤海、黄海、东海、南海海水含有不少化学元素，其中铝、锰元素总量均约为吨．用科学记数法表示铝、锰元素总量的和，接近值是（
）．
A．
B．
C．
D．
4．（2020·山东潍坊中考真题）今年的政府工作报告中指出：去年脱贫攻坚取得决定性成就，农村贫困人口减少1109万．数字1109万用科学记数法可表示为（
）
A．
B．
C．
D．
5．（2020·浙江宁波中考真题）2019年宁波舟山港货物吞吐量为1120000000吨，比上年增长3.3%，连续11年蝉联世界首位．数1120000000用科学记数法表示为（ ）
A．1.12×108
B．1.12×109
C．1.12×1010
D．0.112×1010
6．（2014·湖南永州中考真题）在求1+6+62+63+64+65+66+67+68+69的值时，小林发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的6倍，于是她设：
S=1+6+62+63+64+65+66+67+68+69①
然后在①式的两边都乘以6，得：
6S=6+62+63+64+65+66+67+68+69+610②
②﹣①得6S﹣S=610﹣1，即5S=610﹣1，所以S=，得出答案后，爱动脑筋的小林想：
如果把“6”换成字母“a”（a≠0且a≠1），能否求出1+a+a2+a3+a4+…+a2014的值？你的答案是（ ）
B．
C．
D．a2014﹣1
二、填空题
7．（2020·辽宁朝阳中考真题）在全国上下众志成城抗疫情、保生产、促发展的关键时刻，三峡集团2月24日宣布：在广东、江苏等地投资580亿元，开工建设25个新能源项目，预计提供17万个就业岗位将“580亿元”用科学记数法表示为____________元．
8．（2020·内蒙古呼和浩特中考真题）“书法艺求课”开课后，某同学买了一包纸练习软笔书法，且每逢星期几写几张，即每星期一写1张，每星期二写2张，……，每星期日写7张，若该同学从某年的5月1日开始练习，到5月30日练习完后累积写完的宣纸总数过120张，则可算得5月1日到5月28日他共用宣纸张数为___________，并可推断出5月30日应该是星期几____________．
9．（2018·甘肃陇南中考真题）如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为625，则第2018次输出的结果为_____．
10．（2013·江苏南京?）计算的结果是
．
11．（2015·山东济宁中考真题）若,
,
,
……
则
．
12．（2015·湖北随州中考真题）观察下列图形规律：当n=
时，图形“●”的个数和“△”的个数相等．
三、解答题
13．（2016·云南中考真题）有一列按一定顺序和规律排列的数：
第一个数是；
第二个数是；
第三个数是；
…
对任何正整数n，第n个数与第（n+1）个数的和等于．
（1）经过探究，我们发现：
设这列数的第5个数为a，那么，，，哪个正确？
请你直接写出正确的结论；
（2）请你观察第1个数、第2个数、第3个数，猜想这列数的第n个数（即用正整数n表示第n数），并且证明你的猜想满足“第n个数与第（n+1）个数的和等于”；
（3）设M表示，，，…，，这2016个数的和，即，
求证：．
14．（2019·河北中考真题）有个填写运算符号的游戏：在“”中的每个□内，填入中的某一个（可重复使用），然后计算结果．
（1）计算：；
（2）若请推算□内的符号；
（3）在“”的□内填入符号后，使计算所得数最小，直接写出这个最小数．
15．（2015·湖南郴州中考真题）（10分）（2015?郴州）阅读下面的材料：
如果函数y=f（x）满足：对于自变量x的取值范围内的任意x1，x2，
（1）若x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是增函数；
（2）若x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是减函数．
例题：证明函数f（x）=（x＞0）是减函数．
证明：假设x1＜x2，且x1＞0，x2＞0
f（x1）﹣f（x2）=﹣==
∵x1＜x2，且x1＞0，x2＞0
∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0
∴＞0，即f（x1）﹣f（x2）＞0
∴f（x1）＞f（x2）
∴函数f（x）=（x＞0）是减函数．
根据以上材料，解答下面的问题：
（1）函数f（x）=（x＞0），f（1）==1，f（2）==．
计算：f（3）=
，f（4）=
，猜想f（x）=（x＞0）是
函数（填“增”或“减”）；
（2）请仿照材料中的例题证明你的猜想．
16．（2013·湖南张家界中考真题）阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22013的值．
解：设S=1+2+22+23+24+…+22012+22013，将等式两边同时乘以2得：
2S=2+22+23+24+25+…+22013+22014
将下式减去上式得2S﹣S=22014﹣1
即S=22014﹣1
即1+2+22+23+24+…+22013=22014﹣1
请你仿照此法计算：
（1）1+2+22+23+24+…+210
（2）1+3+32+33+34+…+3n（其中n为正整数）．
17．（2013·浙江衢州中考真题））
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第1章有理数1.5有理数的乘方（中考真题专练）
一、单选题
1．（2020·内蒙古中考真题）2020年初，国家统计局发布数据，按现行国家农村贫困标准测算，截至2019年末，全国农村贫困人口减少至551万人，累计减少9348万人．将9348万用科学记数法表示为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】科学记数法的表示形式为a×的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：9348万=93480000用科学记数法表示为9.348×，
故选：B．
【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，解题的关键是要正确确定a的值以及n的值．
2．（2020·陕西中考真题）2019年，我国国内生产总值约为990870亿元，将数字990870用科学记数法表示为（ ）
A．9.9087×105
B．9.9087×104
C．99.087×104
D．99.087×103
【答案】A
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：990870＝9.9087×105，
故选：A．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（2020·湖北宜昌?）我国渤海、黄海、东海、南海海水含有不少化学元素，其中铝、锰元素总量均约为吨．用科学记数法表示铝、锰元素总量的和，接近值是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是非正数．在这里，要先求出铝、锰元素总量的和，再科学记数法表示即可．
【详解】解：
=
=．
故选：C．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（2020·山东潍坊中考真题）今年的政府工作报告中指出：去年脱贫攻坚取得决定性成就，农村贫困人口减少1109万．数字1109万用科学记数法可表示为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，故先将1109万换成11090000，再按照科学记数法的表示方法表示即可得出答案．
【详解】∵1109万=11090000，
∴11090000=1.109×107．
故选：A．
【点睛】本题考查了科学记数法的简单应用，属于基础知识的考查，比较简单．
5．（2020·浙江宁波中考真题）2019年宁波舟山港货物吞吐量为1120000000吨，比上年增长3.3%，连续11年蝉联世界首位．数1120000000用科学记数法表示为（ ）
A．1.12×108
B．1.12×109
C．1.12×1010
D．0.112×1010
【答案】B
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】1120000000＝1.12×109，
故选：B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
6．（2014·湖南永州中考真题）在求1+6+62+63+64+65+66+67+68+69的值时，小林发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的6倍，于是她设：
S=1+6+62+63+64+65+66+67+68+69①
然后在①式的两边都乘以6，得：
6S=6+62+63+64+65+66+67+68+69+610②
②﹣①得6S﹣S=610﹣1，即5S=610﹣1，所以S=，得出答案后，爱动脑筋的小林想：
如果把“6”换成字母“a”（a≠0且a≠1），能否求出1+a+a2+a3+a4+…+a2014的值？你的答案是（ ）
A．
B．
C．
D．a2014﹣1
【答案】B
【详解】设S=1+a+a2+a3+a4+…+a2014，①
则aS=a+a2+a3+a4+…+a2014+a2015，②，
②﹣①得：（a﹣1）S=a2015﹣1，
∴S=，
故选B．
考点：1.同底数幂的乘法；2.有理数的乘方．
二、填空题
7．（2020·辽宁朝阳中考真题）在全国上下众志成城抗疫情、保生产、促发展的关键时刻，三峡集团2月24日宣布：在广东、江苏等地投资580亿元，开工建设25个新能源项目，预计提供17万个就业岗位将“580亿元”用科学记数法表示为____________元．
【答案】
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．
【详解】580亿＝58000000000=5.8×1010．
故答案为：5.8×1010．
【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
8．（2020·内蒙古呼和浩特中考真题）“书法艺求课”开课后，某同学买了一包纸练习软笔书法，且每逢星期几写几张，即每星期一写1张，每星期二写2张，……，每星期日写7张，若该同学从某年的5月1日开始练习，到5月30日练习完后累积写完的宣纸总数过120张，则可算得5月1日到5月28日他共用宣纸张数为___________，并可推断出5月30日应该是星期几____________．
【答案】112
星期五或星期六或星期日
【分析】首先得出5月1日～5月28日，是四个完整的星期，即可得到这些天共用的宣纸张数；分别分析5月30日当分别为星期一到星期天时所有的可能，进而得出答案．
【详解】解：∵5月1日～5月30日共30天，包括四个完整的星期，
∴5月1日～5月28日写的张数为：（1+2+3+4+5+6+7）×4=112，
若5月30日为星期一，所写张数为112+7+1=120，
若5月30日为星期二，所写张数为112+1+2＜120，
若5月30日为星期三，所写张数为112+2+3＜120，
若5月30日为星期四，所写张数为112+3+4＜120，
若5月30日为星期五，所写张数为112+4+5＞120，
若5月30日为星期六，所写张数为112+5+6＞120，
若5月30日为星期日，所写张数为112+6+7＞120，
故5月30日可能为星期五或星期六或星期日．
故答案为：112；星期五或星期六或星期日.
【点睛】此题主要考查了推理与论证，根据题意分别得出5月30日时所有的可能是解题关键．
9．（2018·甘肃陇南中考真题）如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为625，则第2018次输出的结果为_____．
【答案】1
【分析】依次求出每次输出的结果，根据结果得出规律，即可得出答案．
【详解】解：当x=625时，x=125，
当x=125时，x=25，
当x=25时，x=5，
当x=5时，x=1，
当x=1时，x+4=5，
当x=5时，x=1，
当x=1时，x+4=5，
当x=5时，x=1，
…
（2018﹣3）÷2=1007.5，
即输出的结果是1，
故答案为1
【点睛】本题考查了求代数式的值，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键．
10．（2013·江苏南京?）计算的结果是
．
【答案】．
【详解】设，则原式．
11．（2015·山东济宁中考真题）若,
,
,
……
则
．
【答案】-n（n+1）（4n+3）
【分析】根据各个式子的特点可知：
第一个等式中，右边相乘的第一个数是-1，第二个数是1+1，第三个数是等号左边最后一个数3×2+1；
第二个等式中，右边相乘的第一个数是-2，第二个数是2+1，第三个数是等号左边最后一个数5×2+1；
第三个等式中，右边相乘的第一个数是-3，第二个数是3+1，第三个数是等号左边最后一个数7×2+1；
……
第n个等式中，右边相乘的第一个数是-n，第二个数是n+1，第三个数是等号左边最后一个数
（2n+1）×2+1=4n+3；
因此结果为-n（n+1）（4n+3）．
考点：规律探索
12．（2015·湖北随州中考真题）观察下列图形规律：当n=
时，图形“●”的个数和“△”的个数相等．
【答案】5
【分析】此题主要考查了规律型：图形的变化类问题，要熟练掌握、解答此类问题的关键是：应该首先找出图形哪些部分发生了变化，是按什么规律变化的，通过分析找出各部分的变化规律后直接利用规律求解．注意探寻规律要认真观察、仔细思考，善于运用联想来解决这类问题．
首先根据n=1、2、3、4时，“●”的个数分别是3、6、9、12，判断出第n个图形中“●”的个数是3n；然后根据n=1、2、3、4，“△”的个数分别是1、3、6、10，判断出第n个“△”的个数是；
最后根据图形“●”的个数和“△”的个数相等，求出n的值是5．
解：∵n=1时，“●”的个数是3=3×1；
n=2时，“●”的个数是6=3×2；
n=3时，“●”的个数是9=3×3；
n=4时，“●”的个数是12=3×4；
∴第n个图形中“●”的个数是3n；
又∵n=1时，“△”的个数是1=；
n=2时，“△”的个数是3=；
n=3时，“△”的个数是6=；
n=4时，“△”的个数是10=；
∴第n个“△”的个数是；
由3n=，
可得n2﹣5n=0，
解得n=5或n=0（舍去），
∴当n=5时，图形“●”的个数和“△”的个数相等．
故答案为5．
考点：1．规律型：2．图形的变化类．
三、解答题
13．（2016·云南中考真题）有一列按一定顺序和规律排列的数：
第一个数是；
第二个数是；
第三个数是；
…
对任何正整数n，第n个数与第（n+1）个数的和等于．
（1）经过探究，我们发现：
设这列数的第5个数为a，那么，，，哪个正确？
请你直接写出正确的结论；
（2）请你观察第1个数、第2个数、第3个数，猜想这列数的第n个数（即用正整数n表示第n数），并且证明你的猜想满足“第n个数与第（n+1）个数的和等于”；
（3）设M表示，，，…，，这2016个数的和，即，
求证：．
【答案】（1）第5个；（2）；证明过程见解析；（3）证明过程见解析.
【分析】（1）由已知规律可得；（2）先根据已知规律写出第n、n+1个数，再根据分式的运算化简可得；
（3）将每个分式根据﹣=＜＜=﹣，展开后再全部相加可得结论．
【详解】（1）由题意知第5个数a==；
（2）∵第n个数为，第（n+1）个数为，
∴+=（+）=×=×=，
即第n个数与第（n+1）个数的和等于；
（3）∵1﹣=＜=1，
=＜＜=1﹣，
﹣=＜＜=﹣，
…
﹣=＜＜=﹣，
﹣=＜＜=﹣，
∴1﹣＜+++…++＜2﹣，
即＜+++…++＜，
∴．
考点：（1）分式的混合运算；（2）规律型；（3）数字的变化类
14．（2019·河北中考真题）有个填写运算符号的游戏：在“”中的每个□内，填入中的某一个（可重复使用），然后计算结果．
（1）计算：；
（2）若请推算□内的符号；
（3）在“”的□内填入符号后，使计算所得数最小，直接写出这个最小数．
【答案】（1）-2；（2）-；（3）-20，理由详见解析.
【分析】（1）根据有理数的加减法法则解答即可；
（2）根据题目中式子的结果，可以得到□内的符号；
（3）先写出结果，然后说明理由即可．
【详解】（1）1+2﹣6﹣9=3﹣6﹣9=﹣3﹣9=﹣12；
（2）∵1÷2×6□9=﹣6，∴16□9=﹣6，∴3□9=﹣6，∴□内的符号是“﹣”；
（3）这个最小数是﹣20，理由：∵在“1□2□6﹣9”的□内填入符号后，使计算所得数最小，∴1□2□6的结果是负数即可，∴1□2□6的最小值是1﹣2×6=﹣11，∴1□2□6﹣9的最小值是﹣11﹣9=﹣20，∴这个最小数是﹣20．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，明确有理数混合运算的计算方法是解答本题的关键．
15．（2015·湖南郴州中考真题）（10分）（2015?郴州）阅读下面的材料：
如果函数y=f（x）满足：对于自变量x的取值范围内的任意x1，x2，
（1）若x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是增函数；
（2）若x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是减函数．
例题：证明函数f（x）=（x＞0）是减函数．
证明：假设x1＜x2，且x1＞0，x2＞0
f（x1）﹣f（x2）=﹣==
∵x1＜x2，且x1＞0，x2＞0
∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0
∴＞0，即f（x1）﹣f（x2）＞0
∴f（x1）＞f（x2）
∴函数f（x）=（x＞0）是减函数．
根据以上材料，解答下面的问题：
（1）函数f（x）=（x＞0），f（1）==1，f（2）==．
计算：f（3）=
，f（4）=
，猜想f（x）=（x＞0）是
函数（填“增”或“减”）；
（2）请仿照材料中的例题证明你的猜想．
【答案】（1），，减；（2）参见解析．
【分析】（1）根据题意把x=3，x=4代入函数f（x）=（x＞0）中，即可计算出结果．由前两个计算结果比较其大小即可猜想f（x）=（x＞0）是减函数；（2）仿照材料中的例题，假设x1＜x2，且x1＞0，x2＞0，再作差通分，讨论比较即可．
【详解】（1）把x=3，x=4分别代入函数f（x）=（x＞0）中，f（3）==，f（4）==，∵3<4,但>，∴猜想f（x）=（x＞0）是减函数；（2）仿照材料中的例题证明：假设x1＜x2，且x1＞0，x2＞0，f（x1）﹣f（x2）=﹣==，∵x1＜x2，且x1＞0，x2＞0，∴x2﹣x1＞0，x2+x1＞0，x12?x22＞0，∴＞0，即f（x1）﹣f（x2）＞0，∴f（x1）＞f（x2），∴函数f（x）=（x＞0）是减函数．
考点：1．反比例函数综合题；2．阅读能力．
16．（2013·湖南张家界中考真题）阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22013的值．
解：设S=1+2+22+23+24+…+22012+22013，将等式两边同时乘以2得：
2S=2+22+23+24+25+…+22013+22014
将下式减去上式得2S﹣S=22014﹣1
即S=22014﹣1
即1+2+22+23+24+…+22013=22014﹣1
请你仿照此法计算：
（1）1+2+22+23+24+…+210
（2）1+3+32+33+34+…+3n（其中n为正整数）．
【答案】（1）211﹣1
（2）1+3+32+33+34+…+3n=．
【分析】（1）设S=1+2+22+23+24+…+210，两边乘以2后得到关系式，与已知等式相减，变形即可求出所求式子的值．
（2）同理即可得到所求式子的值．
【详解】解：（1）设S=1+2+22+23+24+…+210，
将等式两边同时乘以2得2S=2+22+23+24+…+210+211，
将下式减去上式得：2S﹣S=211﹣1，即S=211﹣1，
则1+2+22+23+24+…+210=211﹣1．
（2）设S=1+3+32+33+34+…+3n，
两边乘以3得：3S=3+32+33+34+…+3n+3n+1，
下式减去上式得：3S﹣S=3n+1﹣1，即S=，
则1+3+32+33+34+…+3n=．
17．（2013·浙江衢州中考真题））
【答案】10
【详解】解：原式．
先进行开方和乘方运算，再进行乘除运算，然后进行加法运算．
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精品试卷·第
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