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第1章有理数1.5有理数的乘方（简答题专练）
1．阅读材料，解决问题：
由31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，38＝6561，……
不难发现3的正整数幂的个位数字以3、9、7、1为一个周期循环出现，由此可以得到：
因为3100＝34×25，所以3100的个位数字与34的个位数字相同，应为1；
因为32009＝34×502＋1，所以32009的个位数字与31的个位数字相同，应为3．
（1）请你仿照材料，分析求出799的个位数字及899的个位数字；
（2）请探索出22019＋72019＋82019的个位数字；
（3）请直接写出82018－22018－32018的个位数字．
【答案】（1）2（2）3（3）1
【分析】仿照材料内容，去找到规律来判断即可.
【详解】(1)
由于71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807…发现7的正整数幂的个位数字以7、9、3、1为一个周期循环出现，由此可以得出：
因为799＝74×24+3，所以799的个位数字与73的个位数字相同，应为3;
由于81＝8，82＝64，83＝512，84＝4096，85＝32768…发现7的正整数幂的个位数字以8、4、2、6为一个周期循环出现，由此可以得出：
因为899＝84×24+3，所以899的个位数字与83的个位数字相同，应为2
(2)由于2?=2,2?=4,2?=8,24=16,25=32…，发现2的正整数次幂的个位数字以2、4、8、6为一个周期循环出现，由此可知22019=2504×4+3与2?的个位数子相同，22019的个位数字是8
,
根据(1)可知72019的个位数字是3,
82019的个位数字是2
所以22019＋72019＋82019的个位数字是3；
(3)
据前面的分析可知82018=8504×4+2与82的个位数字相同，82018个位数字是4；
22018=2504×4+2与22的个位数字相同，22018的个位数字是4；
32018=3504×4+2与22的个位数字相同，32018的个位数字是9；
∴
82018－22018－32018的个位数字是14-4-9==1．
【点睛】本题为仿照材料找规律的题目，主要考查了理解和观察能力.
2．2008年奥运会期间，一辆大巴车在一条南北方向的道路上来回运送旅客，某一天早晨该车从A地出发，晚上到达B地，预定向北为正方向，当天行驶记录如下(单位：千米)
+18，-9，+7，-14，-6，+13，-6，-8
请你根据计算回答下列问题：
（1）B地在A地何方？相距多少千米？
（2）该车这一天共行驶多少千米？
（3）若该车每千米耗油0.4升，这一天共耗油多少升？
【答案】（1）B在A南边5千米处；（2）81千米；（3）32.4升
【分析】（1）将所有有理数相加，得到结果为－5，可判断为向南方向；
（2）所有有理数绝对值的和为行驶的总距离；
（3）用行驶的总距离乘油耗得一天中的耗油量
【详解】（1）∵+18-9+7-14-6+13-6-8=－5
∴B在A的南面，距离为5千米；
（2）∵+
∴该车一天共行驶81千米；
（3）81×0.4=32.4（升）
∴该车一天共耗油32.4升
【点睛】本题是有理数应用的考查，若从A点出发经过一系列行驶到达B点，有2点需要区分：
（1）若求A、B位置关系，则只需将行驶中的数字进行相加分析；
（2）若求行驶的总距离，则需要先绝对值后再相加
3．某集团公司对所属甲、乙两分厂2017年下半年经营情况记录（其中“+”表示盈利，“-”表示亏损）如下表（单位：亿元）：
月份
7月
8月
9月
10月
11月
12月
甲厂
-0.2
-0.4
+0.5
0
+1.2
+1.3
乙厂
+1.0
-0.7
-1.5
+1.8
-1.8
0
(1)8月份乙厂比甲厂多亏损多少亿元？
(2)分别计算下半年甲、乙两个工厂平均每月盈利或亏损多少亿元？
【答案】（1）0.3亿；（2）甲盈利0.4亿元；乙亏损0.2亿.
【分析】（1）由表格可得出乙厂亏0.7亿元，甲厂亏0.4亿元，由此可得出结果．
（2）将甲乙两场每个月的盈利相加即可得出结果．
【详解】（1）由表格可得出乙厂亏0.7亿元，甲厂亏0.4亿元，
∴可得出乙比甲多亏0.3亿元；
（2）甲：-0.2-0.4+0.5+0+1.2+1.3=2.4亿元，2.4÷6=0.4亿元，
乙：1.0-0.7-1.5+1.8-1.8+0=-1.2亿元，-1.2÷6=-0.2亿元，
∴甲平均每月盈利0.4亿元，乙平均每月亏0.2亿元，
答：甲平均每月盈利0.23亿元，乙平均每月亏0.2亿元.
【点睛】本题考查了有理数运算的应用，看懂表格，弄清题意，正确列出算式是解题的关键.
4．计算：
（1）（﹣+）×（﹣12）
（2）﹣14+16÷（﹣2）3×|﹣3﹣1|
【答案】（1）-12；（2）-9.
【分析】（1）括号内各分数的分母都是12的因数，因此可利用乘法的分配律进行计算；
（2）先计算乘方和绝对值，然后计算乘除，最后计算加减即可．
【详解】（1）解：原式=×（﹣12）﹣×（﹣12）+×（﹣12）
=﹣8+2﹣6
=﹣12；
（2）解：原式=-1+16÷（-8）×4
=-1+(-2)×4
=-1-8
=-9
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟记运算顺序和法则是解决此题的关键，注意有时利用运算律可简化运算．
5．如图，这是一个数值转换机的示意图．
（1）若输入
x
的值为﹣2，输入
y
的值为
5，求输出的结果；
（2）若输入
x
的值为
4，输出的结果为
8，求输入
y
的值．
【答案】（1）7；（2）y=±4．
【分析】(1)根据给出的运算方法转化为有理数的混合运算,利用运算方法和顺序计算即可;
(2)根据给出的运算方法转化为方程求得y的数值即可.
【详解】解：（1）[（﹣2）×2+]÷3
=（﹣4+25）÷3
=21÷3
=7．
（2）（4×2+）÷3=8
8+=24
=16
y=±4．
【点睛】此题考查有理数的混合运算,理解题意,搞清规定的运算顺序与计算方法是解决问题的关键.
6．如图一只蚂蚁从点沿数轴向左直爬个单位到达点，点表示，设点所表示的数为．
求的值；
求的值．
【答案】（1）-4；（2）4；
【分析】（1）由于蚂蚁向左爬，所以m＜﹣1，故|m+1|=3，求出m的值即可；
（2）把（1）中m的值代入所求代数式，根据绝对值的性质及乘方的法则进行计算即可．
【详解】（1）∵蚂蚁向左爬，∴m＜﹣1，∴|m+1|=3，∴﹣m﹣1=3，∴m=﹣4；
（2）把m=﹣4代入得：原式=|﹣4﹣1|+（﹣4+3）2009
=5﹣1
=4．
【点睛】本题考查的是数轴的特点、绝对值的性质及有理数的乘方，解答此题的关键是利用数轴的特点，数形结合判断出m的取值范围．
7．如图,小玉有5张写着不同数字的卡片,请你按要求抽出卡片,完成下列问题:
-3
-5
0
+3
+4
(1)从中抽出2张卡片,使这2张卡片上的数字的乘积最大,则应如何抽取?最大的乘积是多少?
(2)从中抽出2张卡片,使这2张卡片上的数字相除的商最小,则应如何抽取?最小的商是多少?
(3)从中抽出2张卡片,使这2张卡片上的数字经过加、减、乘、除、乘方中的一种运算后,组成一个最大的数,则应如何抽取?最大的数是多少?
(4)从中抽出4张卡片,用学过的运算方法,要使结果为24,则应如何抽取?写出运算式子(一种即可).
【答案】（1）15；（2）-；（3）625；（4）)(答案不唯一)如抽取-3,-5,0,+3,运算式子为{0-[(-3)+(-5)]}×(+3)=24.
【分析】（1）观察这五个数，要找乘积最大的就要找符号相同且数值最大的数，所以选-3和-5；
（2）2张卡片上数字相除的商最小就要找符号不同，且分母越大越好，分子越小越好，所以就要选3和-5，且-5为分母；
（3）这2张卡片上数字组成一个最大的数，除了有个位、十位相乘之外，还有乘方；
（4）利用加减乘除来连接，答案不唯一.
【详解】解：（1）抽取；
（2）抽取；
（3）抽取；
（4）答案不唯一；例如抽取-3，-5，3，4；
考点：有理数的混合运算
8．星期日早上小宇在南北方向的黄香大道上跑步，他从A地出发，每隔10min记录下自己的跑步情况（向北为正方向，单位m）：﹣968，789，﹣502，441，﹣117，15.1h后他停下来休息．
（1）此时他在A地的什么方向？距A地多远？
（2）小宇共跑了多少m？
【答案】（1）1h后小宇在A地的南边，距A地342米；（2）小宇共跑了2832
m．
【分析】（1）以北为正方向，则南为负方向，因此可以以南北方向画一条坐标轴，北为正方向，南为负方向，小宇每次跑步的情况可以在坐标轴上表示出来.
（2）小明所跑的总路程=每次跑步数据的绝对值之和.
【详解】（1）﹣968+789﹣502+441﹣117+15＝﹣（968+502+117）+（789+441+15）＝﹣1587+1245＝﹣342，
故1h后小宇在A地的南边，距A地342米．
（2）|﹣968|+|789|+|﹣502|+|441|+|﹣117|+|15|＝968+789+502+441+117+15＝1587+1245＝3832．
答：小宇共跑了2832
m．
【点睛】正负数在坐标轴上的表示方法.
9．计算：
（1）（）×（﹣30）
（2）﹣22×|﹣3|+（﹣6）2×（﹣）﹣÷（﹣）3
（3）5（a2b﹣3ab2）﹣2（a2b﹣7ab2）
（4）a2b﹣0.4ab2﹣a2b+ab2
【答案】（1）1；（2）﹣26；（3）3a2b﹣ab2；（4）﹣．
【分析】(1)
首先利用乘法分配律运算,最后进行加减运算即可;
(2)先去绝对值，在算乘方运算，再按先乘除，后加减计算;
(3)首先去括号，然后合并同类项计算即可;
(4)
合并同类项计算即可
【详解】（1）（﹣）×（﹣30），
=﹣×30+×30，
=﹣1+2，
=1；
（2）﹣22×|﹣3|+（﹣6）2×（﹣）﹣÷（﹣）3，
=﹣4×3+36×﹣，
=﹣12﹣15+1，
=﹣26；
（3）5（a2b﹣3ab2）﹣2（a2b﹣7ab2），
=5a2b﹣15ab2﹣2a2b+14ab2，
=3a2b﹣ab2；
（4）a2b﹣0.4ab2﹣a2b+ab2，
=（﹣）a2b+（﹣0.4+0.4）ab2，
=﹣．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算,正确确定运算顺序是关键.
10．用幂的运算性质计算：
【答案】1
【分析】根据分数指数幂和根式的转化即可解答.
【详解】解：原式=
，故答案为1.
【点睛】本题考查了分数指数幂和根式的转化，准确计算是解题的关键.
11．若与互为相反数，求的值．
【答案】-8
【分析】先根据绝对值和平方数的非负性求出，代入求值即可．
【详解】解：∵与互为相反数，
∴+=0
∵≥0，
≥0
∴，
∴
∴
【点睛】本题考查了绝对值和平方数的非负性，及有理数的乘方运算，利用绝对值和平方数的非负性求出值是解题的关键．
12．阅读新知
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示（）．
即：在数列，，，…，．（为正整数）中，若，，…，则数列，，，…，．（为正整数）叫做等比数列．其中叫数列的首项，叫第二项，…，叫第项，叫做数列的公比．
例如：数列1，2，4，8，16，…是等比数列，公比．
计算：求等比数列1，3，，，…，的和．
解：令，则．
因此．所以．
即．
学以致用
（1）选择题：下列数列属于等比数列的是（
）
A．1，2，3，4，5
B．2，6，18，21，63
C．56，28，14，7，
D．－11，22，－33，44，－55
（2）填空题：已知数列，，，…，是公比为4的等比数列，若它的首项，则它的第项等于_________．
（3）解答题：求等比数列1，5，，，…前2021项的和．
【答案】（1）C；（2）；（3）
【分析】（1）根据等比数列的定义逐一判断即可得到答案，
（2）利用定义得到：把这个都是相乘即可得到答案；
（3）令，两边都乘以，利用错项相消即可得到答案．
【详解】解：（1）1，2，3，4，5的后一项与前一项的比不一样，不符合定义，故A错误，
2，6，18，21，63的后一项与前一项的比不一样，不符合定义，故B错误，
56，28，14，7，的后一项是前一项的，符合等比数列的定义，故C正确，
－11，22，－33，44，－55的后一项与前一项的比不一样，不符合定义，故D错误，
故选C．
（2）
．
故答案为：．
（3）解：等比数列1，5，，，…的第2021项是．
令，
则．
因此．
所以．
即．
【点睛】本题考查的是自主阅读与能力的迁移，新定义题，考查了规律型：数字的变化类，特别是与乘方的运算，弄清题中的规律是解本题的关键．
13．计算：
【答案】-13
【分析】根据有理数混合运算法则,先计算括号里的,有乘方的先计算乘方,再计算乘除,最后计算加减.
【详解】解:原式,
,
,
【点睛】本题主要考查有理数混合运算,解决本题的关键是要熟练掌握有理数混合运算法则.
14．发现：41＝4，42＝16，43＝64，44＝256，45＝1024，46＝4096，47＝16384，48＝65536
（1）观察上面运算结果的个位数字，写出你发现的规律；
（2）依据（1）中的规律，通过计算判断3×（4+1）（42+1）（44+1）…（432+1）+1的结果的个位数字是多少，
【答案】（1）当4的指数是奇数时，运算结果的个位数字是4；当4的指数是偶数时，运算结果的个位数字是6；（2）个位数字是6．
【分析】（1）注意4的指数的奇偶性与个位数字的关系；
（2）利用平方差公式进行计算，然后利用（1）中的规律解答．
【详解】解：（1）41＝4，42＝16，43＝64，44＝256，45＝1024，46＝4096，47＝16384，48＝65536
观察上面运算结果发现：当4的指数是奇数时，运算结果的个位数字是4；当4的指数是偶数时，运算结果的个位数字是6；
（2）3×（4+1）（42+1）（44+1）…（432+1）+1
＝（4﹣1）×（4+1）（42+1）（44+1）…（432+1）+1
＝（42﹣1）×（42+1）（44+1）…（432+1）+1
＝（44﹣1）（44+1）…（432+1）+1
＝464．
可知464的个位数字是6，故3×（4+1）（42+1）（44+1）…（432+1）+1的结果的个位数字是6．
【点睛】本题考查了平方差公式的应用，题型较好，难度适中，是一道不错的题目，通过此题能培养学生的观察能力．
15．老师在黑板上出了一道有理数的混合运算题
下面是小丽的解答过程：
（1）小丽的解答过程共存在
处错误，分别是
．
（2）请你写出正确的解答过程：
【答案】（1）2；第一步和第四步（2）
【分析】（1）观察可知共有2处出错，第一步在计算-32时出错，第四步运算顺序出错；
（2）先计算乘方、括号里的，然后进行乘除法运算即可得.
【详解】（1）观察解题过程发现有2处出现错误，第一步在计算-32时负号没了，第四步应该先计算除法，
故答案为2；第一步和第四步；
（2）
=
=
=
=
=.
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键.
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第1章有理数1.5有理数的乘方（简答题专练）
1．阅读材料，解决问题：
由31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，38＝6561，……
不难发现3的正整数幂的个位数字以3、9、7、1为一个周期循环出现，由此可以得到：
因为3100＝34×25，所以3100的个位数字与34的个位数字相同，应为1；
因为32009＝34×502＋1，所以32009的个位数字与31的个位数字相同，应为3．
（1）请你仿照材料，分析求出799的个位数字及899的个位数字；
（2）请探索出22019＋72019＋82019的个位数字；
（3）请直接写出82018－22018－32018的个位数字．
2．2008年奥运会期间，一辆大巴车在一条南北方向的道路上来回运送旅客，某一天早晨该车从A地出发，晚上到达B地，预定向北为正方向，当天行驶记录如下(单位：千米)
+18，-9，+7，-14，-6，+13，-6，-8
请你根据计算回答下列问题：
（1）B地在A地何方？相距多少千米？
（2）该车这一天共行驶多少千米？
（3）若该车每千米耗油0.4升，这一天共耗油多少升？
3．某集团公司对所属甲、乙两分厂2017年下半年经营情况记录（其中“+”表示盈利，“-”表示亏损）如下表（单位：亿元）：
月份
7月
8月
9月
10月
11月
12月
甲厂
-0.2
-0.4
+0.5
0
+1.2
+1.3
乙厂
+1.0
-0.7
-1.5
+1.8
-1.8
0
(1)8月份乙厂比甲厂多亏损多少亿元？
(2)分别计算下半年甲、乙两个工厂平均每月盈利或亏损多少亿元？
4．计算：
（1）（﹣+）×（﹣12）
（2）﹣14+16÷（﹣2）3×|﹣3﹣1|
5．如图，这是一个数值转换机的示意图．
（1）若输入
x
的值为﹣2，输入
y
的值为
5，求输出的结果；
（2）若输入
x
的值为
4，输出的结果为
8，求输入
y
的值．
6．如图一只蚂蚁从点沿数轴向左直爬个单位到达点，点表示，设点所表示的数为．
求的值；
求的值．
7．如图,小玉有5张写着不同数字的卡片,请你按要求抽出卡片,完成下列问题:
-3
-5
0
+3
+4
(1)从中抽出2张卡片,使这2张卡片上的数字的乘积最大,则应如何抽取?最大的乘积是多少?
(2)从中抽出2张卡片,使这2张卡片上的数字相除的商最小,则应如何抽取?最小的商是多少?
(3)从中抽出2张卡片,使这2张卡片上的数字经过加、减、乘、除、乘方中的一种运算后,组成一个最大的数,则应如何抽取?最大的数是多少?
(4)从中抽出4张卡片,用学过的运算方法,要使结果为24,则应如何抽取?写出运算式子(一种即可).
8．星期日早上小宇在南北方向的黄香大道上跑步，他从A地出发，每隔10min记录下自己的跑步情况（向北为正方向，单位m）：﹣968，789，﹣502，441，﹣117，15.1h后他停下来休息．
（1）此时他在A地的什么方向？距A地多远？
（2）小宇共跑了多少m？
9．计算：
（1）（）×（﹣30）
（2）﹣22×|﹣3|+（﹣6）2×（﹣）﹣÷（﹣）3
（3）5（a2b﹣3ab2）﹣2（a2b﹣7ab2）
（4）a2b﹣0.4ab2﹣a2b+ab2
10．用幂的运算性质计算：
11．若与互为相反数，求的值．
12．阅读新知
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示（）．
即：在数列，，，…，．（为正整数）中，若，，…，则数列，，，…，．（为正整数）叫做等比数列．其中叫数列的首项，叫第二项，…，叫第项，叫做数列的公比．
例如：数列1，2，4，8，16，…是等比数列，公比．
计算：求等比数列1，3，，，…，的和．
解：令，则．
因此．所以．
即．
学以致用
（1）选择题：下列数列属于等比数列的是（
）
A．1，2，3，4，5
B．2，6，18，21，63
C．56，28，14，7，
D．－11，22，－33，44，－55
（2）填空题：已知数列，，，…，是公比为4的等比数列，若它的首项，则它的第项等于_________．
（3）解答题：求等比数列1，5，，，…前2021项的和．
13．计算：
14．发现：41＝4，42＝16，43＝64，44＝256，45＝1024，46＝4096，47＝16384，48＝65536
（1）观察上面运算结果的个位数字，写出你发现的规律；
（2）依据（1）中的规律，通过计算判断3×（4+1）（42+1）（44+1）…（432+1）+1的结果的个位数字是多少，
15．老师在黑板上出了一道有理数的混合运算题
下面是小丽的解答过程：
（1）小丽的解答过程共存在
处错误，分别是
．
（2）请你写出正确的解答过程：
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