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第2章整式的加减2.1整式（简答题专练）
1．为节约用水，某市规定三口之家每月标准用水量为立方米，超过部分加价收费，假设不超过部分水费为元/立方米，超过部分水费为元/立方米．
请用代数式分别表示这家按标准用水和超出标准用水各应缴纳的水费；
如果这家某月用水立方米，那么该月应交多少水费？
2．“十一”期间，某中学七年级(1)班的三位老师带领本班a名学生(学生人数不少于3名)去北京旅游，春风旅行社的收费标准为：教师全价，学生半价；华北旅行社不论教师、学生一律八折优惠，这两家旅行社的基本收费都是每人500元．
(1)用代数式表示，选择这两家旅行各需要多少钱？
(2)如果有学生20名，你认为选择哪家旅行社较为合算，为什么？
3．一般地，个相同的因数相乘，记为，
如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为
(即)
．一般地，若且，
则叫做以为底的对数，
记为
(即)
．如，
则4叫做以3为底81的对数，
记为
(即)
．
（1）计算下列各对数的值：
；
；
．
（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，之间又满足怎样的关系式；
（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗?
（4）
根据幂的运算法则：以及对数的含义说明上述结论．
4．如图(单位：m)，某市有一块长为(3a＋b)m、宽为(2a＋b)m的长方形地，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，则绿化的面积是多少平方米？并求出当a＝6，b＝1时，绿化的面积．
5．（1）己知一月份每千克面粉元，每千克白菜元，用式子表示买5千克面粉和8千克白菜需要支付的金额；
（2）某城市今年的人均收入为元，3年前人均收入比今年的少500元，用式子表示3年前人均收入；
（3）用式子表示的3倍与的和的平方．
6．学校组织同学到博物馆参观，小明因事没有和同学同时出发，于是准备在学校门口搭乘出租车赶去与同学们会合，出租车的收费标准是：起步价为6元，3千米后每千米收1.2元，不足1千米的按1千米计算.请你回答下列问题
（1）小明乘车3.8千米，应付费_________元
（2）小明乘车X（X是大于3的整数）千米，应付费多少钱？
（3）小明身上仅有10元钱，乘出租车到距学校7千米远的博物馆的车费够不够？请说明理由.
7．对于整式（其中m是大于的整数）.
（1）若，且该整式是关于x的三次三项式，求m的值；
（2）若该整式是关于x的二次单项式，求m，n的值；
（3）若该整式是关于x的二次二项式，则m，n要满足什么条件？
8．前几天，在青岛召开了举世目的“上合”会议，会议之前需要印刷批宣传彩页．经招标，印务公司中标，该印务公司给出了三种方案供主办方选择：
方案一：每份彩页收印刷费元．
方案二：收制版费元，外加每份彩页收印刷费元．
方案三：印数在份以内时，每份彩页收印刷费元，超过份时，超过部分按每份元收费．
（1）分别写出各方案的收费（元）与印刷彩页的份数（份）之间的关系式．
（2）若预计要印刷份的宣传彩页，请你帮主办方选择一种合算的方案．
9．如图所示,长方形ABCD是“阳光小区”内一块空地，已知AB=2a，BC=3b，且E为AB边的中点，CF=BC，现打算在阴影部分种植一片草坪，求这片草坪的面积．
10．互为相反数，c，d互为倒数，是最大的负整数．试求的值．
11．已知多项式xm＋1y2＋2xy2﹣4x3＋1是六次四项式，单项式26x2ny5﹣m的次数与该多项式的次数相同，求（﹣m）3＋2n的值．
12．已知关于x，y的多项式x4＋（m＋2）xny﹣xy2＋3．
（1）当m，n为何值时，它是五次四项式？
（2）当m，n为何值时，它是四次三项式？
13．边长分别为a和2a的两个正方形按如图的样式摆放，求图中阴影部分的面积．
14．周末,小明陪爸爸去陶瓷商城购买一些茶壶和茶杯,甲、乙两家商店出售他们看中的同样品牌的茶壶和茶杯,茶壶每把定价都为30元,茶杯每只定价都为5元.这两家商店都有优惠,甲店买一把茶壶赠送茶杯一只;乙店全场九折优惠.小明爸爸需买茶壶5把,茶杯若干只(不少于5只).
(1)设购买茶杯x（x≥5）只,如果在甲店购买,需付款多少元;如果在乙店购买,需付款多少元.(用含x的代数式表示并化简).
(2)当购买15只茶杯时,应在哪家商店购买?为什么?
15．如图，某市有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，中间是边长为（a+b）米的正方形，规划部门计划将在中间的正方形修建一座雕像，四周的阴影部分进行绿化，
（1）绿化的面积是多少平方米？（用含字母a、b的式子表示）
（2）求出当a＝20，b＝12时的绿化面积．
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第2章整式的加减2.1整式（简答题专练）
1．为节约用水，某市规定三口之家每月标准用水量为立方米，超过部分加价收费，假设不超过部分水费为元/立方米，超过部分水费为元/立方米．
请用代数式分别表示这家按标准用水和超出标准用水各应缴纳的水费；
如果这家某月用水立方米，那么该月应交多少水费？
【答案】（1）见分析；（2）该月应交水费为元．
【分析】（1）设月用水量为a立方米，根据题目中的条件，可求出标准用水水费为1.5a
（0＜a≤15），超出标准用水各应缴纳的水费3a-22.5
（a＞15）；
（2）根据上述关系式可求出这家某月用水20立方米时应缴水费．
【详解】（1）设月用水量为a立方米，由题意，则有
标准用水水费为1.5a元
（0＜a≤15），
超标用水水费：3a-15×1.5=（3a-22.5）元（a＞15）；
（2）该月应交水费=15×1.5+3（20-15）=37.5（元），
答：该月应交水费为37.5元．
【点睛】本题考查了列代数式以及代数式求值，解题的关键是按照题目中的已知条件，根据用水数量的不同列出相应的关系式．
2．“十一”期间，某中学七年级(1)班的三位老师带领本班a名学生(学生人数不少于3名)去北京旅游，春风旅行社的收费标准为：教师全价，学生半价；华北旅行社不论教师、学生一律八折优惠，这两家旅行社的基本收费都是每人500元．
(1)用代数式表示，选择这两家旅行各需要多少钱？
(2)如果有学生20名，你认为选择哪家旅行社较为合算，为什么？
【答案】(1)详见分析；（2）春风旅行社合算，理由见解析.
【分析】（1）利用旅行社的收费标准可列出代数式，
（2）把a=20代入即可求解．
【详解】(1)春风旅行社的总费用为3×500＋500a×50%＝1
500＋250a(元)，
华北旅行社的总费用为(3＋a)×500×80%＝1
200＋400a(元)；
(2)当a＝20时，
春风旅行社费用为1
500＋250×20＝6
500(元)，
华北旅行社费用为1
200＋400×20＝9
200(元)，
6
500元<9
200元，故春风旅行社合算．
【点睛】本题考查了列代数式以及代数式求值，正确理解题意列出代数式是解题的关键.
3．一般地，个相同的因数相乘，记为，
如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为
(即)
．一般地，若且，
则叫做以为底的对数，
记为
(即)
．如，
则4叫做以3为底81的对数，
记为
(即)
．
（1）计算下列各对数的值：
；
；
．
（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，之间又满足怎样的关系式；
（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗?
（4）
根据幂的运算法则：以及对数的含义说明上述结论．
【答案】（1）2，4，6；（2）4×16=64，；（3）；（4）见分析
【分析】（1）根据对数的定义求解可得；
（2）观察三个数字及对应的结果，找出规律；
（3）将找出的规律写成一般形式；
（4）设，，利用转化可推导．
【详解】（1）∵,,
∴2，4，6
（2）4、16、64的规律为：4×16=64
∵2+4=6，∴
（3）根据（2）得出的规律，我们一般化，为：
（4）设，
则，
∴
∴
∴，得证
【点睛】本题考查指数运算的逆运算，解题关键是快速学习题干告知的运算法则，找出相应规律．
4．如图(单位：m)，某市有一块长为(3a＋b)m、宽为(2a＋b)m的长方形地，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，则绿化的面积是多少平方米？并求出当a＝6，b＝1时，绿化的面积．
【答案】（5a2＋3ab）m2，198m2
【分析】首先列出阴影部分的面积的表达式，再化简求值．
【详解】解：绿化的面积为(3a＋b)(2a＋b)－(a＋b)2
＝（5a2＋3ab）m2
当a＝6，b＝1时，
绿化的面积为5a2＋3ab＝5×62＋3×6×1
＝198(m2)
【点睛】本题运用列代数式求值的知识点，关键是化简时要算准确．
5．（1）己知一月份每千克面粉元，每千克白菜元，用式子表示买5千克面粉和8千克白菜需要支付的金额；
（2）某城市今年的人均收入为元，3年前人均收入比今年的少500元，用式子表示3年前人均收入；
（3）用式子表示的3倍与的和的平方．
【答案】（1）（）元；（2）（）元；（3）
【分析】（1）依据支付金额等于单价乘以数量即可；
（2）先乘以，再减500；
（3）先求倍数，然后求和，最后求平方．
【详解】解：（1）依据支付金额等于单价乘以数量得：需要支付的金额为（）元；
（2）∵今年的为，比今年的少500元为（）元，
∴3年前人均收入为（）元；
（3）∵的3倍为，与的和为，和的平方为，
∴的3倍与的和的平方为．
【点睛】此题考查了列代数式，关键是找好题中量与量之间的关系，注意“和”、“差”、“倍”、“分”、“多”、“少”等关键词.
6．学校组织同学到博物馆参观，小明因事没有和同学同时出发，于是准备在学校门口搭乘出租车赶去与同学们会合，出租车的收费标准是：起步价为6元，3千米后每千米收1.2元，不足1千米的按1千米计算.请你回答下列问题
（1）小明乘车3.8千米，应付费_________元
（2）小明乘车X（X是大于3的整数）千米，应付费多少钱？
（3）小明身上仅有10元钱，乘出租车到距学校7千米远的博物馆的车费够不够？请说明理由.
【答案】（1）7.2元
（2）6+（X-3）×1.2
（3）不够,详见解析
【分析】【详解】(1)小明乘车3.8公里，应付费6+（1）2=7.2元；
（2）6+（X-3）×1.2
（3）不够．因为车费6+（1）2×（7-3）=10.8＞10，所以不够到博物馆的车费
7．对于整式（其中m是大于的整数）.
（1）若，且该整式是关于x的三次三项式，求m的值；
（2）若该整式是关于x的二次单项式，求m，n的值；
（3）若该整式是关于x的二次二项式，则m，n要满足什么条件？
【答案】（1）m=1；（2）m=-1，n=-1；（3）n=1，m为大于-2任意整数或m=-1，n≠-1或m=0，n≠4.
【分析】（1）根据已知条件可得到关于m的方程m+2=3，解方程即可得到m的值；
（2）根据该多项式是关于x的二次单项式，可得到m+2=1，n-1=-2，据此计算即可；
（3）同样的，根据上面的分析方法，结合关于x的二次二项式的特点解答即可.
【详解】（1）因为n=2，且该多项式是关于x的三次三项式，所以原多项式变为，所以m=1，即m的值为1.
（2）因为该多项式是关于x的二次单项式，
所以m+2=1，n-1=-2
解得m=-1，n=-1
（3）因为该多项式是关于x的二次二项式，
所以①这一项不存在，原多项式是关于x的二次二项式，
则n-1=0，即n=1，m为大于-2任意整数
②若的次数为1，系数不为-2，原多项式是关于x的二次二项式，
则m=-1，n≠-1
③的次数为2，系数不为3，原多项式是关于x的二次二项式，
则m=0，n≠4.
【点睛】本题考查多项式的次数和多项式的定义，学生们熟练掌握定义即可.
8．前几天，在青岛召开了举世目的“上合”会议，会议之前需要印刷批宣传彩页．经招标，印务公司中标，该印务公司给出了三种方案供主办方选择：
方案一：每份彩页收印刷费元．
方案二：收制版费元，外加每份彩页收印刷费元．
方案三：印数在份以内时，每份彩页收印刷费元，超过份时，超过部分按每份元收费．
（1）分别写出各方案的收费（元）与印刷彩页的份数（份）之间的关系式．
（2）若预计要印刷份的宣传彩页，请你帮主办方选择一种合算的方案．
【答案】（1）方案一：y=x；方案二：y=1000+0.5x；方案三：当0≤x≤1000时，y=1.2x，当x＞1000时，y=0.7x+500（2）方案二更节省费用，理由见解析
【分析】（1）根据题意即可分别表示出各方案的收费（元）与印刷彩页的份数（份）之间的关系式；
（2）将x＝5000分别代入（1）中的关系式，然后比较大小，即可解答本题．
【详解】（1）由题意可得，
方案一：y=x；
方案二：y=1000+0.5x；
方案三：当0≤x≤1000时，y=1.2x，当x＞1000时，y=1.2×1000+0.7（x-1000）=0.7x+500
（2）当x＝5000时，
方案一：y=5000；
方案二：y=1000+0.5×5000=3500；
方案三：
y=0.7×5000+500=4000
∵5000＞4000＞3500，
∴当印刷宣传彩页5000本时，应该方案二更节省费用．
【点睛】本题是一道方案选择问题、考查列代数式、代数式求值，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式，求出相应的式子的值，求出最优方案．
9．如图所示,长方形ABCD是“阳光小区”内一块空地，已知AB=2a，BC=3b，且E为AB边的中点，CF=BC，现打算在阴影部分种植一片草坪，求这片草坪的面积．
【答案】2ab．
【分析】仔细分析题意及图形特征根据长方形、三角形的面积公式求解即可.
【详解】由题意得.
考点：列代数式
点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握长方形、三角形的面积公式，即可完成.
10．互为相反数，c，d互为倒数，是最大的负整数．试求的值．
【答案】0．
【分析】根据相反数和倒数的定义及最大的负整数得到
代入求值即可．
【详解】解：∵a，b互为相反数
∴
∵c，d互为倒数
∴
∵x是最大的负整数
∴
∴
【点睛】本题考查了代数式求值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值．同时考查了相反数，倒数，最大的负整数等基本概念，掌握基本概念是解题的关键．
11．已知多项式xm＋1y2＋2xy2﹣4x3＋1是六次四项式，单项式26x2ny5﹣m的次数与该多项式的次数相同，求（﹣m）3＋2n的值．
【答案】﹣23
【分析】利用多项式与单项式的次数与系数的确定方法得出关于m与n的等式进而得出答案．
【详解】解：由于多项式是六次四项式，所以m＋1＋2＝6，
解得：m＝3，
单项式26x2ny5﹣m应为26x2ny2，由题意可知：2n＋2＝6，
解得：n＝2，
所以（﹣m）3＋2n＝（﹣3）3＋2×2＝﹣23．
【点睛】此题主要考查了多项式与单项式的次数，正确得出m，n的值是解题关键．
12．已知关于x，y的多项式x4＋（m＋2）xny﹣xy2＋3．
（1）当m，n为何值时，它是五次四项式？
（2）当m，n为何值时，它是四次三项式？
【答案】（1）n＝4，m≠﹣2；（2）m＝﹣2，n为任意实数
【分析】（1）根据多项式是五次四项式可知n＋1＝5，m＋2≠0，从而可求得m、n的取值；
（2）根据多项式是四次三项式可知：m＋2＝0，n为任意实数．
【详解】解：（1）∵多项式是五次四项式，
∴n＋1＝5，m＋2≠0，
∴n＝4，m≠﹣2；
（2）∵多项式是四次三项式，
∴m＋2＝0，n为任意实数，
∴m＝﹣2，n为任意实数．
【点睛】本题主要考查的是多项式的定义，掌握多项式的定义是解题的关键．
13．边长分别为a和2a的两个正方形按如图的样式摆放，求图中阴影部分的面积．
【答案】2a2．
【分析】直接利用两个正方形面积和减去空白三角形面积，进而可得出答案．
【详解】解：由题意可得，阴影部分面积：
＝
＝．
【点睛】此题主要考查了列代数式，正确表示出各部分面积是解题关键．
14．周末,小明陪爸爸去陶瓷商城购买一些茶壶和茶杯,甲、乙两家商店出售他们看中的同样品牌的茶壶和茶杯,茶壶每把定价都为30元,茶杯每只定价都为5元.这两家商店都有优惠,甲店买一把茶壶赠送茶杯一只;乙店全场九折优惠.小明爸爸需买茶壶5把,茶杯若干只(不少于5只).
(1)设购买茶杯x（x≥5）只,如果在甲店购买,需付款多少元;如果在乙店购买,需付款多少元.(用含x的代数式表示并化简).
(2)当购买15只茶杯时,应在哪家商店购买?为什么?
【答案】(1)在甲店购买，需付款（5x+125）元.
在乙店购买，需付款（4.5x+135）元.
(2)
应在甲店购买，理由见解析.
【分析】（1）由题意可知，在甲店买一把茶壶赠送茶杯一只，故需付5只茶壶的钱和（x-5）只茶杯的钱，已知茶壶和茶杯的钱，可列出付款关于x的式子；在乙店购买全场9折优惠，同理也可列出付款关于x的式子；
（2）当x=15时，将其代入两式子，得出的值哪家少就在那家买；
【详解】（1）设购买茶杯x只，
在甲店买一把茶壶赠送茶杯一只，且茶壶每把定价30元、茶杯每只定价5元，
故在甲店购买需付：5×30+5×（x-5）=5x+125；
在乙店购买全场9折优惠，
故在乙店购买需付：30×0.9×5+5×0.9×x=4.5x+135，
答：在甲店购买,需付款（5x+125）元；在乙店购买,需付款（4.5x+135）元.
（2）应在甲店购买，理由：
当x=15时，
在甲店购买需付：5×15+125=200（元），
在乙店购买需付：4.5×15+135=202.5（元）
∵200＜202.5
∴在甲店购买便宜，故应在甲店购买．
【点睛】本题考查了一元一次方程在实际问题中的运用以及买东西的优惠问题，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
15．如图，某市有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，中间是边长为（a+b）米的正方形，规划部门计划将在中间的正方形修建一座雕像，四周的阴影部分进行绿化，
（1）绿化的面积是多少平方米？（用含字母a、b的式子表示）
（2）求出当a＝20，b＝12时的绿化面积．
【答案】（1）（5a2+3ab）平方米；（2）2720平方米
【分析】(1)根据割补法,用含有a,b的式子表示出整个长方形的面积,然后用含有a,b的式子表示出中间空白处正方形的面积,然后两者相减,即可求出绿化部分的面积.
(2)将a＝20，b＝12分别代入(1)问中求出的关系式即可解决.
【详解】解：（1）（3a+b）（2a+b）﹣（a+b）2＝6a2+3ab+2ab+b2﹣（a2+2ab+b2）＝6a2+3ab+2ab+b2﹣a2﹣2ab﹣b2＝5a2+3ab，
答：绿化的面积是（5a2+3ab）平方米；
（2）当a＝20，b＝12时
5a2+3ab＝5×202+3×20×12＝2000+720＝2720，
答：当a＝20，b＝12时的绿化面积是2720平方米．
【点睛】
(1)本题考查了割补法,多项式乘多项式和完全平方式的运算法则,解决本题的关键是正确理解题意,能够熟练掌握多项式乘多项式的运算法则.
(2)本题考查了整式的化简求值,解决本题的关键是熟练掌握整式的运算法则和步骤.
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