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第3章一元一次方程3.2解一元一次方程（1）合并同类项与移项（简答题专练）
1．如果方程
的解与关于x的方程4x－(3a＋1)=6x＋2a－1的解相同，求代数式a2＋a－1的值．
2．有一个老太太提着一个篮子去卖鸡蛋，第一个人买走了她的鸡蛋的一半又半个；第二个人买走了剩下的一半又半个；第三人买走了前两个人剩下的一半又半个，正好卖完全部鸡蛋，问老太太一共卖了多少个鸡蛋．
3．解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
4．已知：不论k取什么实数，关于x的方程（a、b是常数）的根总是x＝1，试求a、b的值.
5．某中学七年级学生参加一次公益活动，其中10％的同学去做保护环境的宣传，55％的同学去植树，剩下的70名同学去清扫公园内的垃圾，七年级共有多少名同学参加这次公益活动？
6．已知关于x的方程3x+2a＝x+7，某同学在解这个方程时，不小心把右端的+7抄成了－7，解得的结果为x＝2，求原来方程的解.
7．解方程：
（1）
（2）
（3）
（4）
8．用“?”规定一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a?b=ab2+2ab+a．如：1?3=1×32+2×1×3+1=16
（1）求2?（-1）的值；
（2）若（a+1）?3=32，求a的值；
（3）若m=2?x，n=（x）?3（其中x为有理数），试比较m、n的大小．
9．一般情况下不成立，但有些数可以使得它成立，例如：，我们称使得成立的一对数，为“相伴数对”，记为.
（1）若是“相伴数对”，求的值；
（2）若是“相伴数对”，求代数式的值.
10．如图，已知点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a、b满足|a+3|+（b﹣2）2=0．
（1）求A、B两点的对应的数a、b；
（2）点C在数轴上对应的数为x，且x是方程2x+1=x﹣8的解.
①求线段BC的长；
②在数轴上是否存在点P，使PA+PB=BC？求出点P对应的数；若不存在，说明理由．
11．已知方程（m﹣2）x|m|﹣1+3=m﹣5是关于x的一元一次方程，求这个方程的解．
12．已知关于
x
的方程
和
有相同的解，求
a
的值．
13．如图，点P、Q在数轴上表示的数分别是－8、4，点P以每秒2个单位的速度运动，点Q以每秒1个单位的速度运动．设点P、Q同时出发向右运动，运动时间为t秒．
（1）若运动2秒时，则点P表示的数为_______，点P、Q之间的距离是______个单位；
（2）求经过多少秒后，点P、Q重合？
（3）试探究：经过多少秒后，点P、Q两点间的距离为6个单位．
14．已知关于x的方程3x﹣5+a=bx+1，问当a、b取何值时．
（1）方程有唯一解；（2）方程有无数解；（3）方程无解．
15．甲、乙两站相距336千米，一列慢车从甲站开出，每小时行驶72千米，一列快车从乙站开出，每小时行驶96千米．
(1)若两车同时相向而行，则几小时后相遇？几小时后相距84千米？
(2)若两车同时反向而行，则几小时后相距672千米？
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第3章一元一次方程3.2解一元一次方程（1）合并同类项与移项（简答题专练）
1．如果方程
的解与关于x的方程4x－(3a＋1)=6x＋2a－1的解相同，求代数式a2＋a－1的值．
【答案】x=10；a=-4；11.
【分析】根据题意，可先求出方程的解，再将的值代入方程中，解出的值，代入代数式,求的值即可．
【详解】由题意，先解方程
因为两个方程的解相同，所以满足方程
代入方程
得，
将代入得，
【点睛】解题关键是根据同解方程求出的值，再代入代数式求出代数式的值．需熟练掌握一元一次方程的解法．
2．有一个老太太提着一个篮子去卖鸡蛋，第一个人买走了她的鸡蛋的一半又半个；第二个人买走了剩下的一半又半个；第三人买走了前两个人剩下的一半又半个，正好卖完全部鸡蛋，问老太太一共卖了多少个鸡蛋．
【答案】老太太一共卖了7个鸡蛋.
【分析】设老太太一共卖了x个鸡蛋，那么第一个人买走了x+=（x+1）个；
第二个人买走了[x-（x+1）]+
=（x+1）个；
第三个人买走了[x-（x+1）-（x+1）]+
=（x+1）个；
由三个人将鸡蛋买光而得方程（x+1）+（x+1）+（x+1）=x,
解这个方程即可求出老太太一共卖了多少个鸡蛋．
【详解】解;设老太太一共卖了x个鸡蛋，
那么得方程：（x+1）+（x+1）+（x+1）=x,
解得：x=7.
答：老太太一共卖了7个鸡蛋.
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用,解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
3．解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【答案】(1)
.(2).(3).(4)
.
【分析】解一元一次方程的基本步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，根据解方程的基本步骤进行计算，即可得到答案.
【详解】(1)
移项：
合并同类项：
系数化为1
：.
(2)
移项：
合并同类项：
系数化为1
：.
(3)
移项：
合并同类项：
系数化为1
：.
(4)
移项：
合并同类项：
系数化为1
：.
【点睛】本题考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤.
4．已知：不论k取什么实数，关于x的方程（a、b是常数）的根总是x＝1，试求a、b的值.
【答案】，
【分析】首先把根x=1代入原方程中得到一个关于k的方程，再根据方程与k无关的应满足的条件即可得a、b的值．
【详解】解：把x＝1代入原方程并整理得（b＋4）k＝7－2a
要使等式（b＋4）k＝7－2a不论k取什么实数均成立，只有
解之得a=,b=-4
.
故答案为:，
【点睛】本题考查代入法、一元一次方程的解法，解题时要根据方程组的特点进行有针对性的计算．
5．某中学七年级学生参加一次公益活动，其中10％的同学去做保护环境的宣传，55％的同学去植树，剩下的70名同学去清扫公园内的垃圾，七年级共有多少名同学参加这次公益活动？
【答案】七年级共有200名同学参加这次公益活动.
【分析】由于本题要求的是参加这次公益活动的七年级学生总人数，所以可以设七年级共有x名同学参加这次公益活动.
进一步分析题意可以看出，这些学生进行了三项活动：宣传，植树以及清扫垃圾.
根据题意，进行宣传活动的学生人数可以用x表示为10%x，进行植树活动的学生人数可以表示为55%x，从而清扫垃圾的学生人数可以表示为x-10%x-55%x.
由于题目中已经给出了清扫垃圾的学生人数，故可以根据清扫垃圾的学生人数列出方程并求解.
【详解】解：设七年级共有x名同学参加这次公益活动.
由题意，得
x-10%x-55%x=70
合并同类项，得
0.35x=70，
系数化为1，得
x=200.
答：七年级共有200名同学参加这次公益活动.
【点睛】在利用方程解决实际问题的题目中，列方程的基本根据是题目中的等量关系.
因此，在题目的条件中寻找合适的等量关系就成为解决问题的关键.
本题中应用的等量关系本质上是“总量=各部分量的和”.
在等量关系明确之后，利用未知数x对等量关系中的各个量进行表示则是正确列出方程的重要步骤.
6．已知关于x的方程3x+2a＝x+7，某同学在解这个方程时，不小心把右端的+7抄成了－7，解得的结果为x＝2，求原来方程的解.
【答案】x＝9
【分析】根据方程的解满足方程，可得关于a的方程，根据解方程，可得a的值，根据移项、合并同类项、系数化为1，可得答案．
【详解】将x=2代入3x+2a=x-7，
得6+2a=-5，
解得a=-．
当a=-时，原方程为3x-11=x+7，
移项、合并同类项，得
2x=18，
系数化为1，得
x=9，
原方程的解为x=9．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，将方程的解代入方程得出a的值是解题关键．
7．解方程：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）-3；（2）-3；（3）；（4）.
【分析】利用解一元一次方程的步骤求解即可.
【详解】（1）去分母得:,
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：；
(2)
去分母得:,
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：；
（3）去分母得:,
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
把系数化为1：；
（4）去分母得:，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：
，
把系数化为1：；
【点睛】解分式方程式,
方程先去分母,然后去括号,再移项合并,最后将x系数化为1即可求出解.
8．用“?”规定一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a?b=ab2+2ab+a．如：1?3=1×32+2×1×3+1=16
（1）求2?（-1）的值；
（2）若（a+1）?3=32，求a的值；
（3）若m=2?x，n=（x）?3（其中x为有理数），试比较m、n的大小．
【答案】（1）0；（2）a=1；（3）m＞n．
【分析】（1）根据“a?b=ab2+2ab+a”，把a=2，b=-1代入，计算求值即可，
（2）根据“a?b=ab2+2ab+a”，把a+1，3代入，得到关于a的一元一次方程，解之即可，
（3）根据“a?b=ab2+2ab+a”，分别求出m和n的值，m-n＞0，即可得到答案．
【详解】解：（1）2?（-1）
=2×（-1）2+2×2×（-1）+2
=2-4+2
=0，
（2）（a+1）?3
=（a+1）×32+2（a+1）×3+（a+1）
=16（a+1）
=32，
解得：a=1，
（3）m=2x2+2×2x+2=2x2+4x+2，
n=x×32+2×x×3+x=4x，
m-n=2x2+2＞0，
即m＞n．
【点睛】本题考查了新定义运算，涉及的知识点有解一元一次方程，有理数的混合运算，解题的关键是：（1）正确掌握有理数的混合运算顺序，（2）正确掌握解一元一次方程，（3）正确掌握整式的加减．
9．一般情况下不成立，但有些数可以使得它成立，例如：，我们称使得成立的一对数，为“相伴数对”，记为.
（1）若是“相伴数对”，求的值；
（2）若是“相伴数对”，求代数式的值.
【答案】（1）；（2）-2
【分析】(1)首先根据“相伴数对”的定义列出关于b的一元一次方程，从而求出b的值；(2)根据“相伴数对”的定义得出关于m和n的代数式，然后进行化简得出9m+4n=0，最后将所求的代数式进行化简，利用整体代入的思想进行求解.
【详解】（1）是“相伴数对”，
，解得：；
（2）由是“相伴数对”可得：，
则，即，
则原式.
10．如图，已知点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a、b满足|a+3|+（b﹣2）2=0．
（1）求A、B两点的对应的数a、b；
（2）点C在数轴上对应的数为x，且x是方程2x+1=x﹣8的解.
①求线段BC的长；
②在数轴上是否存在点P，使PA+PB=BC？求出点P对应的数；若不存在，说明理由．
【答案】（1）点A表示的数是﹣3，点B表示的数是2；（2）①线段BC的长为8；②点P对应的数是3.5或﹣4.5．
【分析】（1）根据|a+3|+（b-2）?2=0，可以求得a、b的值，从而可以求得点A、B表示的数；?
（2）①根据2x+1=?x-8可以求得x的值，从而可以得到点C表示的数，从而可以得到线段BC的长；?
【详解】解：（1）∵|a+3|+（b﹣2）2=0，
∴a+3=0，b﹣2=0，
解得，a=﹣3，b=2，
即点A表示的数是﹣3，点B表示的数是2
（2）①2x+1=x﹣8
解得x=﹣6，
∴BC=2﹣（﹣6）=8
即线段BC的长为8；
②存在点P，使PA+PB=BC理由如下：
设点P的表示的数为m，
则|m﹣（﹣3）|+|m﹣2|=8，
∴|m+3|+|m﹣2|=8，
当m＞2时，解得
m=3.5，
当﹣3＜m＜2时，无解
当x＜﹣3时，解得m=﹣4.5，
即点P对应的数是3.5或﹣4.5．
11．已知方程（m﹣2）x|m|﹣1+3=m﹣5是关于x的一元一次方程，求这个方程的解．
【答案】x=．
【分析】已知方程（m﹣2）x|m|﹣1+3=m﹣5是关于x的一元一次方程，可得m﹣2≠0且|m|﹣1=1，求得m的值，再代入方程，解方程即可.
【详解】∵（m﹣2）x|m|﹣1+3=m﹣5是关于x的一元一次方程，
∴m﹣2≠0且|m|﹣1=1，解得m=﹣2．
∴解方程﹣4x+3=﹣2﹣5，得x=．
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义及解法，解题时用到的知识点为：①只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的整式方程叫一元一次方程；②解一元一次方程的步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1．
12．已知关于
x
的方程
和
有相同的解，求
a
的值．
【答案】。
【分析】利用同解方程，分别求出两个方程的解.
【详解】由
，得
，
由
，得
，
它们的解相同，
，
．
13．如图，点P、Q在数轴上表示的数分别是－8、4，点P以每秒2个单位的速度运动，点Q以每秒1个单位的速度运动．设点P、Q同时出发向右运动，运动时间为t秒．
（1）若运动2秒时，则点P表示的数为_______，点P、Q之间的距离是______个单位；
（2）求经过多少秒后，点P、Q重合？
（3）试探究：经过多少秒后，点P、Q两点间的距离为6个单位．
【答案】（1）-4,10；（2）12秒；（3）6秒或18秒
【分析】（1）根据数轴上的数向右移动加列式计算即可得解，写出出P、Q两点表示的数，计算即可；
（2）用t列出P、Q表示的数，列出等式求解即可；
（3）点P、Q同时出发向右运动，运动时间为t秒，分为两种情况讨论①未追上时，②追上且超过时，分别算出即可．
【详解】解：（1）点P表示的数是：
-8+2×2=-4
点Q表示的数是：
4+2×1=6
点P、Q之间的距离是：
6-（-4）=10；
（2）∵点P、Q同时出发向右运动，运动时间为t秒，
点P、Q重合时，-8+2t=4+t,
解得：t=12
(秒)
经过12秒后，点P、Q重合；
（3）点P、Q同时出发向右运动，运动时间为t秒，
故分为两种情况讨论：
①未追上时：（4+t）-（-8+2t）=
6
解得：t=
6
(秒）
②追上且超过时：（-8+2t）—（4+t）=
6
解得：t=
18
(秒）
答：经过6秒或18秒后，点P、Q两点间的距离为6个单位．
【点睛】本题考查了数轴，主要利用了数轴上两点间的距离的表示，数轴上的数向右移动加向左移动减，难点在于（3）分情况讨论．
14．已知关于x的方程3x﹣5+a=bx+1，问当a、b取何值时．
（1）方程有唯一解；（2）方程有无数解；（3）方程无解．
【答案】（1）b≠3，方程有唯一解，b≠3；（2）a=6，b=3，方程有无数解；（3），a≠6，b=3，方程无解．
【分析】（1）方程移项合并，根据有唯一解确定出条件即可；
（2）根据方程有无数解确定出条件即可；
（3）根据方程无解确定出条件即可．
【详解】方程整理得：（b﹣3）x=a﹣6，
（1）由方程有唯一解，得到b﹣3≠0，即b≠3；
（2）由方程有无数解，得到b﹣3=0，a﹣6=0，即a=6，b=3；
（3）由方程无解，得到b﹣3=0，a﹣6≠0，即a≠6，b=3．
【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值，ax+b=0是一元一次方程的通式，若a≠0,b≠0，此时有唯一解x=-b/a（包含a≠0,b=0,此时x=0），若a=0,b=0,此时有无数解，若a=0,b≠0,此时无解．
15．甲、乙两站相距336千米，一列慢车从甲站开出，每小时行驶72千米，一列快车从乙站开出，每小时行驶96千米．
(1)若两车同时相向而行，则几小时后相遇？几小时后相距84千米？
(2)若两车同时反向而行，则几小时后相距672千米？
【答案】(1)2小时后相遇
1.5小时或2.5小时后相距84千米;
(2)2小时后相距672千米.
【分析】(1)
下面分析第一个问题，根据题意可画出如下线段示意图.
观察上图可以发现，当两车相遇时，慢车行驶的路程与快车行驶的路程之和应等于两车站之间的距离336千米.
根据“路程等于速度乘以时间”，若设两车x小时后相遇，则慢车行驶的路程与快车行驶的路程均可用x表示出来，再根据上述等量关系可列出方程并求解.
下面分析第二个问题.
由于两站之间的距离为336千米，所以在两车同时相向而行的条件下，两车相距84千米的情况可能发生在两车相遇之前，也可能发生在两车相遇之后.
因此，该问题应该分情况求解.
①
若该情况发生在两车相遇之前，根据题意可画出如下线段示意图.
观察上图可以发现，若该情况发生在两车相遇之前，慢车行驶的路程与快车行驶的路程之和再加上84千米应等于两车站之间的距离336千米.
根据这一等量关系可以列出方程并求解.
②
当该情况发生在两车相遇之后，根据题意可画出如下线段示意图.
观察上图可以发现，若该情况发生在两车相遇之后，慢车行驶的路程与快车行驶的路程之和应再减去84千米才等于两车站之间的距离336千米.
根据这一等量关系可以列出方程并求解.
(2)
根据题意可画出如下线段示意图.
观察上图可以发现，若两车同时反向而行，慢车行驶的路程与快车行驶的路程之和再加上336千米应等于两车之间的距离672千米.
根据这一等量关系可以列出方程并求解.
【详解】(1)
设两车同时相向而行，x小时后相遇.
根据题意，得
72x+96x=336
合并同类项，得
168x=336，
系数化为1，得
x=2.
故两车同时相向而行2小时后相遇.
在两车同时相向而行的条件下，两车相距84千米的情况应该分为在两车相遇之前以及在两车相遇之后两种情况求解.
①在两车相遇之前，设y小时后两车相距84千米.
72y+96y+84=336
合并同类项，得
168y=252，
系数化为1，得
y=1.5.
因为两车同时相向而行2小时后相遇，y=1.5<2，所以y=1.5是合理的.
②在两车相遇之后，设y小时后两车相距84千米.
72y+96y-84=336
合并同类项，得
168y=420，
系数化为1，得
y=2.5.
因为两车同时相向而行2小时后相遇，y=2.5>2，所以y=2.5是合理的.
答：两车同时相向而行，2小时后相遇；两车从各自车站开出1.5小时或2.5小时后相距84千米.
(2)
设两车同时反向而行，x小时后相距672千米.
根据题意，得
72x+96x+336=672
移项，得
72x+96x=672-336，
合并同类项，得
168x=336，
系数化为1，得
x=2.
答：两车同时反向而行，2小时后相距672千米.
【点睛】本题考查了应用一元一次方程解决实际问题的相关知识.
这是一道典型的行程问题.
思考行程问题的难点在于如何理清题目中各种相关量(路程，速度以及时间等)之间的关系.
分析题目画出线段示意图可以清晰地观察出上述相关量之间的关系，故线段示意图是解决行程问题的重要工具.
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