任意角的三角函数教案
图片预览
文档简介
《任意角的三角函数》
设计理念
数学课堂不是学生对于教师所授予知识的被动接受，而是以学生已经具备的知识和经验为基础主动的建构过程。因此，本节课在设计中注重在教师的启发引导下，学生的知识生成方式和自主学习方式，通过创设生活情境，设置问题，组织学生自主学习和合作学习，培养学生独立思考、自主探索、勇于创新的思维品质。
教材分析
本节课选自人教版高中数学必修四第一章第二节——任意角的三角函数第一课时。本节课是初中锐角三角函数的继承和延伸。本节课主要学习任意角的三角函数的定义以及应用定义判断三角函数值的符号。三角函数是描述客观世界中周期性变化规律的重要数学模型，在数学和其他领域中都具有重要的作用。任意角的三角函数的概念是三角函数的一个核心内容，它为后续更加深入地学习三角函数奠定了坚实的基础。
学情分析
本节课的假想授知对象是普通中学的高一学生，他们已经学习过了任意角和弧度制，已经具备了学习本节课的知识基础，并且他们在初中已经学习了锐角三角函数，这也为本节课的学习奠定了方法与经验基础。所以在锐角三角函数的基础上，推广到任意角的三角函数，便于学生理解。在引入三角函数的概念时结合图像，这样更符合学生的认知规律，同时强调单位圆的直观作用，让学生在三角函数学习之初就能感受到单位圆的重要性。
教学目标
知识与技能目标：1、理解任意角的三角函数的定义；2、根据三角函数的定义，能够判断三角函数值的符号。
过程与方法目标：1、通过参与任意角的三角函数的“发现”与“形成”过程，培养合情猜测的能力，体会函数模型思想，以及数形结合思想，培养观察、分析、探索、归纳、类比及解决问题的能力；2、通过从锐角三角函数推广到任意角的三角函数的过程，体会从特殊到一般的数学思想方法。
情感态度与价值观目标：在探索任意角的三角函数的过程中，感悟数学概念的合理性、严谨性、科学性，感悟数学的本质，培养追求真理的精神。
教学重点与难点
教学重点：任意角的三角函数的定义，以及运用定义判断三角函数值的符号。
教学难点：任意角的三角函数概念的建构过程。
教学方法
教法：采取讲授法与启发探究相结合的教学方式。
学法：通过观察、分析、探索、归纳、类比的方法进行学习。
教学过程
创设情境，导入新课
活动1 以摩天轮为情境，摩天轮是周而复始地逆时针转动的，从而引导学生从摩天轮中抽象出圆，而摩天轮上转动的小车厢就抽象为圆上的运动的点。
问题①：若摩天轮转一周需360秒，那么一秒转多少度呢？
问题②：有一个人坐在摩天轮的小车厢上，摩天轮圆心距离地面为Ho，半径为R，开始转动30秒后离地面高度是多少？
【预设】学生根据初中已学的锐角三角函数知识以及生活经验，可以较快地得出答案。学生可能的答案有：H=Ho+ R；H=Ho+sin30°R；H=Ho+（PM/PO）R。
活动2 再举例摩天轮转动45秒时，小车厢离地面的高度是多少？进而提问：若摩天轮转动了t秒，小车厢离地面的高度是多少呢？让学生观察，并提出猜想。
【预设】学生通过观察、思考，提出猜想：摩天轮转动了t秒，则车厢离地面的高度为H=Ho+sin t°R。
活动3 随着摩天轮的转动，角度也不知不觉地推广到了任意角，教师提出问题：刚才的猜想会合理吗？如果合理，那么该如何计算H=Ho+sin150°R呢？从而引出本节课的主题——任意角的三角函数。
二、启发诱导，探求新知
1）发现定义
问题1：如何表示锐角角A的正弦？
【预设】学生根据已学的锐角三角函数的知识，可能提出在角A的终边上取一点P，作PM⊥AM，则sinA=PM/AP。
问题2：P点怎么取，任意一点都可以吗？
【预设】学生可能回答有：因为都是同一个角A，角度相同就比值相同；因为任意两个三角形相似。
<教师活动> 教师几何画板演示，随着P点的变化，sinA=PM/AP不变。
问题3：哪些角的正弦值可以用sinA=PM/AP呢？
【预设】学生可能的答案有：锐角；第一象限角。
问题4：如果是第二象限角，该怎样定义它的正弦？任意角呢？
<教师活动> 教师自然地引入直角坐标系，引导学生观察、思考。
【预设】情况一：有些思维敏捷的学生，可能通过观察，较快地发现，设P点的坐标为（x,y），则sinA=y/(x +y )；情况二：有些学生可能受到锐角三角函数的思维限制，仍然认为sinA=PM/AP。
<教师活动> 针对情况一，教师首先肯定学生的答案，并顺着学生的思路，给出任意角的正弦的定义，并举例150°、210°，让学生验证猜想的准确性，在此过程中给予学生肯定与赞美；针对情况二，顺着学生的思路，举例150°、210°验证，学生发现sinA=PM /AP不符合第三、四象限角的情况，进而引导学生sinA=±PM/AP，能否用一个量代替±PM，从而发现用坐标的比值来定义。
2）形成定义
活动1 学生通过观察图像，分析、归纳出任意角的正弦的定义：sinａ=y/（x +y ），并通过类比的办法，定义出任意角的余弦、余切。教师引导学生P点在什么位置时，比值最简洁，学生通过观察，引入单位圆，便利用单位圆定义任意角的正弦、余弦、正切。
活动2 教师引导学生每一个ａ对应着唯一确定的正弦、余弦、正切，从而使学生建立三角函数模型。既然三角函数首先是函数，能否从函数观点解析三角函数（定义域）？学生通过自主思考或者小组讨论，归纳总结出正弦、余弦、正切函数的定义域。
三、应用拓展，深化知识
例1 求5π/3的正弦、余弦、正切
例2 已知角ａ的终边经过点Po（-3，-4），求角ａ的正弦、余弦和正切？
变式：已知角ａ的终边经过点Po（-3b，-4b）（b≠0），求ａ的正弦、余弦、正切？结果会跟例2一样吗？
问题5：你能探究出正弦函数、余弦函数、正切函数在四个象限的符号如何吗？
四、反思小结，布置作业
反思：今天你学到了什么呢？
板书设计
设计意图：以生活实际问题解决为背景，引出任意角的三角函数概念，让学生感受到“数学是自然的”，“数学是有用的”，并鼓励学生去观察生活、思考生活。
设计意图：先猜想再探究，是一种合情推理，使教学环节显得生动，同时感受到接下来新知识学习的必要性。此外，学生在观察、猜想的过程中，能体会到“从特殊到一般”的数学思想方法。
设计意图：通过几何画板的演示，可以更加生动形象地让学生体会到角A的正弦与P点的所在位置无关，这为后面借用单位圆定义任意角的三角函数奠定基础。
设计意图：通过设置问题，步步引导学生发现、探求新知，让学生体会知识的发现过程，以及数形结合与从特殊到一般的数学思想，并培养学生勇于发现、敢于创新的思维品质。
设计意图：学生通过分析、归纳、类比，理解任意角的三角函数的定义，体会知识的形成过程，以及函数模型思想，并培养观察、分析、探索、归纳、类比及解决问题的能力。
设计意图：学生通过例1的练习，巩固任意角的三角函数的定义，并且能借助单位圆求解角的正弦、余弦、正切。
设计意图：例2的设计一方面让学生巩固知识，另一方面注意两种定义的区别，sina=y必须应用在P点在单位圆上的情况；变式的设计不仅让学生发散思维，更主要的是让学生认识到三角函数的符号特征。
设计意图：学生通过数形结合，判断、归纳出三角函数值的符号。
设计意图：通过反思，让学生畅所欲言，这不仅有利于理清学生的思路，而且有助于让教师了解学生的情况，为今后的教学提供参考。
任意角的三角函数
终边上点P（x,y）
AP=r AP=1 定义域
sinａ=y/r y R
cosａ=x/r x R
tanａ=y/x y/x ａ≠π/2+kπ
A
M
P
M’
P’
ａ
活动区
设计理念
数学课堂不是学生对于教师所授予知识的被动接受，而是以学生已经具备的知识和经验为基础主动的建构过程。因此，本节课在设计中注重在教师的启发引导下，学生的知识生成方式和自主学习方式，通过创设生活情境，设置问题，组织学生自主学习和合作学习，培养学生独立思考、自主探索、勇于创新的思维品质。
教材分析
本节课选自人教版高中数学必修四第一章第二节——任意角的三角函数第一课时。本节课是初中锐角三角函数的继承和延伸。本节课主要学习任意角的三角函数的定义以及应用定义判断三角函数值的符号。三角函数是描述客观世界中周期性变化规律的重要数学模型，在数学和其他领域中都具有重要的作用。任意角的三角函数的概念是三角函数的一个核心内容，它为后续更加深入地学习三角函数奠定了坚实的基础。
学情分析
本节课的假想授知对象是普通中学的高一学生，他们已经学习过了任意角和弧度制，已经具备了学习本节课的知识基础，并且他们在初中已经学习了锐角三角函数，这也为本节课的学习奠定了方法与经验基础。所以在锐角三角函数的基础上，推广到任意角的三角函数，便于学生理解。在引入三角函数的概念时结合图像，这样更符合学生的认知规律，同时强调单位圆的直观作用，让学生在三角函数学习之初就能感受到单位圆的重要性。
教学目标
知识与技能目标：1、理解任意角的三角函数的定义；2、根据三角函数的定义，能够判断三角函数值的符号。
过程与方法目标：1、通过参与任意角的三角函数的“发现”与“形成”过程，培养合情猜测的能力，体会函数模型思想，以及数形结合思想，培养观察、分析、探索、归纳、类比及解决问题的能力；2、通过从锐角三角函数推广到任意角的三角函数的过程，体会从特殊到一般的数学思想方法。
情感态度与价值观目标：在探索任意角的三角函数的过程中，感悟数学概念的合理性、严谨性、科学性，感悟数学的本质，培养追求真理的精神。
教学重点与难点
教学重点：任意角的三角函数的定义，以及运用定义判断三角函数值的符号。
教学难点：任意角的三角函数概念的建构过程。
教学方法
教法：采取讲授法与启发探究相结合的教学方式。
学法：通过观察、分析、探索、归纳、类比的方法进行学习。
教学过程
创设情境，导入新课
活动1 以摩天轮为情境，摩天轮是周而复始地逆时针转动的，从而引导学生从摩天轮中抽象出圆，而摩天轮上转动的小车厢就抽象为圆上的运动的点。
问题①：若摩天轮转一周需360秒，那么一秒转多少度呢？
问题②：有一个人坐在摩天轮的小车厢上，摩天轮圆心距离地面为Ho，半径为R，开始转动30秒后离地面高度是多少？
【预设】学生根据初中已学的锐角三角函数知识以及生活经验，可以较快地得出答案。学生可能的答案有：H=Ho+ R；H=Ho+sin30°R；H=Ho+（PM/PO）R。
活动2 再举例摩天轮转动45秒时，小车厢离地面的高度是多少？进而提问：若摩天轮转动了t秒，小车厢离地面的高度是多少呢？让学生观察，并提出猜想。
【预设】学生通过观察、思考，提出猜想：摩天轮转动了t秒，则车厢离地面的高度为H=Ho+sin t°R。
活动3 随着摩天轮的转动，角度也不知不觉地推广到了任意角，教师提出问题：刚才的猜想会合理吗？如果合理，那么该如何计算H=Ho+sin150°R呢？从而引出本节课的主题——任意角的三角函数。
二、启发诱导，探求新知
1）发现定义
问题1：如何表示锐角角A的正弦？
【预设】学生根据已学的锐角三角函数的知识，可能提出在角A的终边上取一点P，作PM⊥AM，则sinA=PM/AP。
问题2：P点怎么取，任意一点都可以吗？
【预设】学生可能回答有：因为都是同一个角A，角度相同就比值相同；因为任意两个三角形相似。
<教师活动> 教师几何画板演示，随着P点的变化，sinA=PM/AP不变。
问题3：哪些角的正弦值可以用sinA=PM/AP呢？
【预设】学生可能的答案有：锐角；第一象限角。
问题4：如果是第二象限角，该怎样定义它的正弦？任意角呢？
<教师活动> 教师自然地引入直角坐标系，引导学生观察、思考。
【预设】情况一：有些思维敏捷的学生，可能通过观察，较快地发现，设P点的坐标为（x,y），则sinA=y/(x +y )；情况二：有些学生可能受到锐角三角函数的思维限制，仍然认为sinA=PM/AP。
<教师活动> 针对情况一，教师首先肯定学生的答案，并顺着学生的思路，给出任意角的正弦的定义，并举例150°、210°，让学生验证猜想的准确性，在此过程中给予学生肯定与赞美；针对情况二，顺着学生的思路，举例150°、210°验证，学生发现sinA=PM /AP不符合第三、四象限角的情况，进而引导学生sinA=±PM/AP，能否用一个量代替±PM，从而发现用坐标的比值来定义。
2）形成定义
活动1 学生通过观察图像，分析、归纳出任意角的正弦的定义：sinａ=y/（x +y ），并通过类比的办法，定义出任意角的余弦、余切。教师引导学生P点在什么位置时，比值最简洁，学生通过观察，引入单位圆，便利用单位圆定义任意角的正弦、余弦、正切。
活动2 教师引导学生每一个ａ对应着唯一确定的正弦、余弦、正切，从而使学生建立三角函数模型。既然三角函数首先是函数，能否从函数观点解析三角函数（定义域）？学生通过自主思考或者小组讨论，归纳总结出正弦、余弦、正切函数的定义域。
三、应用拓展，深化知识
例1 求5π/3的正弦、余弦、正切
例2 已知角ａ的终边经过点Po（-3，-4），求角ａ的正弦、余弦和正切？
变式：已知角ａ的终边经过点Po（-3b，-4b）（b≠0），求ａ的正弦、余弦、正切？结果会跟例2一样吗？
问题5：你能探究出正弦函数、余弦函数、正切函数在四个象限的符号如何吗？
四、反思小结，布置作业
反思：今天你学到了什么呢？
板书设计
设计意图：以生活实际问题解决为背景，引出任意角的三角函数概念，让学生感受到“数学是自然的”，“数学是有用的”，并鼓励学生去观察生活、思考生活。
设计意图：先猜想再探究，是一种合情推理，使教学环节显得生动，同时感受到接下来新知识学习的必要性。此外，学生在观察、猜想的过程中，能体会到“从特殊到一般”的数学思想方法。
设计意图：通过几何画板的演示，可以更加生动形象地让学生体会到角A的正弦与P点的所在位置无关，这为后面借用单位圆定义任意角的三角函数奠定基础。
设计意图：通过设置问题，步步引导学生发现、探求新知，让学生体会知识的发现过程，以及数形结合与从特殊到一般的数学思想，并培养学生勇于发现、敢于创新的思维品质。
设计意图：学生通过分析、归纳、类比，理解任意角的三角函数的定义，体会知识的形成过程，以及函数模型思想，并培养观察、分析、探索、归纳、类比及解决问题的能力。
设计意图：学生通过例1的练习，巩固任意角的三角函数的定义，并且能借助单位圆求解角的正弦、余弦、正切。
设计意图：例2的设计一方面让学生巩固知识，另一方面注意两种定义的区别，sina=y必须应用在P点在单位圆上的情况；变式的设计不仅让学生发散思维，更主要的是让学生认识到三角函数的符号特征。
设计意图：学生通过数形结合，判断、归纳出三角函数值的符号。
设计意图：通过反思，让学生畅所欲言，这不仅有利于理清学生的思路，而且有助于让教师了解学生的情况，为今后的教学提供参考。
任意角的三角函数
终边上点P（x,y）
AP=r AP=1 定义域
sinａ=y/r y R
cosａ=x/r x R
tanａ=y/x y/x ａ≠π/2+kπ
A
M
P
M’
P’
ａ
活动区